FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICASProfa. Carmen Batiz UGHS

FUNCIONES EXPONENCIALESLa forma standard es: y = abx, donde a es la constante , a 0, b es la base , b >0 b -1 y x es el exponente, x = Reales.

GRFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a > 0 y b > 1y = 2xy = 4xy = 7xLa funcin crece

GRFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALESSi a > 0 y 0 < b < 1y = 1/2xy = 1/4xy = 1/7xLa funcin decrece

DOMINIO Y CAMPO DE VALORES

Dominio de una funcin exponencial es el conjunto de todos los nmeros reales positivos y el campo de valore tambin ser el conjunto de todos los nmeros reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar nmeros imaginarios (-2)1/2

PROPIEDADES BSICAS DE f(x) = bX b > 0 , b 1

Todas las grficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1Todas las grficas son continuas, sin huecos ni saltos.El eje x es una asntota horizontal.Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x.Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.La funcin de f es uno a uno.

OTRAS PROPIEDADES

Para a y b positivos, a 1 , b 1 y x y y reales: Leyes de exponentes 1. ax ay = ax + y 2. (ax)y = axy 3. (ab)x = axbx 4.

5. 6. ax = ay si y slo si x = y7. Para x 0 , entonces ax = bx si y slo s a = b

EJEMPLO 4x-3 = 8 22(x-3)= 23 se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2 2(x 3) = 23 Propiedad 6 2x 6 = 3 eliminacin de parntesis y exponentes 2x = 9 P. suma de igualdad x = 4 P. multiplicacin de la igualdad

Aplicacin Crecimiento demogrfico La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicacin para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una poblacin de 1000 E. coli y no hay ningn cambio en el tiempo de duplicacin, cuntas bacterias estarn presentes: a. en 10 minutos ?b. en 5 horas? = 300 minutos

P = poblacin en el tiempo tP0 = poblacin en el tiempo t = 0d = tiempo de duplicacin

P = P02t/d

Si t = d P = P02

P0 = 1,000 d = 25 minutos

a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. col

b. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 = 4.1 x 106 E. col

Decaimiento radiactivoEl oro radiactivo 198(198Au) que se usa en las radiografas del hgado tiene una vida media de 2.67 das. Si se empieza con 50 miligramos del istopo, Cuntos miligramos quedarn despus de: a. da? b. una semana?

Decaimiento radiactivoA = cantidad al tiempo tA0 = cantidad al tiempo t = 0h = vida mediaA = A02-t/h

Cuando t = h A = A02

Decaimiento radiactivoA0 = 50 mg h = 2.67 das a. A = 50(2 -.5/2.67) = 50 = 43.9 mg 2.5/2.67b. A = 50(2 -7/2.67) = 50 = 8.12 mg 2 7/2.67

Inters compuesto

Si se invierten $1,000 en una cuenta que paga el 10% de inters compuesto mensualmente, cunto habr en la cuenta despus de 10 aos? Redondea a la centsima ms cercana.

Inters compuesto

A = cuenta al final del ao t aosP = capitalr = inters compueston = cantidad al ao

Inters compuesto

P = $1,000 r = .10n = 12 t = 10 aos

= $2,707.04

EjerciciosSeccin 4.1 Pre-Clculo Funciones y Grficas-Barnett

FUNCIONES LOGARTMICAS La forma standard es: logby = x, si y = bx Y se lee:log de b y como log base b de y

EJEMPLO:

25 = 52 y = bx funcin exponencialx = log by funcin logartmica2 = log 525 funcin logartmica

ESCRIBE EN FORMA LOGARTMICA. 3 = 1/8 32 = 9

ESCRIBE EN FORMA LOGARTMICA. 3 = 1/8 32 = 9 Log 1/8 = 3 Log 3 9 = 2

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL log264 = 6 log 61296 = 4

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL log264 = 6 log 61296 = 4 26 = 6464= 1296

PrcticaCambia a forma exponencial.1. log327=32. log366 = log3 (1/9) = -2Cambia a forma logartmica.1. 64 = 432. 2 = 3.

PrcticaCambia a forma exponencial.1. log327=32. log366 = log3 (1/9) = -2

Cambia a forma logartmica.1. 64 = 432. 2 = 3. 33=27 3-2 = 1/9Log4 64 = 3 log 8 2 = 1/3Log 4 1/16 = -2

EVALA LOG 816Sea x = log 816 entonces:8x = 16(23)x = 24 23x = 243x = 4 3 33x = 4x = 4 3Por lo tanto log 816 =4/3

EVALA LOG 5125

EVALA LOG 5125Sea x = log 5125 entonces:5x = 125 5x = 53x = 3Por lo tanto log 5125 =3

PARA TODO NMERO POSITIVO ; SE ESTABLECE QUE:1. logbMN = logb M + logbNPropiedad de productos2. logbM = logb M - logbN NPropiedad de cocientes

CONTINUACIN...3. logbMk = k logb MPropiedad de potencia

Prueba que log3 27 = 3

Prueba que log3 27 = 3log3 27 = 3

log3 27 = log3 (3)(9) = log3 3 + log39

log33 = x por lo tanto 3x = 3 x = 1

log3 9 = y por lo tanto 3y = 9 3y = 32 y = 21 + 2 = 3

Escribe en forma logartmica ms simple.log b r uv

2. logb

3. logb

Escribe en forma logartmica ms simple.log b r uv

2. logb

3. logb

logb r (logb u + logb v)3/5 ( logbm logb n)1/3 logb u 5logb v

EJEMPLOS:Escribe cada expresin logartmica como un simple logartmo. log3 20 log 3 4 3log2 x + log 2 y3. log 8 2 log 2+ log 3

EJEMPLOS:Escribe cada expresin logartmica como un simple logartmo. log3 20 log 3 4

log 3 20 4log 3 5

EJEMPLOS:Escribe cada expresin logartmica como un simple logartmo.

3log2 x + log 2 y

log 2 x3y

EJEMPLOS:Escribe cada expresin logartmica como un simple logartmo. 3. log 8 2 log 2+ log 3

log (8 ) 3 22log 6

EXPANDE CADA LOGARTMO log 5 x y

log 3r4

EXPANDE CADA LOGARTMO log 5 x y

log 3r4

log 5 x log5 ylog 3 + 4log r

EJERCICIOS

Seccin 4.3 Pre-Clculo Funciones y Grficas-Barnett

Definicin: f(x) = ex x es un nmero real

Grfica:y = ex y = e-x

Aplicacin

1. Medicina -Crecimiento bacteriano El clera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del clera que se multiplica exponencialmente por la divisin de clulas modelada por la frmula presentada. Si se empieza con una bacteria , cuntas bacterias habr en a. 5 horas? b. 12 horas? Calcule sus respuestas con tres dgitos significativos.

N= nmero de bacterias presentes despus de t horas N0 = nmero de bacterias presentes cuando t = 0 t = tiempo de duplicacinN = N0e1.386t

Aplicacin

1. Medicina -Crecimiento bacteriano El clera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del clera que se multiplica exponencialmente por la divisin de clulas modelada por la frmula presentada. Si se empieza con una bacteria , cuntas bacterias habr en a. 5 horas? b. 12 horas? Calcule sus respuestas con tres dgitos significativos. N0 = 1t = 5 horas a. N = 1 e (1.386) (5) = 1,020 t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 .

RESUELVE 4 + x3/2 = 314 + x3/2 = 31 x3/2 = 31 -4 x3/2 = 27 x = 9

RESUELVE 3y4/3=768

RESUELVE 3y4/3=7683y4/3=768 y = 64y4/3=768 3y4/3=256y =2563/4

RESUELVE 73X = 20

RESUELVE 73X = 2073x = 20log 73x = log 203xlog 7 = log 20x = log 20 3log 7 Utilizando la calculadora x = 0.513

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5log (3x + 1) = 53x + 1 = 1053x + 1 = 100,0003x = 99,999x = 33,333

RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2

RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 22log x- log 3 = 2 log x2 = 2 3

x2 = 102 3

x2 = 1003x2 = 300

EJERCICIOS7.5Examples ExercisesMixed Exercises