3.bulova algebra

2. ПРЕКИНУВАЧКА АЛГЕБРА

2 Дигитална логика

Буловата алгебра ја дефинирал Џорџ Бул (George Boole) во 1854 година. Како и другите алгебарски системи Буловата алгебра се карактеризира со 4 компоненти:

1. домен на алгебра - множество елементи врз кои е дефинирана алгебрата,

2. множество операции кои се изведуваат со елементите,3. множество постулати или аксиоми и4. множество последици или теореми - закони или правила кои

се изведуваат од постулатите.

Формирањето на алгебрата не е еднозначно. Некои правила во една алгебра може да се постулати а во друга теореми.

Множеството постулати треба да е конзистентно, односно последиците од еден постулат не треба да противречат на последиците од друг. Друго барање е независноста на постулатите еден од друг. Постулатите треба да формираат минимално множество кое сепак овозможува изведување на сите теореми.

Постулатите кои се користат во овој курс се дефинирани од Хантингтон (Huntington) 50 години подоцна откако Бул ја дефинирал Буловата алгебра.

2.1 Аксиоми и теореми во Булова алгебра

Во алгебрата која ја дефинирал Хантингтон има 5 постулати:

1. Затвореност (Closure)

Постои домен B кој има најмалку два различни елементи и две операции (+) и (*) така да важи:а) Ако x и y се елементи од B тогаш следи дека и x+y е елемент од B. Операцијата + е логичко собирање.б) Ако x и y се елементи од B тогаш следи дека и x*y е елемент од B. Операцијата * е логичко множење.

2. Прекинувачка алгебра 3

2.Неутрални елементи (Identity elements)

Нека x е елемент од B: а) Постои елемент 0 во B кој се нарекува неутрален елемент во однос на + со особина x+0=xб) Постои елемент 1 во B кој се нарекува неутрален елемент во однос на * со особина x*1=x.

3.Комутативен закон (Commutative law)

а) Комутативен закон во однос на собирање може да се дефинира како x+y=y+x.б) Комутативен закон во однос на множење може да се дефинира како x*y=y*x.

4.Дистрибутивен закон (Distributive law)

а) Дистрибутивен закон на множење во однос на собирање гласи x*(y+z)=(x*y)+(x*z)б) Дистрибутивен закон на собирање во однос на множење е од обликx+(y*z)=(x+y)*(x+z)

5.Комплемент (Complement)

Ако x е елемент на B тогаш постои елемент , комплемент на x, кој ги задоволува особините

а)

б)

Некои закони на Буловата алгебра не важат за обичната алгебра. На пример, дистрибутивен закон за собирање во однос на множење дефиниран со 4б и постулатот 5 за комплемент не важат за обичната алгебра. Во Булова алгебра не постојат операции одземање и делење.

Множеството елементи во Булова алгебра се нарекува негов домен и се обележува со B. m-арна операција во B е правило кое доделува уникатен елемент од B на секое подредено множество од m елементи. Така, бинарна операција вклучува подреден пар елементи, а унарна операција само еден елемент. Во Булова алгебра има 2 бинарни операции (логичко собирање и множење) и една унарна операција (комплемент).


Кај Хантингтоновите постулати се забележува симетрија: постулатите доаѓаат во пар. Еден постулат од секој пар може да се добие од другиот со изведување на:

замена на бинарните оператори и замена на 0 со 1 и обратно на 1 со 0.

Оваа особина на Буловата алгебра е позната како принцип на дуалност.

Дефинирани се 8 теореми кои следат од Хантингтоновите постулати и од принципот на дуалност. Доказите се изведуваат по пат на контрадикција, математичка индукција или со табела на вистинитост.

Теорема 1: Закон на нула (Null law)а) б)

Секој од овие закони следи од другиот со принципот на дуалност, па затоа е доволно да се докаже само едниот закон.

Доказ на 1б:

постулат 2а

постулат 5б


постулат 2а постулат 5б

Доказот на 1а следи од принципот на дуалност.

Теорема 2: Инволуција (Involution)

Комплементот од комплемент на елементот е самиот тој елемент.

Доказ:Нека x= . По постулат 5 комплементот на а треба да ги исполнува особинитеx+a=1x*a=0Овие тврдења се исполнети само ако . Оттаму .

Теорема 3: Идемпотентност (Idempotency)


a) б)

Доказ на 3а:



постулат 4б постулат 5б постулат 2а

Теорема 4: Апсорпција (Absorption)

а)

б)



постулат 4а постулат 3а и теорема 1а постулат 2б

Теорема 5: Поедноставување (Simplification)

a)

b)

Доказ на 5б:


постулат 5б постулат 2а

Теорема 6: Асоцијативен закон (Associative law)

a)

б)

Доказ на 6а:Се формира логички производ од двете страни на 6а и се добива

Се применува дистрибутивен закон и тоа во првиот случај се зема првиот множител за почетен и се добива


а во вториот случај се зема вториот множител за почетен и се добива

Резултатот е во првиот случај и во вториот случај. Од транзитивноста, ако 2 елемента се секој од нив еднакви на трет елемент, тие мора да се еднакви еден на друг. Бидејќи резултатот е ист било како да се групирани заградите, заградите може да се отстранат.

Теорема 7: Консензус (Consensus)

a)

b)




постулат 3б и теорема 6а

теорема 4а

Теорема 8: Де Морганов закон (De Morgan’s law)

a)

б)

Доказ на теорема 8а:

Треба да се докаже дека ги задоволува двата услови во постулатот 5 бидејќи е комплемент на .

услов 1: постулат 3а и теорема 6а

теорема 5а

теорема 6атеорема 1а


услов 2: постулат 3б и 4а

постулат 5б и 3бпостулат 5б и теорема 1б

Во досегашната дискусија не се поставени граници за бројот на елементите во Буловата алгебра. Од постулатите на Хантингтон познато е дека во секоја Булова алгебра има најмалку 2 елементи. Во овој курс се работи само со двоелементната Булова алгебра. Бројот на елементи ви било која Булова алгебра е степен од 2, односно 2n каде n≥1.

Во 1937 година Клод Шенон (Claude Shannon) опишал двоелементна Булова алгебра реализирана со коло од прекинувачи. Прекинувач е направа која може да се најде во една од две стабилни состојби: исклучено и вклучено. Овие позиции може да се означат со 0 и 1. Од овие причини двоелементната Булова алгебра се нарекува прекинувачка алгебра. Елементите 0 и 1 се нарекуваат прекинувачки константи, а променливите прекинувачки променливи. Имињата логичко множење и собирање во прекинувачката алгебра доаѓаат од изоморфноста на двовредносната Булова алгебра со исказната логика.

Дефиниција 2.1: Два алгебарски системи се вели дека се изоморфни ако може да се направат идентични со менување на имињата на елементите и имињата на симболите кои се користат да се означат операциите.

Исказната логика се занимава со искази: дали се точни или грешни, како едноставните искази може да се комбинираат во покомплексни и како со дедукција може да се изведе вистинитоста на сложените од простите искази. Заради изоморфноста на двовредносната Булова алгебра и исказната логика било кои операции и техники од логиката може да се применат на Буловата алгебра.На пример, елементите 1 и 0 од Буловата алгебра одговараат на вистина (Т) и лага (F) од исказна логика.Ако p е исказ, не-p е нејзина негација. Операцијата негација е изоморфна со комплемент во Булова алгебра.


2.2 Прекинувачки операции

Со постулатите на Хантингтон се воведени една унарна операција и две бинарни операции. За овие операции вообичаено е да се користат термини од исказна логика И, ИЛИ и НЕ.

И (AND) операција

Ако x=1 тогаш од постулатот 2б (x*1=x), x*y=x, но ако x=0 од теорема 1 (x*0=0), x*y=0 независно од y. Овие резултати табеларно се искажуваат на следниот начин

x Y x*y0 0 00 1 01 0 01 1 1

Табелата се вика вистинитосна табела. Терминот вистинитосна табела е позајмен од пропозициона логика. Ако x и y се 1 тогаш x*y=1.

ИЛИ (OR) операција

Пропозиција составена од две пропозиции поврзани со ИЛИ операција е точна ако едната или другата или и двете пропозиции се точни. Оваа операција е изоморфна со логичко собирање во Булова алгебра.

x Y x+y0 0 00 1 11 0 11 1 1

Од Хантингтоновиот постулат 2а ако y=0 тогаш x+y=x односно x+y ќе ја имаат вредноста на x. Но ако y=1 од теорема 1а, x+y=x+1=1.

НЕ (NOT) операција

Операцијата комплемент од Булова алгебра е изоморфна со негација. Изоморфизмот на прекинувачката алгебра со пропозиционата логика


воведува нова алатка, вистинитосна табела, која може да се користи за докажување теореми.

Пример 2.1: Да се докаже со вистинитосна табела првиот Де

Морганов закон .x y x+y

0 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 01 0 0 1 1 0 01 1 0 0 1 0 0

2.3 Прекинувачки изрази

Дефиниција 2.2: Прекинувачки израз е релација меѓу прекинувачки променливи и прекинувачки константи 0 и 1 поврзани со И, ИЛИ и НЕ операции.

На пример, изразот е прекинувачки израз.

Дефиниција 2.3: Литерали се променливи или комплементи на променливи.

Еден израз може да се претстави во повеќе форми. Изразите треба да се доведат до форма со која нивната хардверска реализација е најповолна. Со примена на законите од прекинувачка алгебра изразот Е може да се претстави во следните форми:

дистрибутивен,Де Морганов

теорема 3а, постулат 4а и 5б

постулат 4а и теорема 4а

теорема 5аДефиниција 2.4: Се вели дека изразот е редундантен ако содржи:

повторувачки литерали (x*x или x+x)

променлива и нејзин комплемент ( или ) експлицитно прикажани прекинувачки константи (0 или 1).


Редундантните елементи не треба да се имплементираат хардверски туку да се отстранат од изразите.

Забелешка: Во понатамошниот текст симболот за операцијата логичко множење * е испуштен, секаде каде е можно.

2.4 Минтерм, макстерм и канонични форми

Дефиниција 2.5: Израз со n променливи секогаш може да се конвертира во 2 уникатни форми:

сума од производи (дисјунктивна нормална форма) производ од суми (конјунктивна нормална форма).

Во формата сума од производи максималниот број на литерали во нередундантен производ е n. Во формата производ од суми максималниот број на литерали во нередундантната сума е n.

Дефиниција 2.6: Изразот со n променливи е во канонична форма ако секој производ во сума од производи формата или секоја сума во производ од суми ги содржи сите n променливи.

На пример: Изразот Е1 е во канонична форма и претставува производ од суми:

.

Со конверзија се добива:

Е4 е во форма сума од производи, но не е во канонична форма. Неканонична сума од производи секогаш може да се конвертира во канонична форма ако постои причина. Термот во изразот Е4 може

да се помножи со чија вредност е 1 и не ја менува логичката

вредност на изразот. Се множи со бидејќи z недостасува во термот. Слично се прошируваат и другите терми, при што се добива:


Дефиниција 2.7: Во изразот сума од производи каноничен нередундантен производ од литерали се вика минтерм.

Секој терм во Е6 е минтерм, а целиот израз е сума од минтерми.Пример 2.2: Да се конвертира изразот во каноничен производ од суми.

Користејќи го дистрибутивниот закон се добива

Со овие трансформации изразот е конвертиран во форма производ од суми, но не е во канонична форма бидејќи во сумите недостасува по една променлива. Таа се воведува на следниот начин:

Се добива

Дефиниција 2.8: Во изразот производ од суми канонична нередундантна сума од литерали се вика макстерм.Секој терм во изразот Е претставува макстерм, а изразот е производ од макстерми.

2.5 Генерализација на Де Моргановите закони

Де Моргановите закони се а)


б)

За 3 променливи се добиваат изразите:а)

б)

Изразите со 3 променливи се добиваат од изразите со 2 променливи.

Ако го замениме со се добива а .

Доказот под б) следува од дуалноста на а) и б).

Во општ случај важи:

а)

б) .

Од генерализацијата на Де Моргановите закони следува општ резултат кој овозможува добивање на комплемент на израз.

Дефиниција 2.9: Комплемент на израз се добива ако операциите собирање и множење си ги заменат местата и секоја променлива се замени со нејзин комплемент:

Пример 2.3: Да се најде комплемент на изразот .

Комплемент на изразот се добива со примена на формулата од дефиниција 2.9:

Со средување на претходниот израз се добива:

Пример 2.4: Со комплементирање на да се добие Е


2.6 Прекинувачки функции

Дефиниција 2.10: Прекинувачка функција претставува еднозначно доделување на 0 и 1 за сите можни комбинации на вредностите за променливите од кои зависи функцијата.

За функција од n променливи има 2n можни комбинации на вредности. За секоја комбинација на вредности, функцијата може да земе една од двете вредности. Така, бројот на различни доделувања на

двете вредности на 2n комбинации е 2 на степен 2n, односно .

Дефиниција 2.11: Бројот на прекинувачки функции од n променливи

е .

Според тоа, постојат 16 прекинувачки функции од 2 променливи и 256 функции од 3 променливи, итн. Во табела 2.1 се дадени 16-те функции од 2 променливи.

Табела 2.1: Прекинувачки функции од 2 променливи

x y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Секоја функција има свое име како што е претставено во табела 2.2.

Разлика меѓу прекинувачка функција и израз е што една функција може да биде претставена со повеќе различни изрази, но функцијата е уникатна.


Табела 2.2: Имиња на прекинувачките функции од 2 променливи

функција име коментарнула (null) бинарна константа 0И (AND) операција И

x but not y инхибиција

x трансферy but not x инхибиција

y трансферисклучиво ИЛИ (XOR) исклучиво ИЛИ

ИЛИ (OR) операција ИЛИНИЛИ (NOR) негација на ИЛИ

Equil еквиваленција

NOT y комплемент

if y then x (y->x) импликација

NOT x комплемент

if x then y (x->y) импликација

НИ (NAND) негација на И

единица (one) бинарна константа 1

Вредностите на изразите кои претставуваат иста функција во табелата на вистинитост се идентични. На пример, во табела 2.3 се дадени изразите за функцијата која ја претставува теорема 5а, односно теоремата поедноставување.

Функцијата е дефинирана со нејзините вредности на вистинитост за сите комбинации на вредности на променливите, односно со табела на вистинитост.

Изразот се наоѓа во форма канонична сума од производи или СДНФ (совршена дисјунктивна нормална форма). Секој терм во изразот е минтерм.

Табела 2.3: Изрази кои ја претставуваат теоремата поедноставување

x Y

0 0 1 1 1 1 1 1


0 1 1 0 0 0 0 01 0 0 1 0 1 1 11 1 0 0 0 1 1 1

Изразот се наоѓа во форма каноничен производ од суми или СКНФ (совршена конјунктивна нормална форма). Секој терм во изразот е макстерм.

Со n променливи може да се формираат 2n различни минтерми. Постапката за генерирање на минтермите е следната: на бинарните кодови на броевите од 0 до 2n-1 се придружуваат терми – производи од литерали, така да 1 се заменува со променливата, а 0 со комплемент на променливата од соодветната позиција.

Исто така, со n променливи може да се формираат 2n макстерми. Постапката за генерирање на макстермите е следната: на бинарните кодови на броевите од 0 до 2n-1 се придружуваат суми од литерали, така да 1 се заменува со комплемент на променливата, а 0 со самата променлива на соодветната позиција.

Во табела 2.4 се прикажани макстерми и минтерми за функции од 3 променливи.

Според Де Моргановиот закон комплемент од минтермот во првиот ред е , односно макстермот во првиот ред. Табела 2.4: Макстерми и минтерми за функции од 3 променливи

децимален код

x y z F минтерми макстерми

0 0 0 0 01 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1


За да се добие канонична форма производ од суми (СКНФ) ако е дадена каноничната форма сума од производи (СДНФ):

се применува Де Морганов закон на комплементот на секој минтерм кој не е присутен во сума од производи и

се формира производ од добиените макстерми.

За да се добие канонична форма сума од производи (СДНФ) ако е дадена формата производ од суми (СКНФ):

се применува Де Морганов закон на комплементот на секој макстерм кој не е присутен во производ од суми и

се формира сума од добиените минтерми.

СДНФ или канонична сума од производи се добива од минтермите за кои функцијата F има вредност 1.

Пример 2.5: Ако функцијата е зададена со минтермите за кои има вредност единица, односно со F=Σ(2,3,4,5,7) нејзината СДНФ е

.

СКНФ или каноничен производ од суми се добива од макстермите за кои F има вредност 0.

Пример 2.6: Ако функцијата е зададена со макстермите за кои F има вредност 0, односно со F=Π(0,1,6) нејзината СКНФ е

.

Пример 2.7: Ако е дадена формата производ од суми (СКНФ) за функцијата F да се најде соодветната форма сума од производи (СДНФ): .

Се применува Де Морганов закон на комплементот на секој макстерм кој не е присутен во СКНФ и потоа се формира сума од добиените минтерми:

Со овој начин на конвертирање од СДНФ во СКНФ и обратно се избегнува користење на аксиомите и теоремите од прекинувачка алгебра.


2.10 Задачи

1. Со примена на аксиомите и теоремите на Булова алгебра да се поедностават изразите

а) .

б)

в)

2. Да се најде комплемент на изразот

.

3. Со примена на аксиомите и теоремите на Булова алгебра да се докаже дека важи

а)

б)

в) .

4. Да се провери дали е важи

.

5. Функцијата е зададена со . Да се најдат СДНФ и СКНФ за функцијата.

6. Да се најдат СДНФ и СКНФ за функцијата

.

7. Да се одреди СДНФ (форма канонична сума од производи) за Буловата функција од 3 променливи која добива вредност 1 кога барем два аргументи се еднакви на 0.

8. Да се одреди СДНФ (форма каноничен производ од суми) за Буловата функција од 4 променливи која добива вредност 1 ако парен број на аргументи е еднаков на 1.

9. Изразот да се претстави какоа) сума од производиб) канонична сума од производи


в) производ од сумиг) каноничен производ од суми.

3.bulova algebra

Documents