Slide 1

BULOVA ALGEBRA Logike osnove raunaraMatematiari kau da je 1+1=2, a informatiari da je 1+1=1Informatika se zasniva na Bulovoj algebri - teorijska osnova raunaraOsnova Bulove algebre: Zakoni logikog miljenja zasnivaju se na tvrenjima koja mogu biti samo: tana i netana. Algebra koja analizira ovakva tvrenja, saima matematiku logiku i teoriju skupova i daje teorijsku osnovu savremenih raunarskih nauka naziva se Bulova algebra.Slui za dizajniranje elektronskih kola, dijelova raunara.2

Tvorac ove algebre je Dord Bul (1815 - 1864) engleski matematiar i filozof.Bulova ideja je bila da logiku same je u prostu algebru, pretvarajui je u matematiku. Na taj nain stvorene su nove matematike discipline: matematika logika ili simbolina logika i algebra logike koja je nazvana Bulova algebra.1937. godine naunici Nakaima i godinu dana kasnije enon su iskoristili Bulovu aglebru za analizu mrea sa relejima. Telefonija je tih godina bila u brzom razvoju, pa je bilo potrebno koristiti neki matematiki aparat kojim bi se opisivale eljene komunikacije i nain ostvarivanja veza. Od ovog trenutka Bulova algebra doivljava svoju ekspanziju.

3Osnovni element logike algebre - logika izjava.Zbog jednostavnosti moe se oznaiti jednim slovom (npr. P)Za svaku od izjava se moe jednoznano tvrditi da je istinita ili lana.P Danas je vedar dan Sarajevo je u BiH 1+1=3. Sanda, 2012.4Istinita izjava:istina ili engl. true, a zbog jednostavnosti T ili 1

Lana izjava:la ili engl. false, a zbog jednostavnosti F ili 0

5Logike operacijeS logikim se izjavama mogu izvoditi razne logike operacije. Logike se operacije zapisuju pomou logikih operatora.Logika algebra - matematiki opisuje odnose izmeu izjava.

6Osnovne logike operacije IILI NELogika operacija NE (engl. NOT)Naziva se i negacija.Zadatak - promjena vrijednosti logike izjave iz istine u la i obrnuto.Predoit emo je simbolom:

7P PDanas je subota.Danas nije subota. 4 je razliito od 4.4 nije razliito od 4.Logika operacija NE (engl. NOT)Logika operacija se moe prikazati i pomou tablice stanja ili tablice istinitosti.8P P0110Logiki operator I (engl. AND)

Naziva se i konjunkcija.Zadatak - vratiti istinu samo ako su obje logike izjave ukljuene u operaciju istinite.Predoit emo je simbolom .

9P QPQDanas je subota.Danas je petak.la 4 je razliito od 4.4 je vee od 0.istinaLogiki operator I (engl. AND)

Tablica stanja ili tablica istinitosti:10P QPQ000010100111Logiki operator ILI (engl. OR)Naziva se i disjunkcija.Zadatak - vratiti istinu ako je bar jedna od logikih izjava ukljuenih u operaciju istinita.Predoit emo je simbolom +.

11P QP+QSarajevo je u Austriji.Sarajevo je u BiH.la 4 je jednako 4.4 je manje od 0.istinaLogiki operator ILI (engl. OR)Tablica stanja ili tablica istinitosti:

12P QP+Q000011101111Sloene logike operacijeOsnovne logike operacije se mogu kombinirati u sloene.Broj operanada i logikih operatora moe biti proizvoljan.Bez obzira na sloenost logike operacije konani rezultat je istina ili la (T ili F, 0 ili 1). 13logike operacije - prioritetiPri kombinaciji osnovnih logikih operacija u sloene, treba imati na umu prioritete. Prioriteti od viih ka niima:NE, I, ILI. Za promijene prioriteta koriste se zagrade.14Raunar je graen od elektronikih sklopova koji razlikuju samo dva stabilna stanja.logika nula jedan nivo napona (npr. 0 V). logika jedinica drugi nivo napona (npr. 5 V).

Raunari koriste binarni brojni sistem koji ima dvije cifre 0 i 1.Ova stanja mogu biti otvoren-zatvoren, ukljuen-iskljuen i slino. Jedna binarna cifra 0 ili 1 predstavlja minimalnu koliinu informacija, odnosno najmanji podatak koji se moe obraditi u raunaru i zove se bit (bit). Bit moe da reprezentuje istinu (true) i neistinu (false). U veini raunara koristi se grupa od osam bita koja se naziva bajt (byte).Sloeno sklopovlje graeno od jednostavnih osnovnih elemenata koji se zovu logiki sklopovi Osnovni logiki sklopovi oponaaju osnovne operacije Boolove algebre (operacije, operandi, pravila logikih odnosa).Svaki logiki sklop ima:jedan ili vie ulaza i samo jedan izlaz.

16Prekidake eme i digitalna logika kola su tako projektovana da primjenjuju principe binarne aritmetike i matematike logike. Digitalna elektrina logika kola su specijalizovane eme sastavljene od tano definisanih elektrinih komponenti.Iskazne formule u kojima se pojavljuju samo operacije , imaju jednu zanimljivu interpretaciju koja se koristi u tehnici, u projektovanju digitalnih kola i naziva prekidaka algebra. Iskazna slova se tretiraju kao otvoreni prekidai, a njihova negacija kao zatvoreni prekidai. Ako iskazno slovo ima vrednost p=1, smatra se da je prekida zatvoren, tj. da provodi struju, a za p=0, je otvoren, tj. da ne provodi struju.Formula se tretira kao ema sa dva kraja sastavljena od prekidaa koji su povezani paralelno ili serijski.

I sklop (engl. AND)Sklop s dva ili vie ulaza i jednim izlazom.Oponaa logiku operaciju konjunkcije (I). 18P QPQ000010100111Y = A B

Prekidaka kolo-ema koje sadri prekida i sijalicu. Vrijednost 1 dodeljujemo prekidaima kada su zatvoreni, tj. ako kroz njih protie struja. U suprotnom dodeljujemo im vrednost 0. Kada su prekidai redno vezani, sijalica e svijetliti i kolo e imati vrijednost 1 samo ako su oba prekidaa p i q zatvorena. Prema tome, ovo kolo e odgovarati iskazu p i q, odnosno i zove se AND i kolo.

Digitalno logiko kolo

primjer19Ne sklop (engl. NOT)Logiki sklop s jednim ulazom i jednim izlazom, naziva se i invertor (obre stanje ulaza).Oponaa logiku operaciju negacije. 20AY0110Y = A

primjerKolo sa jednim prekidaem , u kome sijalica svijetli samo ako je prekida otvoren. Prema tome kolo e imati vrijednost 1 ako je prekida zatvoren, odnosno ako je p jedako 0. Takvo kolo se zove ne kolo ili invertor.

21ILI sklop (engl. or)Sklop s dva ili vie ulaza i jednim izlazom.Oponaa logiku operaciju disjunkcije (ILI). 22P QP+Q000011101111Y = A + B

primjerPrekidako kolo u kome su prekidai vezani paralelno. Kada su prekidai paralelno vezani sijalica e svjetliti ako je bar jedan od prekidaa zatvoren. (kolo e imati vrijednost 1)Prema tome, ovo kolo e odgovarati iskazu p ili q, odnosno i zove se OR - ili kolo

Izvedeni sklopoviKombinacijom osnovnih logikih sklopova mogu se izvesti svi ostali. esto se u skupinu osnovnih logikih sklopova svrstavaju i izvedeni sklopovi:NI NILI.

24NI sklop (engl. NAND)Kombinacija I i NE sklopova:25P QPQ001011101110Y = A B

25NILI sklop (engl. Nor)Kombinacija ILI i NE sklopova:26P QP+Q001010100110Y = A + B

26Ekskluzivno ILI - XILI (engl. XOR)Ekskluzivno ili XOR operator ima vrijednost bita 1 onda i samo onda ako jedna od varijabli ima vrijednost bita 1

P QXOR00001110111027Sloeni logiki sklopoviSloeni logiki sklopovi sadre stotine, hiljade, a u savremenim raunalima i milione osnovnih logikih sklopova. Bez obzira na sloenost logikog sklopa, uvijek je mogue napisati pripadajui logiki izraz i sastaviti tablicu stanja.

28Primjer Napisati tablicu stanja i logiki izraz za logiki sklop:

29

Primjer (meustanja)Prvo - oznaiti meustanja koja predstavljaju rezultat rada osnovnih sklopova (krenuti od ulaznih vrijednosti, s lijeva na desno).30

Primjer (tablica stanja)U tablici stanja treba predvidjeti:stupce koji predstavljaju ulazne operande,stupce koji predstavljaju vrijednosti prethodno uvedenih meustanja,stupac krajnjeg rezultata.

31ABCY1=A+BY2=Y1Y=Y2+CPrimjer Postupak treba ponavljati sve dok lanovi logikog izraza ne budu osnovni ulazni operandi.32Y = ( Y1 ) + CY = ( A + B ) + CY = Y2 + C

Treba krenuti s desna na lijevo, od krajnjeg izlaza i logikih vrata kojima taj izlaz pripada.

Primjer (tablica stanja)33ABCY1=A+BY2=Y1Y=Y2+C000011001011010100011101100100101101110100111101

UPROAVANJE PREKIDAKIH EMA I LOGIKIH KOLA

Minimizacija prekidakih funkcija je jedan od najvanijih praktinih zadataka. Inae metode minimizacije su raznovrsne. Najea je podela na grafike i algoritamske. Jedan od esto korienih naina u inenjerskoj praksi su Karnoove mape.

Najvanija primena Bulove algebre je da pojednostavi konstrukciju prekidakih i logikih kola.

34Predstavljanje karakteraZa predstavljanje nizova ( string) ili znakova ( charcter data), zatim slova, znakova interpunkcije, matematikih znakova, specijalnih znakova koriste se ASCII i UNICODE kod. Po ovo kodu svakom znaku se dodjeljuje odreeni binarni broj.Na primjer 1111001 predstavlja slovo b. Binarni brojevi su osnova za funkcionisanje raunara.Digitalna kola kombinuju nule i jedinice, i generiu nove nule i jedinice.Mainske instrukcije su takoe prikazane kao nizovi nula i jedinica. Svi programi napisani u asembleru ili nekom viem jeziku da bi mogli da rade moraju da budu prevedeni u nizove nula i jedinica. 35ASCII tabela

36p

q

p

q

p i q

1

ne p

p

pq1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

u2

u3

u4

u5

un

x3

x4

x5

xn

u1

x2

x1

* / *

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

p ili q

p

q