２章 開水路における急変流 不等流(1)

２－１急変流とは

①断面形状や底面形状が急激に変わる流れ

②急変部は一般に短いので摩擦を無視できる

③流れが連続的に変化する場合はベルヌイの式、不連続部を伴って

変化する場合は運動量の式を用いる

２－２不等流における連続式

21( ) ( ) '( ) ''( )2!

( ) '( )

Taylor

f x x f x f x x f x x

f x f x x

+ ∆ = + ∆ + ∆ +

≈ + ∆

予備知識　 展開

x x x+ ∆

x∆

x

( )f x

( )f x

dd

f xx∆

xδ

A

AA xxδ∂

+∂ x

V

VV xxδ∂

+∂

( )2

A VQ AV A x V xx x

V A A VAV A x V x xx x x x

δ δ

δ δ δ

∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂

高次の微小項

0V AA x V xx xδ δ∂ ∂

∴ + =∂ ∂

0V AA Vx x

∂ ∂∴ + =

∂ ∂

( ) 0AVx∂

∴ =∂

ConstantAV Q= =

２－３不等流対するベルヌイ式の適用と比エネルギーText 3.5 (上) P83-91

D Lz zz x

x∂

+ ∆∂

hh xx∂

+ ∆∂

h

2

2vg

21 ( )2

vv xg x

∂+ ∆∂

x∆

2断面間にベルヌイ式を立てる

22 12 2v z h vz h z x h x v xg x x g x

∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = + ∆ + + ∆ + + ∆⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2 22 vv v x xx∂

+ ∆ + ∆∂

高次微小項

2 2 vv v xx∂

≈ + ∆∂

0z h v vx x xx x g x∂ ∂ ∂

∆ + ∆ + ∆ =∂ ∂ ∂

212

v v vg x g x∂ ∂

=∂ ∂

2

02vz h

x g⎛ ⎞∂

+ + =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2

2Constantvz h

g+ + =

開水路の不等流を解くための基礎式の１つ

2

2Constantvz h

g+ + =

D L

位置水頭

水深水頭 速度水頭

＝総水頭

2

2Constantvz h

g+ + =

開水路のベルヌイの式を直接扱う前に、水深と速度水頭の持つ性質について詳しく調べる。このため水路底面を基準にとったより簡単な式を考える。

2

2vE hg

= +

• これを比エネルギー(Specific Energy)と呼ぶ。• これは、水深（圧力）水頭と速度水頭の和であり、相互の依存関係を

表す。E が一定ならば h が増えれば v が減る。逆も言える。• 一方、E = H – zなので河床が上がると比エネルギーは減少する。

２－５比エネルギーと水深

広長方形断面水路を考える

2

:2

v Q qE h v qg Bh h

= + = =　に （ 単位幅流量）を代入する。

2 2 2

2 2

12 2 2v q qE h h hg g h gh

= + = + = +

• qが一定のもとで h による E の変化、E による h の変化を調べる。•極値を調べる。

2 2

331 0 c

E q qhh gh g

∂= − = =

∂　→

限界水深

において極値を持つ。このときの Eは、

23

2 2

1 1 1 32 2 2c c c c c

c c

qE h h h hg h h

= + = + = 32c cE h∴ =

E

h

2

22qE hgh

= +

E h=32

E h=

32c cE h=

ch

ある qに対して別の qに対して

別の qに対して

は の最小値が 、すなわち において現れることを示す。

2

3

22 2 2 2

3 3

1 0

1 1 1 0 1

E q q hvh gh

q h v v vgh gh gh gh

∂= − = =

∂

⎛ ⎞− = − = − = → =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

　 において　　 を代入すると、

v gh= は長波の伝播速度である。

vFrgh

= とおいて、これをフルード数(Froude Number)と呼ぶ。

Fr 1Fr =E cv gh=

E

h

2

22qE hgh

= +

E h= 32

E h=

32c cE h=

ch

ある qに対して

qが一定で、Eが同じでも2つの水深が生じ得る。

① について見ると、この状態の流速はch h>

1

c cc c

c c

h vq qv v gh ghh h h

vFrgh

= < = = = <

∴ = < この状態の流れを常流(Sub Critical Flow)と言い、この時の水深を常流水深という。

②次に について見ると、この状態の流速はch h<

1

c cc c

c c

h vq qv v gh ghh h h

vFrgh

= > = = = >

∴ = > この状態の流れを射流(Super Critical Flow)と言い、この時の水深を射流水深という。

限界水深 は流量 が一定のとき比エネルギー を最小にする

水深である。

まとめ

ch q E

2

332

c c cqh E hg

= =　において最小値 となる。

同一の流量 q のもとで、同一の比エネルギーを与える水深が２つ存在する。

1 ch hh Fr> <常流水深なる水深 を 、このとき となる。

1 ch hh Fr< >射流水深なる水深 を 、このとき となる。

両者を対応水深（交代水深）という。

問題

幅10mの長方形断面水路にQ=18m3/sの水が流れている。水深が1.2mのとき、

(1)比エネルギーを求めよ。

(2)限界水深を求めよ。

(3)限界水深の時の比エネルギーを求めよ。

(4)この流れは常流か射流か。

2 218 1.51.5 1.2 1.31510 1.2 2 2 9.8

(m/s) (m)Q vv E hbh g

= = = = + = + =× ×

2 233

1.8 0.699.8

(m)cqhg

= = =

3 1.0372

(m)c cE h= =

ch h> よって常流

２－６ 比エネルギーと流量

比エネルギーEが一定のときのqとhの関係を調べる。

2 22 2

2 2 ( )2 2

v qE h h q g E h hg gh

= + = + = −　を変形して、　

, 0 0 h E h q= = =　 で

●極値は、

222 ( 1) 2 ( )2

2 (2 3 ) 0

q g h g E h hh

g E h h

∂= − + −

∂= − =すなわち、 2

3ch E=

h

q

E 23

E

cq

h

q

23ch E=

E

cq

あるqについて２つの水深が生じ、常流水深、射流水深が発生し得る。

常流水深

射流水深

qが最大となるのはの時で、この時のqは

ch h=

2 22 ( )q g E h h= −

より

2 22 3

3

2 2 2 22 ( )3 3 3 3c c

c c

q g E E E g E E gh

q gh

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∴ =

3c cq g h=

まとめ

限界水深 は、比エネルギー Eが一定のとき、流量 q を最大にする水深である。

ch

22 23 3c ch E q g E⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠　において流量の最大値　

問題1.2(m) E =

ダムの越流部から測って E=1.2mの水位を保つ貯水池がある。

①越流する流量は単位幅あたりいくらか？

②このとき、頂部で Fr =1となることを確かめよ。

越流部において限界水深が現れ、

3 3 2

2 2 1.2 0.8(3 3

9.8 0.8 2.24( /

m)

m s)

c

c

h E

q qh

= = × =

= = × =よって、　

3

31cc

c c c c

ghv qFrgh h gh gh

= = = =

23ch E=

２－７ 急変流の水面形方程式 Text 3.5 (上) p83-917.1 (下) p1-7

ベルヌイの式に戻って

2

02

d Vz hdx g

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

E

( ) 0d z Edx

+ =

2

2dE dz dE d Vhdx dx dx dx g

⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠　　ここで、 　

Q AV BhV qq hV VB B B h

= = = = =長方形断面を考え より

2 2 2

2 2 32 2dE d q dh d q dh q dhhdx dx gh dx dh gh dx gh dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + 　= 1-

( )2 2

23 1dE q dh V dh dh dzFr

dx gh dx gh dx dx dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1- 1-

2

11

dh dzdx Fr dx

=−

したがって、　　

急変流の水面形方程式

等流水深が常流

I II III

(1) 常流の場合 ( Fr < 1 )

x

断面 Iにおいて 0dzdx

>

2

11

dh dzdx Fr dx

=−

ch h>

0dhdx

<

断面 IIにおいて 0dzdx

= 0dhdx

=

断面 IIIにおいて 0dzdx

< 0dhdx

>

ch

等流水深が射流

I II III

(2) 上流も下流も射流の場合 ( Fr > 1 )

x

断面 Iにおいて 0dzdx

>

2

11

dh dzdx Fr dx

=−

ch h<

0dhdx

>

断面 IIにおいて 0dzdx

= 0dhdx

=

断面 IIIにおいて 0dzdx

< 0dhdx

<

ch

上流が常流

I II III

(1) 上流が常流( Fr < 1 )、下流が射流の ( Fr > 1 )の場合

x

断面 Iにおいて 0dzdx

>

2

11

dh dzdx Fr dx

=−

ch h>

0dhdx

<

断面 IIIにおいて 0dzdx

< 0dhdx

<

ch h>下流が射流

IIにおいても

0dhdx

<

が起きる。

しかし、ここでは 0dzdx

= なので矛盾する。 0dhdx

<

になり得るのは分母 = 0 の場合のみ。すなわちIIにおいては

0dzdx

= で

ch h=即ち、限界水深となることが必然化される。

一様勾配（水平）で幅が変化する長方形断面水路の水面形

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 3 2 3 3 2 2 3

12 2

1 12

1 1 1

dE d V d Qh hdx dx g dx g B h

dh Q dB dhdx g h dx B dx

dh Q dB dh dh Q Q dBdx g h B dx B h dx dx gh B gh B dx

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( )

2 2 22

3 2 3

32

3

1 1

1 0c

dh q q dB dh q h dBFrdx gh gh B dx dx gh B dx

hdh h dB dzFrdx h B dx dx

⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − − = − = 3

2

2

1

1

chdh dBh Bdx Fr dx

=−

ゆえに、

23

cqhg

= なので

平面

x

2

32c

QhB g

=

縦断

B

常流( Fr < 1)の場合

3

2

21

chdh dBh Bdx Fr dx

=−

A B C

分母 > 0

Aで 0 0dB dhdx dx

< → <

Bで 0 0dB dhdx dx

= → =

Cで 0 0dB dhdx dx

> → >

ch h>

平面

x

2

32c

QhB g

=

縦断

B

射流( Fr > 1)の場合

3

2

21

chdh dBh Bdx Fr dx

=−

A B C

分母 < 0

Aで 0 0dB dhdx dx

< → >

Bで 0 0dB dhdx dx

= → =

Cで 0 0dB dhdx dx

> → <

ch h<

平面

x

2

32c

QhB g

=

縦断

B

上流側で常流( Fr < 1)

3

2

21

chdh dBh Bdx Fr dx

=−

A B C

Aで 0 0dB dhdx dx

< → < Cで 0 0dB dhdx dx

> → <

ch h>

下流側で射流( Fr > 1)

ch h<

Bでは 0dBdx

= なので、有限値 0dhdx

< が生ずるためには、

分母 = 0 すなわち 1, cFr h h= = となることを要す。

ch h=