伝送工学３．アナログーデジタル変換

千葉大学工学部

総合工学科電気電子工学コース

橋本研也k.hashimoto@ieee.org

http://www.te.chiba-u.jp/~ken

令和元年8月1日版

信号処理の流れ (画像,音声等)

Analog Data

Analog to Digital

Converter (ADC)

Digital to Analog

Converter (DAC)

Digital Data

Processor Analog DataDigital

DataDigitalData

Clock

nnn

w

w

dtjSCtcts

})(exp{)(

21)()(

周期関数c(t)を搬送波とした振幅変調

c(t)が周期関数(周期T、nn/T)であれば、

n

nn tjCtc )exp()( ：フーリエ級数展開

変調後は

F()

0-2 -1 +1 +2

周期関数を乗じた後のスペクトラム

元の信号 -w<<+wの領域を取り出すと

元の信号の復元

2/Tが狭すぎると

c (=2/T) <2wの時に発生

F()

0-2 -1 +1 +2

周期関数を乗じた後のスペクトラム

元の信号

スペクトラムの重なり⇒元信号再現不可能（エイリアジング）

周期関数としてインパルス列でも可！

n

nTtTtc )()(

n

nTtnTsTtcts )()()()(

必要な情報はTおきの飛び飛びのデータ列s(nT)

標本化定理（Sampling Theorem）信号に含まれている最高周波数fwの2倍以上の周波数

で信号を抽出（サンプリング）すれば，その信号列から元の信号が忠実に再現できる。

信号列に比例したインパルス列を発生させ，最高周波数fwの理想フィルタを通過させれば良い。

ei(t) LPF

0

F()

-2c -c +2c+c-w +w

アンチエイリアジングフィルタ

AD変換器の概要

AD変換器

入力信号における対域外スペクトラムの除去

eo(t)

c-wによりフィルタ性能に対する要求の緩和

)/(sinc1)(sin)exp(21)( Tt

Tttdtjth w

w

w

n

nTtnTsts )/(sinc)()(

（wT=の時）

注：t=nT (n0)ではh(t-nT)=0

n

nTthnTsTtctsLPFts )()()]()([)(

元の波形＝理想低域フィルタ通過後の波形

理想低域フィルタのインパルス応答（標本化関数）

元信号s(t)とs(nT)h(t-nT)の関係

時間, t/T

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

元信号信

号, e

(t)s(0)

s(T)s(2T) s(3T)s(4T)

s(5T)s(6T)

s(7T)s(8T)

s(9T)

mnTdtnTthmTth 1)()(

標本化関数の直交性（T=/w）

nnTsTdtts 22 )()(

パーシバールの定理の離散化版

信号のエネルギーは標本値から計算可能

単位時間当たりに変換すれば

N

NnN

T

TTnTs

Ndtts

Tts 22/

2/

22 )(12

1)(1)( limlim

N

NnNRMS nTs

Ntss 22 )(

121)( lim

信号の実効値(Root-Mean-Square: RMS)

標本化定理より

理想的には、周波数帯域fwの2倍の速度で標本化された情報（パルス）により、元のデータを忠実に再現できる。

理想的には、周波数帯域fwの2倍のデータ転送レートにて、標本化された情報（パルス）が転送できる。

x(t)

t

パルス振幅変調(Pulse Amplitude Modulation: PAM)

x(t)

t

パルス幅変調(Pulse Width Modulation: PWM)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

信号

振幅

時間

標本化と保持(Sampling & Hold)後の波形

標本化周期（この時間の間に量子化（数値化）） アナログ/デジタル変換

比較器（コンパレータ）

-

+eout

ein

Vs:飽和出力(≒電源電圧)

eout

ein

+Vs

-Vs

Vc

Vc

eout3ein

eout2

eout1

並列型AD変換器(2 bit)

R

+-

+-

+-

R

R

Reref

1

2

3

4

0

時間、t/T1 2 3 4 5

量子化雑音

アナログ信号を数値で表したことによる誤差

2/

2/

22 )()( dxxpxteeRMS

数値間のステップの振幅がの時

p(x)は一様だから、p(x)=1/

322 2/

0

2

dxxeRMS

周波数依存性を持たず＝白色雑音と同様の振る舞い

wNP

6

2パワースペクトラム

逐次比較型AD変換器

+

-

e7

ein

DAC 10000000

e6e5e4e3e2e1e0

最上位ビットを1に試行

比較器出力によってビットデータを固定

次のビットを1に試行（以下順次下位ビットへ）

変換開始

変換終了制御回路

積分型AD変換器

+

-ein カウンタ

変換開始

変換終了

clk

変換出力

0

ein +Vs

t 電圧→時間

長時間計測すれば高精度

+-

Ra1 Rb

Ra2

Rc

eout

e1

e2

22

11

eRRe

RRe

a

b

a

bout

アナログ加算器

+-

R1 Rb

R2

eout

e1

e2

Rn-1

Rn

en-1

en

n

N

n n

bout e

RRe

1

nnR 2

NビットD/A変換器

とすれば

D0D1D2D3D4D5D6D7

-

+

Q0Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7

R0R1R2R3R4R5R6R7

Rb

8bit D/A変換器の構成

デジタルデータ

アナログ出力

ラッチ：次のデータが入力されるまで、前のデータを保持

抵抗の精度がDA変換の精度を決定

最大振幅＝(2N-1-0.5)

ダイナミックレンジ（最大振幅と雑音実効値の比）の上限

符号有り等間隔Nbit表現の場合、

[dB] 77.402.62332/

)5.02( 1

NNN

実際の雑音＝量子化雑音＋回路の白色雑音

N=16(15:振幅+1:符号)の時、101 dB

注：入力正弦波の実効値と雑音実効値の比で定義した場合、6.02N+1.76 [dB]

)exp()()( TjnnTsSnw

標本化された信号s(nT)のスペクトラム表示

w

w

dnTjSnTs

)exp()(

21)(

z=exp(jT)を定義し、wT=、S(z)=T-1S()とすると

c

n dzzzSj

nTs 1)(21)(

z変換表示

n

nznTszS )()(

cは積分路•単位円を反時計回りに１周(t>0)

1クロック遅延 = z-1

10

1

)exp(1}){exp()(

zT

azTaten

n

Z

t0 t=0

e(t)

0)exp(00

)(nnTan

te

インパルス関数(t) Z[(t)]

t0 t=0

(t)

0100

)(nn

nT

ステップ関数 u(t) ⇒ Z[u(t)]z

t0 t=0

u(t)

tnT0

1e(t)

0

101

00)(

Nnn

te

単一パルス

11)( 1

1

0

zzzte

NN

n

nZ

0100

)(nn

tu

z=exp(jT)であるから

)2/(sinc}2/)1(exp{ )2/sin()2/sin(}2/)1(exp{

1)exp(1)exp()(

TNTNjNTNTNTNjN

TjTjNE

11)( 1

zzte

N

Z は？

パルス中心のずれ：(N-1)T/2

単一パルスの離散化版

連続関数と離散化関数で何故違う？

-40-35-30-25-20-15-10-50

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

sinNx/NxsinNx/Nsinx

Relative frequency

Rel

ativ

e am

plitu

de in

dB

スペクトラムの折り返しの影響

?ei(t)

線形システム )()()( 22112211 xfaxfaxaxaf

：各周波数毎の応答の和

システム伝達関数（周波数特性）

eo(t)

)()()(

zEzEzH

i

o

m

io mTeTmnhnTe )(])[()(

：インパルス応答

：畳み込み積分

c

n dzzzHj

nTh 1)(21)(

微分演算

)()(1)( TteteTdt

ted

1クロック遅延 = z-1

1

0)()(

N

n

t

NTt

nTteTdtte

TzzH

11)(

11)( 1

1

0

zzTzTzH

NN

n

n

積分演算

z-1a

+ei eo

離散系信号処理（その１）

})1{()()( iio TnaenTenTe

1クロック遅延 = z-1

)(}1{)()()( i1

i1

io zEazzEazzEzE

11)( azzH

a0

z-1ei

+ + + + eo

a1 a2 a3 a4

Finite Impulse Response (FIR) フィルタ

1

0

)(N

n

nn zazH

デジタルフィルタ＝数値計算によるフィルタリング

位相直線性が可能、しかし多くの段数を必要

z-1 z-1 z-1

1

0io }){(1)(

N

nTnme

NmTe

平均値フィルタ

1

01 )1(

11)(N

n

Nn

zNzz

NzH

sin( / 2)( ) exp{ ( 1) / 2}sin( / 2)

N TH j N TN T

線形位相：群遅延が周波数に依存せず

有限インパルス応答(FIR)フィルタの一例

z-1 a

+ei eo

離散系信号処理（その２）

})1{()()( oio TnaenTenTe

)()()( o1

io zEazzEzE

111)(

az

zH

無限インパルス応答(IIR)フィルタの一例

)exp(11)(

TjaH

Infinite Impulse Response (IIR) フィルタ

1

1

1)(

N

n

nn zbzH

z-1

ei ++++ eo

-b1-b2-b3-b4

z-1z-1z-1

短い演算で急峻な周波数特性可能

ただし、線形位相実現せず

N

n

nn

N

n

nn

zb

zazH

1

0

1)(

z-1

eo

-b1-b2-b3-b4

z-1z-1z-1

a0

z-1ei

+ + + +

a1 a2 a3 a4

デジタルフィルタの一般形

z-1 z-1 z-1

インターポレーション

t0

e(t)

一例：間隙の補間

t0

e(t)

データよりも速い周期で補間

1

0

/)(N

n

MnnzazH

4/)2()( 2/12/1 zzzH

)4/(cos)( 2 TH ＝エイリアジングの緩和

見かけ上の標本化周波数の上昇

+2c+c0

F()

-2c -c -w +w-4c -3c +3c +4c

+2c+c0

F()

-2c -c -w +w-4c -3c +3c +4c

H()の周波数特性

元のスペクトラム

インターポレーション後のスペクトラム

アンチエイリアジングフィルタに対する仕様の緩和

オーバーサンプリング

信号帯域wのM倍の周波数で標本化すれば、量子化雑音はM倍の周波数範囲に拡散⇒PNはM-1に減少

信号帯域内の量子化雑音実効値が-0.5に減少

量子化雑音のパワースペクトラムw

NP6

2

ダイナミックレンジ：入力正弦波の実効値と雑音実効値の比で定義した場合、6.02N+10logM+1.76 [dB]

N: ADCのビット数

オーバーサンプリングの効果

F()

0 c c

通常のサンプリング

c c

量子化雑音

元の信号

F()

0 c c c c

オーバーサンプリング

量子化雑音

元の信号

量子化雑音の拡散

LPF

LPF

デシメーション

t0

e(t)

t0

e(t)

過剰なデータの消去（データ量の低減）

デシメーション前に十分なエイリアシング抑圧必須

デシメーションフィルタ

ノイズシェーピングによる量子化雑音低減

F()

0 c c c c

量子化雑音

元の信号 量子化雑音のスペクトラムを主に

高域に拡散

一次シグマ・デルタA/D変換器

1bitDAC

+-ei(t) eo(t)

1bit ADC

一次シグマ・デルタA/D変換器のモデル化

z-1

+-ei(t) eo(t)11

1 z

eN 量子化雑音(ADCのモデル）

１クロック遅延(DACのモデル）

一次積分器

Noi

o Ez

zEzzEzE

1

1

1)()()(

Nio EzzEzE )1()()( 1

量子化雑音の周波数特性

++

1bitDAC

+-ei(t) eo(t)

1bit ADC+-

二次シグマ・デルタA/D変換器

さらに次数を上げるとSNRの向上

ただし安定性に難

http://www.analog.com/media/jp/technical-

documentation/application-notes/AN-283_jp.pdf

二次シグマ・デルタA/D変換器のモデル化

z-1

+-ei(t) eo(t)11

1 z

eN

Nooi

o EzEzz

zEzzEz

zE

)(1

)()(1

1)( 11

1

1

Nio EzzEzE 21)1()()(

量子化雑音のみ周波数特性

++11

1 z

+-

1bitDAC

+-ei(t) eo(t)

1bit ADC

パルス幅変調(PWM)

＝パルス幅によって振幅を表現

シグマデルタAD変換器の出力波形

マイクロプロセッサで直接出力可能⇒ 1 bit Audio

PWM波から元信号の再生は？

LPFei(t) eo(t)

最大周波数までの低域通過フィルタを挿入！

世に言う1 bitオーディオ

1bitDAC

t

2Vc

雑音を含むクロック

雑音重畳によるジッタの発生

ヒステリシス無しの場合

クロック再生

Jitterヒステリシス有りの場合

高速AD変換に対するジッタの影響

クロックの揺らぎ(ジッタ)が振幅変動(誤差)を発生

http://www.analog.com/jp/digital-to-analog-converters/da-

converters/products/tutorials/CU_tutorials_MT-007/resources/fca.html

周波数が上がるほどジッタの影響大

http://www.analog.com/jp/digital-to-analog-converters/da-

converters/products/tutorials/CU_tutorials_MT-007/resources/fca.html

周波数・ジッタとAD変換精度の関係

ei(t) BPF

0

F()

-2c -c +2c+c-w +w

帯域通過型AD変換器

アンダーサンプリング

AD変換器

標本化周波数の整数倍の特定帯域の信号のみを抽出

eo(t)