4 aritmetica ok

2

Aritmética4to Secundaria

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓNSe llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras:

Razón Aritmética (r):Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia.

. a – b .a : Antecedenteb: Consecuente

Razón Geométrica (k):Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.

.

ab .

a : Antecedenteb: Consecuente

PROPORCIÓNDado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los

primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico

Proporción Aritmética o Equidiferencia

Si a – b = r y c – d = r, entonces:

. a – b = c – d . . a + b = c + d .

Clases Discreta

Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:

. a – b = c – d . . d: 4ta diferencial .

ContinuaCuando los términos medios son iguales:

. a – b = b – c . . b=a+c

2 .

.

b: media diferencial o media aritméticac: 3 era . diferencial .

Proporción Geométrica o Equicociente:

Si:

ab = k y

cd = k entonces

NOTA:. a . d = b . c .

3


.

ab= c

d .

b , c : Mediosa , d : Extremos

Clases Discreta

Cuando los términos son diferentes sí donde:

.

ab= c

d . . d: 4ta proporcional .

ContinuaCuando los términos medios son iguales

.

ab=b

c .

NOTA:

. a . c = b2 . . b=√a . c .

.

b: media proporcional o media geométricac: 3 era . proporcional .

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTESSe denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor

1) .

a1+a2+a3+. . .. .+an

b1+b2+b3+. . .. .+bn

=k .

2) .

a1 × a2 × a3 × .. . .. .. . .. .. .× an

b1 × b2 × b3 × .. . .. .. .. . .. × bn

=k n

.Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5En general definimos la serie:

.

a1

a2

=a2

b2

=a3

b3

=.. .. . .. .. . .. .. .=an

bn

=k .

donde:a1, a2, a3, ......... an : Antecedentesb1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes k : Constantes de proporcionalidad

11

12

4


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes?

Rpta. 40

2. Dada la proporción:

ab= c

d ; a + b = 15c + d = 25b + d = 16Hallar el valor de “a”

Rpta. 9

3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica

4. Rpta . 10 El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?

Rpta. $ 220

5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea los 4/7 de la edad del padre?

Rpta. 11

6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son proporcional a 3/5. Hallar el mayor

Rpta. 185

7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado?

Rpta. S/. 702

8. Si:

am=b

n= n

p=1

2 , además.b + p = 15m + n = 14, calcular: a . b . n

Rpta. 72

9. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo.

10. Rpta . 40 En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el número total de patas de dichos animales es 900?

Rpta. 135

11. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números

Rpta. 65

12. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es:

Rpta. 6√2

13. En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los consecuentes

Rpta. 60

14. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. hallar uno de los números

15. Rpta . 140 En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe

5


que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601 Rpta. 3

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números

A) 80B) 160 C) 90D) 45 E) 40

2. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?

A) 66 B) 55 C) 132D) 121E) 156

3. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales:a5=b

7= c

10Hallar la suma de los antecedentes Si 3a + 2b – c = 76

A) 88 B) 78 C) 72D) 66 E) 64

4. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4 términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción

A) 9 B) 8 C) 12D) 15E) 16

5. Una ciudad esta dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad?

A) 80B) 70 C) 100D) 150E) más de 150

6. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números?

A) 30/8B) 15/2 C) 20/3D) 8 E) 15

7. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor de los dos números.

A) 12 B) 24 C) 36D) 48 E) 60

9. Si:

a2=b

8= c

7 y a + b = 20. Hallar: a . c + b

A) 22B) 64 C) 71D) 60E) 72

10. Si se cumple: a3=b

c=24

d= e

f=2

Además:(*) a + b = 24 (*) 3 + f = c + dcalcular: b + d + f

A) 12B) 24 C) 36D) 48E) 60

CLAVES1. C

2. C

3. A

4. C

5. D

6. B

7. B

8. D

9. E

10. D

6


¿SABÍAS QUÉ...

LUIGI GALVANI (1737 – 98)

El científico italiano Luigi Galvani pasó la mayor parte de su vida estudiando la electricidad. Descubrió que las patas de una rana se contraían cuando se conectaban a una barra de hierro mediante unas pinzas de hojalata. Creía que los músculos de la rana contenían electricidad, lo que denominó electricidad animal.

Otro científico italiano, Alessandro Volta (1745–1827), cuestionó esta idea. Éste creía que los dos metales habían reaccionado y habían producido electricidad. Ninguna de las dos teorías era completamente correcta.

Galvani llevó a cabo experimentos con cargas eléctricas. El instrumento para medir la corriente eléctrica se llamó galvanómetro en su honor.

7


PROMEDIOS

Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:a1 a2 a3 ……...... an

MENOR VALOR PROMEDIO MAYOR VALOR

TIPOS DE PROMEDIO

Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA )O simplemente promedio

. MA= Suma de datos

Número de datos .

Dar la MA de: 7; 13 y 4

Resolución

7+13+43 = 8

OJO:SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS

. S = n . MA (“n” números) .

Promedios Geométricos o Media Geométrica (MG )

. MG=n√Pr oducto de los datos .n: número de datos

Dar la MG de: 5; 15 y 45

Resolución

3√5 . 15 . 45=15

Promedio Armónico o Media Armónica (MH )

. MH= Número de datos

Suma de Inversa de los datos .

Dar la MH de: 6; 2 y 3

Resolución

316+

12+

13

=3

19

8


Consideraciones importantes

Para 2 cantidades “a” y “b”

. MA=a+b

2 . . MG=√ab .

.

MH= 21a+

1b

=2 aba+b

. Dado:

0 < a1 a2 a3 ……….…. an

Se verifica que:

.

an ≥ MA ≥ MG ≥ MH > 0⇓ ⇓

MAYOR MENORPROMEDI O PROMEDIO .

Si todos los valores son iguales MA=MG=MH

Para cantidades “a” y “b”

. MG2=MA . MH .

. MA−MG=

(a−b)2

4 (MA+MG) .

LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICASean los números: 3, 5 y 10

MA=3+5+10

3=6

Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:

NuevoPr omedio =

3+5+103

underbracealignl PROMEDIO ¿⏟INICIAL ¿

+ 7−43⏟

VARIACIÓN

¿

= 7IMPORTANTE

[nuevo ¿ ]¿¿

¿¿

Donde:

var iación delpromedio =

[ total que se ¿ ]¿¿

¿¿¿¿

20

9


+ +

Promedio ponderado (PP ) (Promedio de Promedios)

Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio?Resolución:

NOTAS PESOS TOTAL11 2 11 x 217 1 17 x 113 3 13 x 3

6 78

La nota promedio será:11 . 2 +17 . 1 + 13 . 3

2+1+3=78

6=13

En general:

. PP=

a1 P1+a2 P2+a3 P3+. .. . .. .. ..+an Pn

P1+P2+P3+. .. . .. .. . . Pn .

Donde:an : enésimo de las notas, precios, … etcPn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc

21

22

10



1. Se tienen los siguientes números –18, -16, -14, -11, 0, 0, 14, 10, 16, 22. luego, de las siguientes proposiciones cuáles son correctasI. La media de los valores

absolutos de los números negativos es mayor que el promedio total.

II. La media de los valores positivos es 10,333.......

III. La media de los números positivos es mayor que la media de los valores absolutos de los números negativos

IV. La media de los números positivos es mayor que el valor absoluto de la media de los números negativos

V. Los dos ceros no afectan a la media de los números

2. Rpta . I, II y III La nota promedio de un examen es “P” el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio?

Rpta. P +

23

3. Se tiene 4 números. A la añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se obtiene los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma de los 4 números es igual a:

Rpta. 45

4. Para un curso de Química se tiene alumnos de primera matrícula y alumnos de segunda matrícula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matrícula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de segunda matrícula?

Rpta . 40%

5. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. Y se agrega una cuarta al promedio, disminuye en 2. se puede afirmar que:I. La edad del cuarto es mayor que

el promedioII. La edad del cuarto es menor que

el promedioIII. Por lo menos una persona es

mayor que el cuarto

6. Rpta . II y III El promedio de 50 números es 62,1: se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía el promedio?

Rpta. 4,9

7. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?

Rpta. 64

8. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números?

Rpta. 14

9. El mayor de dos números enteros es 40 y el menor promedio es 30. hallar la diferencia de los números

Rpta. 40

10. El promedio geométrico de 4 números

enteros diferentes es 2√2 . ¿Cuál es el promedio aritmético de estos números?

Rpta. 3.75

11. Hallar dos números enteros cuyo producto es 600 sabiendo que la media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos. Dar como respuesta el número menor.

Rpta. 20

11


12. La media armónica de 36 números es 36. ¿Cuál es la media armónica de sus tercias?

13. Rpta . 12 El promedio de las edades de “n” alumnos es “m” años. Si a la cuarta parte de los alumnos se le cambia con alumnos que tienen 2 años más cada uno y a la otra cuarta parte se le cambia con alumnos que tienen 1 año más cada uno, entonces el nuevo promedio aumentará en:

Rpta. 0.75

14. El promedio de un conjunto de valores es “P” si se eliminan 31 números cuya suma es 527 el promedio de los restantes sigue siendo “P” ¿Cuánto deberán sumar 7 números de tal manera que agregando a los que habían inicialmente tengan como media aritmética a P?

Rpta. 119E PUBLICACIONES

15. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699, la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no consideramos?

Rpta. 949

12


PROBLEMAS

1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón

A) 15B) 16,2 C) 15,2D) 15,1E) 16,1

2. El promedio de las edades de cinco personas res 48. si ninguna de ellas tiene más de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas?

A) 16 añosB) 18 añosC) 19 añosD) 21 añosE) 24 años

3. Se tiene 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos si ninguno pesa menos de 48 kg.?

A) 168 kgB) 169 kgC) 170 kgD) 171 kgE) 172 kg

4. La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. el número de dichos números puede ser:

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

5. Se tiene 100 números cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 números se les aumenta 3 unidades a cada uno, a los siguientes 50 números se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes números se les disminuye 2 unidades a cada uno. Calcular el nuevo promedio de los números que se obtiene.

A) 23B) 22,5 C) 20,5D) 22E) 21

6. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuántas personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 años.

A) 10 B) 11 C) 20D) 25 E) 15

7. La media aritmética de 15 impares de 2 cifras es 25 y de otros 15 impares también de 2 cifras es 75. ¿Cuál es la media aritmética de los impares de 2 cifras no considerados?

A) 75 B) 60 C) 65D) 55 E) 35

8. Hallar la media aritmética de 2, 4, 6, 8, 10

A) 3 B) 5 C) 6D) 8 E) 10

9. Si: P. A = (2, 4, a) = 4 P. A = (8, b, 12) = 10

Hallar la media aritmética de:a y b

A) 6 B) 8 C) 10D) 12E) 14

10. Dados los números 12, 18 y 27. Calcular el error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico.

A) 0,5B) 1 C) 1,5D) 0,3E) 1,3

CLAVES

13


1. C

2. E

3. A

4. C

5. B

6. A

7. C

8. C

9. B

10. B

28

14


“DEMUESTRA TUS CONOCIMIENTOS”

1. ¿Cuál es el número que excede a la medida armónica de su mitad y su quinta parte es 50?

Rpta.

2. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es 6. hallar la diferencia de dichos números.

Rpta.

3. ¿Cuál es la medida aritmética de 2 números, si su media geométrica es 12 y su media armónica es 4?

Rpta.

4. La media armónica de 2 números es 5, mientras que la media aritmética es 20. hallar la media geométrica

5. Rpta . Hallar n, si el promedio armónico de: 1, 1/2, 1/3, ....1/n, es 1/9

Rpta.

6. Si la MH y la MA de dos cantidades están en la relación de 4 a 9. ¿En que relación se encuentra la MG y la MH?

Rpta.

7. La MH de 20 números es 18 y de otros 30 números diferentes entre si y de los anteriores es 54. hallar la MH de los 50 números.

Rpta.

16. El mayor promedio de 2 números es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números.

Rpta.

8. La MA de 4 enteros impares positivos diferentes entre si, es 6. ¿Cuánto puede ser como máximo el mayor de los números?

Rpta.

9. La MA de los cuadrados de los “n” primeros números naturales es 231/6. Hallar “n”Rpta.

19. Si la MH de dos números naturales es a MG de los mismos como 12 es a 13. hallar la diferencia de los números, si la suma es 117.

Rpta.

12. La MH de 3 cantidades es 1/5 y la MH de otras 5 cantidades es 1/3. ¿Cuál es la MH de las 8 cantidades juntas?

13. Rpta . La MH y MA de dos enteros, están en la relación de 48 es a 49, hallar los números, comprendiendo entre 41 y 47.

Rpta.

14. La MA de 3 números es 14, la MG es par e igual a uno de ellos y la MH 72/7. hallar el menor de los números.

Rpta.

15. La diferencia de cuadrados de 2 números es 144, además sus promedios, armónico y aritmético son entre si como 15 es a 16. hallar su MG

Rpta.

17. La MG de 2 números es 6√2 , sabiendo que su MH y MA son dos enteros consecutivos, hallar dichos números pero sumados

Rpta.

18. En un aula del “Manuel Scorza” de 60 alumnos, el promedio de notas en aritmética es 12, si 20 de ellos tienen un promedio de 18. ¿Cuál es el promedio de notas de los 40 restantes? Rpta.

19. El promedio de 5 números es 85. Se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15. hallar el sexto número.Rpta.

15


20. En un salón de clase, “a” alumnos tienen 14 años, “b” alumnos tienen 11 años y “c” alumnos tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12 años. Hallar “a”

Rpta.

21. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 números consecutivos es 380,5. hallar el menor de ellos.

22. Rpta . Un estudiante de ha obtenido 13, 14, 16, 12 y “a” en sus 5 exámenes, además el último tiene doble peso que los otros. Determine el valor de “a” si el promedio ponderado es 13,5

Rpta.

23. El promedio de 50 números es 30. si se retiren 4 números cuyo promedio es 48. ¿En cuánto disminuye el promedio?

Rpta.

24. El promedio de las edades de 5 hombres es 28 años, además ninguno de ellos es menor de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?

Rpta.

25. La suma de 2 números es 18 y sus promedios aritmético y armónico son consecutivos hallar la diferencia de dichos números.

Rpta.

26. El doble del promedio aritmético de 2 números es igual al cuadrado de su promedio geométrico, más 1. si uno de los números es 120. ¿Cuál es el otro?Rpta.

27. El promedio armónico de 40 números es 16 y el de otros 30 números es 12. Halle el promedio armónico de los 70 números.

Rpta. 28. El promedio armónico de 3 números es

180/27, uno de los números es 5 y el promedio geométrico de los otros 2 números es 6. dar como respuesta el menor de estos 3 números.

Rpta.

29. El promedio geométrico de 2 números es 12 y la suma de sus promedios, aritmético y armónico es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?

Rpta.

16


¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DE QUÍMICA

El químico realiza experimentos y análisis químicos para determinar la composición, propiedades y posibles transformaciones de la materia, mediante el uso de modernas técnicas experimentales. El químico realiza labores de control de calidad, aseguramiento de calidad, gerencia laboratorios de calidad e investigación en industrias tales como: farmacéutica, metalúrgica, de alimentos, petroquímica, cerámica, del cemento, plásticos, colorantes y otros.

Ámbito de trabajo:Laboratorios de control de calidad e investigación en las diferentes industrias químicas y en

centros de educación.

33

17


MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUDEs todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica

de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc.

CANTIDAD (Valor):Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud.

MAGNITUD CANTIDAD

Longitud 2km

Tiempo 7 días

# de obreros 12 obreros

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDESDos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de

la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras.

Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)Ejemplo Ilustrativo:

Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:

(Costo total) DP (# de libros)Se observo:

En General:Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción.La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante.

OJO:DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2 MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO, NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)SI:

. “A” DP “B”

(valor de A )( valor de B )

=k→cons tan te .

Interpretación Geométrica

35

18


IMPORTANTE:I) LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA QUE PASA POR EL

ORIGEN DE COORDENADAS

II) EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.

III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”

VALORES CORRESPONDIENTESMAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an

MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn

SE VERIFICA:a1

b1

=a2

b2

=a3

b3

= . . . =an

bn

=k

IV) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”

. F(x) = mx .

m: pendiente (constante)

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)Ejemplo ilustrativo:

Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:

(# de pintores) IP (# días)Se Observa: (# de pintores) IP (# días)Se Observa: (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60

ConstanteEn general:Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente.La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante.

. A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte .

Interpretación Geométrica

19


IMPORTANTE:I) LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA

EQUILÁTERA.II) EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR

DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.III) LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:

. F ( x )=m

x .

M : CONSTANTE

[área del rec tan gulo ¿ ]¿¿

¿¿

IV) SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”VALORES CORRESPONDIENTES

MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an

MAGNITUD B b1 B2 …… bn

SE VERIFICA:a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k

Propiedades de las Magnitudes

A. Para 2 magnitudes A y B se cumple:

1.{¿ A D . P . B⇔B D . P . A ¿ ¿¿¿

2.{¿ A D . P . B ⇔ An D . P . Bn ¿ ¿¿¿

3.{¿ A D .P . B . ⇔ A I . P .

1B¿ ¿¿¿

B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante) A D. P. (B . C)

∴ AB . C = cte

Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E

37

20


A D . P . B ¿} A I . P . C ¿ } A A . P . D ¿ }¿¿ ¿ .

A . CB . D . E

=Cte .

OJO:CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.

Aplicaciones comunes:

(N° de obreros) DP (obra)

(N° de obreros) IP (eficiencia)

(N° de obreros) IP (N° de días)

(N° de obreros) IP (horas diarias)

(velocidades) IP (Tiempo)

(N° de obreros) D P (Dificultad)

(N° de dientes) I P (N° de vueltas)

.

( ¿ de ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿ .

39

40

21



1. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inveramente proporcional a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75km cuesta S/. 45000. ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia?

Rpta. 45 000

2. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en rev/min.

Rpta. 20

3. En una joyería se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional cuadrado de su peso y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los diamantes. Un diamante que cuesta 360000 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas entonces podemos afirmar que:

Rpta. Se perdió 160 000 dólares

4. Se sabe que:A.D.P. B2 (cuando “C” no varía)

A.I.P √C (cuando “B” no varía)Si el valor de B disminuye en sus 2/5 y su correspondiente valor de “C” disminuye en sus 9/25. ¿En cuánto varía el valor de A, respecto a su valor anterior?

Rpta.

1120

5. Dos veteranos de una guerra tienen concebidos sendas de pensiones, que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y sus pensiones están en la razón de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo?

Rpta. 25

6. El nivel de polución del aire en una cierta ciudad, varía D.P con el cuadrado de la población, son el número de e I.P fábricas y con la raíz cuadrada del área de parques y jardines. Si los incrementos de población, número de fábricas y áreas verdes son 20%, 30% y 44% respectivamente. ¿En qué porcentaje se incrementará la polución?

7. Rpta . 17% Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relacionesCon C = constante

A 1 8 27 64B 1 0,5 0,3... 0.25

Con B = constanteA 1 2 3 4C 0,25 1 2,25 4

Si cuando: A = 4 y B = 9, C es 16Hallar A cuando B = 3 y C = 4

Rpta. 54

8. En la siguiente gráfica A y B son magnitudes que se relacionan en forma proporcional

Hallar el área de la región sombreada

Rpta. 3

9. Por defectos del fenómeno del niño, la temperatura promedio en el actual verano es media vez más que la del verano anterior (año pasado). Si la producción agrícola es I.P al cuadrado de la temperatura, ¿cuál es la producción del presente año, si el año anterior fue de 3600 toneladas?

Rpta. 1600

11. De un estudio efectuando en el departamento de logístico de una guarnición militar, se encontro que la cantidad de víveres (en kg.) para un batallón es IP al número de soldados y DP al cuadrado del números de bajas de una guerra. Si se sabe que en una guerra, 1000 kg de víveres sirven para

41 42

22


500 soldados con un número de bajas de 10. ¿Qué cantidad de víveres serán necesarios para 1000 soldados, si se proyectan 50 bajas?

10. Rpta . 1250 En una agencia de turismo se ha notado que el número de turistas que viajan a un determinado lugar varía DP a la capacidad de cada ómnibus, al número de horas de trabajo de éstos, a la velocidad que utilizan y el número de ómnibus que se utilizan e IP a la distancia que debe recorrer. Se sabe que 1 ómnibus de 20 pasajeros puede llevar 180 pasajeros en 80 horas de trabajo recorriendo 60km/h cuando van hacia un lugar ubicado a 200km, de la agencia. Se ha edificado un hotel a 360km de la agencia, con una capacidad de 5000 huéspedes. ¿Cuántos ómnibus con capacidad para 30 pasajeros serán necesarios para que en 60 horas de trabajo usando una velocidad de 20 km/h pueda cubrir el 90% de la capacidad de dicho hotel?

Rpta. 45

12. La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales; la producción de una fábrica respecto al número de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experimentado y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar. ¿Cuál sería su producción de 60 obreros experimentados; en segundo lugar, cuántos obreros nuevos fueron necesarios para producir con ellos 1760 artículos?

13. Rpta . 1560;80 Según la ley de Boyle, la presión es inversamente proporcional ala volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%?

Rpta. 3

14. Si dos cantidades P y Q son inversamente proporcionales con constante de proporcionales a k. ¿cuánto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de P y 1/Q vale 6?

Rpta. 7/5

15. Se sabe que un cuerpo que cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9.80 m en 1 . 4 seg. Determinar la profundidad del pozo. Si se sabe que al soltar la piedra esta llega al fondo en dos segundos

Rpta. 20

23


PROBLEMAS

1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B, cuando A = 34A) 19 B) 2 C) 5D) 13 E) 17

2. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese 150 m, más larga, se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon?A) 12 B) 9 C) 21D) 13 E) 18

3. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales. Calcular a + b

A) 10 B) 43 C) 64D) 46 E) 34

4. Si se cumple que F (12) = 18Calcular: S = F (5) + F (1)Sabiendo que F(x) es una función de proporcionalidad directaA) 7 B) 8 C) 71D) 2 E) 9

5. La magnitud A es I.P a √B además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar b cuando A es igual a 4A) 16B) 36 C) 24D) 12E) 18

6. Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene?A) 8 B) 10 C) 6D) 12E) 15

7. Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b

A) 48B) 112 C) 56D) 94 E) 80

8. Se ha comprobado experimentar que una magnitud “A” es directamente proporcional a otra “B”. por ejemplo cuando “B” vale 4, “A” toma el valor de 2,4. hallar el valor de “B” que hace que “A” valga 48.

A) 10B) 100 C) 20D) 40 E) 80

9. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo?

A) 14B) 12 C) 15D) 21E) 18

10. Se tienen dos poleas unidades mediante una faja de trasmisión tal como indica la figura. ¿Cuántas vueltas dará la segunda cuando la primera de 30 vueltas?

A) 22½ vueltasB) 40 vueltasC) 60 vueltasD) 20 vueltasE) 30 vueltas

CLAVES

24


1. B

2. C

3. D

4. E

5. B

6. A

7. B

8. E

9. E

10. A

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DE

CIENCIAS BIOLÓGICAS

El biólogo, con mención en Zoología, Botánica e Hidrobiología y Pesquería estudia los organismos vivos y sus interrelaciones considerando los aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, ecológicos, taxonómicos, etc. Investiga en laboratorios y en condiciones naturales la estructura genética, fisiología, ecología y otros aspectos fundamentales de las plantas, animales, y los recursos pesqueros. Participa en la evaluación, conservación, mejoramiento, control biológico y aprovechamiento racional de los recursos naturales renovables.

Ámbito de Trabajo:Centros de investigación y producción, centros superiores de enseñanza, laboratorios y servicios

biológicos especializados, asesoramiento en materia de recursos naturales, ecología y conservación.

48

25


REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE

Re partoPr oporcional

¿¿¿¿

Como una aplicación de proporcionalidad consiste en repartir una cantidad en partes directas o inversamente proporcionales a ciertas cantidades llamados “Índice”

Problema General: Repartir “N” en partes P1 P2 P3 ........... Pn que

sean D.Pa a1 a2 a3 a4 ................. an. Determinar cada una de las partes Partes P1 P2 P3 ............... Pn

Indices a1 a2 a3 a4 ............ an

Condición P1 P2 P3 ............... Pn D. P a1 a2 a3

a4 ............ an

.

P1

a1

=P2

a2

=P3

a3

=. .. .. . .. .. .Pn

an

=k .

k (constante de proporcionalidad)

Propiedad:

k =

P1+P2+P3+. .. .. . .. .. . Pn

a1+a2+a3+. . .. .. . .. . an o . k=N

S .

Donde S1 = Suma de índices

N = Cantidad a repartir

Luego: P1 = a1k

P2 = a2k

P3 = a3k

⋮ ⋮

Pn = ank

Ejemplos:

1. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12 D.P

750¿ { 6 ¿ { 7 ¿ ¿¿¿

¿ .

k=75025

=30 .

Luego: 6(30) = 180

7(30) = 210

12(30) = 360

2. Repartir 450 en partes I.P a los números 3; 6 y 8

. k=450

15=30

Luego: 8(30) = 240

4(30) = 120

3(30) = 90

3. Repartir 648 en forma D. P a los números 4 y 6; y a la vez en forma I.P a los números 3 y 9

. k=648

6=108

Luego: 4(108) = 432

2(108) = 296

26



1. Repartir 1491 en 3 partes de manera que la primera tenga 2/3 más que la segunda y la segunda 2/5 más que la tercera. Una de dichas partes es:Rpta. 735

2. Se reparte una cantidad proporcionalmente 1; 2; 3 y 4 pero luego se decide hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6 motivo por el cual una de la partes disminuye 170 unidades. ¿Cuánto le corresponde al cuarto?Rpta. 2040

3. El número 7200 se reparte directamente

proporcional a √63 , √112 y √175 . ¿Cuál es el producto de las cifras que conforman la mayor parte obtenida?Rpta. 0

4. Dividir 18500 D.P a los números 347; 349 y 350. Dar como respuesta la suma de las cifras de la mayor parteRpta. 9

5. La suma de 3 números es 2832 y sus cuadrados son proporcionales a los números18

;1

50y

198 . ¿cuál es la suma de cifras del

mayor número?Rpta. 15

6. A y B tiene 80 y 55 bizcochuelos respectivamente. Llega C hambriento y se reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales, luego de comérselos; “C” le entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto de más recibe A con respecto a B?Rpta. 20

7. Se reparte 180 kilogramos, de un producto entre 5 personas, según una progresión aritmética, donde la suma de los dos primeros términos resulta ser la quinta parte de la suma de los tres términos. ¿Cuánto kilogramos reciben la primera y la quinta persona juntas?Rpta. 72

8. Tres ciclistas deben correr una misma distancia y se ponen de acuerdo para repartirse$ 94 500 en forma D.P a sus velocidades. Efectuando el recorrido resulta que el primero tardó 3 horas, el segundo 5 horas, y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el más veloz?Rpta. 45 000

9. Se hizo un reparto I.P a ciertos números obteniéndose 18 000; 14 400 y 12 000. Si el reparto hubiera a los mismos números una de las partes sería:Rpta. 17 760

10. Se desea repartir una cierta cantidad (N3 - N) en razón directa a los números: 2; 4; 6; 8; 10 ...... (2N). Si la menor de las partes obtenidas es(N + 7). Hallar N.Rpta. 9

11. Repartir 9900 en tres parte A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 2 Y B es a C como 5 es a 4. Dar como respuesta la suma de cifras de la mayor parte obtenidaRpta. 9

12. Se reparten “N” en partes D.P a los números: 24; 15 y 20 e I.P a los números 40; 24; 25. se obtiene que entre las 2 primeras exceden a la tercera en 765. indicar la suma de cifras de “N”Rpta. 18

13. Repartir 25038 en partes I.P alas inversas de 154; 452 y 753. dar como respuesta la parte menorRpta. 108

14. A; B y C poseen un campo siendo sus partes proporcionales a los números 4; 2; 5 y 1,5. “A” vende la mitad de su parte a “C” y este vende 100 m2 a “B” así las partes de “B” y “C” son iguales. ¿Cuántos m2 poseía “A” al principio?Rpta. 800

15. La repartir $ 5700 entre 3 personas; B y C se hace el reparto proporcionales a 3 números consecutivos crecientes. ¿Luego del reparto se tiene que 1/5 de lo que le tocó a B más lo que le tocó a “A” y hacen lo que le tocó a “C”. ¿Cuánto le toco a esta última persona? Rpta. 2090

53

27


PROBLEMAS

1. Un profesor decidió premiar a sus 3 mejores alumnos regalándoles S/. 9200 en forma directamente proporcional al números de problemas que resuelven de la guía. El primero resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el tercero 14. Indicar cuánto le tocó al segundo.

A) 3000B) 3400C) 2800D) 3500E) 4000

2. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12; y dar como respuesta la menor parte.

A) 360B) 270 C) 210D) 180E) 150

3. Repartir 594 en forma I.P a los números 2; 3; 6 y 10; y dar como respuesta la mayor parte.

A) 64 B) 90 C) 180D) 360E) 270

4. Repartir 940 en 3 partes que sean

proporcionales a los números

56

;38

y34 e

indicar el valor de la parte intermedia

A) 400B) 360 C) 210D) 180E) 240

5. Repartir 648 en forma D.P a 4 y 6 a la vez en forma I.P a 3 y 9. dar como respuesta la parte menor

A) 432B) 360 C) 240D) 216E) 200

6. Tres obreros A, B trabajan 10; 12 y 15 días respectivamente en una obra. Si en total ganaron 1330 dólares. ¿Cuánto ganó B si el jornal de los obreros están en la relación de 4; 5 y 6?

A) 420B) 280 C) 360D) 430E) 450

7. Dividir el número 3024 D.P a tres números de manera que el primero y el segundo están en la relación de 3 a 4 y el segundo con el tercero en la relación

de 5 a 7. Indicar la mayor cifra del mayor de los números.

A) 4 B) 6 C) 7D) 5 E) 9

8. Repartir 3430 D.P a los números 228, 229 y 230. Indicar como respuesta la parte intermedia

A) 960B) 940 C) 850D) 980E) 290

9. Descomponer 529 en tres partes que sean D.P

a los números

14

;25

y12 . Dar como respuesta

la mayor de dichas partes

A) 115B) 184 C) 230D) 460E) 320

10. Repartir 2040 proporcionalmente a los números 5/8; 0,6 y 0,05. indicar la mayor parte.

A) 1000B) 1020C) 920D) 720E) 960

CLAVES

28


1. A

2. D

3. E

4. D

5. D

6. A

7. A

8. D

9. C

10. A

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DE

CIENCIAS FÍSICAS

El físico estudia fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales de la tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacita para dedicarse a una carrera en investigación científica y actividad profesional en física del medio ambiente, física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y finanzas.

29


57

30


REGLA DE TRES

Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad.

REGLA DE TRES SIMPLE

Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos:

Regla de Tres Simple Directamente proporcional

Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor desconocido de la magnitud B.

. x=b1 .

a2

a1 .

Ejemplo:1. Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15 obreros?

Resolución:

x=20 .3015

x = 40 días

Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional

Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor desconocido de la magnitud B.

. x=b1 .

a1

a2 .

Ejemplo:1. Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Que sucede con la cuadrilla?

Resolución:

x=h .41

x = 4 h

REGLA DE TRES COMPUESTA

58

31


Resulta de comprar más de 2 magnitudes, donde la magnitud que tiene el valor desconocido se compara con las demás. Así podemos tener:

. x=d1 .

a2

a1

.b1

b2

.c2

c1

.e1

e2 .

Ejemplo:1. Una cuadrilla de 30 dólares hacen una obra de 20m2 en 20 días trabajando 6h/d. ¿Cuántos obreros se

aumentarán, si se hace una obra de 600m2 en 15 días trabajando 4h/d?

x + 30 = 30 .

2015

.64

.600200

x + 30 = 180 x = 150

PROBLEMAS RESUELTOSProblema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorre un trayecto yendo a 90km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60km/h?

Resolución

I

Yendo a: 90km/h tarda 8 horas

Yendo a: 60km/h tarda x horas

La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo que se indica por I colocada encima de la columna de la velocidades.

Por tanto:

9060= x

8 ; de donde: x =

90 . 860 = 12

Rpta. . x = 12 horas .

59

32


Problema 2:

Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable?

Resolución

D

12m cuestan S/. 42.

Si:

16m cuestan S/. x

El costo es directamente proporcional al número de metros lo que se indica por la letra D encima de la columna metros.

Por tanto:

1216=42

x ; donde: x =

42 . 1612 = 56 soles

Rpta. . x = 56 soles .

Problema 3:

Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obre se termine en 8 días?

Resolución

Sea: x = # de obreros que hay que añadir para que la obra se termine en 8 días.

I

Luego: Si: 20 obreros 14 días

(20 + x) obreros 8 días

El número de obreros es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir a más obreros menos días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días.

Por tanto:

148=20+x

20 ; donde: 20 + x =

20 . 148

20 + x = 35

60

33


Rpta . x = 15 obreros .

Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración?

Resolución:

Sea: x = # de corderos que debe vender

I

Luego: Si: 640 corderos 65 días

(640 - x) corderos (65 + 15) = días = 80 días

El número de corderos es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir que a menos corderos tendrán para más días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días.

Por tanto:

6580=640−x

340 ; de donde: 640 - x =

640 . 6585

640 – x = 520

Rpta. . x = 120 corderos .

Problema 5:Manuel y Sara recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón

1521 . La

velocidad de Manuel es de 56km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara?

Resolución:

I

Tiempos velocidades

Manuel : 15 56km/h

Sara : 21 x km/h

El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad (Quiere decir a mayor velocidad menos tiempo); lo que se indica por la letra I encima de la columna tiempo.

62

34


Por tanto:

1521= x

56 ; de donde: x =

15 . 5621 = 40

Rpta. . x = 40 km/h .

Problema 6

Dos ruedas cuyos diámetros, son 1,5cm y 2,4m están movidas por una correa, cuando la menor dá 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones dá la mayor?Resolución:

I

1,5 m 220 Rev.

2,4 m x Rev

Los diámetros son inversamente proporcionales al número de revoluciones. (Quiere decir que a menor diámetro la rueda dará más vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra I encima de la columna metros.

Por tanto:

1,52,4= x

220 ; de donde: x =

1,5 . 2202,4

Rpta . x = 137,5 rev .

Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12cm de arista habrá construido?

Resolución:

La relación que debemos tener presente, es entre el volumen y el tiempo; puesto que Nataly construye un cubo; veamos:

35


Para construir este cubo de 4 cm de arista demora 6 horas, o sea:

En 6 horas (4cm)3 . . . . (1)

Luego: Sea “x” número de horas que demoraría en construir un cubo de 12 cm de arista.

O sea: en x horas (12 cm)3 ...... (2)

D

De las expresiones (1) y (2); obtenemos: En 6 horas (4cm)3

En x horas (12 cm)3

Tiempos Volúmenes

Los volúmenes son directamente proporcionales a los tiempos (Quiere decir que a más volumen, más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna volúmenes.

Por tanto:

6x=(4 cm)3

(12cm)3 ; de donde: x =

x = 6 . (27) . x = 162 horas .

Entonces: En 54 horas habrá hecho:

Rpta. Después de 54 horas de trabajo, del cubo de 12cm de arita habrá construido un 1/3.

Problema 8: 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra?

Resolución:

Analizando el problema llegamos a la conclusión que luego del octavo día los 12 obreros tendrían 21 días para completar la obra. Pero como son sólo 7 obreros ahora en cuántos días más terminarán la obra.

Luego:

IEl número de obreros es inversamente proporcional al tiempo (Quiere decir a menos obreros más tiempo); lo que se indica por la letra

64

36


Si: 12 obreros 21 días

7 obreros x días

Por tanto:

127= x

21 de donde : x =

12 . 217 = 36 . x = 36 días .

Los 7 obreros que quedan demorarán 36 días en terminar la obra

(Tiempo total empleado por

los 7 obreros en hacer la obra) = 8 + 36 = . 44 días .

El retraso será: 44 días - 29 días = 15 días

Rpta. . La obra se entregará con un retraso de 15 días .

Problema 9: Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Rozamiento Matemático en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea?

Resolución:

Del enunciado del problema , planteamos:

Percy : rapidez 6 ¿ } Miguel : rapidez 3 ¿ }¿¿ Total=10 rapidez

¿

Si: I

Entre los tres: 10 rapidez 16 días

Entre Miguel 4 rapidez x días

y Franklin

La rapidez es inversamente proporcional al tiempo (quiere decir que a menos rapidez más tiempo). Lo que se indica por la letra I de la columna rapidez.

El número de obreros es inversamente proporcional al tiempo (Quiere decir a menos obreros más tiempo); lo que se indica por la letra

37


Por tanto:

104= x

16 ; de donde: x =

10 . 164 = 40 . x = 40 días .

Rpta. . Miguel con Franklin, harán la misma tarea en 40 días .

Problema 10: Sabiendo que un venado atado a una cuerda de 3m de largo, tarda 5 días en comerse todo el pasto a su alcance. ¿Cuánto tardaría si la cuerda fuera 6m?

Resolución:

Analizando el problema, llegamos a la conclusión que el buey al comer el pasto que está a su alcance determina un circulo (área del circulo (r2)

Luego:

D

Áreas Tiempos

(3m)2 5 días

(6m)2 x días

Las áreas son directamente proporcionales a los tiempos. (quiere decir que a más área más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna áreas

Por tanto:

π (3 m)2

π (6 m)2=5

x ; de donde: x = 5 . x = 20 días .

Rpta. Si la cuerda fuera de 6m, el buey tardaría 20 días en comerse todo el pasto que esta a su alcance

38


39



1. Veinte obreros tienen provisiones para 40 días. Si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzarán las provisiones?Rpta. 80

2. ¿Cuantos pares de medias podré comprar con S/. 800 si cada media cuesta S/. 4?Rpta. 100

3. El conejo salta 3 veces en 2s. ¿Cuánto tardará en saltar 126 veces?Rpta. 84

4. La tercera parte de un trabajo realizo en 5 días, lo que me falta lo termino en:Rpta. 10

5. Si: A = obras, B = días, C = eficiencia, D = obreros, ¿cuál es la alternativa correcta?a) D y C son DPb) A y B son IPc) C y B son DPd) A y D son IPe) C y D son IP

6. El kilogramo de yuca cuesta S/. 2 ¿Cuánto costará 7kg de yuca de igual calidad?Rpta. S/. 14

7. Un móvil a velocidad constante recorre unos 400m en 8s. ¿cuántos metros recorrerá 20s? Rpta. 1000m

8. En 1/3 día se consume 2/7 de la carga de una pila. ¿Cuánto de carga se consumirá en 7/12 de día?

Rpta. 1/2

9. Los 2/7 de una obra los realizó en 18 días. ¿En cuántos días podré terminar los que falta?

Rpta. 45 días

10. 4 polos en un cordel se secan en 4min. ¿Cuánto demorarán en secarse 8 polos?

Rpta. 4 min

11. 40 obreros tienen provisiones para 60 días, si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzaran las provisiones?

Rpta. 80

12. 5 obreros hacen una obra en 8 días, 32 obreros. ¿En cuantos días harán la misma obra?

11. Rpta . 5/4 días Un par de zapatillas cuesta S/. 160. ¿Cuánto costarán 12 zapatillas?

Rpta. S/. 960

12. En un cubo de aristas 2m se puede almacenar 200kg de arroz ¿Cuántos kilogramos más de arroz se almacenan en un cubo de arista 3m?

Rpta. 475

13. Sabiendo que 10 campesinos siembran terreno cuadrado de 15m de lado en 12 días ¿en que tiempo 20 campesinos sembrarán un terreno de 30m de lado?

Rpta. 24

40


PROBLEMAS

1. Dos panes cuestan S/. 0,20 ¿cuánto costarán 4 panes?

A) S/. 0, 10 B) S/. 0,20C) S/. 0, 30 D) S/. 0,40E) S/. 0,40

2. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 5 horas recorre 600km. ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 horas?

A) 840km B) 960km C) 690kmD) 900km E) 720km

3. Catorce obreros hacen una misma obra en 9 días ¿Cuántos obreros harán la misma obra en 7 días?

A) 15 B) 18 C) 17D) 16 E) 14

4. Un obrero limpia 5 tubos en 20 minutos. ¿En cuántos minutos limpiará 20 tubos?

A) 40 B) 60 C) 80D) 90 E) 30

5. En 16 días se consume 1/8 de la carga de una batería. ¿Cuántos se consumirá en 48 días?

A) 3/5 B) 2/7 C) 3/8D) 1/8 E) 1/5

6. Sabiendo que 5 soldados fuman 5 cigarrillos en 5 min. ¿En que tiempo 6 soldados fumarán 6 cigarrillo?A) 1minB) 2minC) 3minD) 4minE) 5min

7. Para terminar la reparación de un pozo en 8 días se necesitan 15 obreros ¿Cuántos obreros más se necesitan si se quiere terminar en 5 días?

A) 8 B) 7 C) 9D) 5 E) 10

8. Un hombre puede leer un libro de “p” páginas en “d” días. ¿Cuántos días se demorará en leer “L” libros de “S” páginas cada uno?

A) d, L. S B)

Pd . L. S

C) L.S D)

d . L . SP

E) p. L. S

9. Veinte trabajadores pueden hacer una zanja de 40m de profundidad en 24 días, 36 trabajadores en 18 días, ¿Qué profundidad cavarán?

A) 50 B) 52 C) 53D) 54 E) 51

10. Trabajando 10h/d, durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9h/d durante 25 días a 3 hornos más?

A) 100B) 120 C) 153D) 160E) 140

CLAVES

1. D

2. B

3. B

4. C

5. C

6. E

7. C

8. D

9. D

10. B

41


REGLA DE INTERÉS

INTERÉS

Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta.

Interés (I) : Crédito, renta (anual)

Capital (C) : Dinero, acciones, propiedades, etc.

Tiempo (T) : Año, meses, días

OBSERVACIONES:

EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL QUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO

Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés.

OBSERVACIONES:

POR EJEMPLO, TENEMOS:

3 % MENSUAL 36% ANUAL

12% BIMENSUAL 72% ANUAL

10% QUINCENAL 240% ANUAL

Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Asi:

. M = C + 1 .

Fórmulas para calcular el interés simple:

. 1 =

C . r . t100 , “t” en años .

. 1 =

C . r . t1200 , “t” meses .

. 1 =

C . r . t1200 , “t” en días. .

Ejemplo:

Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene?

Resolución:

C = S/. 4000

r = 12% semestral 24 % anual

t = 15 meses

I =

C . . r . t1200 =

4000 . 24 . 151200 = 1200

Y como M = C + I

M = 4000 + 1200

M = 5200

42



1. ¿Qué interés un capital de S/. 3000 impuestos al 20% en 5 meses?

Rpta. S/. 250

2. ¿Que interés produce S/. 120000 en 2 meses y 10 días al 16% cuatrimestral?

Rpta. S/. 11200

3. ¿Cuál es la capital que al 4% anual y durante 10 meses ha producido interés de S/. 12?

Rpta. S/. 360

4. ¿En cuánto se convierte un capital de S/. 3000 que fue impuesto al 3% bimestral durante 2 años?Rpta. S/. 4080

5. Los 5/7 de un capital colocado al 3% produce anualmente S/. 420 más que el resto colocado al 4% ¿Cuál es el capital?Rpta. S/. 42000

6. ¿A qué porcentaje anual se ha impuesto un capital deS/. 80000 que en 10 años se ha triplicado? Rpta. 20%

7. ¿Que tiempo ha estado impuesto S/. 500 para que al 2% anual se haya convertido en S/. 600?Rpta. 10 años

8. Un capital prestado a una cierta tasa produce un determinado interés anual. Si el capital fuese S/. 2000 mayor, el interés aumentaría en S/. 4000. Determinar la tasa.Rpta. 20%

9. Tres hermanos Isidoro, Fortunato y Guillermo depositan en un banco 600; 1000 y 800 soles respectivamente. Al cobrar sus intereses, Fortunato recibe 100 soles más que Isidoro. ¿Cuánto le corresponde a Guillermo? Rpta. 200 soles

10. El menor de 2 capitales se coloca al 20% de interés simple durante 3 años y el otro al 25% durante 2 años, siendo la relación de montos, en ese orden de 4 es a 5. determinar el mayor capital, sabiendo que la suma de ambos capitales es 4200Rpta. 2400

11. Se coloca S/. 1000 al 5% durante un cierto número de años y el capital se duplica. Si colocamos los S/. 1000 al 5% durante un tiempo que es 8 años mayor que el anterior, ¿Qué interés producirá?Rpta. S/. 1400

12. Los intereses generados por dos capitales en el mismo tiempo, con tasa del 13% bimestral 91% semestral respectivamente se encuentra en la misma relación que 11 y 19. Si la diferencia de dichos capitales es 600. calcular la suma de ellos.Rpta. 4020

13. ¿Durante 2/3 cuánto tiempo se debe colocar un capital al 60% semestral para que el monto sea el 180% del capital?

Rpta. 8 meses

14. El capital de Walter es el 10% del capital de Juan. ¿A qué tasa deberá imponer Walter su capital para que después de 10 años el monto obtenido por él sea el 20% del monto obtenido por Juan que presta su dinero al 5% durante el mismo tiempo?Rpta. 20%

15. Una persona tiene S/. 16000 que presta al 5% trimestral y otra S/. 20000 que presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuanto tiempo los montos serán iguales?

1 6 . Rpta . 20 años

76

43


PROBLEMAS

1. Hallar el interés anual de S/. 1580 al 20%

A) S/. 815B) S/. 518C) S/. 316 D) 613E) S/. 340

2. Un capital prestado a una cierta tasa produce un determinado interés anual. Si el capital fuese S/. 60000 mayor, el interés aumentaría en S/. 1800. Determinar la tasa

A) 3%B) 4% C) 5%D) 6%E) 7%

3. Calcular el interés generado por depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses

A) S/. 120B) S/. 150C) S/. 180D) S/. 210E) S/. 240

4. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de interés anual, si los intereses producido alcanzan al 60% del valor del capital?

A) 1 añoB) 10 añosC) 12 añosD) 6 añosE) 9 años

5. ¿En cuánto años un capital impuesto al 8% produce un interés igual a 2/3 del monto?

A) 20B) 22 C) 24D) 25E) 26

6. ¿En cuánto se convertirán S/. 84 000 al 1,5% mensual durante 18 días?

A) S/. 88765B) S/ 82756C) S/. 83756D) S/.85756E) S/. 84756

7. Una persona deposita hoy cierto capital interés simple. Luego de 2 meses del monto será S/. 3600 y 3 meses después a este primer tiempo será S/. 4350. ¿Cuál es el capital depositado hoy?

A) S/. 3100B) S/. 3050C) S/. 3000D) S/. 3150E) S/. 3250

8. Determine las tasas equivalentes I. 5% mensualII. 10% bimestralIII. 2,5% quincenalIV. 30% semestral

A) I y II B) II y IVC) III y ID) I; II y IIIE) I; II: III y IV

9. Un capital impuesto a un interés simple durante 7 meses, produjo un monto de S/. 41040. si el mismo capital se hubiera impuesto a la mismas tasa de interés por 10 meses el monto resultaría S/. 43200. Hallar la tasa

A) 6%B) 12%C) 18%D) 24%E) 30%

10. Si un capital se triplicase y la tasa de interés fuera la mitad, el interés en el mismo sería S/. 840 más ¿Cuál fue el interés original?

A) S/. 1480B) S/. 1580C) S/. 1680D) S/. 1780E) S/. 1880

CLAVES

1. C

2. A

3. E

4. C

5. D

6. E

7. A

8. E

9. D

10. C

44


TEORÍA DE CONJUNTOS I

Noción de conjuntos:

Se entiende por conjunto a toda aquella colección o agrupación o reunión de objetos cualesquiera; a los cuales les llamamos elementos del conjunto.

Ejemplo: El conjunto A esta formado por los elementos

1, 2, 3, m, n

Notación: A = {1, 2, 3, m, n}

Obs: A un conjunto lo denotamos con una letra mayúscula; y si sus elementos contuvieran letras estos se escribirían en minúsculas.

Determinación de un conjunto:

Consiste en precisar que elementos forman el conjunto. Puede hacerse de 2 maneras:

1. Por Extensión: Es cuando se colocan todos los elementos del conjunto.

A ={1, 3, 5}

B = {-1, 1}

C = {lunes, martes, .....sábado, domingo.}

2. Por su Comprensión: Es cuando se coloca una expresión y que indique las características comunes de los elementos

A ={x/x es un número impar, x<7}

B ={x/x² - 1 = 0}

C ={x/x es un día de la semana}

Ejemplo: Halle por extensión el conjunto M, sí:

M = {y/ y es un número par, 3 < y < 7}

M = {4, 6}

45


Relación de Pertenencia: ()

Elemento conjunto

Se dice que un elemento pertenece al conjunto A cuando éste puede visualizarse en A, dado por extensión.

Veamos:

Sea:

A ={a, b, c}

a A : “a pertenece al conjunto A”

m A : “m no pertenece a A”

Cardinal de un Conjunto:

Es el número de elementos diferentes que posee el conjunto considerado.

Se denota como: n(A) “Cardinal del conjunto A”

- Sea A ={x/x es una estación del año}

A = {primavera, verano, otoño, invierno}

n(A) = 4

Diagrama de Ven Euler:

Es la representación gráfica de un conjunto; mediante una figura plana y cerrada, dentro de la cual se encuentran los elementos que conforman el conjunto.

Ej.: Si A = {2,4,7,9}

2 4

7 9

A

Es un diagrama de Venn-Euler

46


- Relación de Inclusión: ()

Sean los conjuntos A y B:

A B “A esta incluido en B”

La inclusión se da cuando todos y cada uno de los elementos de A pertenecen a B; pudiendo o no B tener más elementos aparte de estos.

A B [ x A x B ]

* “Tener en cuenta que se trata de una relación entre conjuntos”.

Veamos gráficamente:

A

B

A B

(conjunto) (conjunto)

Ejem: Sean:

i) A ={x/x es un arequipeño}

B ={y/y es un peruano}

A B : “A esta incluido en B”

ii) M ={2, 4, 6}

N ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

N M: “N incluye o contiene a M”

iii) P ={a, b, c, d}

Q ={ f, g, h i, j}

P Q: “P no está incluido en Q”

Q P: “Q no está incluido en P”

Propiedades:

47


i) A a , A

Ii) Sí: A B y B C A C

Iii) A ; A

Nota: Tener en cuenta que de acuerdo al número de elementos que posee, puede ser:

a) Finito: Si posee una cantidad limitada de elementos. A={1, 2, 3, 4}

b) Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de elementos.

B={ ....-2, -1, 0, 1, 2......}

Conjuntos Especiales:

1. Vacío ó Nulo:

Es aquel que carece de elementos.

Notación : Ø ,{ }

Obs: Se dice que A = Ø esta incluido en todo conjunto.

Ejemplo: D={x/x N y x+5 =0}

D = Ø = {}

2. Unitario o Singular:

Es aquel que tiene un sólo elemento.

Ejemplo A = {x/x N 6 < x < 8}

A ={7}

3. Universal:

Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que debe de contener a todos los elementos considerados.

Notación: U

48


Obs: No existe un conjunto universal absoluto.

Ejem: Dados

A ={2, 6, 10, 12}

B ={x+3/ x es impar 0 < x < 10}

Podrían ser conjuntos universales:

u ={x/x N x < 13}

u ={0, 2, 4, 6, ......, 20}

4. Potencia:

Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y denotado por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Ejem: Sí: A ={2, 5}

P(A) ={{2}, {5}, {2, 5}, Ø}

Obs:

i) Número de subconjuntos de A: n [P (A)] = 2n(A)

ii) los subconjuntos propios de A son aquellos diferentes de A

49



01. Dado el conjunto A={2, 6, 7} determinar V ó F según convenga.

I) 2 A

ii) 7 A

iii) {6} A

iv) {2, 7} A

Rpta.:

02. Dado el conjunto B={m, t, a, r} Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones.

I) {m} B

ii) r B

iii) [t} B

iv) {m, a, r} B

03. Dado el conjunto siguiente:

A={4, {3}, [2}, 5}

Indicar verdadero o falso según corresponda.

I) {3} A

ii) {4} A

iii) {4, {2}} A

iv) {{2}} A

v) n (A) = 4

04. Indicar por extensión los siguientes conjuntos:

A ={ x/x N, 5 < x< 12}

B ={x/x Z, 10 < x < 18}

C ={x/x N, x < 6}

D ={x/x N, x > 10}

Rpta.:

05. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:

A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10}

B ={x2+ 1/x N, 3 < x < 7}

C ={ x² + 3x + 2/x N, x < 4}

D ={(x4 + 2) / x Z, 2 < x < 5}

E ={ 4x² - 3/x Z, -5 , x < -1}

Rpta.:

06. Dado el conjunto A={1, {1,2}, 3}

Indicar Verdad (V) o falso (F) según corresponda.

i) {1, 2}

ii) 1 A

iii) 2 A

iv) {2} A

Rpta.:

07. Dado el conjunto:

A ={5,{5}, 7, {5, 1}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

50


i) {5} A

ii) {5, 7} A

iii) {5, 1} A

iv) {7} A

Rpta.:

08. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío?

A ={x/x N, 5 < x < 6}

B ={x/x Q, 3 < x < 4}

C ={x/x Z, -6 < x < -4}

D ={x/x N, -6 < x < -4}

09. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es unitario?

M ={x/x N, x < 1}

P ={x/x Z, x < 1}

Q ={x/x N, -2 x < 0}

R ={x/x Q, 5 < x < 7}

10. Dados los conjuntos:

A = {x/x es una vocal la palabra ‘mátala’}

B = {x/x es una vocal de la palabra ‘beber’]

C = {x/x es una vocal de la palabra ‘elementos’}

D = {e, o}

Indicar verdadero (V) o falso(F):

i) A es un conjunto unitario

ii) B es un conjunto vacío

iii) B es un subconjunto de C

iv) C y D son conjuntos iguales


U ={x/x N, 1 < x < 10}

A ={x²/x N, x < 5}

B ={x+5/x N, 3 < x < 7}

C ={x² + 1/x N, x < 4}

Además U: universo

Hallar el cardinal de AB y C.

Rpta.:

12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A?

Si A ={0, {1}, 1}

Rpta.:

13. Sean los conjuntos iguales

A ={a² + 1, 7}

B ={a +b , 10}

Y el conjunto unitario:

C ={a² - 1, 8}

Si A es primo Hallar A × B

Rpta.:

14. El conjunto:

A ={x/x = 2x3/(21 - x), x N}

Hallar la suma de elementos de A.

Rpta.:

51


15. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:

A ={a + b, a + 2b - 3, 12}

calcular a² + b²

Rpta.:

16. ¿Cuántos subconjuntos propios tienen el conjunto A?

Si:

A ={x/x N, -5 < 3x - 2 < 10}

Rpta.:


A ={ x -2 /x es impar, 3 < x < 11}

B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3}

calcular n(A) - n(B)

Rpta.:

18. Si los conjuntos:

A ={b + 1, 12} y

B ={b + 3, a}

Son iguales, Halle: a + b

Rpta.:

19. Sea el conjunto A:

A ={1, 2, 1, 2, ............, {3}, 1}

Hallar el número de subconjuntos propios de A:

Rpta.:

20. Si el conjunto

A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n:

Rpta.:

PROBLEMAS

01. Dados los conjuntos U ={1, 2, 3, .............., 15}

52


A ={x/x Z, x < 6}

B ={x/x N, √3< x < √26 }

C ={x/x N, x > 10}

Hallar: n(A) × n(B) × n(C)

A) 72 B) 25 C) 75 D) 81

E) 100

02. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar: m + p

A ={7, m + 3}

b ={12, p - 4}

A) 20 B) 12 C) 18

D) 15 E) 10

03. Dados los conjuntos iguales A, B y C hallar m + t + s (m, t, s N)

A ={15, 12, 9}

B ={2m, m + 3, 15}

C ={s + 2, 12, 10 + t}

A)12 B) 15 C) 18

D) 20 E) 21

04. ¿Cuántos subconjuntos tienen A?, Sí n (A) = 5

A) 16 B) 32 C) 18

D) 64 E) 25

05. Si n[P(A)] representa el número de conjuntos del elemento potencia de A.

Hallar n(A) × n(B); sí

n[p(A)] = 128

n[p(B)] = 512

A) 56 B) 72 C) 63

D) 70 E) 46

06. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

i) Sí n(A) = 0 entonces n[P(A)] = 0

ii) Sí n(A) = 1 entonces n[P(A)] =2

iii) Sí n(A) =3 entonces n[P(A)] =6

iv) Sí A = Ø, entonces n[P(A)] = 1

A) FVVV B) FVFF C) VVFV

D) VVFF E) FVFV

07. Dado el conjunto:

A ={2, 5, 6, 10}

indicar verdadero (V) o falso (F)

i) {2} P(A)

ii) 6 P(A)

iii) n [P(A)] = 16

iv) {5, 6, 10} P(A)

v) Ø P(A)

08. Dado el conjunto

A = {a, b, c, d, e}

¿Cuántos subconjuntos tienen por lo menos 2 elementos?

A) 25 B) 26 C) 27

53


D) 28 E) 30

09. Dado el conjunto

A ={m, p, q, r, s, t}

¿Cuántos subconjuntos tienen a lo más 4 elementos?

A) 64 B) 62 C) 63

D) 58 E)57

10. Dado el conjunto;

A ={ x+2/ x Z, x² < 9}

Calcule la suma de los elementos de A.

A) 3 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10

11. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto?

A ={2, 1, {1}, 1, {1, 2}, {2}}

A) 4 B) 8 C) 16

D) 32 E) 64

12. Calcular la suma de elementos del conjunto:

A ={x² + x/x Z, -4 < x < 2}

A) 4 B) 6 C) 8

D) 10 E) 12

13. Si: A ={x/x N, x < }

¿Qué expresión es verdadera?

A) -3 A B) 15 A

C) 5 A D) A 7

E) 4 A

14. ¿Cuál es el cardinal de:?

A ={x2/x Z -19 < 7x + 2 < 37}

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. ¿Cuál es la suma de elementos de:

A ={2x/(3x + 1) N 4 < x < 8}

A) 36 B) 116 C) 132

D) 165 E)160

54


TEORIA DE CONJUNTOS II

Operaciones entre Conjuntos:

01. Unión o Reunión (U): Dados 2 conjuntos A y B, se llama unión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos a la vez.

Notación: A U B ={x/x A v x B} .

Ejem: Sean los conjuntos:

A ={1, 2, 3, 6}

B ={2, 4, 6, 7, 8}

C ={4, 7, 8}

A U B ={1, 2, 3, 4, 6, 7,. 8}

B U C ={2, 4, 6, 7, 8,}

A U C ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

Gráficamente:

A B

A U B

BC

B U C

A

A C

C

U

Propiedades: Los más importantes son:

1) A U B = B U A (conmutativa)

2) A U A = A (Idenpotente)

3) A U Ø = A

4) A U U = U; U : universo

02. Intersección (g): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B

Notación:

A g B ={x/x A x B} .

Ej.: Sean los conjuntos:

A ={ 1, 2, 3, 6}

B ={2, 4, 6, 7, 8}

C ={4, 7, 8}

A g B ={2, 6}

A g C = {}

B g C ={4, 7, 8}

55


Gráficamente

B

A B

A

U

B

B C

U

C

A

A C

UC

Propiedades:

i) A g B = B g A

ii) A g A = A

iii) A g Ø = Ø

iv) A g U = A; U: universo

03. Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A.

Notación:

A - B ={x/x A x B} .

Ejm: Sean los conjuntos:

A ={1, 2, 3, 6}

B ={2, 4, 6, 7, 8}

C ={4, 7, 8}

A - B = {1, 3}

B - C ={2, 6}

A - C ={1, 2, 3, 6}

Gráficamente:

B

A B

A

-

B

B C

-

C

A

A C

-

C

Propiedades:

i) A - A = Ø

ii) A - Ø = A

iii) Ø - A = Ø

iv) A - B B - A ; A B

56


04. Complemento de un conjunto (C(A), A‘): Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo.

Notación:

A‘ ={x/x U x A} .

Ejem: Sean:

U = {1, 2, 3, .............., 7, 8}

A = {1, 3, 4, 7, 8}

A‘ = {2, 5, 6}

Gráficamente:

A

A

U

Propiedades:

i) (A‘)‘ = A

ii) Ø‘ = U

iii) U‘ = Ø

iv) A U A‘ = U

v) A g A‘ = Ø

Nota: “Leyes de Morgan”

(A U B)‘ = A‘ g B‘ . (A g B)‘ = A‘ U B‘

57


PROBLEMAS

01. Ubicar la zona Sombreada

B

C

Rpta.:

02. Ubicar la zona sombreada

B

A

Rpta.:


AB

Rpta.:


C A

Rpta.:


BU

06 Dados los conjuntos:

A ={1, 2, 3, 4, 5, ..., 10}

B ={5, 6, 8, 10}

C ={2, 3, 4, 5, 6}

D ={1, 2, 5, 8}

Hallar : (A g B‘) U (B U C)‘

Rpta.:

07. Sí:

A ={x/x N, 5 < x < 10}

B ={x/x n, 2 < x < 9}

Hallar A g B

Rpta.:

58


08. Sí:

M ={x/x Z, -6 < x < -1}

N ={-x/x Z, 2 < x < 8}

Q ={x/x Z, x < 10}

Hallar (M g Q) – (N g Q)

Rpta.:

09. ¿Qué operación representa la zona sombreada?

BA

C

Rpta.:

10. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de diciembre. Si 17 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta.

¿Cuántas mañanas comió ambas cosas?

Rpta.:

11. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, notamos que 55

leen el comercio y expreso, 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra. ¿Cuántas personas leen los 3 diarios?

Rpta.:

12. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez?. Si cada uno de éstos juega por lo menos alguno de éstos.

13. En la sección de 3 “B” hay 23 alumnos, de los cuales 10 gustan del curso de sociales y 16 gustan del curso de inglés, si todos gustan de al menos uno. ¿Cuántos gustan a la vez de los 2?

Rpta.:

14. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los 2 artefactos. ¿Cuántas personas tienen solo computadora?

Rpta.:

15. En un salón de 40 alumnos se tomaron 2 exámenes: X, F, se sabe que 14 alumnos aprobaron solo X y 8 aprobaron solo F y 6 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron ambos cursos?

Rpta.:

16. En una encuesta realizada a 120 personas, sobre los diarios que leen se

encontró que: 47 personas leen Expreso, 72 leen El Comercio y 27 leen otros diarios. ¿Cuántas personas leen El Comercio y el Expreso?. Si todos leen al menos 2 periódicos.

Rpta.:

17. En una academia deportiva obtuvo la siguiente información sobre los 108 alumnos matriculados en el ciclo de verano:

- 45 se matricularon en fútbol

- 36 se matricularon en basket

- 38 se matricularon en natación

- 19 se matricularon en basket y fútbol

- 15 se matricularon en fútbol y natación

59


- 14 se matricularon en basket y natación

- 9 se matricularon en los 3 cursos

a ¿cuántos alumnos se les vio matriculados en otros cursos?

18. De un grupo de 150 turistas que regresaban a su país de origen, se obtuvo:

- 75 visitaron Cuzco

- 59 visitaron Iquitos

- 48 visitaron Huaraz

- 18 visitaron solo Cuzco e Iquitos

- 9 visitaron solo Cuzco y Huaraz

- 21 visitaron solo Huaraz

- 25 visitaron otras ciudades

¿Cuántos visitaron solo una de las ciudades mencionadas?

19. De la pregunta anterior:

¿Cuántos visitaron Iquitos o Huaraz pero no ambas ciudades?

Rpta.:

20. Si se sabe que A , además:

n(A g B) = 6

n(B g C) =20

n(B) =28

n(A - B) 13

n(A U B) = 60

Hallar n(A); n[C-B]

Rpta.:

PROBLEMAS


M D

A) M g D B) M U D

C) M - D D) D - M

E) M‘ g D‘


MT

A) M U T B) M - T C) T - M

D) M‘ - T‘ E) M g T


T

P

A) P g T B) P U T

C) (P - T) U (T - P)

D) P - T E) T – P

60



BA

C

A) A e B e C B) A g B g C

C) A e B e C D) A e B e A

E) N.A


A) A g B g C B) A g B e C

C) A e B e C D) A e B g C

E) N.A

06. En los diagramas de Venn mostradas, sombrear las operaciones que se indican:

a)

BA

A B

U

b)

BA

C

(A B) U C

U

c)

BA

C

( A U C ) B

U

d)

BA

(A - C) B

U

C

07. Si: U ={x/x N, x < 10}, es universo;

A ={1, 3, 4, 5}

B ={3, 5, 7, 9}

c ={x²/x U}

Hallar: A‘ g C

A) {0, 2, 9} B) {0, 4, 9}

C) {0, 9} D) {0, 3, 9}

E) {0, 2}

08. Dados los conjuntos A y B, se sabe que:

61


n(A e B) = 31

n(A - B) = 18

n(B - A) =7

Hallar n(A) y n(B)

A) 24 y10 B) 24 y 13

C) 20 y 7 D) 16 y 12

E) 15 y 12

09. 60 alumnos del 3er año efectúan sus compras de útiles escolares en una librería grande: 26 de los cuales compran libros, 25 compran cuadernos y 28 hojas; además 15 de ellos compran libros y cuadernos, 7 compran cuadernos y hojas y 6 compran libros y hojas ¿cuántos alumnos compran libros solamente?

A) 13 B) 12 C) 14

D) 15 E) 16

10. Consideramos 3 conjuntos A, B, C. La intersección de los 3 tiene 5 elementos la unión de 3 tienen 50 elementos. si la unión de A y B tienen 35 elementos y se sabe que cada intersección de dos de ellos tienen 10 elementos.

¿Cuántos elementos tiene el conjunto C?

A) 15 B) 16 C) 14

D) 13 E) 17

11. En el 5to año de secundaria se observó que los alumnos están pensando estudiar el próximo año medicina ó computación. Si 7 estudiaran ambas cosas y 19 estudiaran medicina. ¿Cuántos estudiaran solamente medicina?

A) 11 B) 10 C) 13

D) 14 E) 12

12. Se observó que en una reunión 46 personas usaban relojes, 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿cuántas personas asistieron a la reunión, si todas al menos usaban una de las 2 prendas?

A) 58 B) 57 C) 56

D) 59 E) 60

13. Del problema anterior ¿Cuántas personas usaban solo pulseras?

A) 11 B) 10 C)12

D) 13 E) 14

14. En un avión hay 100 personas, de las cuales 16 no fuman y 32 no juegan ajedrez. ¿Cuántas personas fuman y juegan ajedrez?, si todas hacen al menos una de las 2 cosas.

A) 50 B) 52 C) 51

D) 53 E) 54

15. En una encuesta realizada a 400 personas acerca de sus preferencias por las bebidas gaseosas se obtuvo el siguiente resultado.

- 175 prefieren Inca Cola

- 120 prefieren solo Coca Cola

- 48 prefieren solo Fanta

- 39 prefieren Coca Cola y Fanta

- 27 prefieren Inca Cola y Fanta

- 30 prefieren Inca Cola u Coca Cola

- 57 prefieren Fanta pero no Coca Cola.

¿Cuántos prefieren otras bebidas?

A) 34 B) 35 C) 36

D) 26 E) 38

NUMERACIÓN

62


(BASE Z) 2>

215 (n) Base

In d ica q ue ag rupa m os “n ” en “n .

- Es la parte de la Aritmética que se encargará del estudio de los números y las relaciones que se establecen entre ellos.

* Número: Es un ente matemático; por lo tanto no tienen definición. Nos da la idea de cantidad.

(No se puede definir, solo es conceptual)

(concepto ¿ idea)

* Numeral: Es la representación literal simbólica del número.

Ejem.: 3; √ ; a; etc.

Sistema Posicional de Numeración:

Es un conjunto de reglas o principios que nos ayudan a representar correctamente a los numerales.

- Principios:

01.Del Orden:

5 6 9 7 21 2 3 4 5

4 3 2 1 0

Lugar

Orden

Para UNI; San Marcos el ordencomienza de “1”

OBS: Cuando el lugar coincide con el orden de un numeral; él número será de “2n”cifras; donde “n “es el lugar u orden donde en el que coinciden.

02. De la base:

Si numeral es de la base “n”; entonces la mayor cifra posible de este es “(n - 1)”.

Ejem: “Agrupemos de 3 en 3 la siguiente cantidad”.

121 (3 )

Obs:

SIG(10 )=516

(se lee solamente la base)

16 3

1 5 3 = 16 = 121(3)

2 1

- De base (10) a base de (10)

Sólo se iguala si son de igual base.

63


Es un numeral representado Literalmente; nada te indica que las cifras sean diferentes; a no ser que un problema te lo diga.

)7()7( 3526ab

¿Cómo?

- Dividiendo necesariamente.

Además: Si un numeral es de la base “n”; si se han formado “n “grupos de cierto orden; se obtiene una cifra (uno) del orden inmediato superior.

3. De la Cifra:

0 < (cifra Z ) < Base .

* (Cifra máxima) = (Base - 1)

* Además cuando se tenga una igualdad de dos numerales en diferentes bases; a mayor numeral aparente menor base; y a menor numeral aparente mayor base.

OBS:En base “n” tenemos “n “diferentes cifras a tomar para formar un numeral de cualquier número de cifras.

Cifras: (0, 1, 2, ......, (n - 1).......;)

0 = Cifra no significativa

1, 2,… = Cifras significativas

pero P‘ la Cifra de 1er lugar

{ 1, ......, n - 1}

Ojo: Convencionalmente:

10 < >

11 < >

12 < >

BASE SISTEMA CIFRAS234...

1011

BinarioTernario

Cuaternario

DecimalUndecimal

0,10,1,2

0,1,2,3

0,1,2,3,…90,1,2,…9,(10)

Representación Literal:

{10, 11, 12, ........., 99}:

* (ab ) : la barra se pone cuando el numeral contiene 2 o más letras

ab = 37 a = 3 y b = 7

mn = 11 M = 1 y n = 1

OBS:Cada Cifra de un numeral es entera; y si es mayor que 9; se usara paréntesis; una Cifra no puede ser negativa.

También:

22 ; 151 ; 7447 ; ana; reconocer⏟¿ 2 capicuas

Las cifras equidistantes en los extremos son iguales.

64


Se leen igual de izquierda o derecha o viceversa.

* Descomposición Polinomica (D.P)

* 2754 = 2000 + 700 + 50 + 4

2.10 + 7.10 + 5.10 + 4.13 2 1 0

Orden

Donde el exponente (1) y el exponente (0) es el orden.

De base + de (10) a base (10)

abc(n)=a . n2+b . n+c

Al reemplazar y ordenar queda él # en base 10.

- Generalmente es recomendable descomponer en barras, manteniéndose la base: (se toma en conciencia)

Ejem:

Obs:Para pasar un # de base de 10 a otra base 10; se pasará uno de ellos a base 10 y luego a la base requerida; para poder igualarla.

Ojo: La cifra de 1er lugar o de último orden es siempre de “0 “(cero)

- Además: ( siempre se cumple que)

* La Cifra de 1er lugar es igual a la Cifra de último orden o de mayor orden

* La Cifra de orden cero es igual a la Cifra de mayor lugar.

* Cuando se lee un numeral en base de 10; se lee Cifra por Cifra como la dirección de la flecha del lugar; y al final se dice la base.

* Propiedades:

1. * 9 = 10‘- 1 * 44(5) = 52 - 1

* 99 = 10² - 1 en general

* 999 = 10³ - 1

(n−1 ) (n−1 ) . .. .. .. . . (n−1 )(n )⏟K cifras

=(nk−1 )

2.

a.kna1 a1 .. ......

10 (n)

* 13 = 4 + 3

* 13 = 4 + 2 x 3

* 13 = 4 + 3 x 3

13

(4)

1313

(4)

(4)

65


PROBLEMAS

01. Hallar “n “; si se sabe que el siguiente número esta bien escrito

02. Dados los siguientes números; si se sabe que su representación esta dada de manera correcta:

Calcular:

03. Sí

hallar m + n+ p

04. Dada la siguiente igualdad:

calcular: a + b + x

05. Dado

Hallar: “x + m - n”

06. Si tenemos que:

Calcular: n - m - c - b – a

07. Sí:

Calcular: a + b + n

08. Dado que: 11abn=79

(n2)

Hallar: a + b + n

09. Hallar: a + m + n; si se cumple que:

10. Si a un número se le añade la suma de sus cifras; se obtiene 8 799. ¿Cuál es la suma de dichas cifras?

Rpta.:

11. La suma de un número en 3 cifras con el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras es 1332.

- La diferencia entre los números anteriormente mencionados tiene como cifra de orden de las centenas 5.

Hallar la suma de dichas cifras:

Rpta.:

12. Si se cumple:

Hallar abc (8 ) y expresarlo en base (C):

66


13. Dado que:

Expresar “P “ en base 4 y expresar su suma de cifras.

14. Dada la siguiente igualdad:

Se pide calcular:

15. Sí:

“Calcular: a + k + n + r”

16. y son números de tres cifras, y n 1mes un número de 2 cifras; todos ellos escritos en el sistema de base K + 1. sí:

Expresar n + 1 en el sistema decimal.

Rpta.:

17. Dado el #:

Expresar:

en base (a + 5)

18. Si el resultado de operar: (4 ab−ba 4 ) es un # de 3 cifras; y además tenemos que:

ab−ba=w 4

Entonces, calcular: 2a + 3b sabiendo que “a” es mínimo.

19. Sí: ab 9 n=ccn7con c > 2; y;

Hallar : “q”

20. Sí:

Hallar “k”:

67


PROBLEMAS

01. Sí el numeral esta bien expresado;

* Calcular “a + b + c”; si se sabe que al añadirle 2410 al número anterior, se obtienen un número capicúa; además “b”puede ser Cifra de cualquier numeral en la base 9.

A) 12 B) 7 C) 9 D) 8 E) 6

02. Sí el numeral;

Es capicúa; calcular a + b + c + d; si todos son Z.

A) 3 B) 2 C) 5 D) 7 E) 1

03. Sí: ; calcular

a + b + n; si (n + 1) es impar

A) 8 B) 7 C) 9

D) 10 E) 11

04. Si al numeral se convierte en base (k²): la suma de sus cifras se duplica; Halle “k “:

A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9

05. Si se cumple:

Calcular: a + b + c

A) 3 B) 5 C) 8 D) 4 E) 6

06. Las edades de 2 hermanos son

respectivamente nm y bbc ; si hace 5 años

sus edades eran y ; diferenciándose en 2; calcular: a + b + c + m + n

A) 23 B) 20 C) 24

D) 25 E) 26

07. Si el # es un cuadrado perfecto entonces la suma de los dígitos de dicho número es:

A) 12 B) 14 C) 18

D) 22 E) 26

08. Si el numeral 434 de la base 7 se escribe

como en la base “c”. Hallar a + b + c

A) 8 B) 4 C) 7 D) 5 E) 6

68


5 0 v eces

11

1

1 6 0

nn

n

n

. . . .

2 0 6 0

09. Si:

abc−cba= (m+1 ) (n+1 ) ( p+2 )

Hallar mnp + pnm

A) 786 B) 766 C) 686

D) 881 E) 576

10. Hallar m × n; si se cumple que:

A) 3 B) 9 C) 6

D) 10 E) 12

11. Sí:

calcular: a + m + n

A) 9 B) 10 C) 12

D) 13 E) 15

12. Sí: además:

a + b + c = 24

Hallar: a × c

A) 72 B) 63 C) 56

D) 42 E) 30

13. Si se cumple que:

Calcular : a × b; Si (a + b) es par.

A) 18 B) 16 C) 14

D) 12 E) 18

14. Sí: c < 5, además hallar: c + b; tomando en cuenta que todas las cifras son significativas:

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

15. Sí:

Hallar “n”:

a) 40 b) 41 c) 37

d) 44 e) 46

69


CONTEO DE NÚMEROS

I. Conteo de Números en Progresión aritmética:

Progresión Aritmética: es una sucesión de términos que tiene la característica que cada 2 términos consecutivos se diferencian en una misma cantidad llamada razón de dicha progresión aritmética.

tn = Último término

t1 = Primer término

n = # de términos

r = razón de la P.A.

Ejem: Hallar él termino 30 en:

10, 12, 14, .......

t30 = 10 + 29 x 2 = 68

* Cálculo del número de Términos (n):

tn : Último término

to : Término anterior al 1ro

r : Razón de la P.A.

Ejem: Calcular la cantidad de términos en: 14, 16, 18, .........., 92

II. Cantidad de Cifras utilizadas desde 1 hasta N:

sea: 1, 2, 3, ......., “N”; y “N” tiene “k “ cifras

# cifras = (N + 1)k - 111. . .1⏟

k cifras

Ejem: Cuántas cifras se utilizan en: 1, 2, 3, ....., 200

# Cifras = (200 + 1) × 3 - 111 = 492

III. Conteo de Números por El Método Combinatorio:

* Método Combinatorio: sirve para hallar cuantos números existen de una determinada forma multiplicando los valores que tome sus variables independientes. Este método se basa en el principio de la multiplicación.

Ejem:

i. Decir de cuantas maneras puedo llegar de A hasta C

A M C

70


ii ¿Cuántos números de 2 cifras existen en base 5?

a b5

↓↓1 02 13 24 34

4 x 5=20 números


01. Hallar el término trigésimo en 232, 234, .....,

Rpta.:

02 Decir cuántos elementos tienen el conjunto A:

A ={54, 56, 58, ............, 102}

Rpta.:

03. Cuantas cifras se utilizan en,

1, 2, 3, ............, 1999

Rpta.:

04. Cuántos números de 3 cifras existen en base 4

Rpta.:

05. ¿Cuántos # de 3 cifras existen en base 10?

Rpta.:

71


06. ¿Cuántos números de la siguiente forma existen?

Rpta.:

07.¿Cuántos números existen de la forma?

Rpta.:

08. ¿Cuántos números existen de la forma?

Rpta.:

09. Cuántas cifras se han utilizado en numerar todos los números no capicúas de la siguiente serie?

S = 46, 48, 59, ....., 599 8

Rpta.:

10. ¿Cuántos números de 3 cifras existen, que tengan por lo menos una Cifra par y por lo menos una Cifra impar?

Rpta.:

11. ¿En qué sistema de numeración hay 30

números de 4 cifras de la forma

Rpta.:

12. Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema octal?

Rpta.:

13. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en base 7, en los cuales una Cifra se repita exactamente 2 veces?

Rpta.:

14. ¿Cuántos números pares de 4 cifras existen tales que empiezan en Cifra impar?

Rpta.:

15. ¿Cuántos números capicúas tiene exactamente cifras no significativas en su escritura?

Rpta.:

16. Cuántos números impares de la forma

Existen?

Rpta.:

72


17. ¿Cuántos números pares de la forma

existen?

Rpta.:

18. Dada la siguiente P.A.

Sabiendo que t(40) = 201.

Hallar : a + b + c

Rpta.:

19. En la siguiente secuencia:

1, 2, 3, ...., se han utilizado 594 cifras Hallar a + b + c

Rpta.:

20. De cuántas, maneras se puede llegar de M a Q:

M N P Q

Rpta.:

PROBLEMAS

01. Hallar él término de lugar de la siguiente P.A.:

A) 302 B) 402 C) 303

D) 403 E) 352

02. Si los términos “a” y “a + 1" de una progresión aritmética son 251 y 259

respectivamente Hallar la suma del 1er y último termino si hasta el lugar “a” hay 30 términos y después del término de lugar “a+1" hay 45 términos.

A) 330 B) 630 C) 339

D) 679 E) 397

03. Determine él número de términos de la siguiente sucesión:

18, 33, 68, ......., 1908

A) 16 B) 19 C) 18

D) 20 E) 17

04. De la siguiente sucesión:

Tiene 20 términos, determinar la diferencia de términos de la última fracción.

A) 62 B) 54 C) 64

D) 76 E) 70

05. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética?

73


A) 14 B) 24 C) 72

D) 18 E) 23

06. Hallar la suma de los 30 primeros términos de la P.A., creciente:

A) 26 140 B) 22 020

C) 17 670 D) 24 130 E) b y c

07. Hallar la suma de los 86 términos de la siguiente P.A.

A) 13452n B) 13456n

C) 13656n D) 13660n

E) 13330n

08. Si an² + bn representa la suma de los “n”primeros términos de una P.A., obteniéndose para los 6 primeros términos: 132 y 340 respectivamente. Calcular la suma de los (a + b) primeros términos.

A) 95 B) 175 C) 224

D) 279 E) 132

09. Sea la Prog. A aob; aac ; .. . .. .. ;boa de 89 términos, hallar: a + b + c

A) 15 B) 16 C) 17

D) 18 E) 19

10. Si él termino 16 de la siguiente P.A. es 125, calcular a × b:

A) 24 B) 32 C) 35

D) 15 E) 20

11. Hallar el número de términos de la siguiente serie aritmética:

A) 20 B) 27 C) 52

D) 25 E) 30

12. Dado la siguiente P.A.

Calcular : a + b + c

A) 10 B) 20 C) 30

D) 35 E) 40

13. Si son el primero y él último termino de una P.A.; cuya cantidad de términos es 22. Calcular el décimo séptimo termino sí: a + b = 11

A) 426 B) 474 C) 747

D) 682 E) 936

14. La suma de los 11 primeros términos de una P.A. es 187 ¿Qué lugar ocupa 599 si el cuarto término es 11?

74


A) 140 B) 160 C) 78

D) 200 E) 190

15. En 2 sistemas de numeración de bases consecutivas existen 155 números que se

escriben con 2 cifras en ambas bases ¿Cuál es la suma de dichas bases?

A) 23 B) 25 C) 27

D) 29 E) 3

75


CUATRO OPERACIONES I

Adición: Dados 2 números naturales a y b se llama suma de a y b y se denota a + b al número natural S, tal que S = a + b.

Se denomina “Adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a, b), su suma a + b.

Ejem: 1 + 5 + 7⏟

sumandos

= 13⏟suma

* La adición en otros sistemas de numeración:

Ejm: sume:

4357 + 1647 + 4167

Resolución:

Los sumandos en la parte vertical son colocados para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupa sus cifras.

2 1 0 orden

Sumandos414

361

57

47

67

+

Suma ¿ … ?

Orden Procedimiento

0 5+4+6=15=2. 7⏟lleva

+ 1⏟queda

1 3+6+1+2=12= 1 .7⏟se lleva

+ 5⏟queda

2 4+1+4+1=10= 1. 7⏟se lleva

+ 3⏟queda

Luego:

435(7)+

164(7)

416(7)

1351(7)

Sustracción:

Definición: Dados 2 números naturales ay b se llama diferencia de a y b y se denota (a - b) al número natural D, si existe que a - b =D se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a, b) su diferencia (a - b)

Ejem:

M inuendoSustraendo

Diferencia

34 - 21 = 13

* La sustracción en otros Sistemas de Numeración

Ejm: dados:

Halle la diferencia

76


Resolución: Se dispone los términos de manera vertical, para trabajar de acuerdo al orden:

2 1 0 Orden

Minuendo 4 1 25

Sustraendo 1 2 35

Diferencia ¿ … ?

Trabajemos en forma ordenada

Orden Procedimiento

0

Como a “2 “no se le puede disminuir en 3 lo que se hace es regresar del orden 1 vez la base (es decir 5)

Luego:

5 + 2 - 3 = 4 (queda)

1

Como se ha regresado una vez la base, quiere decir que en este orden se tiene ahora 3 - 1 = 2, pero a 2 no le podemos disminuir en 4, luego del orden 2 regresemos una vez la base (es decir 5)

5 + 2 - 4 = 3 queda

2

Aquí se tenia 4 veces la base, como regresamos 1 vez la base aquí quedo

4 - 1 - 1 = 2 queda

Al final se tienen que:

432(5) -

143 (5)

234(5)

Obs:

* Complemento Aritmético (C.A.)

Se denomina complemento aritmético de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior , a su cifra de mayor orden.

Ejem: C.A De 738

C.A.(748) = 257

Ejem: C.A. De

C.A. (53(7)) = 14(7)

77


C A

C A

. .

. .

7 4 8 25 2

7 0 4 0 29 60

9 9 10

9 9 10

Forma practica de calcular el C.A.:

A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual va a disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos

1. Ejem:

78


PROBLEMAS

01. Sabiendo que: ; Además a + b + c = 9.

Hallar a + b² + c³

02. Sabiendo que:

Hallar a + b

03. Si a + b + c = 14 hallar

04. Sí: es de 3 cifras y calcular el menor 2a + 3b:

05. Una persona tiene ahorrados soles y

diario gana soles. Al cabo de un mes

tiene soles. Si diario gasta 10 soles. ¿Cuánto ahorra diariamente?

06. Al sumar los C.A. de , y se obtiene 734 619

Calcular:


Calcule : ab + cd + ef + g, si a letras diferentes les corresponden letras diferentes.


Hallar “a”


Calcular: a + b + c

10. Sí:

11. Sí: a + b + c = 15

Calcular la suma de cifras de:

en la base 10

12. En la suma:

Calcular (a + b + c + d)

13. Sí:

Halle: a 2 + b² + c²

79


14. Sí:

Calcule : a + c + p; Sí ac + 2mn = 186

15. Un alumno al restar 2 números de 3 cifras cada uno invirtió el orden de las cifras del minuendo, obteniendo 112 de diferencia, en lugar de 805. se sabe que la suma de cifras del minuendo más lo del sustraendo es 28. Calcule la suma de la cifra del minuendo.

16. Sí

Halle a - b + c – d

17. Sí: y a + c = 12. Calcule a + 2c

18. Hallar (a - c); sabiendo que:

19. Calcular:

“(a - c), (x + y), (k - d)”, si se cumple que:

20. La diferencia de los C.A. de dos números consecutivos es un número de 3 cifras. ¿Cuál es este número de 3 cifras?

PROBLEMAS

01. Hallar S + A + N; sabiendo que:

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 18

02. Hallar x + y + a; si:

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

03. Hallar el valor de “m”;

A) 240 B) 340 C) 440

D) 480 E) 540

04. Hallar el valor de “R”;

A) 14 280 B) 12 800

C) 12 400 D) 14 200

E) 14 400


Hallar a + b + c

A) 10 B) 12 c) 16

D) 14 E) 17

80



Hallar a + b + c

A) 9 B) 10 C) 12

D) 11 E) 13

07. Sabiendo que:

Hallar:

A) 998 B) 1 898 C) 1 798

D) 1 998 E) 1 888

08. La suma de los 3 términos de una resta es 184. Si la diferencia es 32. Hallar es sustraendo.

A) 30 B) 40 C) 50

D) 60 E) 73

09. Sabiendo que:

Hallar: x - z

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

10. Sabiendo que:

Hallar a + b + c, si “b “ es cifra máxima.

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

11. Sabiendo que:

Hallar: (a + b - c)²

A) 25 B) 36 C) 49

D)100 E)121

12. Dado:

Hallar: a + b

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

13. Sabiendo que:

Hallar: a + c

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

14. La suma de los 3 términos de una recta es 900. El sustraendo es la 1/5 parte del minuendo por la diferencia.

81


A) 450 B) 360 C) 150

D) 300 E) 400


;

Además a² + c² = 5b².

Calcule: a + b + c + m + n

A) 18 B) 21 C) 24

D) 28 E) 32

82


x x

1

0

2

6

.......

.......

.......

CUATRO OPERACIONES II

Multiplicación:

* Operación aritmética que tienen por objeto repartir una cantidad llamada multiplicando, tantas veces como indique otra, llamada multiplicador.

P = M . m .

Donde:

P =producto

M =multiplicando

m = multiplicador

Observación:

1. Par × Par = Par

2. Par × Impar = Par

3. Impar × Impar = Impar

4.

5.

6.

Ejm: Aplicativos:

01. Sí:

Hallar “(a + b + c)”:

A + b + c = 8

02. Si

Hallar (a + b + c):

A + b + c = 19

03. Sí:

Hallar: (a + b):

a + b = 8

83


División:

* Operación Aritmética inversa que consiste en saber cuantas veces una cantidad

llamada dividendo contiene a otra llama divisor:

Elementos:

* Dividendo: (D)

* Divisor: (d)

* Cociente (q)

- Cociente por defecto (qd)

- Cociente por exceso (qe)

Residuo (r)

- Residuo por defecto. r (d)

- Residuo por exceso. r (e)

División Entera:

Exacta : Cuando el residuo es igual a ceroInexacta : Ocurre cuando el residuo es diferente de

cero ( 0)

División Entera Inexacta:

* En toda división entera inexacta, si al dividendo y al divisor se multiplica o divide por una misma cantidad, el cociente no se altera, pero el residuo quedara multiplicado o dividido por dicha cantidad.

a) Por defecto:

D = d. qd + rd .

b) Por Exceso:

D = d. qe – re .

qd + 1 = qe

* Propiedades:

1.

2. re + rd = d

3. qe + qd + 1

4. D d 2D 2d

r q 2r q

84


PROBLEMAS

01. Se sabe que de la operación 12345xA, la suma de los productos parciales resultó 240. Halle el valor de A.

Rpta.:

02. Si uno de los factores de un producto es el triple del otro, si a cada uno de ellos se le suman 3 unidades, el producto aumenta en 33. Halle la suma de los factores.

Rpta.:

03. Sí:

Rpta.:

04. En una división por defecto, el residuo fue mínimo; si al residuo por exceso le disminuimos 5 unidades, resulta ser 6. Calcule la suma de cifras del divisor.

Rpta.:

05. En una división entera donde el dividendo esta comprendido entre 500 y600, el divisor es 85. Si el residuo por exceso es mayor que el residuo por defecto en 25 unidades, halle el dividendo.

Rpta.:

06. Halle un número tal que el dividendo entre 40 se obtiene un residuo que es el cuádruple del cociente respectivo. Además él número es, máximo.

Rpta.:

07. Si se cumple: , calcular la suma de todos los números de 4 cifras diferentes que se pueden formar con la cifra a, b, c y d. dar como respuesta la suma de cifras.

Rpta.:

08. El producto de 2 números aumenta en 840, si el multiplicador se aumenta en 12, pero si el multiplicando se aumenta en 12,el producto aumenta en 1 200. ¿En cuanto

aumenta el producto, si los factores aumentan en 12?

Rpta.:

09. Al dividir un número de 3 cifras entre su complemento aritmético, el residuo es máximo. Calcular cuantos valores puede tomar él cociente, si es de 2 cifras.

Rpta.:

10. Si se divide 9 850 entre 32 ¿ cual es la suma de la máxima y la mínima cantidad que se debe aumentar al dividendo pasa que él cociente aumente en 3 unidades?

Rpta.:

11. Sí:

Hallar: a + b + c + d

Rpta.:

12. Multiplicar por 9 a un número de 2 cifras es equivalente a intercalar un cero entre sus cifras. ¿Cuál es el CA del número que resulta de invertir el orden de sus cifras?

Rpta.:

85


13. Un número de 6 cifras es tal que la primera de sus cifras es 2 y si dicha cifra se traslada al orden cero, se obtendrá un número que será el triple del original. Determinar la suma de cifras de dicho número.

Rpta.:

14. Sí: 11N =.......9 757 y

4N = .......3 548

Calcular la suma de las ultimas cuatro cifras de (91 x N).

15. Hallar la suma de cifras del producto total de:

Rpta.:

16. Sí:

Calcular: a + b + c

Rpta.:

17. El siguiente esquema presenta a * como una cifra, hallar la suma del dividendo, divisor y cociente.

5**** |* * .

** **8*

4*

***

**

***

***

7

Rpta.:

18. ¿Cuántos valores puede tomar el residuo de una división entera inexacta?, Sabiendo que el dividendo es 1 200 y él; cociente es 19.

Rpta.:

19. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 30 veces más que, el residuo; y la diferencia de los mismos es 20 veces más que dicho residuo. Hallar el cociente.

Rpta.:

20 . Al dividir dos números se obtiene un residuo igual a 25. Si 85 es lo máximo que se puede aumentar al dividendo para que el cociente disminuya en k. Calcular “k “más el divisor.

Rpta.

86


PR OBLEMAS

01. La diferencia de 2 números es 132, su cociente es 7 y su residuo es el más grande. Hallar el mayor de ellos

A) 151 B) 132 C) 113

D) 32 E) 19

02. Sabiendo que: Nx7 = ....116; Nx74 = ......612; Calcular las 3 ultimas cifras del producto de Nx347

A) 232 B) 952 C) 456

D) 056 E) 086

03. En una división inexacta el residuo máximo es 28. si se sabe que el divisor tiene las mismas cifras del cociente pero en orden inverso, determine el dividendo y de como respuesta la suma de las cifras.

A) 14 B) 23 C) 10

D) 29 E) 11

04. Se dan para multiplicar los numerales 96 y 55, si se aumentan 11 unidades al multiplicador cuántas unidades hay que disminuir al multiplicando, para que no varíe el producto?

A) 48 B) 16 C) 15

D) 11 E) 14

05. Hallar el menor numeral de 3 cifras tal que si se divide en 43, resulta el residuo por defecto mayor que el residuo por exceso en 9 unidades.

A) 112 B) 151 C) 103

D) 155 E) 154

06. En una multiplicación, el multiplicador es 23. si el multiplicador aumenta en 12 unidades y el multiplicando disminuye en 5 unidades, el producto aumenta en 965. Hallar el multiplicando original.

A) 92 B) 93 C) 94

D) 95 E) 96

07. ¿Cuántos números enteros positivos, menores que 1000 al dividirlos en 54 dan un residuo igual al cuadrado del cociente?

A) 14 B) 18 C) 15

D) 6 E) 17

08. Dado que:

Calcular:

a + b + c + d + e

A) 9 B) 6 C) 12

D) 18 E) 27

87


09. Sí:

Hallar la suma de las 3 últimas cifras del,

producto

A) 14 B) 16 C) 18

D) 13 E) 15

10. A un número de 4 cifras se le divide entre 37, obteniéndose como cociente el número formado por sus 2 últimas cifras y como residuo el mayor posible. Si las cifras del numeral son diferentes entre sí. Dar la suma de ellas.

A) 33 B) 23 C)22

D) 25 E) 26

11. Sí: determinar a + b + c

A) 4 B) 5 C) 6

D) 3 E) 8

12. Sí: hallar el valor de: a + b + c + d en base 10

A) 17 B) 14 C) 15

D) 16 E) 18

13. Sí: ; hallar x + y en base 10

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 16

14. Sí:

Hallar N; si además se sabe que c - a = 5. dar como respuesta la suma de cifras.

A) 16 B) 17 C) 18

D) 15 E) 19

15. Hallar a + b + c + d; Si:

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

88


DIVISIBILIDAD I

* Divisor

- Se denomina divisor de un número entero a aquel entero positivo que lo divide en forma entera y exacta.

28 ÷ 4 = 7

Donde:

4 = divisor de 28

r = 0, pero: sí r 0; entonces “d “es el divisor de la división.

* Múltiplo:

- Se denomina múltiplo de un entero positivo “A “, a un entero “B” que resulta de multiplicar “A “por otro entero.

28 = (4) × 7 = o

4

o

4 = módulo (div. Exacta)

A ÷ B = k

r = 0

B: módulo Z+ y A, k Z

• B es divisor de A

• A es divisor de B

< > A = (B)k < >

• A es múltiplo de B

Ejem:

- “6 es divisor de 30 y 30 es múltiplo de 6"

- “1 es divisor de todo # entero”

- “0 es divisor de todo # entero positivo”

- -20 es múltiplo de 4

- -40 es múltiplo de 8

- 18 es múltiplo de -3

- 35 es divisible por -7

* Representación de los no múltiplos

- Por Defecto: todo residuo es 0

25 ÷ 6 = 4 25 = 6 × 4 + 1

25 = o

6 + 1

rd = 1 (residuo por defecto)

- Por exceso:

25 ÷ 6 = 5 25 = (6)5 - 5

25 = o

6 - 5

re = 5 (residuo por exceso)

Por lo anterior

qe = qd + 1

rd + re = d

89


d: módulo

Obs:

- Principios:

1. i)

ii)

iii)

iv)

2.

N divisores del ulo

2

3

5

6

10

15

30

m od

3.

4. *

(Principio de Arquímides)

* 2N = o

6 N = o

3

* 3A =o

8 + 6 3(A-2) = o

8

* 2N = o

11 + 8 A = o

8 + 2

N = 11 + 4

* 2A =o

6 + 4

A = o

3 + 2

* 3N =o

11 + 5

3N = o

11 + 5 + 22 o

11

3N = o

11 + 27

90


( N = o

11 + 9)

* Aplicaciones de la Divisibilidad al Binomio de Newton:

Obs:

Es conveniente llevar:

Además

91


PROBLEMAS

01. Determine el residuo por exceso que obtenemos al dividir ä “entre 41; sí 2 062 es múltiplo de 41 más 385.

Rpta.:

02. Qué residuo se Obtiene de “N” al dividir entre 8, sabiendo que:

03. si se cumple que:

donde (0 = cero)

Hallar a + b + c + d: siendo mínimo.

Rpta.:

04. El número de alumnos en un colegio es menor que 500 y mayor que 350; se observa además que los 5/9 de total usan anteojos y los 3/17 son hinchas de Unión Huaral ¿Cual es él número de alumnos que no usan anteojos?

Rpta.:

05. Se conoce que un numeral de 4 cifras es divisible por “n”, pero si desde su primera cifra se le aumenta 1, 3, 4 y 2 respectivamente el nuevo numeral de 4 cifras también es divisible por “n”. ¿Cuántos valores puede tomar “n?”

Rpta.:

06. ¿Cuántos son los pares (x, y) de enteros positivos que satisfacen la ecuación?

2x + 3y = 101

Rpta.:

07. Hallar los números de la forma: N = , que son múltiplos de 44. Dar como respuesta el residuo de N ÷ 5

Rpta.:

08. ¿Cuántos números capicúas de 3 cifras al dividirse entre 5 y 11 siempre dejan como residuo 4 y 3 respectivamente?

Rpta.:

09. Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. Dar como respuesta el producto de sus cifras.

Rpta.:

10. Hallar el resto de dividir:

Rpta.:

11. ¿Cuantos términos de:

5; 5; 13; 17; .....; 1 041 son o

5 + 2?

Rpta.:

12. Si el numeral es múltiplo de 140. calcular: (n - p)

Rpta.:

13. Un barco donde viajaban 300 personas naufraga. De los sobrevivientes, la octava parte son peruanos y la onceava parte eran chilenos y de los muertos la novena parte eran peruanos ¿Cuántos peruanos viajan en el barco?

92


14. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y 7 y además terminen en 5?

Rpta.:

15. ¿Cuántos términos de la siguiente progresión Aritmética dan como resto 4 al ser divididos entre 13.

50; 59; 68; . ; 1 526

Rpta.:

16. Si es múltiplo de 44. Hallar (a + b)

Rpta.:

17. Sí:

Hallar : A × B

Rpta.:

18. ¿Cuántos múltiplos de 15 de la forma existen

Rpta.:

19. Hallar el residuo de dividir E entre 7:

E = 1 × 8 + 2 × 8² + 3 × 8² +... +100 × 8100

20. Hallar el resto de dividir E entre 4:

E = 2² + 42 + 6² +......+ 1000²

Rpta.:

93


PROBLEMAS

01. Si es un número de 4 cifras, la suma

de los números: + , siempre es múltiplo de:

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

02. ¿Cuántos hay en la siguiente serie de números:

18 × 21; 18 × 22; 18 × 23; ....;

18 × 2 100

A) 298 B) 295 C) 301

D) 287 E) 302

03. Sí: CA. ( ) - CA ( ) =

Calcular la máxima suma de m, n y p sabiendo que p m

A) 10 B) 12 C) 15

D) 17 E) 20

04. Calcular “f” sí:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

05. Hallar “x, sí:

A) 8 B) 7 C) 6

D) 5 E) 4

06. María Luisa gasta S/.24 soles en lácteos lleva queso, helados y flanes. el queso cuesta s/.4 soles, cada helado cuesta s/. 2 y cada flan cuestan s/. 1. ¿Cuántos artículos de cada clase pudo haber comprado?

Dar un número de respuesta posible

A) 16 B) 17 C) 22

D) 25 E) 28

07. Un granjero compró pavos patos y pollo, cada pavo costo 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo 5 soles. Si compro en total 100 animales como 1000 soles. ¿Cuántos pollos compró?

A) 50 B) 10 C) 85

D) 90 E) 70

08. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1?

A) 125 B) 1286 C) 1 280

D) 1238 E) 129

09. Un número de la formula es siempre múltiplo de:

A) 41 B) 43 C) 11

D) 17 E) 9

10. Hallar: a + c - b

Sí;

A) 5 B) 6 C) 6

94


D) 4 E) 3

11. Sí ; Hallar : a × b

A) 32 B) 24 C) 48

D) 36 E) 24

12. Si el número es múltiplo de 99, Hallar x + y

A) 8 B) 9 C) 10

D) 6 E) 7

13. Hallar el valor de “c”:

A) 4 B) 2 C) 7

D) 6 E) 5

14. Sea: es múltiplo de:

A) 7 B) 4 C) 8

D) 6 D) 11

15. Sí:

Hallar a + b + c + d

A) 15 B) 16 C) 27

D) 18 D) 9

95


DIVISIBILIDAD II

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:

- Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que este sea divisible; y si no lo es nos permitirá calcular el residuo a partir de ellos.

Veamos los siguientes criterios EN BASE 10:

I) Divisibilidad por 2n:

1. Divisibilidad por 2

- Sea

De donde = 2 (22.a+21.b + c) + d

= + d

Luego: Si d = {0,2,4,6,8} =

será , si y solo si d =

2. Divisibilidad por 4: (4 = 22)

- Sea :

De donde: = 2 2 (2.a + b) +

= +cd

Luego: Si = {00,04,08,...,96}

=

será ; si y sólo sí =

3. Divisibilidad por 8: (8=23)

Sea = 23 (a) +

= +

Luego: Si = {000,008,016,...992}

=

será ; si y sólo sí =

Nota: De manera más general podemos decir que:

- “Para un número de ‘n’ cifras, será múltiplo de 2m; si y solo sí las últimos ‘m’ cifras de este número (contando de izquierda a derecha) son múltiplos de 2m; todo esto independientemente de las demás cifras de este número”

II. Divisibilidad por 5n:

- De manera inductiva, análoga a la anterior podemos concluir que:

“Para todo número de ‘n’ cifras, será múltiplo de (5m), si y solo sí el número formado por las [ultimas ‘m’ cifras (contando de izquierda a derecha son también múltiplos de (5m); todo esto independientemente de las demás cifras”.

96


De manera deductiva; se cumple que:

1. = + d; Si: d =

=

2. = + ; Si: =

=

3. = + bcd

Si bcd = =

Obs: Esta propiedad que se obtuvo con 2 y 5: pasan a ser un CRITERIO DE DIVISIBILIDAD pero tener en cuenta que esas características especiales se dan porque en la base 10 se cumple que: 2 x 5 = 10

De manera visionaria podemos generalizar para otras bases: veamos por ejemplo:

En base 6: 6 = 3 x 2

i) 132 3 = 3 + 3 = 3(6) (6) (6) (6)

ii) 1323 = 3 + 23(6) (6) (6)( )2

1.63 + 3.62 + 2 x 6 + 3 =

+ 6 x 2 + 3

339 = + 15

339 = + 6

33’9 9

-69

-6

37

Lo cual es cierto, como podemos ver.

III. Divisibilidad por 3:

- Dado un número con cierta cantidad de cifras decimos que este número es múltiplo de 3 más la suma de cifras de dicho número.

Veamos:

= + (a+b+c+d); pero:

Si (a+b+c+d) = =

IV. Divisibilidad por 9:

- Dado un número con cierta cantidad de cifras; decimos que este número es múltiplo de 9 más la suma de cifras de dicho número.

Veamos:

= + (a+b+c+d); pero:

Si (a+b+c+d) =

=

97


Obs. Nuevamente dando una visión más general acerca de este criterio de divisibilidad, podemos decir lo siguiente para el criterio de divisibilidad por 9 en base 10: 10 = 9 + 1 9 = 10 - 1

Veamos en base 5: 4 = 5 - 1

321(5) = ( ¿ ) ¿¿

¿¿

52 x 3 + 5 x 2 + 1 = + 6

86 = + 6

86 4

-6 20

Lo cual es cierto, y se multiplica en el cuadro.

Sea abcdn = abcdn =

(n−1 ) + (an + bn + cn + dn)

Y: si (an + bn + cn + dn) =

(n−1 )

abcdn =

(n−1 )

V.Divisibilidad por 11: (11=10+1)

- Dado un número con cierta cantidad de

cifras, decimos que este número es

11 más la última cifra, menos la penúltima cifra, más la antepenúltima cifra, ... ; y así sucesivamente hasta llegar a la primera cifra (contando de izquierda a derecha).

Veamos: abcd =

11 + (+ d -c + b -a);

Pero:

Si (d - c + b - a) =

11 = abcd =

11

Obs: Dando una generalización similar a la anterior: se puede comprobar que: en cierta base:

abcdn =

(n+1 ) + (+dn + cn + bn - an)

Y: Si (+dn - cn + bn - an) =

(n−1 )

abcdn =

(n+1 )

“Otros criterios de Divisibilidad”

1. Divisibilidad por 7

Dado:

abcdef = 7 + {(f + 3e + 2d) -(c + 3b + 2a)}- + N

Pero, si: N = 7 ⇒= abcdef= 7

2. Divisibilidad por 13:

Dado:

abcdef = 13 + {(f - 3e - 4d) -(c - 3b - 4a)}- + N

98



Dado:

abcdef = 33 + (ab - cd - ef)

N

Si: N = 33 = abcdef = 33


Dado:

Si: N = 99 = abcdef = 99

99


PROBLEMAS

1. En la siguiente secuencia:

1, 2, 3, ..., 400 ¿Cuántos son 3 y 5

simultáneamente?.

Rpta.:

2. ¿Cuántos números de 3 cifras son

13 ?

Rpta.:

3. ¿En una división el divisor es 11 + 3, el

cociente 11 + 8 y el resto

11 - 2. ¿Qué

forma tiene el dividendo?

Rpta.:

4. Si a la derecha de un número de 3 cifras se repite el mismo número, el número de 6 cifras así formado, es siempre múltiplo de:

Rpta.:

5. Si: a + b + c = 6. Entonces: abc + cab + bca ; siempre será múltiplo. Como mínimo impar de:

Rpta.:

6. ¿Cuántos números de 4 cifras existen tales que al dividirlos entre 12 dan como residuo 5?

Rpta.:

7. Si:

abc=7 y ab=8 x C =

Calcular a . (b + c)

Rpta.:

8. Si ab = 5 ,

ba=9 y

abc=8

Calcular c

Rpta.:

9. Si:6 a 8 ab es divisible por 45.

Determinar ab

Rpta.:

10. Se tiene un número formado por 113 cifras, las 63 primeras son 8 y los restantes 6. Hallar el residuo de dividir el número entre 7.

Rpta.:

11. Si:

abcd=5+2 , dabc=11+7 , bcad = 9 + 2

Además dabc es mínimo. Calcular a x b + c x d

Rpta.:

12. Determinar un numeral capicúa de 4 cifras, que al ser dividido entre 63 da como residuo 2.

Rpta.:

13. Al dividir 2 a 3 b 5 c6 dentre 13, se obtiene 2 de residuo. Determinar el residuo al dividir: 57 a 4 b 8 c 7 d , entre 13.

Rpta.:

100


14. En una función de cine: entre adultos, jóvenes y niños suman 8/5. Los 5/11 de los jóvenes son mujeres, el número de adultos es igual a la séptima parte del número de jóvenes, además el número de niños es menor que la de adultos y la tercera parte de los jóvenes están en platea. Calcular el número de niños.

Rpta.:

15. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles por 4, pero no por 5 ni por 3?

Rpta.:

16.Si: abc (8 )+cba (6 )= ... 2(7)

Hallar: a + c

Rpta.:

17. Indicar el residuo que se obtiene al dividir la siguiente expresión entre 17.

E = 3 x 52n + 1 + 23n + 1

Rpta.:

18. Si ‘n‘ es el total de números de 3 cifras

que cumplen con ser 3 y 7 + 5.

Calcular el residuo que se obtiene al dividir:

(232323 . .. )⏟n valores56898

entre 5

Rpta.:

19. Calcular el residuo de dividir:

P= (ab 25 )5840+2 x (ab33 )⏟20 tér min os

5842

+3 . (ab 41 )5844+. ..

Entre 8

Rpta.:

20. Si la siguiente expresión: E=3 absse lleva

a base 8. Hallar la cifra de menor orden.

Rpta.:

101


PROBLEMAS

01. Hallar el mayor ab tal que al convertir

N=137ab a la base 6 termina en 5.

a) 79 b) 86

c) 99 d) 47

e) 31

02. Sea N = K2 donde k puede ser cualquier número natural, al convertir N a la base 9, la cifra de primer orden es x. Hallar la suma de todos los valores diferentes que puede tomar X.

a) 19 b) 20

c) 16 d) 32

e) 14

03. ¿Cuál es el menor número de términos que debe tomar S = 91 + 91 + 91 + ...; para que la suma tenga 6 divisores.

a) 4 b) 12

c) 9 d) 6

e) 7

04. Desde el 1 hasta el 600, ¿cuántos son

múltiplos de 2 y 11 , pero no de

4 ?

a) 12 b) 14

c) 16 d) 18

e) 20

05. Dado abcabc (5 ) ; siempre es divisible entre:

a) 4 b) 13

c) 15 d) 18

e) 24

06. Hallar el menor de 4 cifras, múltiplo de 4, donde sus 3 primeras cifras son iguales, además al dividir dicho número entre 3 deja como residuo 2.

a) 1112 b) 2226

c) 3334 d) 1111

e) 2222

07. Hallar el numeral capicúa de 3 cifras divisible por 45. Dar como respuesta el producto de sus cifras.

a) 100 b) 80

c) 200 d) 400

e) 720

08. Si:

babab . ..ab⏟

69 cifras

=7+4

Calcular a + b

a) 6 b) 7

c) 15 d) 16

e) 12

09. Calcular el valor de ( b - c ); si a 57 b es divisible por 99.

a) 3 b) 4

c) 2 d) 7

e) 1

102


10. Calcular el residuo de dividir a 5 b 3 entre 7 si

al dividir a 2 bentre 7 el residuo es 5.

a) 3 b) 4

c) 7 d) 1

e) 2

11. Calcular el valor de “a”; si se cumple que:

2a5a=23

a) 2 b) 7

c) 1 d) 2

e) 3

12. Calcular el resto de dividir 2 m3 n 4 p 5 q 6 entre J.

Sabiendo que: 1 m2 n 3 p 4 q = 7 + 5

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

13. Si:

pqr3=7 ;

pqr 4=8 ;

pqr5=9

Hallar el mayor valor de (p + q + r)

a) 20 b) 21

c) 22 d) 14

e) 18

14. Calcular el residuo al dividir P entre 7, si:

P=83485555UNI 99

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

15. ¿En cuántos ceros termina el numeral 117!(2!)! al expresar en el sistema de base 21?

a) 24 b) 40

c) 36 d) 12

e) 72

103


DIVISIBILIDAD

1.- ¿Qué es Divisibilidad?

Es una parte de la teoría de los números que analiza las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro.

Un número A es divisible por otro número B; cuando A contiene a B; cuando contiene A contiene a B exactamente un número entero de veces.

Ejemplo:

114 es divisible por 19; ya que:

144|90 6

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2:

Un número es divisible por 2n si termina en n ceros o si la n ultimas cifras forman un número divisible por 2n.

Casos particulares

Para n = 1

Entonces 2n = 2; entonces:

Un número divisible por 2 si termina en un cero o la ultima cifra es un número divisible por 2.

Ejemplos: 16; 748; 600; 174004 son números divisibles por 2 porque terminan en cero o en cifra par.

Para n = 2

Entonces: n = 2; 2 n = 4

Ejemplos: 1300; 128; 316; 100 son números divisibles por 4; por que sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número que es múltiplo de 4.

Para n = 3

Entonces: 2 n = 8.

Un número es divisible por 8 si termina en 3 ceros o las tres ultimas cifras forman un número divisible por 8.

Ejemplos: 1000; 7016; 5000; 10088 son números divisibles por 8 porque termina en 3 ceros o las 3 ultimas cifras forman un número múltiplo de 8.

Divisibilidad por 5 n :

Un número es divisible por 5n si termina en n ceros o si las n ultimas cifras forman un número divisible por 5n.

Casos particulares

Para n = 1 Entonces 5n = 5

Un número divisible por 5, si termina en cero o si la ultima cifra es 5.

Cociente: 6

104


50; 75; 10065; son números divisibles por 5.

Para n = 2 Entonces: 5 n = 5 2 = 25

Un número es divisible por 25 si las ultimas 2 cifras son ceros o si las 2 ultimas cifras forman un número divisible por 25.

575; 800; 525 son números divisibles por 25.

Para n = 3 Entonces: 5 n = 5 3 = 125.

Un número es divisible por 125 si las 3 últimas cifras sean cero o si las 3 últimas cifras forman un divisible por 125.

Ejemplos: 70000; 5250; 3000; 152375 son números divisibles por 125.

Divisibilidad por 3 (3

)

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras de un número múltiplo de 3.

Ejemplo: (1) 178407; entonces:

1 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 = 27 es múltiplo de 3⋅(3 )

178407 es divisible por 3.


)

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras de un número múltiplo de 9.

Ejemplo: (1) 57231; entonces:

5 + 7 + 2 + 3 + 1 = 18 es múltiplo de 9.

Luego: 57231 es divisible por 9⋅(9 )


)

Un número es divisible por 6 si lo es también por 2 y por 3 simultáneamente.

2

3b°

°

°

Ejemplo: (1) 1068;

Es divisible por 2 y es divisible por 3.

Entonces es divisible por 6.

1068 = 6

Divisibilidad por 7

Un número será divisible por 7, si e cumple con la siguiente regla:

Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha e izquierda por los siguientes factores:

1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; -1; -3; -2; ….. etc.

Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7; el número dado será entonces divisible por 7.

¿Es 626934 por 7?

105


Veamos:

6 2 6 9 3 4↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓−2 −3 −1 2 3 1−12 −6 −6 +18 +9 +4

x

¿ 7

Entonces: 626939 es divisible por 7 (7 )

Divisibilidad por 11

Un número será divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar. (Empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11.

¿Es 9873226 divisible por 11?

Sumamos primero las cifras de orden impar a partir de las cifras de las unidades:

6 + 2 + 7 + 9 = 24. . . . (1)

Sumamos luego las cifras de orden para a partir de la cifra de las decenas:

2 + 3 + 8 = 13…. (2)

Ahora restamos (1) – (2) = 24 – 13 = 11

9873226 es divisible por 11.

PROBLEMAS

01) Dar “n” si 4 n 267 n es divisible entre 11.

Rpta.:

02) Dar “n” si nnn 2 n es divisible entre 7.

Rpta.:

03) Encontrar la suma de todos números de 3 cifras consecutivos que sean múltiplo de 7.

Rpta.:

04) Hallar la suma de cifras del menor número de

la forma abb que es múltiplo de 28.

Rpta.:

05) Si el número abcbbc es divisible entre 1125. Hallar el valor de “a”

Rpta.:

06) ¿Cuántos números de 5 cifras divisibles entre 63; tiene sus 4 últimas cifras iguales?

Rpta.:

07) ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras son divisibles entre 12?

Rpta.:

106


08) Simplificar:

E=7+(7

+1)+(7

+2)+(7

+12)

09) Encuentre el menor entero positivo tal que: 8x

+ 3 = 13

Rpta.:

10) Entre 50 y 300. ¿Cuántos números son divisibles entre 5?

Rpta.:

11) Dar la suma de los valores que toma “n” si

2 n 75n 8=3

Rpta.:

12) Cuantos números de la forma xyn44 son divisibles entre 8?

Rpta.:

13) Si 4aa 32 n=99

. Dar el valor de “a”

Rpta.:

14) El número 8 n 843 m es divisible entre 88. dar “n”

Rpta.:

15) Si x12 x71 x=11+4 . Dar el valor de x

Rpta.:

16) Sabiendo que: abc=25

y cba=11

Dar la suma de los posibles valores que toma “a”

Rpta.:

17) Ubique el mayor número de la forma 54 a75 b que sea múltiplo de 56 y señale la suma de sus 3 menores cifras.

Rpta.:

18) ¿Cuántos valores podría tomar x en 72 x9 x2 x ; para ser divisible por 26?

Rpta.:

19) Simplificar:

E=(6+2)+(6

+4 )+(6

+6 )+

.. . .. .. .+(6+40 )

Rpta.:

20) Encontrar la suma de los 36 primeros múltiplos positivos de 4 y 6.

Rpta.:

21) El cuadrado de todo número no múltiplo de 3 es siempre:

Rpta.:

107


PROBLEMAS

01) ¿Cuántos números de 2 cifras son divisibles entre b?

a) 14 b) 15

c) 16 d) 13

e) 16

02) Del 1 al 400. ¿Cuántos números son divisibles entre 14?

a) 27 b) 28

c) 29 d) 30

e) 26

03) Calcular (n – x) si el número nx 1 xn es divisible entre 44.

a) 0 b) 3

c) 4 d) 5

e) 2

04) Que resto se obtiene al dividir 43165324893 entre 9?

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

05) Dar el valor de a si 4 aa35=9

a) 3 b) 2

c) 1 d) 4

e) 5

06) ¿Qué valor toma “n” para que sea divisible

entre 3 el siguiente numeral: 3 a4 aa?

a) 2

b) cualquier impar

c) impar menor que 5

d) Ningún valor

e) 0

07) Dar “n” si nnn 2 n es divisible entre 7.

a) 4 b) 6

c) 8 d) 2

e) 5

08) Simplificar: E=2364 [(7 +2)6−(7

+3 )5 ]

a) 7+3 b) 7

+1

c) 7+5 d) 7

+2

e) 7+6

09) ¿Qué valor puede tomar “n” en: 40n=7+4

a) 45 b) 60

c) 42 d) 50

e) 49

108


10) Si se cumple que: a 7 b 92=208

hallar el valor de “a x b”

a) 15 b) 16

c) 17 d) 18

e) 19

11) ¿Cuántos números de la forma a 09 b son múltiplos de 91.

a) 3 b) 4

c) 2 d) 5

e) Más de 5

12) Si a 9nm 5 mes divisible entre 504. dar el valor de a x n.

a) 21 b) 24

c) 16 d) 9

e) 18

13) ¿Qué cifras remplazan a “x” a “y” para que el

número 7 x36 y5 sea divisible por 1375? Indique Xy.

a) Indeterminado b) 1

c) 0 d) 8

e) 49

14) ¿Cuántos números de la forma xyn44 son divisibles entre 8?

a) 450 b) 800

c) 350 d) 400

e) 500

15) Hallar el residuo que se obtiene al dividir 66142

entre 7.

a) 4 b) 1

c) 6 d) 2

e) 0

109


24)11()13()12(

NÚMEROS PRIMOS

Definición: Es aquel número entero y positivo que tiene sólo 2 divisores, que son el mismo número y la unidad.

Por ejemplo:

Número Divisores5 1 5

Número Compuesto: es aquel número entero y positivo que tiene más de 2 divisores; por ejemplo:

Número Divisores6 1 , 2 , 3 , 6

Número Simple: Es aquel número entero y positivo que tiene uno o 2 divisores solamente.

¿Número1

¿Divisores1

P 1 ; p← sólo 1 divisor← sólo 2 divisores

Observaciones:

El único número primo, que es par es el número 2.

Todo número primo mayor que 3 es múltiplo de

6+1 ó múltiplo de 6

−1

La secuencia de los números primos es ilimitada.

Descomposición Canónica:

La descomposición canónica de un número es el producto de las potencias de los factores primos diferentes del número.

Ejemplo:120 ; 120 260 230 215 35 51

⇒120= 23⋅31⋅51⏟¿ primos dist int os

¿

¿

Divisores de un Número:

Si un número compuesto N; se descompone en sus

factores primos del siguiente modo; N=Am⋅Bn⋅Cr

; Donde A, B y C son números primos; se tiene que el número de Divisores (Primos y no Primos) de N esta dado por la siguiente formula:

N ° de divisores : (m+1 ) (n+1) (r+1 )

Por ejemplo: Si 540 = 22 x 33 x 5

El # de divisores (Primos y no primos) de 540 es igual a:

Exponentes de los factores primos en la descomposición canónica.

Conclusiones y Formulas Adicionales:

Sea el número N: tal que:

* N=aα xbβ xcγ (Descomposición canónica)

I) Cantidad de Divisores:

DN=(α+1 ) ( β+1) ( γ+1 )

II) Suma de Divisores:

SN=[( aα+1−1a−1 ) ( bβ+1−1

b−1 ) ( c γ+1−1c−1 )]

110


III) Producto de Divisores:

PN=(N )DN

2

PROBLEMAS

01) Cuantos divisores primo tiene el número 588.

Rpta.:

02) Cuántos divisores tiene 11025

Rpta.:

03) Si 6n.8 tiene 70 divisores. Hallar “n”

Rpta.:

04) La suma de los 4 primeros números primos impares es:

Rpta.:

05) ¿Cuántos divisores tiene 5000?

Rpta.:


Rpta.:

07) ¿Cuántos divisores múltiplos de 9(9) tiene el

numeral 18900?

Rpta.:

08) ¿Cuántos divisores impares tiene 118800?

Rpta.:

09) Si 15⋅10ntiene 144 divisores. Dar “n”

Rpta.:

111


10) Hallar el valor de “x”; sabiendo que: A =

14⋅30x; B = 21⋅15x

. Además: nd (A) + nd (b) = 36

Rpta.:

11) Si el número N = 13 K + 2 – 13K tiene 75 divisores compuestos. Indicar el valor de “x”

Rpta.:

12) ¿Cuántos divisores primos tiene N = 1965600?

Rpta.:

13) ¿Cuántos divisores de 113 400 términos en 1; 3; 7 o 9?Rpta.:

14) ¿Cuántos triángulos rectán-gulos existen que tengan como área 800 m2 y además sus catetos sean números enteros en metros?

Rpta.:

15) ¿Cuál es el exponente de 7 en la descomposición canónica de (300!)?

Rpta.:

16) Si: 4k+2−4 K

tiene 92 divisores. Hallar el valor de “K”

Rpta.:

17) ¿Cuántos divisores de 2400 son 6

?

Rpta.:

18) ¿Cuántos divisores de 2400 son 10

?

Rpta.:

19) ¿Cuánto divisores tiene 5000?

Rpta.:

20) ¿Cuál es la suma de los 4 primeros números impares?

Rpta.:

112




a) 24 b) 16

c) 18 d) 30

e) 15


a) 24 b) 27

c) 30 d) 15

e) 28

03) Si 6n⋅8 tiene 70 divisores. Dar “n”

a) 4 b) 5

c) 6 d) 7

e) 8

04) Si “5n⋅625 ” tiene “6 n” divisores. Hallar “n”

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

05) ¿Cuántos divisores tiene 588 sabiendo que estos divisores también debe ser primos?

a) 6 b) 8

c) 3 d) 10

e) 4


a) 220 b) 80

c) 120 d) 75

e) 60

07) Si 15⋅10n. Tiene 144 divisores. Hallar “n”

a) 9 b) 8

c) 7 d) 10

e) 11

08) ¿Cuántos números de la forma:

(4 a−3 ) (3 b ) (4 a−3) son primos absolutos siendo a y b dígitos?

a) 3 b) 2

c) 1 d) 4

e) 5

09) Si P = 20 x 27 x… x 48 tiene 5n divisores ¿Cuántos divisores tiene 32 p?

a) 2 n b) 8 n

c) 6n d) 10n

e) 12n

10) Si a2b3

tiene 35 divisores ¿Cuántos divisores tiene a3. b4?

a) 60 b) 48

c) 79 d) 140

e) 63

113


11) ¿Cuántos triángulos rectángulos existen que tengan como área 800 m2 y además sus catetos sean números enteros en metros?

a) 8 b) 9

c) 10 d) 11

e) 12

12) ¿Cuántos divisores de 113400 terminan en 1; 3; 7 o 9?

a) 10 b) 13

c) 12 d) 15

e) 17

13) ¿Cuántos divisores tiene 30 0000?

a) 36 b) 48

c) 81 d) 25

e) 10

14) Si el número N; N=13K +2−13K tiene 75

divisores compuestos. Indicara el valor de “K”

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6

e) 7

15) ¿Cuántos divisores tiene 82 000?

a) 35 b) 40

c) 38 d) 41

e) N.A

114


M.C.D y M. C. M

Máximo Común Divisor:

El M.C.D de dos o más números naturales es el mayor divisor común de los números dados.

MCD (30, 12) = 6

El MCD de 2 números primos entre si (PESI) es la unidad.

Ejemplo: MCD (3,5) = 1

Si a 2 o mas números se le multiplica o divide por otro, su MCD quedara multiplicando o dividido por dicho número.

Si a 2 o mas números se les divide entre su MCD, los cocientes obtenidos son PESI.

Si K = MCD (A, B) = d

AK=P → A=PK

BK=q →B=qK

p y q son PESI.

Mínimo Común Múltiplo:

El m.c.m de 2 o más números naturales es el menor Múltiplo Común de los números dados.

Ejemplo: m.c. (12, 18) = 36

Si descomponemos canónicamente:

m.c.m (80, 80, 120) = 24 x 32x 5 = 720

80 = 24 x 5

90 = 2 x 32 x 5

120 = 23 x 3 x 5

m.c.m = Todos los factores primos comunes y no comunes mayor

Exponentes.

Otra forma:

80− 90− 120 240 45 60 220 45 30 .

.

m.c. m = 720

El M.C.M de 2 números de los cuales uno este contenido en otra manera exacta; entonces el M.C.M es el mayor de los números.

2 números PESI tienen como M.C.M el producto de ellos.

Si a 2 o mas números se les multiplica o divide por otro M.C.M quedara multiplicado o dividido por dicho número.

Si el M.C.M de 2 o más números se les divide entre estos; los cocientes obtenidos son PESI.

El producto del MCD por el MCM de 2 números es igual al producto de ellos.

MCD⋅MCM=A x B↓ ↓K . (m .c . m)=( pk ) (qk )

m .c . m=k⋅( p⋅q )m .c . mm .c . d

=p x q

115


1 5

CONCLUSIONES ACERCA DE M.C.D Y EL M.C.M

M.C.D

1. Es un divisor común de las cantidades.2. Es el mayor de los divisores comunes.

Ejemplo: sean los números: 30 y 45.

Hallando sus divisores:

30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

45 : 1; 3; 5; 9; 15; 45.

Divisores Comunes 1; 3; 5; Máximo

M.C.D (30; 45) = 15.

Observación:

Los divisores comunes de un conjunto de cantidades son los divisores de su M.C.D.

En general:

Para los números A, B y C.

M.C.D. (A, B, C) = K

Descomposición Simultánea:

Ejemplo: calcular el M.C.D y M.C.M de:

a) 80; 120 y 200

Solución: Hallando el M.C.D

804020102

1206030153

20010050255

2225

23

x 5 = 40

SON PESI

X

M.C.D. (80; 120; 200) = 40

Cada número se puede expresar.

80 = 40 x 2120 = 40 x 3200 = 40 x 5

SON PESI

Observaciones:

Si A, B y C son PESI

M.C.D (A, B, C) = 1

Si A=B

C=B

M.C.D (A, B, C) = B

116


M. C. M

1. Es un múltiplo común de las cantidades2. Es el menor de estos múltiplos comunes.

Ejemplo: Sean 4 y 6

Hallemos sus múltiplos.

4 : 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32;………..

6 : 6; 12; 18; 24; 30; 36;……

Múltiplos Comunes:

12, 24, 36, ......

M ínimo

M.C.M (4; 6) = 12

Observaciones:

Los múltiplos comunes de un conjunto de cantidades son los múltiplos de su

Si 2 números A y B son PESI. Entonces M.C.M [A; B] = A . B

Si los números A, B y C son PESI entonces:

M.C.M [A; B; C] = A . B . C

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL M.C.D Y M.C.M

Veamos la descomposición simultánea:

Aplicación: 1

Si sabemos que:

M.C.D (2a; 3b) = 12

Entonces hallar el MCD de (4a; 6b)

Solución:

MCD (2a; 3b) = 12

MCD (2a (2); 3b (2)) = 12 (2)

MCD (4a; 6b) = 24

Ojo: Si m.c. m (A, B, C) = m

m. c. m (An, Bn, Cn) = m x n

Donde: n es Z+

Aplicación: 2

Hallar el valor de A⋅B ; si sabemos que el m. c. m. (42a; 6B) = 8064 y el M.C.D (77a; 11B) = 88

117


Entonces Resolvemos:

Solución:

Si; m. c. m (42A; 6B) = 8064

Entonces el, m. c. m (7A; B) = 1344

Y también notamos que:

M. C. D (77A; 11B) = 88

Entonces:

M.C.D (7A; B) = 8

Ahora sabemos que:

Por propiedad:

M .C .D(7 A ; B )⏟ x m .c .m .(7 A ;B )⏟=7 A x B

8 x 1344 =7 A x B .. . .. .. .. ( I )

Como nos piden: “A x B”

Entonces en (I) tendríamos:

1536 = A x B

* Ahora veamos otro método para hallar el M.C.D y M.C.M

En general: Sean los números A, B y C

M.C.D (A, B, C) = K; luego

A= K x P B= K x q C= K x r

SON PESI

En general: sean los números A, B, C donde:

m.c.m [A, B, C] = m; luego:

m = A x Pm = B x qm = C x r

SON PESI

Calcule el M. C. D y m. c .m de:

a) 60; 96;

Solución:

60 - 9630 - 4815 - 24 5 - 8

223

22 x 3 = 12

Luego: M. C. D (60; 96) = 12

m. c. m (60; 96) = 12 x 5 x 8

m.c.m. (60 ; 96) = .M.C.D. (60 ; 96) . 5 . 8

118


Además:

60 ¿ 12 ¿ 596 ¿ 12 ¿ 860 ¿ 96 ¿ 12 ¿12⋅5⋅8

60 x 96 = M.C.D. . .m.c.m.

En general para 2 números A y B

Si MCD (A ; B) = k

PESIqKB

PKA

m.c.m. (A ; B) = m

Entonces:

i. m = k . P . qii. A . B = K . m

OJO Si M.C.D. (A , B, C) = K

M.C.D (An, Bn; Cn) = K . n

Donde: n Z+

DESCOMPOSICION CANÓNICA

Ejemplo: Halle el M.C.D. y m.c.m de los números A, B y C donde:

A = 25 . 32 . 53

B = 23 . 34 . 52 . 72

C = 24 . 36 . 5 . 11

Entonces: M.C.D (A, B, C) = 23 . 32 . 5

M.C.M. (A, B, C) = 25 . 36 . 53 . 72 . 11

En general: Dadas las descomposiciones canónicas de varios números.

El M.C.D de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes elevados cada uno a su menor exponente.

El m.c.m. de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor exponente.

Aplicación (3): Si: A = 45 . 60n y

B = 60 . 45n

Calcular el menor valor de n para que se cumpla que su m.c.m sea igual a 12 veces su M.C.D.

Solución: Descomponemos canónicamente:

A = 22n . 32 + n . 5n + 1

B = 22 . 32n + 1 . 5n + 1

Hallemos el m.c.m. y el M.C.D:

M.C.D.(A ; B) = 22 . 32 + n . 5n + 1

m.c.m. (A ; B) = 22n . 32n + 1 . 5n + 1

* Por Condición:

119


m.c.m. (A ; B) = 12 . M.C.D. (A ; B)

2 3 5 = 12 2 3 52 n 2 n + 1 n + 1 2 2 + n n + 1. . . . .

22(n – 1) . 3(n – 1) = 12

(4)(n – 1) . 3(n – 1) = 12

(4 . 3)(n – 1) = 12

(12)n – 1 = 121 n – 1 = 1

n = 2

El menor valor de n es 2.

120


DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES

TEOREMA: En toda división entera inexacta el M.C.D. del dividiendo y el divisor es el M.C.D. del divisor y el residuo.

Si:

D dr q M.C.D. (D ; d) = M.C.D. (d ; r)

Ejemplo: Calcular el MCD de 156 y 120

156 12036 1

M.C.D. (156 ; 120) = M.C.D.(120 ; 36)

120 3612 3

M.C.D. (120 ; 36) = M.C.D.(36 ; 12)

36 120 3

M.C.D. (36 ; 12) = 12

M.C.D.(156 ; 120) = 12

En general: Sean los números A y B donde A > B

siduosRe

.D.C.M

Cocientes

0rrr

rrrBA

qqqq

321

321

4321

M.C.D. (A ; B) = r3 .

121


PROBLEMAS

01) El MCD de 2 números es 12 y su producto es 864. Dar el mayor de ellos

Rpta.:

02) El M.C.D. (4a; 2b) = 126. dar el M.C.D de (6a; 3b)

Rpta.:

03) El M.C.M de 2 números primos entre si (PESI) es 240. ¿Cuántos pares de números cumplen tal condición?

Rpta.:

04) Dar el m.c.m de 128 y 2010.

Rpta.:

05) El número: “N” se divide entre 4; 6 y 15 da como restos 3,5 y 14, el menor valor de N ( Z+) es:

Rpta.:

06) Hallar el MCD de: 240, 3030, 4020 y 5010.

Rpta.:

07) Al obtener el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes números consecutivos y como restos 210; 50; 10; 10. Dar la suma.

Rpta.:

08) Los cocientes obtenidos en el proceso. Hallar el M.C.D de 2 números son respectivamente 2; 3; 1; 2 y 2.Hallar la suma de los números si su MCD es 24.

Rpta.:

09) Dar “n” si A = 45 x 60n. B = 60 x 45n; además:

MCD(A , B )=1

12⋅m . c .m(A , B )

Rpta.:

10) Dos números son entre si 40 es 75; además su m.c.m. es 1080. dar la suma de los números.

Rpta.:

11) Calcular la suma de 2 números primos entre si, talque se diferencia en 7 y su MCM sea 330.

Rpta.:

12) Se divide un terreno de 670m por 330 m en cuadrados cuyas longitudes de sus lados son enteras de metros.¿Cuantos cuadrados son? Sabiendo que el área de cada uno de ellas están comprendidos entre 50m2 y 110 m2.

Rpta.:

13) El m.cm. de 72n. 750 y 4. 90n tiene 2944 divisores. Dar “n”

Rpta.:

122


14) Un número es 13 veces el otro número, además el MCM de ellos es 559. hallar, le MCD de estos números.

Rpta.:

15) Cuales son los 2 números primos entre si; cuyo MCM es 330 y su diferencia es 7?

Rpta.:

16) Un número excede al otro en 3460 y al calcular el MCD de dichos números mediante el algoritmo de Euclide a los cocientes sucesivos fueran: a; 2; 3; 2 y 4. Si el MCD fue 20. hallar “a”

Rpta.:

17) El MCM de 2 números a y b es 88. Además a2 + b = 108. Hallar el valor de a + b.

Rpta.:

18) El MCM de A/4 y B/4 es 2a y MCD (2A; 2B) =m B. calcular A/C.

Rpta.:

19) La suma de 2 números es 299 y la suma de su MCM y su MCD es 851. Calcular la diferencia entre los 2 números.

Rpta.:

20) La diferencia de 2 números es 36 y la diferencia de su MCM y su MCD es 36. ¿Cuál es el producto de dichos números?

123



01) El M.C.M de 2 números (A y B) es 210. Si el producto es 2730. ¿Cuántos valores toma A?

a) 5 b) 6

c) 4 d) 3

e) 7

02) Dar el M.C.D de 308; 168 y 252

a) 14 b) 16

c) 18 d) 56

e) 42

03) Dar el m.c.m. de 24; 30; 18 y 90

a) 180 b) 360

c) 720 d) 480

e) 1440

04) ¿Cuál es el número menor que no es divisible por 4; 6; 9; 11 y 12 que al dividirlo entre estos se obtiene restos iguales?

a) 215 b) 317

c) 397 d) 428

e) 459

05) Si se sabe que MCD de A y B es 7. Si A2 + B2 = 245. ¿Cuánto vale el mayor?

a) 13 b) 14

c) 15 d) 16

e) 17

06) La suma de los cuadrados de 2 números es 325 y uno de ellos es 3 veces su MCD. Hallar el mayor.

a) 8 b) 12

c) 10 d) 15

e) 13

07) Dar números al multiplicarse se obtiene que su MCD es “C” y cuando se divide por dichos números es F. hallar el MCD.

a) √ FC b)

3√F .C

c)

FC d) √F . C

e) F.C

08) El producto y el cociente del MCM y MCD de 2 números es 2880 y 45. ¿Cuál es el número menor?

a) 45 b) 44

c) 34 d) 46

e) 40

09) Hallar la diferencia de 2 números sabiendo que su suma es 325 y su MCM es 100.

a) 175 b) 275

c) 75 d) 25

e) 225

10) Hallar la suma de 2 números enteros; sabiendo que están en relación de 3 a 7 y que el producto de su MCD por su m.c.m es 21504.

124


a) 360 b) 320

c) 920 d) 160

e) 180

11) Dar “n” si: A = 45 x 60n. B = 60 x 45n

además: MCD( A , B )=1

2m . c . m(A , B )

a) 4 b) 5

c) 3 d) 2

e) 1

12) Hallar MCD de: 2040; 3030; 4020; 5010.

a) 2040 b) 3030

c) 4020 d) 5010

e) 1050

13) Si MCD (4a; 2b) = 128, dar el MCD de 6a; 3b.

a) 132 b) 192

c) 144 d) 216

e) 408

14) Si “N” se divide entre 4; 6 y 15 da como restos 32; 5 y 14, el menor valor de N (Z+) es:

a) 29 b) 119

c) 59 d) 83

e) 99

15) Dar el m.c.m de 128 y 2010.

a) 164 b) 324

c) 212 d) 49

e) 818

125


MEZCLA Y ALEACIÓN

Es la unión de 2 o más componentes o ingredientes; donde cada uno de ellos conserva su propia naturaleza.

A. PRECIO MEDIO O PRECIO DE COSTO DE UNA MEZCLA.

Es el precio producido (ponderado) por una unidad de mezcla resultante.

El precio, es el precio costo; es decir no considera ganancias o perdidas.

1

23

Precios por Unidad de Mezcla:

P1, P2,……, PN

Cantidades en (g, Kg, etc)

C1, C2,………, Cn

Costo por ingrediente:

* P1 C1, P2 C2;……; PnCn

Precio Medio

P=P1 C1+P2 C2+. .. . .. ..+Pn Cn

C1+C2+. .. .. . .+Cn

B. Relación de Mezcla Mediante la Regla del Aspa

En que relación es necesaria mezclar arroz de $. 1,80 el Kg. y arroz de $/. 1,70 el Kg.; para obtener un arroz cuyo precio medio sea $/. 1,76.

Solución:

Pesos Precios Unitarios TotalX Kg . $/ . 1, 80 1 ,80 x .Y Kg . $/ . 1, 70 1 , 70 y .

Pm=1 ,76

Pm=1 ,76=1 , 80⋅x+1 , 70 yx+ y

⇒ x3= y

2

Forma Práctica:

X Kg 1,80

y Kg 1,70

1,76 - 1,70 3

0 ,04 2

1,76 0,06

1,80 - 1,76

126


MEZCLAS ALCOHOLICAS

Son mezclas de alcohol puro y agua destilada.

A. Grado de Una Mezcla Alcohólica (porcentaje de Pureza)

Es la relación expresada en porcentaje (%) que existe entre el volumen del alcohol puro y el volumen de la mezcla.

Grado=V alcohol

V Total

⋅100%

Grado=[18 ,518 ,5+6,5 ]⋅100 %=74 °

Ojo: 74 °< >74 % de pureza .

significa que¿ {V alcohol =74 % del Vtota¿ ¿¿

100°

6°

0°

(Alcohol puro)

Nota: Los problemas de mezclas alcohólicas se resuelven usando los mismos procedimientos que en mezclas; considerando ahora a los grados como a los precios.

Ahora veamos un ejemplo de mezclas:

Ejemplo:

A 4 litros de alcohol de 81° se le agrega 1 Litro de alcohol puro y cierta cantidad de H2O. Si se obtuvo alcohol de 53°. ¿Qué cantidad de H2O contiene el alcohol final?

Componentes Grados Productos4 81° 3241 100° 100x 0° 0

∑ ¿5+ x 53° ∑ ¿424

53=324+100+0

5+x⇒ x=3

De acuerdo con este resultado concluimos que la mezcla final de alcohol contiene 47% de H2O; los mismos que equivalen a 3,76 litros.

0 °≤ G≤ 100 °

127


MEZCLA Y ALEACIÓN

Aleación:

Es una raíz homogénea de metales; obtenida por medio de un proceso de FUSION (fundición). En aritmética se trabaja a nivel de joyería

Componentes :¿ {Metales Finos; Oro; Plata ; Platino ; .. . .. .¿ ¿¿

Ley de una Aleación:

Es la relación que existe entre el peso del metal fino y el peso total de la aleación.

Ejemplo:

Se funde 14,6g. de plata con 10,4g. de cobre la ley de la aleación, cual será:

Ley=14 ,614 ,6+10 , 4

=14 , 2625

=0 , 584 (584 milesimas )

Significa ¿ {Plata Pura=584 /100 de PTOTAL¿ ¿¿

¿

¿

Escala de la Ley:

LEY=

PFINO

PTOTAL

Número de Kilates de una Aleación de Oro

El número de Kilates de una aleación de oro; indica cuantas partes de la aleación (Dividida en 24 partes iguales) son de oro puro.

Ejemplo:

Oro Puro : 18 3

Oro de Kilates Cobre :1624

14

Ley=1824=3

4=0 , 75

Ejemplo:

Oro de 15 Kilates ¿ {Oro Puro :15 5 ¿ ¿¿

Ley=15

24=5

8=0 ,625

Escala del # de Kilates:

24 Kilates

18 Kilates

12 Kilates

0 Kilates

Kilates

1,00

0,75

0,50

0,00

Kilates

Ley= N ° Kilates24

1

0

M etal frioPuro

M etal L igaPuro

128


REGLA DE MEZCLA

* RESUMEN: Cuando hemos definido mezcla hemos dado por entender que es la reunión de 2 o más sustancias (ingredientes) homogéneos en cantidades arbitrarias; conservando cada una de ellas su propia naturaleza.

Ejemplo: Mezcla de arroz peruano y brasileño.

Mezcla de 4 litros de alcohol y 2 litros e agua.

Aplicación:

Se desea mezclar 2 clases de maní de diferentes calidades. 30Kg de S/. 5 el kilogramo con 20kg de S/. 2 el kilogramo. Se desea calcular:

El precio de costo de un kilogramo de la mezcla.

A que precio se debe vender el kilogramo de la mezcla para ganar un 50% del costo.

Resolución:

S/. 5.00 el kg S/. 2.00 el kg

MEZCLA

30kg

Pm

50kg

20kg

INGREDIENTES

Sea “Pm” precio de costo por kilogramo de la mezcla.

Calculando en la mezcla

o Costo total = 5(30) + 2(20)= S/. 190

o Peso total = 50kg

Precio por kilogramo da la mezcla.

Pm =

19050 = S/. 3,8 el kilogramo

Precio de venta:

Pv = 3,8 + 50% (3,8)

= 3,8 + 1,9

Pv = S/. 5,7 el kilogramo.

Concluimos:

Pm =

5×30+2×2030+20 = S/. 3,8

Ahora; los ingredientes:

S/. 5.00 el kg S/. 2.00 el kg

MEZCLA

30kg

S/. 3,8 el kg

50kg

20kg

INGREDIENTES

Sea “Pm ” prec io por k ilogram o de la m ezc la

129


El primer ingrediente disminuye en calidad de S/. 5 a S/. 3,8 en (5 – 3, B = 1,2); S/. 1,2 por cada kilogramo; en 30 kilogramos la perdida es (1,2 x 30) = 36

El segundo ingrediente aumenta de calidad de S/. 2 a S/. 3,8 en ((3,8 – 2) = 1,8). S/. 1,8 por cada kilogramo; en 20 kilogramos la ganancia es (1,8 x 20 = 36). S/. 36

Lo que pierde un ingrediente es equivalente a lo que gana otro ingrediente, es decir:

1,2×30=1,8×2036=36

(Perdidaaparente)=(Ganancia

aparente )S/ . 2underbracealignl Precio ¿⏟

menor ¿

¿<

S/ . 3,8 underbracealignl Precio ¿⏟medio ¿

¿<¿ S /. 5underbracealignl Precio ¿⏟mayor ¿

¿ ¿¿ ¿¿

Ahora veamos algunas conclusiones:

¿Pr eciomenor

≤Pm≤Pr eciomayor

∗¿ ¿

Comparando los precios unitarios con el precio medio, se observa.

(Ganancia

aparente )=(Perdidaaparente)

(Precio

medio )=(Pr eciocos to )

* Ahora veamos:

MEZCLA ALCOHÓLICA

Es un caso particular; donde los ingredientes principales son el agua y el alcohol.

Aplicación:

Se tiene 2 recipientes A y B en las que se ha

mezclado agua y alcohol. En A hay 60 litros (l) de

agua y 20 litros (l) de alcohol; en B hay 10 litros (l) de alcohol y 10 litros (l) de agua; calcular que tanto por ciento de alcohol hay en cada uno de los recipientes.

Solución:

Agua

Alcohol

V = 80 litrosT

60 l

20 l

A

20 litros de los 80; son alcohol puro

% Alcoholpuro

=(2080 )⋅100 %=25%

Es decir su grado de pureza es de 25°

Agua

Alcohol

V = 20 litrosT

10 l

10 l

B

10l de los 20l son alcohol puro.

% Alcoholpuro

=(1020 )⋅100 %=50 %

130


Es decir su grado de pureza es de 50°

En general: Para una mezcla alcohólica.

Grado depureza

=(Volumen de Alcohol Puro )(Volumen de la Mezcla )

×100°

Alcohol puro < > 100°

Agua pura < > 0°

En la aplicación anterior:

80 l

A

20 l

B

100 l

g A = 25° g B = 50°

g m

Al mezclarlos obtendremos

gm: Grado de la mezcla

gm=(20+1080+20 )×100 °=30 °

Es decir:gm=

25×80+50×2080+20

=30 °

El grado medio (gm) de una mezcla se calcula en forma análoga que el precio medio considerando los grados de pureza por los precios.

80 l

A

20 l

B

100 l

25° 50°

gm = 30º

Se cumple; lo que aumenta en A es igual a la perdida en B.

5%(80) = 20%(20)

400% = 400%

Gananciaaparente

= Perdidaaparente

131


PROBLEMAS

01) A 4 litros de alcohol 81° se le agrega 1 litro de alcohol puro y cierta cantidad de agua. Si se obtuvo alcohol de 53° ¿Qué cantidad de agua tiene el alcohol final?

Rpta.:

02) ¿Cuantos litros de alcohol puro se debe agregar a 28 litros de alcohol de 65° para obtener el alcohol de 80°?

Rpta.:

03) ¿En que relación se deben mezclar 2 sustancias cuyas unidades son 1,8 y 1,2 para obtener una sustancia de 1,6 de densidad?

Rpta.:

04) Se mezcla 3 litros de ácido de 30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega una concentración al 50% ¿Cuántos litros del diluyente se empleo?

Rpta.:

05) Al fundir 20gr. de oro de 18K y 20gr. de oro de 800 milésimas; 30g al 6% de oro y 30g de cobre. ¿De cuantos Kilates es la nueva aleación?

Rpta.:

06) Se tiene 2 barra de oro: En la 1era el 80% es oro puro y en la 2da cuyo peso es el doble de la 1era el 75% es oro puro. ¿Cuál es la ley que resulta de la fusión?

Rpta.:

07) A 18 gramos de oro de 17K se eleva su ley hasta 21 K agregando de oro puro. ¿Qué peso de cobre será necesario alear con este nuevo lingote para volverlo a su ley original?

Rpta.:

08) A como sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino S/. 0,84 con 8 litros S/. 0,90 y 12 litros de S/. 1,20.Rpta.:

09) Para obtener vino de S/. 0,80 el litro. ¿En que proporción directa serán necesarias mezclar vinos de S/. 0,90 y S/. 0,50 el litro?Rpta.:

10) El latón se compone de 33 partes de zinc y 67 de cobre es 850 Kg. de latón. ¿Qué diferencia hay entre los pesos de cobre y el zinc?Rpta.:

11) Se mezclan 20Kg. de café de S/. 12 el Kg. con 30Kg. de café de S/. 10 el Kg. ¿Cuál es el precio unitario de la mezcla?

Rpta.:

12) Se ha mezclado 200 litros de vino a 5 soles el litro con 30 litros de vino de precio mayor, obteniéndose una mezcla con precio medio de 6,50 soles el litro. ¿Cuál es el costo, en soles por litro del mencionado vino de mayor Precio?

Rpta.:

13) ¿Cual es la pureza de una mezcla alcohólica que contiene 24 litros de alcohol puro y 8 litros de agua?

Rpta.:

14) Se mezclan en un recipiente de 5 litros de capacidad 2 metales líquidos A y B que están en relación de 2 a 3. Se retiran 2 litros de la mezcla, es cuando se desea saber cuantos litros del metal A quedan en el recipiente.

Rpta.:

15) Se tienen 16 gramos de una aleación de oro de ab Kilates; si se le agrega 48 gramos de oro

puro se convierte en una aleación de ba Kilates. Hallar (a + b).

Rpta.:

16) Las leyes de 3 lingotes de plata son: 0,900; 0, 800 y 0,720 milésimos. Si se fundieran el primero y el segundo se obtendría un lingote de 0,840 de ley y se fundiera el segundo y el tercero se obtendría un lingote de 0,770 de ley. Determinar el peso del segundo lingote; si se sabe que la suma de los peso de los tres lingotes es 10,2 Kilogramos.

Rpta.:

17) De un recipiente lleno de alcohol se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua; luego se

132


extrae la quinta parte y se completa con agua. ¿Cuantos litros de alcohol de 95° se necesitaran agregar a 20 litros de esta ultima mezcla para obtener alcohol de 90°?

Rpta.:

18) Se tienen 10 litros de alcohol a 40°, el 20% de esta mezcla se echa a un recipiente que contiene cierta cantidad de agua; obteniéndose alcohol de 5°. ¿Cuántos litros de agua contenía este recipiente?

Rpta.:

19) Se compro damajuanas que contenían 5 números consecutivos de litros de vino; con precios de S/. 400, S/. 300; S/. 200; S/.300; respectivamente. Al mezclar los contenidos se vendió el litro ganando

Rpta.:

20) Se mezclan: vino de S/. 11,700 y S/. 22,300 el hectolitro y se vende en S/. 200.00 el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase entrara en una mezcla de 212 litros?

Rpta.:


01) Se quiere obtener 100 litros de alcohol de 74°; mezclando 30 litros de alcohol de 80°; con cantidades convenientes de alcohol puro y agua. ¿Cuál es la diferencia de las cantidades a mezclarse de alcohol puro y agua?

a) 10 Lt b) 20 Lt.

c) 30 Lt. D) 50 Lt.

e) 25 Lt.

02) Se tienen 2 mezclas alcohólicas; una de 40 litros al 80% y otra de 60litros al 75%. ¿Cuántos litros se deben intercambiar para que ambas tengan el mismo porcentaje de alcohol?

a) 16 b) 20

c) 32 d) 40

e) 24

03) Se tiene una mezcla de 4 ingredientes (cuyos precios unitarios están en progresión geométrica de razón 2) en cantidades I.P a dichos precios. Si el mas caro de los ingredientes cuesta S/. 12 por Kilogramo. ¿Cuánto costara el kilogramo de dicha mezcla?

a) S/. 3,2 b) S/. 3,6

c) S/. 4,2 d) S/. 4,6

e) S/. 4,8

04) Se tomo 4 clases de arroz; de precios: S/. 1,80; S/. 1,79; S/. 1,82 y S/. 1,83. hallar la diferencia de Kilogramos que se tomo de la cuarta y segunda calidad. Si la diferencia de la primera y tercera calidad es 60 Kilogramos; además el precio de la mezcla es S/. 1,81.

a) 30 b) 120

c) 60 d) 15

e) 40

05) Paco tiene una botella con alcohol de 40° y para obtener alcohol de 54° mezcla de todo el

133


contenido con el 25% de la botella de Ricky. Si la botella de Paco y Ricky tienen volúmenes en la relación de 3 a 8 respectivamente. Calcular la pureza de alcohol de la botella de Ricky.a) 60° b) 75°

c) 80° d) 100°

e) 90°

06) ¿Cuál debería ser la pureza de alcohol que se debe añadir a 80 litros de alcohol de 96° de pureza; para obtener un hectolitro de 90° de pureza?

a) 66° b) 65°

c) 64° d) 60°

e) 70°

07) Se tiene alcohol de 50° y 80° de pureza. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe añadir a una mezcla de 20 litros del primero con 30 litros del segundo; para contener alcohol de 75° de pureza?

a) 15 lts. b) 13 lts

c) 14 lts d) 16 lts.

e) 20 lts.

08) Se mezclan alcohol de 48° y agua en la proporción de 5, 3 y “N”. Hallar “N” si la mezcla es del mismo grado que uno de los ingredientes.a) 3 b) 4

c) 5 d) 2

e) 7

09) Se tiene 150 litros de una mezcla alcohólica en la que el volumen de alcohol puro es el 150% del volumen de agua. ¿Cuántos litros de agua debe agregarse a esta mezcla para obtener alcohol al 40%?a) 75 lts b) 80 lts

c) 60 lts d) 65 lts

e) 76 lts.

10) ¿Cuántos kilogramos de una amalgama al 60% deben fundirse con “x” kilogramos de una amalgama al 90% para obtener una amalgama

que contenga 48 kilogramos de mercurio y 12 kilogramos de cobre?a) 30 Kg. b) 90 Kg.

c) 20 Kg. d) 25 Kg.

e) 35 Kg.

11) Se tiene un recipiente que contiene 60 litros de alcohol de 60°, si se retiran 20 litros que son reemplazados por agua. ¿Cuántos litros de la nueva mezcla deben reemplazarse ahora por agua, para que resulte alcohol de 36°?

a) 7 lts b) 5 lts

c) 8 lts d) 9 lts

e) 6 lts

12) Si se mezclan “N” kilos de arroz de S/. (N – 1) el kilo; con “N” kilos de arroz de S/. (N + 1) el kilo; se obtienen entonces una mezcla cuyo precio es S/. 60. Si se mezcla el doble de la cantidad del primer arroz con el triple de la cantidad inicial del segundo arroz. ¿Cuál será el precio de un kilo de dicha mezcla?

a) S/. 60,8 b) S/. 60,5

c) S/. 60,2 d) S/. 60.

e) S/. 70.

13) Las leyes y los pesos de 4 lingotes son proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4. Si al mezclar los 4 se obtienen una aleación de 0,480 milésimas. Hallar la ley del segundo.

a) 0,620 b) 0,320

c) 0,580 d) 0,120

e) 0,450

14) Los precios de los ingredientes por litro de varias sustancias son: S/. 100, S/. 200, S/. 300,… si el litro de mezcla cuesta S/. 1700;

134


tomándose de cada uno de los ingredientes como: 1, 2, 3,….. ¿Cómo cuanto se tomo de la última sustancia?

a) 25 b) 30

c) 26 d) 27

e) 40

15) Mezclando vino de S/. 51000 y S/. 67000 el hectolitro; se han obtenido 1648 litros, que se han vendido por S/. 791040 perdiendo en la venta el 20%. ¿Cuántos litros entraron de cada clase? Dar la diferencia.

a) 206 lts b) 300 lts

c) 0 lts d) 820 lts

e) 520 lts.

135


TANTO POR CUANTO

Tanto Por Cuanto:

El a por b de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera como a es b.

xN=a

b⇒ X= a

b(N )

Ejemplos:

Si tenemos:

1 por 10 significa 1 por cada 10 el cual es: 1/10

3 por 7 significa 3 por cada 7 el cual es: 3/7

Ahora si le sacamos o lo aplicamos el tanto por cuanto a una cantidad:

a por b de N= ab(N )

Tanto Por ciento:

Es una o varias centésimas partes de una cantidad cualquiera.

Formula General: X % N = P

Donde: X = Tanto por ciento.

N = Unidad referencial.

P = Porcentaje.

Ejemplos:

1) El 50% de S/. 60 es:

50100⋅60=30

2) El 80% de 25m es = 20m

3) El 10% de 100 = 10

Ojo: Siempre se cumple que:

1º) N = 100%. N

2º) a % N b % N = ( a b) % N

3º) a % del b % de N es:

a100

xb

100x

c100⋅N

4º) a % del b % de N es:

axb100⋅%N

Ejemplo: 20% del 40% de N.

Es igual a:

20 x 40100

%N=8%N

Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje; se considera como el (100%)

136


PROBLEMAS

01) ¿Cuál es el 40% de 840 soles?

Rpta.:

02) Que porcentaje es 156 de 650?

Rpta.:

03) Si a una cantidad le sacamos su 45% nos queda 378. hallar ducha cantidad.

Rpta.:

04) Juan tiene S/. 84, 000 y Pedro 15% menos de lo que tiene Juan; ¿Cuánto tiene Pedro?

Rpta.:

05) Que porcentaje es 696 de 480?

Rpta.:

06) El sueldo de Carmen es de 180, 000 soles; pero Patricia recibe un sueldo 24% mayor que el de Carmen. ¿Cuál es el sueldo de Patricia?

Rpta.:

07) Una herencia se reparte entre 2 hermana si el mayor ha recibido 2´800 soles; lo cual representa el 70% de la herencia. ¿Cuánto ha recibido el menor de los hermanos?

Rpta.:

08) Una persona recibe la cantidad de 1750 soles al ganar un premio que ha sido descontado en 12,5%. ¿Cuál es la suma de dicho premio?

Rpta.:

09) Un futbolista dispara 17 penales; acertando todos ellos. ¿Cuánto debe tirar luego; fallando, para tener una eficiencia del 85%?

Rpta.:

10) ¿Cuánto de agua debe añadirse a 10Lts de alcohol que es 95% puro; para obtener una solución que sea 50% puro?

Rpta.:

11) En una aleación el 30% es cobre. ¿Cuántas libras de cobre debe agregarse a 40 libras de esta aleación para que resulte una aleación con 60% de cobre?

Rpta.:

12) Que precio debe fijarse a un artículo que costo, 4,000 soles; sabiendo que se va hacer una rebaja del 20% de dicho precio y aun así ganar el 20% del costo?

Rpta.:

13) En una oficina hay 156 personas, de las cuales ¼ son mujeres y los demás hombres. Si se desea que el 40% del personal sean mujeres. ¿Cuántas se tendrían que contratar?

Rpta.:

14) Se vende una mercadería en 10K soles ganando el m % de su costo ¿Qué tanto por ciento se hubiera ganado si la mercadería se hubiese vendido en 11K soles?

Rpta.:

15) Para Construir un ferrocarril sobre una montaña; desde el pie hasta la cima; se necesita hacerlo subir 600 mts. La pendiente se puede reducir haciendo que el ferrocarril de vueltas a la montaña. ¿En cuanto aumentara el trayecto a recorrer; si se quiere reducir la pendiente de 3% a 2%?

Rpta.:

137


16) Para construir un edificio se compraron ladrillos a 1,200 soles el millar se utilizaron por diversos causas 3,600 ladrillos, equivalentes al 0,1% del total comprado. ¿Cuánto se invirtió en la compra?

Rpta.:

17) En un examen de admisión en el que se requiere aprobar los cuatro exámenes programados solo el 12% de los postulantes podrían ser admitidos; si solo se adquiera aprobar 3 de los exámenes; el número de los postulantes a admitir aumentaría en 2/3 del número anterior y totalizarían así 800. ¿Cuántos son los postulantes?

Rpta.:

18) Si el largo de un rectángulo aumenta en el 30%. ¿En que porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en el 9%?

Rpta.:

19) Si la longitud del radio de un círculo aumento en 40%. ¿En que porcentaje aumenta la medida del área de su superficie?

Rpta.:

20) En que porcentaje aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%?

Rpta.:

PROBLEMAS

01) De que cantidad es 165%?

a) 520 b) 460

c) 300 d) 120

e) 600

02) Oscar prepara una mezcla en la cual por cada 3 vasos de licor; hay 2 de gaseosa. Si prepara 2 litros de mezcla. ¿Qué porcentaje será el licor?

a) 70% b) 38%

c) 61% d) 60%

e) 40%

03) Una mañana calurosa; iba tarzán saltando de liana en liana; cuando observa en un árbol; a un grupo de monos a los cuales les arroja 50 pedradas. Si acierta 20 de los tiros: Calcular: ¿Qué porcentaje de los tiros acertó?

a) 35% b) 80%

c) 40% d) 42%

e) 45%

04) Del problema anterior: ¿Qué porcentaje de los tiros que acierta no acierta?

a) 30% b) 25%

c) 20% d) 18%

e) 35%

05) El 15% de 32; es el 12% de que número?

a) 40 b) 30

c) 20 d) 25

e) 35

138


06) Hallar el 40% del 60% de una cantidad N.

a) 25% N b) 29% N

c) 23% N d) 28% N

e) 30% N

07) El número total de artículos aumenta en su 20% y el precio disminuye en su 20%; luego el precio total:

a) Aumente en 4%

b) Disminuye en su 4%

c) Aumenta en su 24%

d) No aumenta, ni disminuye

e) N.A

08) Si la base de un triangulo aumenta en 30% y su altura en 50%. ¿En que porcentaje aumentara el área?

a) 95% b) 100%

c) 50% d) 90%

e) 80%

09) Si x aumenta en 15% ¿En cuanto aumentara x2?a) 30% b) 30,50%

c) 32,5% d) 31,25%

e) 32,25%

10) Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28 por ciento de lo que quedaría; perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo?

a) 1,600 soles b) 1,500 soles

c) 1,000 soles d) 2,000 soles

e) N.A.

11) Si el área de un cuadrado ha aumentado en un 300 por ciento, diga ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento para el lado del cuadrado?

a) 120% b) 11%

c) 110% d) 100%

e) 90%

12) La diferencia entre los 7/160 y el 44 por mil de una suma de dinero viene a ser su:

a) 0,4% b) 0,050%

c) 0,025% d) 0,04%

e) 0,30%

13) Si el largo de un rectángulo aumenta en el 20% en que porcentaje debe aumentar el ancho para que el área aumente en un 60 por ciento?

a) 30% b) 33,3%

c) 45% d) 33%

e) 40%

14) Al 75% de un número se divide entre 4 y se multiplica por 3.

a) 105 b) 108

c) 106 d) 120

e) 100

15) En una granja, el 30% de gallinas es el 20% del número de conejos. ¿Qué tanto por ciento del 80% del total es el número de gallinas?

a) 50 b) 60

c) 80 d) 90

e) N.A.

139


ASUNTOS COMERCIALES

Para las transacciones comerciales los términos que se utiliza son los siguientes:

Pv Precio de venta G Ganancia Pc Precio de costo P Perdida GB Ganancia Bruta GN Ganancia Neta

Obs.: PL = PF = PM Precio de lista, Precio fijado;

Precio de mercado.

Ahora veamos las distintos casos que ocurren en una transacción comercial:

1. Cuando Existe Ganancia

Pv = Pc + GananciaPv = Pc + GB

2. Cuando se Originan Gastos

GB = GN + Gastos Adicionales

3. Cuando Existen Perdida

Pv = Pc − Perdida

Importante:

1. Todo porcentaje de ganancia o perdida que no refiera a la unidad de venta o alguna otra unidad; se asumirá que es sobre el precio de costo.

2. Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema refiera a otra unidad.

Descuento Sucesivos:

De = 100% - (100 – D1)% de (100 – D2)% De (100 – D3) % de………….

140


……………… (100 – Dn) %

Obs.: Nótese que el orden en que se efectúan los descuentos no afecta

el descuento total.

Dentro del problema de los descuentos sucesivos; es muy común. El trabajar con 2 descuentos para ello: El descuento equivalente (DE) a 2 descuentos dados D1 y D2 es:

De = 400% - (100 – D1) de (100 – D2) %

De = D1 + D2 – D1 de D2

Aumentos Sucesivos:

A = A1 + A2 + A1 de A2

Ejemplo:

1er aumento 10%; segundo descuento: 20%

A = 10% + 20% + 10% de 20%

A = 10% + 20% + 2% = 32%

141


PROBLEMAS

01) ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costo 4,000 soles, sabiendo que se va a hacer una rebaja de 20% del costo?Rpta.:

02) Se vende una mercadería en 10K soles ganando el m% de su costo. ¿Qué tanto por ciento se hubiera ganado si la mercadería se hubieses vendido en 11 K soles?Rpta.:

03) Una persona pregunta en una tienda que descuento le pueden hacer sobre el precio de un repuesto y le responden que 20%; va a otra tienda y compra el mismo repuesto con un descuento del 25%, ahorrándose así 35 soles. ¿Cuánto costaba el repuesto?Rpta.:

04) El precio de un articulo es de S/. 15 en una fabrica un comerciante adquiere 5 de tales artículos por lo que hacen el 20% de descuento. Luego lo vende obteniendo por ello S/. 80. ¿Qué porcentaje del precio de venta se está ganando?Rpta.:

05) Si la razón aritmética del 20% de “A” y el 40% de “B” es 20; además la razón geométrica del 40% de “A” y el 60% de “B” es 3/2. Hallar (A + B)Rpta.:

06) Si un comerciante vende los 3/5 de su mercadería ganando el 20% y en el resto pierde el 25%. ¿Gana o pierde? ¿Qué porcentaje del costo?Rpta.:

07) Cuando se añade un litro de agua a una mezcla tiene 20% de ácido; cuando se añade un litro de ácido a la nueva mezcla; el resultado tiene 33 1/3% de ácido. El porcentaje de ácido en la mezcla original es:Rpta.:

08) Sofía le dice a Mario “Entre tu dinero y el mío hacemos S/. 1125; pero si hubiéramos recibido 80% menos; tendrías lo que yo tendría si recibiera 20% menos. ¿Cuánto tiene Mario?

Rpta.:

09) Si el 20% de “A” y el 25% de “B” y el 50% de “C” son perpendiculares a 3; 4 y 5. ¿Qué porcentaje de (A + C) es B?Rpta.:

10) Se requiere rebajar al 5% la concentración de 20 litros de solución define que esta al 7,5% para lo cual se añade H2O (agua) ¿Cuánto de agua hay que agregar?Rpta.:

11) Una tela a lavarse e encoge 10% en el ancho y 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 metros de ancho ¿Qué longitud debe comprarse si e necesita 36 m2?Rpta.:

12) Un articulo al venderse se le rebaja el 10% luego se le recarga el 10% pero se le vuelve a rebajar el 10% pagando así 89100. ¿Cuál era el precio del artículo?Rpta.:

13) Al vender un objeto ganando el 30 % del precio de costo se gana S/. 600 mas que si se vende ganando el 20% de del precio de venta. ¿Hallar el precio de costo si la suma de este con el precio de venta fue S/. 5000?Rpta.:

14) Lo que tiene “A” es lo que tiene a “B” como 7 es a 3; si el 20% de “A” se pasa a “B” y luego el 25% del nuevo valor de “B” se pasa a “A”. Si al final “A” tiene 2010. ¿Cuánto tenia al principio?Rpta.:

15) Si el 4 por 10 del 10% de “a” por 1000 de 50 es igual el 30% de “b”. hallar el “b” por “a” de 24000.Rpta.:

16) El largo de un rectángulo aumenta ¿en un 20%. ¿En que porcentaje debe disminuir su ancho, para que su área no varié?

Rpta.:

17) Al precio de costo de un objeto se le recarga el 25% ¿Cuál es el mayor porcentaje de rebaja que

142


se puede hacer sobre el precio de venta para no perder?Rpta.:

18) Un refrigerador se realiza en 250,000 menos dos descuentos sucesivos de 20 y 15 por ciento, entonces el precio de venta es:Rpta.:

19) Un comerciante obtiene 25% de ganancia sobre las ventas. ¿Calcular el porcentaje de ganancia sobre los costos?Rpta.:

20) Si el precio de un artículo disminuye en un 40% y en demanda aumenta en un 80%. ¿En que porcentaje aumenta la recaudación?Rpta.:


01) Un articulo que costo S/. 2268 se vendió ganando el 30% del precio de venta. ¿Cuánto se gano?

a) S/. 324 b) S/. 648

c) S/. 972 d) S/. 840

e) S/. 500

02) Un articulo costo S/. 1800, se vende perdiendo el 20% del precio de venta. ¿Cuánto se perdió?

a) S/. 300 b) S/. 280

c) S/. 180 d) S/. 240

e) S/. 210

03) Se vende un articulo en S/. 550 ganando el 10% del costo más el 20% de la venta. Indique, el precio de costo.

a) S/. 420 b) 400

c) 480 d) 1640

e) 520

04) La venta de un articulo produce cierto gasto; se vende el articulo en S/. 330 en el cual se gana el 10% del costo; siendo además la ganancia neta S/. 20 ¿Cuántos soles ascendió el gasto?

a) S/. 12 b) 20

c) 17 d) 10

e) 15

05) Una persona compro cuadernos a 8 soles c/u y lo vendió obteniendo una utilidad neta de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto el 15% de la ganancia bruta y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro?

a) 35 b) 30

c) 38 d) 40

e) 42

06) Para fijar el precio de venta de un artículo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

a) 33% b) 38%

c) 42% d) 50%

e) 44%

07) Se vendió un televisor ganando el 20% del precio de costo; pero si se hubiera vendido el 20% del precio de venta; la ganancia hubiera sido S/. 12 más. ¿En cuanto se vendió el televisor?

a) 298 b) 315

c) 256 d) 288

e) 302

08) Un comerciante compra libros a S/. 32 cada una.

Anuncia su venta a S/. ab de modo que cuando haga un descuento de 20% a sus clientes sobre

el precio real de venta. Determinar ab ; dando como respuesta a + b.

a) 15 b) 10

c) 6 d) 8

e) 5

09) El precio de un artículo se aumenta en un tanto por 80 y luego se rebaja al mismo tanto pero por 90 y se tienen así el precio original. Hallar dicho tanto.

a) 10 b) 8

143


c) 12 d) 20

e) 45

10) Un comerciante compra una mercadería por S/. 400; vende el 20% de esta mercadería con una perdida del 10%. ¿Qué tanto por ciento debe ganar en el resto de la mercadería; para recuperar lo perdido y a aun ganar el 30% de toda la mercadería.

a) 20% b) 15%

c) 30% d) 35%

e) 40%

11) Se ha vendido 30 lavadoras ganando el 20% de su costo con el importe de ello se compraron cocinas a gas; de las cuales el 20% se vendió ganando el 30% de su costo; el 60% se vendió a su precio. De costo y el resto perdiendo el 10% con lo cual se gano 2160 soles. ¿Cuánto costo cada lavadora?

a) S/. 1500 b) 1800

c) 1200 d) 900

e) 1000

12) Por cada 2 artículos “T” se comprar 3 artículos “R” y sus costos respectivos están en la misma razón de 1 a 2. Se decide venderlos a todos por los primeros con ganancia del 30% y los otros con un 40% obteniendo un total de 3520. ¿Cuánto compro de cada uno; si el precio de venta del más barato es 26 soles?

a) 36 y 52 b) 26 y 90

c) 34 y 50 d) 32 y 40

e) 30 y 46

13) ¿En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de un artículo para fijar su precio al público de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aun se gane el 60% del costo?

a) 166 , 6̂% b) 156 , 8̂%

c) 188 , 8̂% d) 143 , 6̂%

e) 169 , 6̂%

14) Se fije el precio de un articulo aumentado en K% de su precio de costo si luego el hace un descuento equivalente el 25% de su precio de costo se observa que se ganan el 20% de su precio de venta ¿Cuál es el valor de “K”?

a) 50 b) 28

c) 70 d) 60

e) 32

15) Un comerciante comprar al contado un articulo con un descuento del 20% del precio de lista ¿Qué porcentaje del precio fijado en lista representa el precio de venta del comerciante; si el debe ganara el 20% del precio de compra?

a) 95% b) 85%

c) 80% d) 96%

e) 94%

144


FORMULARIO

DIVISIBILIDAD

Criterios:


Un número es divisible por 2n si termina en “n ceros” o si las ultimas “n” cifras forman un número por 2n.


Un número es divisible por 5n cuando el número termina en n ceros o si las ultimas n cifras forman un número divisible por 5n.


Un número es divisible por 3 cuando la suma de las cifras es un múltiplo de 3.


Es cuando el número al sumar sus cifras es un múltiplo de 9.


Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.


Un número es divisible por 7 si se cumple con la siguiente regla:

Multiplicamos cada una de las cifras del mismo dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:1, 3; +2; -1; -3; -2; 1; 1; 3; 2;

Números Primos

Si N:

N=aα xbβ xcγ

I) Cantidad de Divisores:

DN=(α+1 ) ( β+1) ( γ+1 )

II) Suma de Divisores:

SN=[( aα+1−1a−1 ) ( bβ+1−1

b−1 ) ( c γ+1−1c−1 )]

III) Producto de Divisores:

PN=(N )DN

2

M.C.D y M.C.M

2 números PESI tienen como M.C.M al producto de ellos.

Si a 2 o mas números se le multiplica o divide por otro número su M.C.M quedara multiplicado o dividido por dicho número.

El producto del M.C.D por el M.C.M de 2 números es igual al producto de ellos.

MCD⋅MCM=A x B↓ ↓K (m . c .m)=( pk ) ( qk )

m . c .m=k⋅( p⋅q )m .c . mm .c . d

=p x q

Asuntos Comerciales:

145


Cuando hay ganancia en la Transacción

Pv = Pc + GananciaPv = Pc + GB

Cuando se Originan Gastos

GB = GN + Gastos Adicionales

Cuando Existen Perdida

Pv = Pc − Perdida

Descuento Sucesivos:

De = 100% - (100 – D1)% de (100 – D2)% De (100 – D3) % de………….

……………… (100 – Dn) %

Para 2 descuento:

De = D1 + D2 – D1 de D2

Aumento Sucesivo:

Para 2 Aumentos:

A = A1 + A2 + A1 de A2

Mezcla y Aleación:

Precio Medio:

P=

P1 C1+P2 C2+. .. . .. ..+Pn Cn

C1+C2+. .. .. . .+Cn

Mezcla Alcohólica:

Grado de una Mezcla Alcohólica:

Grado=V alcohol

V Total l

⋅100 %

Aleación:

Ley de Aleación

LEY=PFINO

PTOTAL

Ley= N ° Kilates

24

146


MISCELÁNEA

147


01) Una señora lleva 300 naranjas al mercado y encuentra que el 20% esta malogrado y solo pudo vender el 70% de los buenos. ¿cuántos quedaron sin vender?

Rpta.:

02) En cierto momento de una fiesta el 60% de los hombres están bailando y el 20% de las mujeres no bailan. Si en total fueran 350 personas. ¿Cuántos bailaron en ese momento?

Rpta.:

03) De un conjunto de 800 personas; el 75% son hombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres fuman. ¿Cuántas personas no fuman?

Rpta.:

04) Un tejido al lavarse se encoge en 2 por 15 de su longitud y el 5% de su ancho. Después de lavarse, ¿Qué porcentaje del área original es el área que ha quedado?

Rpta.:

05) En una granja el 20% son patos; los 45% gallinas y el resto son pavos. Si el número de gallinas fuera el doble. ¿Qué porcentaje del total serán pavos?Rpta.:

06) Si a es el 25% de c y b es el 40% de c ¿Qué parte de b es a?Rpta.:

07) ¿En cuanto aumentara “N3”?, si N aumenta en un 20%Rpta.:

08) El 50% de A es igual al 30% de B. ¿Qué tanto por ciento de “5ª + 7B” es A + B?

Rpta.:

09) Si cada una de las dimensiones de un paralelepípedo aumentaran en 20%, 50% y 40%. ¿En cuanto aumentara su volumen?

Rpta.:

10) Un artículo que costo S/. 2268 se vendió ganando el 30% del precio de venta ¿Cuánto gano?

Rpta.:

11) Un articulo costo S/. 1800; se vende perdiendo el 20% del precio de venta ¿Cuánto se perdió?

Rpta.:

12) Se vende un articulo en S/. 550 ganando el 10% del costo más el 20% de la venta. Indique el precio de costo.

Rpta.:

13) La venta de un articulo produce cierto gasto; se vende el articulo en S/. 330 en el cual se gana el 10% del costo; siendo además la ganancia neta S/. 20 ¿a cuantos soles ascendió el gasto?

Rpta.:

14) Una persona compro a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo una utilidad neta de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto del 15% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro?

Rpta.:

15) Para fijar el precio de venta de un articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%, ¿Qué tanto por cierto al costo se ha ganado?

Rpta.:

16) Se vendió un televisor ganado el 20% del precio de costo; pero si se hubiera vendido

148


ganando el 20% del precio de venta, la ganancia habría sido S/. 12 más ¿En cuanto se vendió el televisor?

Rpta.:

17) Un comerciante compra libros a S/. 32 cada

una. Anuncia su venta a S/. ab de modo que cuando haga un descuento de 20% a sus clientes; resulte ganando 20% sobre el

precio de venta. Determinar ab , dando como respuesta a + b.

Rpta.:

18) El precio de un artículo se aumenta en tanto por ciento por 80 y luego se rebaja el mismo tanto por ciento por 40 y se tienen así el precio original. Hallar el descuento.

Rpta.:

19) Se fija el precio de un articulo alimentando en K % de su precio de costo. Si luego se hace un descuento equivalente al 25% de su precio de costo y se observa que se gana el 20% de su precio de venta. ¿Cuál es el valor de k?

Rpta.:

20) ¿Qué cantidad de agua hay que añadir a 3 litros de alcohol de 40° para que resulte la mezcla de 30°?Rpta.:

21) ¿Qué cantidad de vino de 30 A % el litro hay que añadir a 5 litros de vino de 60 A %. Para que la mezcla resulte de 40 %?

Rpta.:

22) ‘¿Qué cantidades de café de S/. 50, S/. 40 y S/. 30 Kilo hará falta para obtener café que se pueda vender a S/. 35 Kilo sin ganar ni perder; si se quiere que en la mezcla entren 6 kilos de café de S/. 30 el kilo?

Rpta.:

23) ¿Qué cantidades de café de 20 y 15 cts. La libra tengo que añadir a 6 lbs. De café de 40

cts. Para formar una mezcla que le pueda vender a 27 cts. La libra formando 5 cts. Por libra?

Rpta.:

24) Un tabernero tiene 6 lts. de vino de 80 cts. Y quiere saber que cantidades de vino de 60, 50 y 40 cts. debe añadir a los 6 litros anteriores para formar una mezcla que pueda venderla a 78 cts. el litro ganando 8 cts. en cada litro.

Rpta.:

25) ¿A como debo vender el litro de una mezcla de 30 lts de vino de 60 cts. y 20 lts. de agua para ganar 8 cts. por litro?

Rpta.:

26) Para obtener alcohol de 60° ¿Qué cantidades serán necesarias de alcohol de 70° y de 30°?

Rpta.:

27) ¿Qué cantidades de vino de 80 cts. y de agua serán necesarias obtener vino que vendido a 55 cts. el litro deje una utilidad de 10 cts. por litro?Rpta.:

28) Para obtener café de 40 cts. libras; ¿Qué cantidades serán necesarias de café de 65, 50, 45, 38 y 25 cts. la libra?

Rpta.:

29) De los 600 litros de vino que contiene un barril, el 20% es vino de 50 cts.; el 8% vino de 60 cts.; el 23% vino de 70 cts. y el resto de vino $ 1el litro. ¿A como sale el litro de la mezcla?Rpta.:

30) Fundiendo 10 gramos de oro puro con 5 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

149


Rpta.:

31) Una cadena de plata que pesa 200 gramos contiene 50 gramos de cobre ¿Cuál es la ley?

Rpta.:

32) Un vaso de oro que pesa 900 gramos contiene 100 gramos de liga ¿Cuál es la ley?

Rpta.:

33) Un arete de oro pesa 2 gramos y es de ley 0,900. ¿Cuánto pesa el oro que contiene?

Rpta.:

34) Un anillo de 14 kilates pesa 12 gramos ¿Cuánto pesa el oro que contiene?Rpta.:

35) Un vasito de oro de 16 kilates pesa 60 adarmes ¿Cual es su valor en monedad si el adarme de oro se paga en 6 bolívares?Rpta.:

36) Un anillo de oro de 18 kilates pesa 12 gramos ¿Cuánto vale el oro del anillo pagándolo a 8 bolívares el gramo?

Rpta.:

37) Una cadenita de oro de 0,50 de ley contiene 5 adarmes de oro puro. ¿Cuánto pesa la cadenita?Rpta.:

38) Un objeto de oro de 16 kilates contiene 120 gramos de oro puro ¿Cuántos gramos de liga tienen el objeto?

Rpta.:

39) Un objeto de oro pesa 1,6718 gramos y su ley es 0,900. Si el gramo de oro puro se paga a $ 1.15. ¿Cuánto vale ese objeto?Rpta.:

40) ¿Qué resto se obtiene al dividir 43165324893 entre 9?Rpta.:

41) Si 8 xyx 5 y es divisible entre 88. dar x – y.Rpta.:

42) Si se cumple: a7b 92=208

, hallar el valor de “a x b”Rpta.:

43) Si x12 x71 x=11+4 . Dar el valor de “x”

Rpta.:

44) Si se sabe que:

abcd=9

cd−ab=43

Hallar el valor de: a⋅b−c⋅d

Rpta.:

45) ¿Cuántos múltiplos de 30 hay en la siguiente serie?24 (24 )+24(24+1)+24 (24+2)+24 (24+3 )+.. . .. .. . .+ .. .. . ..+24 (24+150 )

Rpta.:

46) Luego de una clase se retiran 3 alumnos y de los que quedan 1/9 son mujeres y 1/11 usan lapiceros rojos. ¿cuántos alumnos habían al comienzo de la clase?

150


Rpta.:

47) A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños; mujeres y hombres. La cantidad de niños era la séptima parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailan?Rpta.:

48) Resolver: x N y y N

24x + 37y = 2989

Dar la suma de los valores que toma “x”

Rpta.:

49) Hallar a y b sabiendo que son enteros y positivos y: 126ª + 198b = 2214. Indique la menor diferencia entre a y b.

Rpta.:

50) ¿Cuál es el resto de dividir 52105 entre 72?

Rpta.:

51) ¿Qué resto se obtiene al dividir 19670 entre 17? Rpta.:

52) Hallar el residuo que obtiene al dividir 14699

entre 11?

Rpta.:

53) Que valor puede tomar “n” en 40n = 7° + 4.

Rpta.:

54) Una señora lleva 3000 naranjas al mercado y encuentra que el 20% esta malogrado y solo pudo vender el 70% de los buenos.

Rpta.:

55) Si a es el 25% de c y b es el 40% de c ¿Qué parte de b es a?

Rpta.:

56) A un examen se presentan 32 alumnos se observa que los del profesor Saavedra aprobaran todos y que su número era exactamente el 5% del total de aprobados. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen?(sabiendo que el 37, 5% de los alumnos que se presentaron desaprobaron)

Rpta.:

57) Si el lado de un cuadrado aumenta en un 10%. ¿En que porcentaje aumenta el área del cuadrado?

Rpta.:

58) Un refrigerador se realiza en 250,000 menos 2 descuentos sucesivos de 20 y 15 por ciento; entonces el precio de venta es:

Rpta.:

59) Un comerciante obtiene 25 por ciento de ganancia sobre las ventas. Calcular el porcentaje de ganancia sobre los costos.

Rpta.:

60) Un fabricante rebaja en un 5 por ciento el precio de su mercadería ¿En que porcentaje debería aumentar el volumen de sus ventas para que su ingreso aumente en un 10%?

Rpta.:

151


61) En que porcentaje aumenta el área de un circulo cuando la longitud del radio se incrementa en el 20%?

Rpta.:

62) Los descuentos sucesivos del 15% y 25% de una cantidad son equivalentes a un descuento único ¿Hallar dicho descuento único?

Rpta.:

63) Dos descuentos sucesivos de 40% y 10% equivalen a un único descuento de:

Rpta.:

64) Un artículo se ha vendido en 12,000 soles ganando el 20% del precio de costo más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo del artículo.

Rpta.:

65) Si el número de artículos que se venden aumenta en el 20%; por que el precio disminuye en un 25%. ¿Cuál es el porcentaje de variación de los ingresos?

Rpta.:

66) Un fabricante rebaja en un 5% el precio de su mercancía. ¿En que porcentaje deberá aumentar el volumen de sus ventas para que su ingreso bruto aumente en un 10%?

Rpta.:

67) Una solución de 32 litros de ácido contiene 10 de ácido puro. ¿Cuántos litros de agua sabemos agregar a fin de que el ácido?

Rpta.:

68) Un comerciante desea promocionar sus ventas ofreciendo un descuento del 20%; pero como en realidad no quiere rebajar el

precio; deberá previamente subirlos. ¿En que porcentaje lo hará?

Rpta.:

69) Se vende un objeto ganando el 10% del costo. Si se quisiera ganar 132 soles; habría que aumentarle el 10% del precio de venta. ¿Cuál es el costo del objeto?

Rpta.:

70) Un comerciante vendió un reloj ganando el 60% del precio de venta. Si lo hubiese vendido ganando el 60% del costo hubiese perdido: 11, 340 soles. ¿Cuánto le costo el reloj?

Rpta.:

71) Un importador de maquinaria para la construcción carga sobre su mercadería el 25% del costo. Si descuenta el 12% del importe de la factura a un comprador. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia efectiva?

Rpta.:

72) Los 2/5 de una mercancía se venden con un 6% de perdidas; la mitad del resto con un 2% de ganancia. ¿Cuánto debe ganar en la venta del resto para ganar el 9% sobre el total de las mercancías?

Rpta.:

73) Si a 4,852 soles se le aumenta el 5% y al resultado se le resta el 95% de el. ¿Cuánto queda?

Rpta.:

74) Si el área de un círculo ha aumentado en 525%. ¿Diga cual ha sido el porcentaje de aumento para el radio?

Rpta.:

152


75) La diferencia entre el 7/160 y el 44 por mil de una suma de dinero; viene a ser su:

Rpta.:

76) Si el largo de un rectángulo aumenta en el 20%; en que porcentaje debe aumentar el ancho para que el se aumenta en 68%?

Rpta.:

77) Si el largo de un rectángulo aumenta en un 30%; en que porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en el 9%?

Rpta.:

78) La altura de un cilindro disminuye en su cuarta parte y el radio de su base aumenta en un quinto de su valor inicial. ¿En que porcentaje ha aumentado su volumen?

Rpta.:

79) La habilidad de 2 operarios es como 5 es a 8. Cuando el primero haya hecho 280 mts. De obra en 4 días. ¿Cuánto de obra hará el segundo en 10 días?

Rpta.:

80) En un engranaje, el piñón mayor tiene 40dientes y el menor 25. Si el piñón mayor da 200 vueltas. ¿Cuántos da el menor?

Rpta.:

81) Un banco tiene provisiones para alimentar a su tripulación de 400 hombres, durante 6 meses. ¿Cuánto tiempo durarían estas provisiones si el número de hombres fuese 1600?

Rpta.:

82) Un fabricante encuentra el 0,4% de su producción es defectuosa y no pudo

enviarse al mercado. ¿Cuántos articulo de cada 10,000 producidos serán rechazados?

Rpta.:

83) Una señora va a comprar 3 mts. De tela cuyo precio por mt. Es de 30 soles. Si ella paga 192.00 soles por los 3 mts. ¿Qué porcentaje de descuento ha recibido?

Rpta.:

84) En un tonel cuya capacidad es de 100 lts. se echan vinos diferente calidad, se vacían 40 litros de 0,60 soles el litro y 52 litros de 0,80 soles de litro; completando con agua el resto. ¿A que precio debe venderse el litro para ganar el 25% del costo?

Rpta.:

85) La relación de 2 números es de 3 es a 5, ¿Qué porcentaje del cuadrado del mayor es de cuadrado del menor?

Rpta.:

86) Una balanza mal graduada pesaba un bulto como 57Kg. cuando realmente pesaba 70Kg. ¿Cuántos Kg. pesara realmente un bulto que con dicha balanza dio 634 Kg?

Rpta.:

87) Un comerciante vendió un artículo ganando el 20% de P.C y con dicha ganancia compro otro artículo que lo vendió ganando el 25% de precio de venta. ¿En que relación se encuentran los precios de venta de los 2 artículos?

Rpta.:

88) Un comerciante compra cierta cantidad de manzanas pero se le malogra el 35% por lo que vende el resto a 419 soles el Kg. ganando el 17% del costo. ¿A cuanto compro el comerciante cada Kg. de manzana?

Rpta.:

153


89) En una granja el 20% del número de gallinas es igual al 30% del número de pavos. Si se retiran 150 gallinas el número de pavos será el 60% del total. Hallar el número de pavos.

Rpta.:

90) Si perdiera el 30% del dinero que tengo y ganara el 26% de lo que me quedaría; perdería 2,360 soles. ¿Cuánto tengo?

Rpta.:

91) En un club juvenil el 25% del número de varones es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?

Rpta.:

92) Si el área de un círculo disminuye en un 64%. ¿En porcentaje habrá disminuido su radio?

Rpta.:

93) Si un articulo lo vendo haciendo un descuento del 20%; gano el 20% del precio de costo. ¿Qué porcentaje debo rebajar al precio de venta para ganar el 14% del precio de costo?

Rpta.:

94) El precio de venta de un articulo; representa un 30% mas el precio de costo. Si al venderse el artículo se hace un descuento del 10% sobre el precio de venta. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia efectiva?

Rpta.:

95) Se mezclan 2 clases de vinos S/. 5 y S7. 9 el litro obteniéndose una mezcla de 48 litros y cuyo precio por litro es de S/. 6. Calcule cuantos litros utilizo en la mezcla de cada ingrediente

Rpta.:

96) En una mezcla de 3 tipos de cocoa cuyos precios unitarios son S/. 9; S/. 10 y S/. 15 un precio medio de S/. 12; además del mas caro se utiliza 60Kg. ¿Cuántos Kilogramos tendrá la mezcla si el peso del primero es al peso del segundo como 2 es a 3?

Rpta.:

97) Se han mezclado 15 litros de vino de S/. 9 el litro con 9 litros de S/. 12 el litro. Calcula la cantidad de agua que se debe añadir para que la nueva mezcla resulte de S/. 9 el litro.

Rpta.:

98) Se tiene en un recipiente alcohol pero se extrae la cuarta parte se remplaza con agua. Calcula el volumen de agua al final si el volumen constante es 30 litros.

Rpta.:

99) Se tienen 2 mezclas alcohólicas de 60° y 80° de la primera se toma ¼ y se mezcla con 2/5 de la segunda obteniéndose alcohol de 76°. calcule la pureza de alcohol que resulta al mezclar los contenidos restantes.

Rpta.:

100) Se tienen 2 recipientes de alcohol uno de 80° y el otro de 40°, si se toman 30 litros del precio y 50 litros del segundo se mezclan en un recipiente. ¿Cuántos litros de agua hay que agregar en ese recipiente pata obtener una mezcla de 50°?

101) Un recipiente de 100 litros de capacidad esta llena con alcohol de 80° ¿Cuántos litros de dichos recipientes hay que sacar para que al remplazarlo por agua se obtenga mezcla de 60°?

Rpta.:

102) Se mezclan 3 ingredientes en la relación de: 2, 3 y 5 y cuyos precios por Kg., son: S/. 6; S/. 9 S/. 7 respectivamente, obteniéndose 100 Kg. de mezcla. ¿Cuál

154


debe será el precio por kilogramos de mezcla?

Rpta.:

103) A 25 litro de vino que se importa a S/. 7 el litro se añaden 5 litros de alcohol de S/. 25 el litro. ¿En cuanto debe venderse el litro se mezcla para ganar el 40% sobre el precio de costo?

Rpta.:

104) Si 30 litro de una mezcla contiene 12 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una mezcla de 15°?

Rpta.:

105) Se tiene 2 mezclas alcohólicas de 20° y 15° cuyo precio por litro son S7. 18 y S/. 13 respectivamente. Si al mezclarse se obtiene 19° de pureza. Calcule a como se debe vender cada litro para ganar el 50% de costo.

Rpta.:

106) Al mezclar 10Lt. De 60° con 20 Lt. De 30° de pureza si el costo de la mezcla es de S/: 80 el litro. Se desea saber cuanto costara cada litro si se mezclan cantidades iguales a 60° y 30° (considere S/. 0 el costo del agua)

Rpta.:

107) Se tienen 2 tipos de vino de diferentes calidades cuyos volúmenes se diferencian en 15 litros se observa que luego de intercambiar 18 litros; los recipientes contienen la misma cantidad de vino. Determinar el menor volumen de un recipiente al inicio.

Rpta.:

108) En un total se tiene 200 litros de alcohol puro y por un agujero se cae el 40% del contenido en cada hora; pero al final de cada hora se completa lo que se cae con agua. Calcular el grado de la mezcla al iniciar la tercera hora.

Rpta.:

109) Un litro de alcohol de 60% tiene un peso de 940 gramos. Determinar el peso de un litro de alcohol al 48%

Rpta.:

110) Se tiene 2 calidades de arroz 30Kg. y 20Kg. respectivamente. ¿Cuántos KG. se deben intercambiar para tener arroz de un solo precio en ambas partes?

Rpta.:

111) Un comerciante tiene 120 Kg. de café crudo de S/. 1,80 el Kg. y 240 Kg. de café crudo de S/. 2,10 el Kg. Si se desea vender café tostado ganado el 30% ¿A que precio deberá vender cada Kg. sabiendo que el café al tostarse pierde 1/3 de su peso?

Rpta.:

112) Se mezcla el alcohol de 40°, 30° y 20° deseándose obtener alcohol de 20° sea la quinta parte que el de 40°. ¿Cuántos litros de alcohol de 30°, entrarán en la mezcla; si esta tiene un volumen total de 8 litros?

Rpta.:

113) Se mezclan 3 tipos de café en la relación de 5, 3 y 7 cuyos precios por Kg. son: S/. 8, S/. 6 y S/. 10 respectivamente, obteniéndose finalmente 150 Kg. de café. ¿A cuanto se debe vender el Kg. si se desea ganar el 20%?

Rpta.:

114) Se mezclan arroz de S/. 2,5 con arroz en S/. 3,5 el Kg. obteniéndose 100 Kg. de arroz de S/. 2,8 el Kg. ¿Cuántos Kg. del mas caro hubiese que agregar a la mezcla para que su nuevo costo sea S/. 3,3 el Kg?

155


Rpta.:

115) El precio de costo por Kg. de café es S/. 3,16 siendo este el resultado de mezclar 2 tipos de café de S/. 5 y S/. 3 el Kg. y de haber obtenido 100 Kg. ¿Cuántos Kg. del mas caro hay en la mezcla?

Rpta.:

116) Se mezclan 10 litros del alcohol de 90° con 50 litros de alcohol de 60°. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a la mezcla para obtener alcohol de 40°?

Rpta.:

117) Se tiene alcohol de 98°, 38° y 28° y se requiere formar 140L. de alcohol de 38° si se sabe que se utilizo 8 litros mas de alcohol 38° que de 28°; halle cuantos litros de alcohol de 48° se utilizaron?

Rpta.:

118) En un recipiente de 60 litros de 40° de pureza se extrae 35 litros de alcohol de dicho mezcla, pero es reemplazado con agua. Determine en cuanto vario el volumen de agua.

Rpta.:

119) Se ha mezclado 440 litros de vino de S/. 60 el litro, con 148 litros de vino de S/. 40. el litro y para que resulte uno de S/. 40 el litro se le agrega agua. Indique la cantidad de agua que se debe añadir.

Rpta.:

120) Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64% de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N.

Rpta.:

121) Una persona lleva 200 naranjas la numerado y encuentran que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin venderse?

Rpta.:

122) Un comerciante vende un articulo ganando el 20% de su costo; calcule cuanto gano si lo vendió a S/. 480.

Rpta.:

123) Alejandro compra un libro; por el cual le hicieron una rebaja del 30% se dejo de pagar 330.Calcule cual era el precio inicial del libro.

Rpta.:

124) De un conjunto de 400 personas el 70% son hombres el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 75% de las mujeres fuman. ¿Cuántas personas no fuman de dicho conjunto de personas?

Rpta.:

125) Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

Rpta.:

126) Un comerciante compro cuadernos a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo un beneficio neto de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto del 15% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro?

Rpta.:

127) En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de artículo para fijar su precio al público; de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aun se gane el 60% del costo.

Rpta.:

156


128) En un centro comercial los artículos se están ofertando con un descuento del 30% + 30% por lo cual una persona compro dos artículos en S/. 102 además sus precios iniciales se diferencian en 100. ¿Calcule el precio inicial de cada artículo?

Rpta.:

129) Dar la suma de los valores enteros positivos de x que verifican: 4x + 7y = 59; x e y +z

Rpta.:

130) Cuantos soluciones tiene: 5a + 9b = 102 Si a y b +Z

Rpta.:

131) Dar el resto de dividir 237 entre 7.

Rpta.:

132) Dar el resto de dividir 6438 entre 13:

Rpta.:

133) Cristian piensa ahorra cada día S/. 150, pero cada mañana se encuentra con Ana y gasta S/. 129. Si no es Ana es Betty con quien gasta S/. 73, de esta manera. ¿En cuantos días como máximo José ahorrar S/ 1456?

Rpta.:

134) ¿Qué resto existe en dividir? 19670 entre 17?

Rpta.:

135) ¿Qué residuo hay en dividir 17699 entre 11?

Rpta.:

136) Que valor pudo tomar n: 40n = 7° + 4

Rpta.:

137)En una reunión de 20 hombres y 30 mujeres hay 10 parejas de esposos; calcular:

a) ¿Qué tanto por ciento son los hombres?Rpta.:

b) ¿Qué tanto por ciento de las mujeres son casadas?Rpta.:

c) ¿Qué tanto por ciento de los casados son las mujeres?Rpta.:

d) De los solteros que tanto por ciento son mujeres.Rpta.:

138)En una conferencia donde asistieron: peruanos; bolivianos; ecuatorianos; se sabe que 60%; 50% y 20% respectivamente de ellos son varones, si el número de mujeres que asistieron son iguales: calcule cuantas personas asistieron si es el menor número de 3 cifras.

Rpta.:

139)Al calcular el a2 por b del 3 por 5 del b por

c del c%, de N resulta el 3 por ( 1a ) de N.

Calcule “a”.

Rpta.:

140)Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64% de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N.

Rpta.:

157


141)Una persona lleva 2000 naranjas al mercado y encuentran que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin venderse?

Rpta.:

142)Un comerciante vende un artículo ganando el 20% de su costo. Calcule cuanto gano si lo vendió a S/. 480.Rpta.:

143)Alberto compra un libro, por el cual le hicieron una rebaja del 30% si dejo de pagar 330. Calcule cual era el precio inicial del libro.Rpta.:

144)De un conjunto de 400 personas, el 70% son hombres, el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 75% de las mujeres fuman. ¿Cuántas personas no fuman de dicho conjunto de personas?Rpta.:

145)Cecilia compra una blusa y un pantalón; en la blusa el comerciante realiza 2 aumento sucesivos del 10% y 20% de su precio inicial; pero en el pantalón realiza 3 descuentos sucesivos del 20%; 10% y 40% ella observa al momento de pagar, los precio eran iguales. ¿Calcule el precio inicial de cada articulo si ambos sumaban S/. 73?Rpta.:

146)En un centro comercial los artículos se están ofertando con un descuento del 30% + 30%; por lo cual una persona compra dos artículos en S/. 102 además sus precios iniciales se diferencian en 100. Calcule el precio inicial de cada artículo.

Rpta.:

147)Para vender un articulo se descontó en un 25%, aun así se gana el 20%. Calcule el precio de venta si la diferencia del precio fijado y precio de costo es S/. 12.

Rpta.:

148)Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

Rpta.:

149)Un comerciante compro cuadernos a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo un beneficio neto de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto del 15% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro?

Rpta.:

150)En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de un artículo para fijar su precio al público; de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aun se gane el 60% del costo.

Rpta.:

151)Se mezcla 2 clases de vinos de S/. 5 y S/. 9 el litro obteniéndose una mezcla de 48l y cuyo precio por litro es de S/. 6. Calcule cuantos litros intervino en la mezcla de cada ingrediente.

Rpta.:

152)En una mezcla de 3 tipos de coca cuyos precios unitarios son: S/. 9 ; S/. 10 y S/. 15 se obtiene un precio medio de S/. 12; además del mas caro se utiliza 3 a 60kg. ¿Cuántos kilogramos tendrá la mezcla si el peso del primero es al peso del segundo como 2 es a 3?

Rpta.:

153)Se han mezclado 15l de vino de S/. 9 el litro con 9l de S/.12 el litro. Calcule la cantidad de agua que se debe añadir para que la nueva mezcla resulte de S/. 9 el litro.

158


Rpta.:

154)Se mezclan dos tipos de café de S/. 9 y S/. 5 el kilogramo obteniéndose 44 kilogramos cuya venta por kilogramo se realizo en S/. 10 ganado el 20% del precio del precio de venta; calcule cuantas kilogramos de cada ingrediente intervinieron.

Rpta.:

155)Se tiene en un recipiente alcohol puro; se extrae la cuarta parte; se reemplaza con agua; de la mezcla que queda, se extrae la tercera parte y se reemplaza con agua. Calcule el volumen de agua al final si el volumen constante es 30 litros.

Rpta.:

156)Se tienen 2 mezclas alcohólicas de 60° y 80° de la primera se toma 1/4 y se mezcla con 2/3 de la segunda obteniéndose alcohol de 76°; calcule la pureza de alcohol que resulta al mezcla los contenidos restantes.

Rpta.:

157) Se tienen 2 recipientes de alcohol; uno de 80° y el otro de 40°. Si se toman 30 litros del primero y 50 litros del segundo se mezclan en un tercer recipiente. ¿Cuántos litros de agua hay que agregar en ese recipiente para obtener una mezcla de 50°?

Rpta.

4 aritmetica ok

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