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4장 경영조직 설계방법

1. 선형계획법

2. DEA

Technology and Management for Engineers

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경영시스템의 최적설계와 운영

• 최적의 형태로 시스템이 설계되고 운영되어야 하는지를정량적으로

분석하고 평가하는 문제

• 한정된 자원을 어떻게 배분하여수익을 최대로 올리거나 비용을 최

소로 줄일 것인가 하는 문제

선형계획법 (Linear Programming, Optimization Tool)

• 의사결정을위한 경영과학 기법 중에서 가장 많이 알려져 있고 폭넓

게 사용되는 최적화 기법 중 하나

• 선형(linear)은 최적화 관련 수식들이 1차 함수로 이루어짐

• 계획법이란해결할 문제를 모델링하여수학적인 식에 의해서 풀어

가는 것

• 조직에서 제한된 자원을 합리적인 방법에 의해서 최적의 해를 도출

하는 과정

최적화 개요

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선형계획법의 기본가정

• 가법성 (additivity): 투입과 산출에서가법성이 존재함, 총 이익은 각

제품의 이익의 합이며, 총투입 자원은 각 제품에의 투입자원의합

• 비례성 (proportionality): 사용되는 자원과 산출량에 비례관계가 존

재함, 대량 할인 등의 효과가 없음

• 분할성 (divisibility): 해가 정수와 소수(분수)를포함하는 실수로 표

시됨

• 확정성 (deterministic):모든 계수와 상수, 즉, 사용가능한자원은 확

정적인 값을 가짐

모든 최적화 문제에 대한 공통적 구성요소

• 의사결정변수(Decision Variables) - the variables whose values

the decision maker is allowed to choose.

• 목적함수(Objective Function) - value that is to be optimized –

maximized or minimized

• 제약조건(Constraints) that must be satisfied

최적화 개요

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선형계획법의 기본모형선형계획법의첫단계는결정변수선정

• 여러 제품의 생산 문제라면 제품 하나의 생산량이 결정변수가 됨 – xi

다음은목적함수제시

• 결정변수들의 수익이나 비용의 합을 나타내는 일차식 (선형)인 목적함수를

제시함

• Z = c1x1 + c2x2 + …+cnxn

마지막으로자원에대한제약조건설정

• 원자재, 부품, 자본, 인력, 시간, 거리, 공장의 생산능력 등 실제상황에 따라

자원이 다양하게 표현됨

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선형계획 모형의 정규적인 형태최대화모형

Maximize Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn b2

…am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm

xi 0 (i =1, 2., …, n)

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문제 예시

공장

배치당 생산 시간(단위: 시간)

주당 가용 생산시간(단위: 시간)

제품1 제품2

1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

배치당 이익 3,000만원 5,000만원

명품 가구 회사는 3개의 공장을 가지고 목재가구 제품을생산한다. 문틀은 제1공장에서 생산하고, 창문틀은제2공장에서 생산하고, 제3공장에서는 제품을 조립하고마무리한다. 판매가 유망한 두 종류의 신제품을출하하기로 하였다.

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문제 예시

이 문제를 수학적 (선형계획) 모형으로 모형 정립하기 위해 다음 기호 사용

• x1 = 신제품 1의 주당 생산 배치 수

• x2 = 신제품 2의 주당 생산 배치 수

• Z = 3x1 + 5x2. 이들 두 제품을 생산하여 얻어지는 주당 총 이익 (단위: 1,000만원)

목적식은 3개의 공장에 가용 생산용량에 의해 부여된 제약식 범위 안에서 Z = 3x1 + 5x2

을 최대화하기 위해 x1과 x2의 값을 선택하는 것. 표는 제품 1의 각각의 배치 하나가 공장

1의 생산시간(현재 4시간만 가용함)을 1시간 사용한다는 것을 표현. 이 제약은 x1 4로

표현 가능. 비슷하게 공장 2는 2x2 12라는 제약식을 유도. 신제품의 주당 생산율을 x1과

x2만큼으로 결정할 때 공장 3의 생산시간은 3x1 + 2x2 됨. 따라서 공장 3의 제약조건은 3x1

+ 2x2 18. 마지막으로 생산율은 음수가 될 수 없으므로 의사결정 변수가 비음이라는 제

약조건 x1 0, x2 0을 추가.

요약하면 선형계획의 수학적 용어로 문제는 다음과 같은 식에서 x1과 x2의 값을 결정하는

것이 된다.

Maximize Z = 3x1 + 5x2,

x1≦ 4

2x2 ≦ 12

3x1 + 2x2 ≦ 18

x1 ≧ 0, x2 ≧ 0.

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그래픽을 이용한 해법

목적식: X2=-3/5*x1+z/5

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엑셀을 활용한 해법

=sumproduct(B8:C8,B3:C3)

=sumproduct(B9:C9,B3:C3)

=sumproduct(B10:C10,B3:C3)

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엑셀을 활용한 해법

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엑셀을 활용한 해법

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최적화 개요An algorithm is basically a “plan of attack”. It is a

prescription for carrying out the steps required to achieve

some goal.

The simplex method is an algorithm that is suitable for

linear models.

Excel’s Solver tool finds the best feasible solution with the

most suitable algorithm.

There is really a third step in the optimization process:

sensitivity analysis. This step allows us to ask a number

of what-if questions about the completed model.

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연습문제 문제1. 최대화

• ㈜세명은 제품y1과 제품y2를 생산하고 있다. 이 두제품을 생산하기위해 기계1과 기계2를 사용해

야 한다. 제품y1을 생산하기 위해서는 기계1을 4시간, 기계2를 4시간씩 사용해야 한다. y2제품을

생산하기 위해서는 기계1과 기계2를 각각 5시간과 3시간씩 사용하여야 한다. 기계 1과 기계2의 주

당 사용가능한 시간은 28시간, 20시간이고 제품 y1과 y2의 단위당 이익은 500원과 600원일때, 총

이익을 최대화하는 y1과 y2의 생산량을 결정하라

문제2. 최소화

• 영양사는 영양소 비타민과 단백질의 최소필요량을 결정하는 문제로 고민하고 있다. 달걀과 베이컨

의 1단위당 각 영양소 함유량이 아래표와 같을때, 총 비용을 최소화하는 달걀과 베이컨의 양을 선

형계획모형을 통해 해결하려고 한다. 이에 대한 정보를 표로 나타내면 다음과 같다.

영양소 단위당영양소 최소필요량

달걀 베이컨

단백질 4 5 28

비타민 4 3 20

단위당 원가 40원 60원