4-manifoldsFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 (2,3,7) pretzel knot 11.1 Mathematical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 2 theorem 32.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 3-manifold 43.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.2 Mathematical theory of 3-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Important examples of 3-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.1 Euclidean 3-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 3-sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.3 Real projective 3-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.4 3-torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.5 Hyperbolic 3-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.6 Poincar dodecahedral space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.7 Seifert-Weber space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.8 Gieseking manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Some important classes of 3-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3.1 Hyperbolic link complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4 Some important structures on 3-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4.1 Contact geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4.2 Haken manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.3 Essential lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.4 Heegaard splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.5 Taut foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Foundational results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5.1 Moises theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5.2 Prime decomposition theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.3 KneserHaken finiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

i

ii CONTENTS

3.5.4 Loop and Sphere theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.5 Annulus and Torus theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.6 JSJ decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.7 Scott core theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.8 Lickorish-Wallace theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.9 Waldhausens theorems on topological rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.10 Waldhausen conjecture on Heegaard splittings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.11 Smith conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.12 Cyclic surgery theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5.13 Thurstons hyperbolic Dehn surgery theorem and the JrgensenThurston theorem . . . . . 143.5.14 Thurstons hyperbolization theorem for Haken manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5.15 Tameness conjecture, also called the Marden conjecture or tame ends conjecture . . . . . . 143.5.16 Ending lamination conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.17 Poincar conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.18 Thurstons geometrization conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.19 Virtually fibered conjecture and Virtually Haken conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.20 Simple loop conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.21 Surface subgroup conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Important conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.1 Cabling conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.2 Lubotzy-Sarnak conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.8 Additional reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 4-manifold 184.1 Topological 4-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Smooth 4-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Special phenomena in 4-dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Failure of the Whitney trick in dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 5-manifold 225.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Acceleration (differential geometry) 236.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CONTENTS iii

7 Affine manifold 247.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Important longstanding conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Algebraic manifold 268.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Algebraic topology (object) 279.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 Algebraic vector bundle 28

11 Almost flat manifold 2911.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

12 Analytic manifold 3012.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

13 Analytic torsion 3113.1 Definition of analytic torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.2 Definition of Reidemeister torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.3 A short history of Reidemeister torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.4 CheegerMller theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14 Arithmetic hyperbolic 3-manifold 3514.1 Trace fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

15 Arithmetic topology 3615.1 Analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

16 Atlas (topology) 3816.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3816.2 Formal definition of atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iv CONTENTS

16.2.1 Maximal atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3816.3 Transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.4 More structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

17 Atoroidal 4117.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

18 Banach manifold 4218.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4318.3 Classification up to homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4318.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

19 Berge knot 4419.1 Berge conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

19.2.1 Knots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.2.2 Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

19.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

20 Bergers inequality for Einstein manifolds 4620.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4620.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

21 Bings recognition theorem 4721.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

22 BonyBrezis theorem 4822.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4822.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4822.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

23 Boundary-incompressible surface 5023.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5023.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

24 Branched manifold 5124.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5124.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5124.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

25 Branched surface 5325.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

CONTENTS v

25.2 Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5325.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5325.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

26 Capped grope 5526.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

27 Casson handle 5627.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5627.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5627.3 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5727.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

28 Category of manifolds 5828.1 Manp is a concrete category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5828.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

29 Clasper (mathematics) 5929.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5929.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5929.3 Clasper calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5929.4 Cn-equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6029.5 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6129.6 3-Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6129.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

30 Classification of manifolds 6430.1 Main themes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

30.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430.1.2 Different categories and additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430.1.3 Enumeration versus invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.1.4 Positive curvature is constrained, negative curvature is generic . . . . . . . . . . . . . . . . 66

30.2 Overview by dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6630.3 Dimensions 0 and 1: trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6730.4 Dimensions 2 and 3: geometrizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6730.5 Dimension 4: exotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6730.6 Dimension 5 and more: surgery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6730.7 Maps between manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

30.7.1 Low-dimensional self-maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6830.7.2 Low codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6830.7.3 High dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

30.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

31 Closed manifold 70

vi CONTENTS

31.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7031.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7031.3 Contrasting terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7031.4 Use in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7031.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

32 Collapsing manifold 7232.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7232.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

33 Complex Lie group 7433.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7433.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

34 Compression body 7534.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

35 Configuration space 7635.1 Configuration spaces in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

35.1.1 Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7635.1.2 Rigid body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7635.1.3 Phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

35.2 Configuration spaces in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7735.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7835.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7835.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

36 Conformally flat manifold 7936.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7936.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

37 Conifold 8037.1 References and external links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

38 Current (mathematics) 8238.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8238.2 Homological theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8238.3 Topology and norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8338.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8438.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8438.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

39 Cyclic surgery theorem 8539.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

CONTENTS vii

40 Dehn surgery 8640.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8640.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8640.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8740.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

41 Dehns lemma 8841.1 Tower construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8841.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

42 Density on a manifold 9042.1 Motivation (Densities in vector spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

42.1.1 Orientations on a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9042.1.2 s-densities on a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

42.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9142.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9242.4 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9242.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9242.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

43 Dold manifold 9443.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

44 Donaldson theory 9544.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9544.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

45 Double (manifold) 9645.1 Doubles bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9645.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9645.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

46 Dynamic fluid film equations 9746.1 The full dynamic system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9846.2 A simplified system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9946.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

47 E8 manifold 10047.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10047.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10047.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10047.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

48 EellsKuiper manifold 101

viii CONTENTS

48.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10148.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10148.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

49 Ehrenpreis conjecture 10249.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

50 Ending lamination theorem 10450.1 Ending laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10450.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

51 Essential manifold 10651.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10651.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10651.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10651.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10751.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

52 Exotic R4 10852.1 Small exotic R4s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10852.2 Large exotic R4s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10852.3 Related exotic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10852.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10952.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10952.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

53 Fake 4-ball 11053.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

54 Fibered manifold 11154.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11154.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11154.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11154.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11254.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11254.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11254.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

55 Figure-eight knot (mathematics) 11355.1 Origin of name . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11355.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11355.3 Mathematical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11455.4 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11455.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

CONTENTS ix

55.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11455.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11455.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

56 Finite type invariant 11956.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11956.2 Invariants representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11956.3 The universal Vassiliev invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11956.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12056.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12056.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

57 Floer homology 12157.1 Symplectic Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

57.1.1 PSS isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12257.2 Floer homology of three-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

57.2.1 Instanton Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12357.2.2 SeibergWitten Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12357.2.3 Heegaard Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12357.2.4 Embedded contact homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

57.3 Lagrangian intersection Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12457.3.1 AtiyahFloer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12557.3.2 Relations to mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

57.4 Symplectic field theory (SFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12557.5 Floer homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12657.6 Analytic foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12657.7 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12657.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

57.8.1 Books and surveys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12657.8.2 Research articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

57.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

58 Formal manifold 12958.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

59 Frchet manifold 13059.1 Classification up to homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13059.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13059.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

60 General covariant transformations 13160.1 Mathematical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13160.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

x CONTENTS

60.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

61 Geodesic curvature 13361.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13361.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13361.3 Some results involving geodesic curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13361.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13461.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13461.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

62 Geodesic manifold 13562.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13562.2 Path-connectedness, completeness and geodesic completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13562.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

63 Geometric topology (object) 13663.1 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13663.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13663.3 Alternate definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

63.3.1 On framed manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13663.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13663.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

64 Geometrization conjecture 13864.1 The conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13864.2 The eight Thurston geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

64.2.1 Spherical geometry S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13964.2.2 Euclidean geometry E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13964.2.3 Hyperbolic geometry H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13964.2.4 The geometry of S2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14064.2.5 The geometry of H2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14064.2.6 The geometry of the universal cover of SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14064.2.7 Nil geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14064.2.8 Solv geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

64.3 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14164.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14264.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14264.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14364.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

65 Gieseking manifold 14465.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

66 Global analysis 145

CONTENTS xi

66.1 Journals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14566.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14566.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14566.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

67 GordonLuecke theorem 14767.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

68 Graded manifold 14868.1 Graded manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

68.1.1 Serre-Swan theorem for graded manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14868.2 Graded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14868.3 Graded vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14868.4 Graded exterior forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14968.5 Graded differential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14968.6 Graded differential calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14968.7 Physical outcome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14968.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14968.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15068.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

69 Graph manifold 15169.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

70 Gravitational instanton 15270.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15270.2 Taxonomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15270.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

70.3.1 TaubNUT metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15370.3.2 EguchiHanson metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15370.3.3 GibbonsHawking multi-centre metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

70.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

71 Haken manifold 15571.1 Haken Hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15571.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15571.3 Examples of Haken manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15671.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15671.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

72 Handle decompositions of 3-manifolds 15772.1 Heegaard splittings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15772.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15772.3 Orientability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

xii CONTENTS

72.4 Heegaard genus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15772.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

73 Heegaard splitting 15873.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

73.1.1 Generalized Heegaard splittings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15873.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15973.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15973.4 Classifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15973.5 Applications and connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

73.5.1 Minimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16073.5.2 Heegaard Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

73.6 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16073.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16073.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

74 Hilbert manifold 16274.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16274.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16274.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16374.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16374.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

75 History of manifolds and varieties 16475.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16475.2 Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16575.3 Contemporaries of Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16575.4 Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16575.5 Later developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16575.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

76 HitchinThorpe inequality 16776.1 Statement of the HitchinThorpe inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16776.2 Idea of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16776.3 Failure of the converse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16776.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16876.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

77 Homology manifold 16977.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16977.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16977.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

78 Homology sphere 170

CONTENTS xiii

78.1 Poincar homology sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17078.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17078.1.2 Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

78.2 Constructions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17178.3 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17178.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17278.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17278.6 Selected reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17278.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

79 Horosphere 17379.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17479.2 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17479.3 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17579.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

80 Hyperbolic 3-manifold 17680.1 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17680.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17680.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

81 Hyperbolic Dehn surgery 17881.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

82 Hyperbolic link 18082.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18082.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18082.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18082.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

83 Hyperbolization theorem 18383.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18383.2 Manifolds with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18383.3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18383.4 Manifolds that fiber over the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18483.5 Manifolds that do not fiber over the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18483.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18483.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

84 I-bundle 18684.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18784.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

85 Incompressible surface 189

xiv CONTENTS

85.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18985.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

86 Intersection form (4-manifold) 19186.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19186.2 Poincar duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19186.3 Properties and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19186.4 Non-orientable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19286.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

87 Intersection homology 19387.1 GoreskyMacPherson approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19387.2 Stratifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19387.3 Perversities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19487.4 Singular intersection homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19587.5 Small resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19587.6 Sheaf theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19587.7 Properties of the complex IC(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19687.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19687.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19687.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

88 Isoparametric manifold 19788.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19788.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19788.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

89 JSJ decomposition 19989.1 The characteristic submanifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19989.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19989.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20089.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

90 Kervaire manifold 20190.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20190.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

91 Kleinian group 20291.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20291.2 Finiteness conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20391.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

91.3.1 Bianchi groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20491.3.2 Elementary and reducible Kleinian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20491.3.3 Fuchsian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

CONTENTS xv

91.3.4 Koebe groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20491.3.5 Quasi-Fuchsian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20491.3.6 Schottky groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20591.3.7 Crystallographic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20591.3.8 Fundamental groups of hyperbolic 3-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20591.3.9 Degenerate Kleinian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

91.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20591.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20591.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

92 Lamination (topology) 20792.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20892.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20992.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20992.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

93 Lefschetz duality 21093.1 Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21093.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21093.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

94 Lens space 21194.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21194.2 Alternative definitions of three-dimensional lens spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21194.3 Classification of 3-dimensional lens spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21294.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21294.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21294.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

95 LickorishWallace theorem 21495.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

96 Lie group 21596.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21596.2 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

96.2.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21696.2.2 Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

96.3 More examples of Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21796.3.1 Examples with a specific number of dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21796.3.2 Examples with n dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21896.3.3 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21896.3.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

96.4 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

xvi CONTENTS

96.4.1 The Lie algebra associated with a Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21996.4.2 Homomorphisms and isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22096.4.3 The exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22196.4.4 Lie subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

96.5 Early history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22396.6 The concept of a Lie group, and possibilities of classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22496.7 Infinite-dimensional Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22596.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22596.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

96.9.1 Explanatory notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22696.9.2 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

96.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

97 Lie groupoid 22897.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22897.2 Morita Morphisms and Smooth Stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

97.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22997.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

98 Link (knot theory) 23098.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

98.1.1 General manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23198.1.2 Tangles, string links, and braids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

98.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23498.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

99 Link concordance 23599.1 Concordance invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23599.2 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23599.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23599.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23599.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

100List of manifolds 237100.1Generic families of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237100.2Manifolds of a specific dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

100.2.1 1-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237100.2.2 2-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238100.2.3 3-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238100.2.4 4-manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

100.3Special types of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238100.3.1 Manifolds related to spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238100.3.2 Special classes of Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

CONTENTS xvii

100.4Categories of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239100.4.1 Manifolds definable by a particular choice of atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239100.4.2 Manifolds with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239100.4.3 Infinite-dimensional manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

101Local tangent space alignment 241101.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241101.2Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

102Loop theorem 242102.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

103Manifold 244103.1Motivational examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

103.1.1 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245103.1.2 Enriched circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248103.1.3 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248103.1.4 Other curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

103.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248103.2.1 Early development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249103.2.2 Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250103.2.3 Poincar's definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250103.2.4 Topology of manifolds: highlights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

103.3Mathematical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251103.3.1 Broad definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

103.4Charts, atlases, and transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252103.4.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252103.4.2 Atlases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252103.4.3 Transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253103.4.4 Additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

103.5Manifold with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253103.5.1 Boundary and interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

103.6Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254103.6.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254103.6.2 Patchwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254103.6.3 Identifying points of a manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255103.6.4 Gluing along boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255103.6.5 Cartesian products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

103.7Manifolds with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256103.7.1 Topological manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256103.7.2 Differentiable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256103.7.3 Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

xviii CONTENTS

103.7.4 Finsler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257103.7.5 Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257103.7.6 Other types of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

103.8Classification and invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258103.9Examples of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

103.9.1 Orientability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258103.9.2 Genus and the Euler characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

103.10Maps of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259103.10.1Scalar-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

103.11Generalizations of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260103.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

103.12.1By dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261103.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261103.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262103.15External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

104Mazur manifold 269104.1Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269104.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269104.3Mazurs Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270104.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

105Meyerhoff manifold 271105.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

106Milnor conjecture (topology) 272106.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

107Nearly Khler manifold 273107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

108Non-Hausdorff manifold 275108.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

108.1.1 Line with two origins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275108.1.2 Branching line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275108.1.3 Etale space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

108.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276108.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

109Normal surface 277109.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277109.2Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

110Open book decomposition 279

CONTENTS xix

110.1Definition and construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279110.2Giroux correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279110.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

111Orbifold 281111.1Formal definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

111.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283111.2Orbifold fundamental group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283111.3Non-positively curved orbispaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283111.4Complexes of groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

111.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284111.4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284111.4.3 Edge-path group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285111.4.4 Developable complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

111.5Orbihedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286111.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286111.5.2 Main properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

111.6Triangles of groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287111.6.1 Mumfords example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289111.6.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

111.72-dimensional orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292111.83-dimensional orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293111.9Orbifolds in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

111.9.1 CalabiYau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293111.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

111.10.1Music theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294111.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295111.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295111.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

112Orbifold notation 298112.1Definition of the notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

112.1.1 Good orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299112.2Chirality and achirality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299112.3The Euler characteristic and the order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299112.4Equal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299112.5Two-dimensional groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300112.6Correspondence tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

112.6.1 Spherical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300112.6.2 Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300112.6.3 Hyperbolic plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

112.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

xx CONTENTS

112.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300112.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

113Orientifold 302113.1Application to string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

113.1.1 Supersymmetry breaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302113.1.2 Effect on field content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

113.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303113.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

114p-compact group 304114.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304114.2Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304114.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304114.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

115Parallelizable manifold 305115.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305115.2Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306115.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306115.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306115.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

116Picard horn 307116.1Geometry and topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307116.2Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307116.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

117Piecewise linear manifold 308117.1Relation to other categories of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

117.1.1 Smooth manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308117.1.2 Topological manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308117.1.3 Real algebraic sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309117.1.4 Combinatorial manifolds and digital manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

117.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310117.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310117.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

118Pleated surface 311118.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

119Poincar conjecture 313119.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

119.1.1 Poincar's question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

CONTENTS xxi

119.1.2 Attempted solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314119.1.3 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314119.1.4 Hamiltons program and Perelmans solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

119.2Ricci flow with surgery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315119.3Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316119.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317119.5Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318119.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

120Poincar duality 323120.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323120.2Modern formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323120.3Dual cell structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

120.3.1 Naturality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324120.4Bilinear pairings formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325120.5Thom Isomorphism Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326120.6Generalizations and related results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327120.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327120.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327120.9Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328120.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

121Pretzel link 329121.1Some basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329121.2Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329121.3Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329121.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330121.5Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

122Prime decomposition (3-manifold) 332122.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

123Prime manifold 333123.1Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

123.1.1 Irreducible manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333123.1.2 Prime manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

123.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334123.2.1 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334123.2.2 Sphere, lens spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

123.3Prime manifolds and irreducible manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334123.3.1 From irreducible to prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334123.3.2 From prime to irreducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

123.4Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

xxii CONTENTS

123.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

124Property P conjecture 336124.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336124.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

125Pseudomanifold 337125.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

125.1.1 Implications of the definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338125.2Related definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338125.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338125.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

126P-irreducible 339126.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

127Quasitoric manifold 340127.1Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340127.2The dicharacteristic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340127.3Relation to the moment-angle complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341127.4Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341127.5The cohomology ring of a quasitoric manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342127.6Comparison with toric manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342127.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343127.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

128Quaternion-Khler manifold 344128.1Ricci curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344128.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344128.3Twistor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345128.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

129Real projective line 346129.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346129.2Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347129.3Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348129.4Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348129.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348129.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348129.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

130Ricci flow 350130.1Mathematical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350130.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

CONTENTS xxiii

130.3Relationship to uniformization and geometrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351130.4Relation to diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352130.5Recent developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354130.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

130.6.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354130.6.2 General context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

130.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354130.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

131Rokhlins theorem 357131.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357131.2Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357131.3The Rokhlin invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358131.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358131.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

132Scott core theorem 360132.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

133SeibergWitten invariant 361133.1Spinc-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361133.2SeibergWitten equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361133.3The moduli space of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362133.4SeibergWitten invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362133.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

134Seifert fiber space 364134.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364134.2Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364134.3Fundamental group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367134.4Positive orbifold Euler characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367134.5Zero orbifold Euler characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368134.6Negative orbifold Euler characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368134.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

135SeifertWeber space 370135.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370135.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

136Semi-s-cobordism 371136.1Other notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371136.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371136.3Relationship with Plus cobordisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371136.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

xxiv CONTENTS

137Signature cocycle 373137.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

138Smith conjecture 374138.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374138.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

139SnapPea 375139.1Algorithms and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

139.1.1 Minimal ideal triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376139.1.2 Canonical decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376139.1.3 Computable invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376139.1.4 Censuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

139.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377139.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377139.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

140Solid Klein bottle 378140.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

141Sphere theorem (3-manifolds) 380141.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

142Spherical 3-manifold 381142.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381142.2Cyclic case (lens spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381142.3Dihedral case (prism manifolds) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382142.4Tetrahedral case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382142.5Octahedral case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383142.6Icosahedral case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383142.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

143Stable manifold 384143.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384143.2Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385143.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385143.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

144Statistical manifold 386144.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386144.2Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

145Steenrod problem 387145.1Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

CONTENTS xxv

145.2Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387145.3Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387145.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387145.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

146Stiefel manifold 389146.1Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389146.2As a homogeneous space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389146.3Uniform measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390146.4Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390146.5Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390146.6As a principal bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390146.7Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . .