Corso di Macroeconomia

Il modello IS-LM

Appunti

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Le ipotesi

1. Il livello dei prezzi fisso.

2. Lanalisi limitata al breve periodo.

La funzione degli investimenti

A dierenza del modello reddito-spesa, nel modello IS LM la spesa per inve-stimenti, I, dipende dal tasso dinteresse, i, e dal livello della produzione, Y.Limitiamoci a illustrare le decisioni di investimento in un caso semplice. in cui lamacchina dura un solo anno e che abbia un costo pari a PK. Il tasso di rendimentoo ecienza marginale della macchina m

m =(Y ) PK

PK2

Tabella 1 Esempio di calcolo del tasso di rendimento di una macchinaCosto di una macchina aggiuntiva , PK 5Ricavi addizionali attesi (1 10) 10Costi necessari al funzionamento della macchina 4.7Profitto atteso addizionale, (10 4.7) 5.3Tasso di profitto, m ((5.3 5)/5) 6%

dove (Y ) rappresenta i profitti attesi.

La tabella mostra un esempio di calcolo di (Y ) e m, in cui il prezzo atteso pari a 1 e la quantit prodotta Y = 10.

Il calcolo di m non tuttavia suciente a sapere se linvestimento convenienteoppure no. Limpresa deve porre a confronto m con il costo opportunit del-la somma di denaro necessaria allinvestimento, ossia con il tasso dinteresse, i.Soltanto se m > i, linvestimento conveniente.

m > i = (Y ) PKPK

> i

3

ovvero (Y )

1 + i> PK

Linvestimento risulter tanto pi conveniente quanto maggiore Y e minore i

I = I + d1Y d2i

Esercizio

Supponete che un investimento comporti un costo di PK = 200. Linvestimentodura soltanto due anni, dopo di che esso non ha pi alcun valore. Al termine delprimo anno esso fornisce un rendimento di 1 = 110; dopo due anni, il rendimento 1 = 121. Determinate lecienza marginale dellinvestimento. Se il tasso diinteresse i = 8%, conveniente eettuare linvestimento?

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La curva IS

La posizione di equilibrio del sistema economico pu essere rappresentata dalseguente sistema di equazioni:

Y = ZZ = C + I +GC = c0 + c1 (Y T )I = I + d1Y d2i

Risolvendo rispetto al prodotto Y

Y =1

1 (c1 + d1)(A d2i) = (A d2i)

dove A = c0 + I +G c1T la spesa autonoma e =1

1 (c1 + d1).

Questa lespressione formale della scheda IS. Essa rappresenta il luogo del-le combinazioni di reddito e tasso dinteresse per cui si ha equilibrio, ovverouguaglianza tra domanda aggregata e oerta aggregata sul mercato dei beni.

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Esercizio

In un dato sistema economico senza rapporti con lestero siano date le seguentifunzioni di comportamento:

C = 180 + 0.7Yd; I = 100 + 0.1Y 18i;G = 400;T = 400

Determinate lequazione della scheda IS.

Risposta. Il moltiplicatore = 11(c1+d1) =

11(.7+.1) = 5. La domanda

autonoma A = 180 + 100 + 400 .7 400 = 400. Perci la scheda IS Y = (A d2i) = 5 (400 18i) .

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Esercizio

Un dato sistema economico descritto dalla seguenti equazioni:

curva IS: Y = 50000 1250i;funzione degli investimenti: I = 13500 + 1.6Y 400i

Calcolate il valore del moltiplicatore .

Risposta. Lequazione della curva IS Y = (A d2i) . Poich il coecientedel tasso di interesse nella funzione degli investimenti d2 = 400, dalla curva ISotteniamo d2 = 1250 = 400, da cui =

1250400 = 3.125.

7

Da che cosa dipende la pendenza della IS

Per ricavare la pendenza della scheda IS, facciamo variare Y e i mantenendocostante A (A = 0):

Y = d2i

Perci la pendenza della IS

di

dY

IS= 1

d2< 0

Esercizio

Supponete che linvestimento sia insensibile al tasso di interesse, come nel modelloreddito-spesa. Quale forma avrebbe in questo caso la curva IS?

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Figura 1 La pendenza della IS

i

Y

i0

i1

Y 0 Y * Y **

IS

IS'

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Da che cosa dipende la posizione della IS

La posizione della IS dipende dal livello della domanda autonoma. Se la spesaautonoma aumenta, la IS si sposta verso destra; se la spesa autonoma diminuisce,la IS si sposta verso sinistra.

Possiamo ottenere formalmente questo risultato facendo variare Y e A ma man-tenendo costante i:

Y =1

1 (c1 + d1)A = A > 0

Esercizio

Supponete che la curva IS abbia la seguente forma Y = 250 1000 i, in cuiil moltiplicatore = 5. Determinate lo spostamento orizzontale della curva

10

Figura 2 La posizione della IS

i

Y

i0

dY

IS

1- (c 1+d 1)

1 AIS'

11

IS se la domanda autonoma aumenta di 20. Quale sarebbe il corrispondentespostamento verticale, ovvero la variazione del tasso di interesse? Supponendoche inizialmente il tasso di interesse sia pari al 10%, calcolate i nuovi livelli delreddito e del tasso di interesse.

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Risposta. Sappiamo che quando la domanda autonoma varia, la corrispondentevariazione del reddito Y = A. Perci, in questo caso la variazione delreddito Y = 5 20 = 100. Il reddito passa perci da 300 (perch?) a400. Lequazione della curva IS Y = (A d2i) . Poich il moltiplicatore = 5, il coeciente del tasso di interesse nella funzione degli investimenti d2 =

2000 = 400.Dalla curva IS otteniamo che la variazione del tasso di interesse

i = 1d2A. (spiegate perch). Perci, la variazione del tasso di interesse

i = 140020 = 10%. Il nuovo tasso dellinteresse quindi dell11%.

Il vincolo della ricchezza

Nel modello IS LM vi sono per ipotesi soltanto due attivit finanziarie,la moneta e le obbligazioni (intese in senso lato come attivit che fruttano unrendimento). Data questa ipotesi, e poich in ogni periodo dato lammontaredi ricchezza finanziaria complessiva, una volta deciso lammontare di ricchezzada detenere sotto forma di moneta si anche deciso lammontare che si intende

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detenere sotto forma di obbligazioni.Questo quanto stabilisce il cosiddetto vincolo della ricchezza. Indichiamo conW la ricchezza nominale esistente nelleconomia.

Figura 3

LA RICCHEZZA FINANZIARIA IN ITALIA(consistenze a fine 2005 - miliardi di euro)

Circolante e depositi 2.038Titoli a breve e a lungo termine 2.482Prestiti a breve e a lungo termine 2.011Azioni e quote fondi comuni 3.078Altre attivit 1.158Totale attivit 10.767

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Figura 4S A L D I F IN A N Z IA R I D E L L IT A L IA(co n s is te n ze a f in e 2 0 0 5 - m ilia rd i d i e u ro )S e tto ri 2 0 0 5F a m ig lie 2 .7 2S o c ie t n o n fin a n z ia rie -1 .2 3A m m in is tra z io n i p u b b lic h e -1 .3 7S o c ie t fin a n z ia r ie -0 .2 0R e s to d e l m o n d o 0 .0 8

F a m ig lie 1 .9 2S o c ie t n o n fin a n z ia rie -0 .8 7A m m in is tra z io n i p u b b lic h e -0 .9 7S o c ie t fin a n z ia r ie (*) -0 .1 4R e s to d e l m o n d o 0 .0 6

In ra p p o rto a l P IL

Per definizione, la ricchezza esistente nelleconomia pari alla somma dellaquantit di moneta,M, e di obbligazioni,B, nelle mani del settore privato (famiglie

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e imprese):

W =M +B

Daltra parte, la composizione desiderata del portafoglio data dalla sommadella quantit di moneta e di obbligazioni che il settore privato intende detenere.Il vincolo della ricchezza aerma che questa somma deve essere anchessa pari aW :

W =Md +Bd

dove Md rappresenta rispettivamente lammontare di moneta e Bd lammontaredi titoli domandati dal settore privato. Uguagliando queste due espressioni, siottiene:

M +B =Md +Bd =Md M

+Bd B

= 0

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La curva LM

Per domanda di moneta si intende la quantit di moneta che il settore privatodecide di trattenere nei propri portafogli. La domanda di moneta viene espressain termini reali perch viene eettuata in vista del potere dacquisto che questaattivit garantisce.La domanda di moneta dipende da due variabili, il reddito e il tasso di interesse.

L = f1Y f2idove f1 e f2 sono dei coecienti positivi che misurano la reattivit della domandadi moneta al reddito e al tasso di interesse.Per oerta di moneta sintende il complesso dei mezzi di pagamento nelle manidel settore privato, come il circolante e i depositi. Assumeremo che loerta dimoneta sia esogenamente fissata. Poich il livello dei prezzi P dato, ancheloerta reale di moneta data al livello M/P .Lequilibrio sul mercato della moneta richiede luguaglianza tra domanda eoerta di moneta e perci

M

P= f1Y f2i

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Questa lequazione della curva LM . Essa esprime linsieme delle combinazionidi reddito e tasso dinteresse che mantengono in equilibrio il mercato della moneta.

Esercizio

In un dato sistema economico senza rapporti con lestero siano date le seguentifunzioni di comportamento:

Md = 6Y 120i;Ms = 5400

Determinate lequazione della scheda LM .

Risposta. La scheda LM 5400 = 6Y 120i

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Da che cosa dipende la pendenza della LM

Per ricavare la pendenza della scheda LM, facciamo variare Y e i mantenendocostante loerta reale di moneta (

MP

= 0):

0 = f1Y f2iLa pendenza della LM

di

dY

LM

=f1f2

> 0

Esercizio

Supponete che la domanda di moneta sia insensibile al tasso di interesse. Qualeforma avrebbe in questo caso la curva LM?

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Figura 5 La pendenza della LM

i

Y

i0

i1

Y 0 Y * Y **

LM

LM'

20

Da che cosa dipende la posizione della LM

La posizione della LM dipende dalloerta reale di moneta. Se loerta di monetaaumenta, la LM si sposta verso destra. Formalmente, facciamo variare Y eM/P ,mantenendo costante il tasso di interesse (i = 0)

MP

= f1Y

e perci

Y =1

f1MP

> 0

Esercizio

Supponete che la curva LM abbia la seguente forma 5400 = 6Y 120i. Deter-minate lo spostamento orizzontale della curva LM se loerta di moneta aumenta

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Figura 6 La posizione della LM

i

Y

i0

dY

LM

(1/f 1) (M/P)LM'

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di 360. Quale sarebbe il corrispondente spostamento verticale, ovvero la variazionedel tasso di interesse?

Lequilibrio macroeconomico e la sua stabilit

Lequilibrio macroeconomico si ha quando si verifica contemporaneamente equili-brio sul mercato dei beni e su quello della moneta (e quindi anche su quello deititoli, per il vincolo della ricchezza). Graficamente, lequilibrio macroeconomicocorrisponde allintersezione della IS e della LM . Possiamo ottenere unespres-sione formale del reddito di equilibrio mettendo a sistema le equazioni della IS edella LM

IS : Y = (A d2i)

LM :M

P= f1Y f2i

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in cui = 11(c1+d1), e risolvendo per Y e i:

Y =f2

f2 + d2f1A+

d2f2 + d2f1

M

P

i =f1

f2 + d2f1A 1

f2 + d2f1

M

P

Esercizio

Scrivete le equazioni che compongono il modello IS LM e le equazioni per ladeterminazione del reddito e del tasso di interesse di equilibrio. Le equazioni checaratterizzano leconomia sono le seguenti.

C = 100 + 0.8Y D; I = 200 1000i;L = Y 10000i

La spesa pubblica pari a 550 e le imposte al netto dei trasferimenti sono 500.Loerta reale di moneta 900. Scrivete le equazioni IS LM per questaeconomia e determinate i valori di equilibrio del reddito e del tasso di interesse.

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Risposta. Il reddito di equilibrio

Y =f2

f2 + d2f1A+

d2f2 + d2f1

M

P=

=5 10000

10000 + 5 1000450 +5 1000

10000 + 5 1000900 = 1800e il saggio di interesse di equilibrio (dalla LM) il 9%.

Esercizio

In un dato sistema economico senza rapporti con lestero siano date le seguentifunzioni di comportamento:

C = 180 + 0.7Yd; I = 100 + 0.1Y 18i;G = 400;T = 400;Md = 6Y 120i;Ms = 5400

Determinate lequazione della scheda IS, quella della scheda LM e calcolate illivello di equilibrio del reddito.

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Risposta Il moltiplicatore = 11(c1+d1) =

11(.7+.1) = 5. La domanda

autonoma A = 180 + 100 + 400 .7 400 = 400. Perci la scheda IS

Y = (A d2i) = 5 (400 18i)

. La scheda LM 5400 = 6Y 120i; risolvendo rispetto a i, otteniamo i =

.05Y 45. Sostituendo questultima equazione nella IS, otteniamo Y = 200090 [.05Y 45] , ovvero Y = 2000+90455.5 = 1100. Usando la procedura diretta,si ricava

Y =f2

f2 + d2f1A+

d2f2 + d2f1

M =600 400 + 90 5400

660= 1100

La politica monetaria

La politica monetaria viene attuata attraverso limpiego di strumenti che permet-tono alla Banca Centrale di controllare loerta di moneta e quindi di perseguiredeterminati obiettivi, come il raggiungimento di un dato livello del reddito. Nel

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modello IS LM una variazione delloerta di moneta si ripercuote sul redditoattraverso il meccanismo di trasmissione monetaria

M =f2i =

d2I =

Y

i cui eetti quantitativi sono dati dal moltiplicatore della politica monetaria (MPM)

MPM =d2

f2 + d2f1=

1f2d2

+ f1

MPM misura lecacia della politica monetaria nellinfluenzare il reddito.Come lultima espressione a destra del secondo segno di uguale rende evidente,questa ecacia tanto maggiore:

quanto maggiori e d2;

quanto minori f1 e f2.

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Alcuni casi particolari

1. Trappola della liquidit. Si verifica quando la domanda di moneta divienevirtualmente infinita ad un dato livello del tasso dinteresse. In questo casolecacia della politica monetaria nulla. Possiamo controllare formalmentequesto risultato con lespressione del MPM

MPM =1

f2d2

+ f1

e notando che al tendere di f2 allinfinito il MPM tende a zero.

2. Teoria quantitativa. si verifica quando la domanda di moneta non sensibileal tasso dinteresse, cio f2 = 0. La LM diviene in tal caso

M

P= f1Y

Lecacia della politica monetaria massima nel senso che ogni aumento

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delloerta di moneta si traduce in un aumento proporzionale del reddito,il coeciente di proporzionalit essendo f1. Questo pu essere verificatoguardando al valore che assume il MPM quando f2 = 0.

3. Soltanto investimenti autonomi, o caso keynesiano. Si verifica quando gliinvestimenti non sono sensibili al tasso dinteresse, cio d2 = 0. La IS unaretta verticale perch il reddito dipende soltanto dalla domanda autonoma. lapolitica monetaria risulta inecace, ovvero il valore del MPM pari a zero,come si pu controllare utilizzando lespressione del MPM con d2 = 0.

Esercizio

Supponete che linvestimento sia insensibile al tasso di interesse; rappresentategraficamente il modello IS LM in questo caso. Se linvestimento non dipende

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dal tasso di interesse e si verifica un aumento delloerta di moneta, la conseguenza: a) una diminuzione del tasso di interesse; b) una riduzione del reddito; c) unacontemporanea riduzione del reddito e aumento dellinteresse; d) nessuna delleprecedenti.

Risposta. La IS verticale e la politica monetaria espansiva non influenza ilreddito ma provoca una riduzione del tasso di interesse. La risposta esatta laa).

La politica fiscale

La politica fiscale o di bilancio pu operare nel nostro semplice modello ISLMattraverso due variabili: G e T . Ci limiteremo a considerare gli eetti di una

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riduzione della spesa pubblica. Gli eetti della politica fiscale sul reddito sonodescritti dal meccanismo di trasmissione della politica fiscale

G =Y =

f1,f2i =

d2I

Quantitativamente questi eetti sono misurati dal moltiplicatore della politicafiscale (MPF )

MPF =f2

f2 + d2f1=

11

+ d2

f1f2

Lecacia della politica fiscale tanto maggiore:

- quanto maggiori sono e f2;

- quanto minori sono d2 e f1.

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Alcuni casi particolari

1. Trappola della liquidit. In queste circostanze la LM orizzontale e lef-ficacia della politica fiscale massima. Possiamo controllare analiticamentequesto risultato guardando cosa accade al MPF quando la sensibilit delladomanda di moneta al tasso dinteresse molto elevata (f2):

limf2

dY

dA=

11

+ d2

f1f2

=

Il reddito diminuisce cio per un ammontare pari al moltiplicatore applicatoalla variazione della spesa pubblica.

2. Teoria quantitativa. In questo caso la LM una retta verticale perch ladomanda di moneta non sensibile al tasso dinteresse. Siccome con f2 = 0il reddito dipende soltanto dalloerta di moneta, la spesa pubblica non in grado di influenzare il reddito e perci lecacia della politica fiscale nulla. La riduzione della spesa pubblica provoca piuttosto una riduzione del

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tasso dinteresse tale da indurre un aumento degli investimenti privati parialla riduzione della spesa pubblica. Con f2 = 0 il MPF pari a zero.

3. Soltanto investimenti autonomi. In questo caso d2 = 0 perch gliinvestimenti non sono sensibili al tasso dinteresse. Lecacia della politicafiscale massima. Anche in questo caso il MPF uguale al moltiplicatore.

Esercizio

Supponete che la domanda di moneta sia insensibile al tasso di interesse e rap-presentate il modello IS LM in questo caso. Se la domanda di moneta nondipende dal tasso di interesse e si verifica un aumento della spesa pubblica, laconseguenza : a) un aumento del tasso di interesse; b) una riduzione del reddito;c) una contemporanea riduzione del reddito e aumento dellinteresse; d) nessunadelle precedenti.

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Risposta. LaLM verticale e la politica fiscale espansiva non influenza il redditoma provoca un aumento del tasso di interesse. La risposta esatta la a).

Esercizio

Nel modello IS LM una politica fiscale espansiva si riflette sugli investimentifacendoli: a) aumentare; b) diminuire; c) non possibile stabilirlo a priori; d)dipende dalla politica monetaria. Illustrate la vostra risposta con un grafico.

Risposta Poich una politica fiscale espansiva fa aumentare sia il reddito che iltasso di interesse, la risposta esatta la c).

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Esercizio

Scrivete le equazioni che definiscono il reddito e il tasso di interesse di equilibrio nelmodello ISLM . Un dato sistema economico definito dalle seguenti equazioni.

C = 1.8 + 0.7Yd; I = 1 + 0.1Y 18iM

P= 54;L = 6Y 120i;T = 4;G = 4

Calcolate il reddito e il tasso di interesse di equilibrio.

Risposta. Il reddito di equilibrio

YE =5 120

120 + 5 18 6 (1.8 + 1 + 4 0.7 4) +5 18

120 + 5 18 6 (54) = 11, mentre il tasso di interesse

iE =5 6

120 + 5 18 6 (1.8 + 1 + 4 0.7 4) 1

120 + 5 18 6 (54) = 0.1.

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Esercizio

Per rispondere a questa domanda utilizzate i dati dellesercizio precedente. Cal-colate il livello dellinvestimento utilizzando i valori di equilibrio del reddito e deltasso di interesse. Supponete che le autorit di politica economica intendano ac-crescere linvestimento, lasciando per immutato il tasso dellinteresse. Definitela combinazione appropriata di politiche fiscali e monetarie per ottenere questoobiettivo illustrandola graficamente attraverso il diagramma ISLM. Il mix ap-propriato di politiche economiche prevede: a) una politica monetaria espansivama una politica fiscale restrittiva; b) una politica monetaria e una politica fiscaleentrambe espansive; c) una politica monetaria restrittiva ma una politica fiscaleespansiva; d) una politica monetaria e una politica fiscale entrambe restrittive; e)non esiste un mix appropriato in grado di conseguire lobiettivo.

Risposta. Il livello dellinvestimento I = 1 + 0.1 11 18 0.1 = 0.3. Larisposta esatta la b).

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Esercizio

Scrivete le equazioni che compongono il modello IS LM. In questo modellola domanda aggregata definita dalla funzione AD = 200 + 0.8Y 800i. Ladomanda di moneta definita dalla funzione L = 0.25Y 1000i. Loerta realedi moneta M = 120. Calcolare il reddito e il tasso di interesse di equilibrio.

Risposta. Y =1.21000

1000+(5)800(.25)200+1.2800

1000+(5)800(.25)120 =52200+2 120 =

740 ; i =1.2(.25)

1000+(5)800(.25)200+1

1000+(5)800(.25)120 =1

16002001

2000120 = .065

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Esercizio

Utilizzando i dati della domanda precedente, stabilite cosa accade al reddito e altasso di interesse di equilibrio se si verifica un calo degli investimenti autonomiI = 20. Come deve variare loerta di moneta se lautorit monetaria vuolestabilizzare il prodotto al livello precedente? Illustrate la vostra risposta con ungrafico.

Risposta. Y =1.21000

1000+(5)800(.25) (20) =50.0;i =1.2(.25)

1000+(5)800(.25) (20) =.0 125 Perci, il nuovo livello del reddito 740 50 = 690, mentre il tasso diinteresse diviene 6.5% 1.25% = 5.25%. Per calcolare di quanto deve variareloerta di moneta, si noti che il MPM pari a 2. perci, se il reddito deveaumentare di 50, loerta di moneta deve aumentare di 25. Loerta di monetadovr essere quindi pari a 145. Verifica Y = 52180 + 2 145 = 740.

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