Térfogat- és felszínszámítás

A térfogat alatt azt értjük, hogy a -s (három dimenziós) test, tárgy mekkora helyet foglal

el, tölt ki a térben. Ezt legtöbbször -ben (köbméterben), -ben (köbdeciméterben), vagy -

ben (köbcentiméterben) mérjük, de éppen így lehet -ben, -ben, vagy -ben is.

A test bizonyos méretein kívül; ezek az alapterület és a magasság, sőt olykor a fedőlap is más méretű

mint az alaplap1; még azt is tudnunk kell, hogy milyen típusú testről van szó, mert az is befolyásolja a

pontos kiszámítás módját. De egyáltalán nem bonyolult az összefüggés. Főleg, hogy egyszerű

felépítésű testeket tárgyalunk. Az igazán bonyolult alakzatok térfogatát és felszínét

integrálszámítással lehet meghatározni. Ezeket nem vettem ebbe a fejezetbe. Csak olyanokat

soroltam ide, melyekkel már korai iskolás éveidben találkozhatsz. Noha két olyan térfogatképletet is

levezettem, mely bonyolultnak tűnhet. De így végre, már nem kell a hitre alapoznod, mert te magad

is beláthatod ezek helyességét.

Bármilyen egyszerűek is ezek, azért azt csak tartsuk szemelőtt, hogy a test magasságának

vonala mindig merőleges az alaplapra. Ha ehelyett olyan „magassággal” számolunk amire ez nem

igaz, akkor az bizonyára nem a test magassága. De ez éppen így volt már a területek számolásánál is:

egy adott oldal és a hozzátartozó magasság mindig derékszöget zárt be. Talán még emlékszünk rá.

Apropó területszámítás. Itt is szükségünk lesz rá, nem csak a már említett alapterület, hanem a

felszín kiszámításásnál is. Hiszen a felszín az egy területféleség, így mértékegysége is a már

megszokott , stb.2

Magát a térfogatszámítást úgy lehet elképzelni, hogy képzeletben 3 kis kockákkal

töltjük meg a mérendő testet. Főleg akkor vagyunk kénytelenek a képzeletünkre hagyatkozni, mikor a

szóbanforgó test nem üreges. A kapott mérőszám megadja, hogy hány ilyen kis egységnyi kockát

lehetne hézagmentesen belepakolni a testbe. Pl. vehetjük úgy, hogy ezek a kis kockák

összenyomhatatlanok, tehát térfogatuk nagyságát nem változtatják, viszont alakjuk bármilyen lehet.

Tehát viselkedjenek folyadék módjára. Így elérhető, hogy hézagmentesen kitöltsék a test belsejét.4 Ez

sem szabad, hogy nagyon újdonságnak hasson, mivel hasonlóan értelmeztük a területszámítást is,

csak ott nem egységnyi kockák, hanem egységnyi négyzetek szerepeltek. Ki emlékszik, hogy hogyan

nézett ez ki terület számítás esetén? Pl. ha arra voltam kíváncsi, hogy egy téglalapba hány darab kis

egységnyi négyzetet rajzoltam, akkor úgy tudtam a legkönnyebben megszámolni, mint Mr. Bean a

bárányokat fényképről, elalvás előtt. Vagyis megszámoltam, hogy hány oszlopban és hány sorban

vannak a négyzetek, majd e két számot összeszoroztam. Így e szorzat adta négyzetek számát, tehát a

terület mérőszámát, és a négyzetek nagysága adta mértékegységet. Kisebb négyzet kisebb

mértékegység, nagyobb négyzet nagyobb mértékegység. Mivel két számot szoroztunk, a sorok

1 Lásd, csonka testek.

2 Észrevetted, hogy itt nem írtam ki, hogy hogyan kell kiolvasni a mértékegységeket? Igen, mert bízom benne, hogy ismerősek számodra. 3 Az azt jelenti, hogy valamilyen mértékegység szerint, melyet akár konkrétan nem is akarunk megnevezni, azaz mérőszámnyit veszünk. Pl. lehet , stb. De ha éppen hosszúságokról lenne szó, akkor 4 Aki tovább akar kötözködni, az képzeljen el gázt, de azzal az a gond, hogy nagy mértékben összenyomható. Jó,

jó, a folyadékok is összenyomhatóak nagy erő hatására, de most nem akarunk annyira erősek lenni.

számát és oszlopok számát (területnél mindig így kell), ezért ez a mértékegységben is megjelent:

négyzetes lett.

A térfogatszámításnál csak annyival lesz más, hogy most három számot kell szoroznunk,

hiszen nem csak sorok és oszlopok, de „emeletek” is lesznek, mivel a kis kockák, „Mr. Bean

báránykái”nem csak egymás mellé, de egymás tetejére is vannak rakva. Így a mértékegységben is

megjelenik a háromra utaló jelölés: a mértékegység köbös5 lesz. Az emletek összege adja -

ot, mert eme kockákkal mérve ilyen a test.

A kocka6 Az első eset a legegyszerűbb, mikor azt akarom mérni, hogy mennyi egy kocka alakú test

térfogata. Vagyis hány kis kocka fér bele a nagy kockába? A kockának minden csúcsából egymásra

merőleges éle indul ki, miként a négyzet esetén minden csúcsból egymásra merőleges él (oldal)

indult ki. Ez is arra világít rá, hogy mind a térfogat, mind a terület kiszámítása setén a kocka ill. a

négyzet egy csúcsából kiinduló merőleges élek száma lesz e mértékegység köbösségéért ill.

négyzetességéért a felelős.

Ha a nagy kockát meg akarom tölteni kis kockákkal, akkor elkezdem az aljától kezdve, szorosan

egymás mellé téve őket. Ha egy „emelet” elkészült, vagyis már nem tudok hova pakolni az adott

szintre, akkor pakolom akövetkező emeletet. Emeletenként mindig ugyanannyit fogok letenni, sőt a

sorok és oszlopok száma is megegyezik,hiszen ettől kocka a kocka. Minden éle egyforma. Így ha

közben nem számoltam egyesével ― miért is számoltam volna egyesével, már ismerem a szorzást―

akkor a végén csak azt kell megszámolnom, hogy hány kis kocka illeszkedik a nagy kocka egy élére.

Mivel az élek egyforma hosszúak, és tényleg tudok szorozni, akkor a bent lévő kis kockák száma

éppen megegyezik azzal a számmal amit úgy kapok, ha a kapott egy élre eső darabszámot szorzom

önmagával, aztán megint beszorzom ezt a szorzatot az élre jutó darabszámmal. Ezt egyszerűbben

köbre emelésnek hívjuk. Pl. ha egy él mentén kis kocka fekszik, akkor a lesz a térfogat

mérőszáma. Ha kis koceka van a nagy koceka egy éle mentén akkor a lesz a térfogat

mérőszáma, stb. Ha még azt is tudom, hogy egy kis kocka térfogata akkor az első esetben

lesz a térfogat, a második esetben lesz a térfogat. Ha viszont egy kis „mérő” kocka

térfogata , akkor az első kocka térfogata , a másodiké

5 A köb szó a latin cubus (ejtsd: kubusz) szóból jön, melynek jelentése kocka.

6 Ejtsd:

A következő ábrán láthatunk egy nagy kockát ilyen módon felépítve. Számold meg, hogy hány

egységkockából áll! A kapott szám lesz a nagy kocka térfogatának a mérőszáma.

Hány kis négyzetet számolsz egy lapján? Ezt szorozd meg -tal, a kapott szám lesz a felszínének a

mérőszáma!

Mint látható, a sem nehéz a

kocka esetén. Tudjuk, hogy

(egyforma nagyságú és alakú) lapja van. Így ha

közüllük -nek kiszámoljuk a területét, aztán

ezt szorozzuk -tal, akkor már meg is van a

felszín. Szerencsére az egységnyi kockák, egy-

egy lapja éppen egységnyi területtel

rendelkezik, így őket is felhasználhatjuk

területmérésre, nem kell egyéb mérő

alkalmatosságot keresnünk. Vagyis mivel az

első kocka egy éle mentén , a másodiké

mentén kis kocka fekszik, így egy kis ill. nagy

kocka lap területe ill. egység lesz. Ezek -szorosai ill.

egység. Tehát a felszínek: ill. avagy ill. , attól függően hogy a kis

„mérő” kockák lapja -esek, vagy -esek.

Röviden a kocka élhossza a harmadik hatványon (köbön) adja kocka térfogatát. És az élhossz

második hatványa (négyzete) szorozva -tal, adja a kocka felszínét. Képletben:

7

Lásd az ábrát!

7 A nagy V a volume (térfogat) szóra utal, az A pedig az area (terület, felület) szóra.

Legyen egy kocka élhosszúsága Számold ki a térfogatát és felszínét!

Egy másik kocka élhossza . Számold ki ennek is a térfogatát és felszínét!

Egy harmadik élhossza Ne nyavajogjunk, hogy olyat még nem vettünk! Tudjuk, hogy

ekkor a felszín eredendően , a térfogat pedig mértékegységgel fog rendelkezni. Persze át is

válthatjuk a mértékegységeket, de ekkor a mérőszámok is változnak. Lásd ama fejezetet melynek

címe:

A téglatest

Ugyan így járunk el a tégaltest esetében is, de neki már három különböző hosszúságú éle is

lehet. Ezeket -vel leöljük. Nem nehéz kitalálni, hogy az előbbi eljárás szerint a térfogat e három

érték (élhossz) szorzata lesz. A felszín kiszámításához azt vegyük észre, hogy a téglatast szemben lévő

lapjai egyformák, így pontosan - lesz mind a különböző méretű és alakú lapjából. Így ha mind

különböző lap területét kiszámoljuk és összeadjuk, akkor még ennek a -szörösét kell vennünk. A

három különböző lapok pedig téglalapok, melyek ezekszerint (a területszámításnál megismert

módon):

Ezkből a térfogat és felszín:

A téglateset tehát egy átlagos doboz, láda alakú szerzet, mértani test. Egyébként a hasábok

közé tartozik.

A henger A henger egy kör alapú oszlop. Gondolj pl. a WC-papír gurigára, annak olyan az alakja, attól

eltekintve, hogy a közepéből hiányzik egy kisebb henger. Tehát valójában a WC-papírguriga, alakja

szerint, egy cső.

Egyszerű henger esetén, amilyet az ábrán is látsz, pusztán két adatra van szükségünk, hogy a

felszínét és a térfogatát kiszámolhassuk. Az alapkör sugarára, és test magasságára. Az alapkör sugara

megegyezik a fedőlap sugarával. Ha nem így van, akkor az nem henger. Azt majd később látjuk, hogy

micsoda is az egyáltalán. Az olyan mértani testek esetén, melyek alap és fedőlapja közötti

testvastagság, kitöltöttség megegyezik,8 a térfogat egyszerűen az alaplap területének és a test

magasságának a szorzata.

Így volt ez a kockánál és téglatestnél is, de

eme észrevétel nélkül is érthető volt a

térfogat képlete. Házi feladatként tessék

meggondolni, hogy a most hallott

információ, és a következőekben

elhangzottak alapján, hogyan lehetne ezt

a tényt belátni a kockára, és téglatestre

is!

A felszín pedig áll egy kör alakú alaplapból, egy kör alakú fedőlapból ;ezek területe

megeggyezik; és egy téglalap alakú palástból. Ezek területeit kell összeadnunk, hogy megkapjuk a

teljes felszínt. A körlapok területe egyetlen adatból, a kör sugarának ismeretéből nyerhető.

De ezt már a sikidomoknál is láttuk9. A értéke körülbelül , de az értelmesebb számológépeken

ennél pontosabban is megtalálod. Ha pontosabban akarsz számolni, akkor használd azt az értéket. És

hogy miként is lehet rátalálni a értékére, azt már láttuk az előző fejezetben.

Ahol a testmagasság.10

Azaz, a helyére beírva a képletét:

8 De nem ám abban egyeznek meg, hogy ezekután csak sört isznak! Tehát ez nem egy hosszas tárgyaláson elért megegyezés, hanem bizonyos tulajdonságok szerinti azonosságot jelent. 9 Illetve nem, mert az egy külön fejetben volt, ami a kört taglalja. Ki írta ezt a könyvet? Nagyon trehány munkát vágzett! 10

De nem ám a feladat megoldójának a testmagasságát kell a képletbe beírni, hanem a feladatban szereplő mértani test magasságát. (Nagyon szomorú vagyok, hogy ezt ki kell hangsúlyoznom…)

Vegyük észre, hogy itt a palást, ami egy téglalap, két egymásmelletti oldala ismert, ha tudjuk az

alapkör sugarát és az testmagasságot! Hiszen palást egyik oldala éppen az . No, de mennyi a

másik oldal? Az instállom alásan, éppen a körlap kerületének a hosszával egyenlő.

Így a palást területe:

Tehát a felszín:

azaz

vagy -t kiemelve:

Néhány csúcsos tetejű alakzat Térfogatának kiszámításához az alaplap területe és a test magassága kell, hogy ismert legyen.

Azonban itt nem pusztán csak e kettő szorzata lesz a térfogat, mint az eddigi testek esetén. Mert

mostantól fogva olyan testeket tárgyalunk, melyeknek teteje csúcsos. Egy ilyen test térfogata éppen

az egyharmada lesz a vele azonos alapterületű és magasságú testénel. A magyarázatot a fejezet

végén találod.

A felszín itt két fődologból tevődik össze:

• és

•

Az alapterület, mint neve is mutatja, a test alsó lapját jelenti. A palást pedig az oldallapok összessége,

melyek így együtt, mintegy királyi palástként körbeveszik a testet. Tehát tudnunk kell, hogy pontosan

milyen síklapok vagy görbelapok határolják a testet, hogy ezek területképletét felhasználva

meghatározhassuk a felszínt. Ha nem tudjuk, hogy milyen lapok határolják, honnan tudnánk hogy

milyen területképletek lesznek erre alkalmasak? Vigyázz! Itt a kívűl gyakran

emlegetünk majd is. Ez utóbbiak az adott lapoknak, mint síkidomoknak a

magasságait jelentik. Ne keverd össze őket a testmagassággal! Az oldallapok általában ferdék, lejtőt

alkotnak az alaplappal. A testmagasság pedig mindig függőleges. Merőleges az alaplapra. Már csak

ezért sem lehet egyforma ez kétfajta magasság, hiszen a lejtő hossza mindig nagyobb, mint a lejtő

magassága. Sőt, az alaplapnak is van lapmagassága. Ez pedig nyílván benne fekszik az alaplapban,

tehát nem egyezhet meg a testmagassággal! (Nagyságra megegyezhet, de fogalmilag nem.) Ezen

csúcsos testek térfogataiban közös lesz, hogy mindig szerepel egy -as osztótényező bennük. Hogy ez

hogyan és miként kerül oda, annak magyarázatát is megtalálod eme fejezetben, egy kissé lejebb.

A tetraéder Neve arra utal, hogy négy határoló lapja van.11 A gúlák csapatát erősíti. Úgy nézki mint egy

piramis, melynek az alapját gazdasági megfontolások miatt nem négyszögűre, hanem csak

háromszögűre építették. Ez a szegény ember piramisa, akinek nem tellik becsületes négyszögalapúra.

Mikor a főpapok a fáraót akarták rávenni egy ilyen építtetésére, ő azt mondta, hogy neki nem kell

ilyen vacak, és ha csak ilyenre van pénz, akkor inkább meg sem hal, csak hogy ne temessék ilyenbe.

Oldalai is háromszöglapok. Csak a esetén egybevágó az összes lapja. Beleértve

az alaplapot is.

Szerencsétlen módon az elnevezésből is erre gondolna az ember,

de annál az alap nem egybevágó az oldallapokkal, hanem csak az oldallapokra igaz ez az egyenlősdi.

A térfogat és felszín

Ahol a nyilván területet jelent, az a magasságot, a a palást területe. A palást területe

az oldallapok területeinek összege. A felszín tehát db háromszögből áll.

A gúla A legtöbben négyzet alapú gúlára gondolnak e név hallatán. Vagyis a becsületes piramisra.

Azonban lehet bármilyen alapja. Ötszög, hatszög, stb. Sőt az imént láttuk, hogy ha muszáj, beéri

háromszöggel is. Bárhogy is, a térfogata mindig csak az alapterületétől és testmagasságától függ.

11 Tetra: négy (görögül).

A felszínt ismét csak általánosan írom le, majd konkrét feladatoknál látni fogod a tényleges

kiszámítási módot.

És itt a négy háromszög területéből áll.

A kúp

A térfogat itt szintén egyszerű:

Azaz ha ismerjük az alapkör sugarát:

A felszín pedig:

Ahol a terület képlete csodálatosan hasonló egy háromszög területének képletéhez:

Azaz az alapkör kerülete játsza a „háromszög” oldalának szerepét, és a kúp alkotója pedig a

háromszög oldalához tartozó magasságát.

Mivel

ezért

Azaz

És ebből tehát:

Még egyszerűbben:

A forgástestek fogalma Ezek az alakzatok valamilyen forgástengelyre nézve forgásszimmetrikusak. Azaz, akörül

forgatva, a test ugyanúgy néz ki, vagyis nem látunk mást, mint amikor nem forgatjuk. Sőt ha ennek e

testnek egy eme tengelyre illeszkedő metszetét forgatom, vagy akár csak félmetszetét, akkor is

ugyanazt a testet látom visszont.

Éppen így a henger, a gömb, a kúp is forgástestek. És még rengeteg forgástest van. Gondolj csak a

fazekas korongon alkotott edényekre. A nyaka karcsú, a hasa kiszélesedik, de attól még forgatásra

szimmetrikus egy tengely körül. Azonban mindezek közül csak a gömb az, aki végtelen sok

szimmetriatengellyel rendelkezik. Hiszen neki teljesen mindegy, hogy melyik átmérője körül forgatom

meg, a forgatás eredményeképpen ugyanazt a gömböt kapom vissza. Ezért gurul olyan szépen. A

többi, szimmetriatengely-szegény társa, csak egy tengely körül forgathatóak meg, úgy hogy szépen

guruljanak.

Nekünk itt elég az egyszerűbben megadható térfogat és felszín képleteket ismernünk.

Általános esetben mind a térfogat, mind a felszín csak komoly integrálszámítással kapható meg,

melyekre itt nem térek ki. Akit az is érdekel, az olvassa el eme kötet folytatását, melyben majd

ilyesmivel is foglalkozunk.

Az ellipszoid az ellipszis megforgatásával keletkezik. A tórusz egy körlap, rajta teljesen kívül, de vele Messziről nézve az égitestek is ilyenek, csak kevésbé elnyúltak. azonos síkba eső tengely körüli Gyakran inkább gömbnek néznek ki. Persze közelről már látszanak a megforgatásával jön létre. hepe-hupáik.

A Jupiter Thébé nevű holdjával, mely utóbbi egy lapított gömbhöz hasonlít.

Itt vajon milyen síklapok megforgatásával kaphatunk ilyen alakú a testeket?

És itt? S lám, a természet is szereti a forgásszimmetriát, nem csak az ember.

A kézzel rajzoltak nem tökéletesen szimmetrikusak, de talán látható a lényeg. Kihasználtam a

lehetőséget, hogy mások műveit is bemutassam, és ne csak az én esetlen ábráimat lásd.

A kúp térfogat képletének magyarázata Képzeljük el, hogy a kúpot vékony kis korongokból rakjuk össze! Ezek alulről fölfelé egyre

kisebb sugarú körlapok. Vastagságuk is lehetne változó, valamilyen szabály szerint, de az inkább

legyen azonos. Kényelmi szempontok miatt. Ha három ilyen korongból próbálom összeálítani a

kúpot, nagyon gyengén fog csak hasonlítani az eredeti kúpra. Ha négy korongból, akkor már jobban

hasonlít, de még mindig nem az igazi. Ha ötből,…

Hány korongra van szükségem, hogy minél jobban hasonlítson? Jó sokra! Nagyon-nagyon

sokra. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a végtelenhez közelít a korongok száma. Így egy olyan végtelen

tagú sorozat összegét kell képeznem, ahol a tagok a korongok térfogatai. Egy korong magassága,

annyiad része a teljes kúp magasságának, mint ahányan vannak a korongok. Ha ezt a darabszámot -

nel, a kúp teljes testmagasságát -mel jelölöm, akkor minden korong magassága éppen

lesz.

A legalsó korong sugara megegyezik a kúp alaplapjának sugarával. A többi korongok sugara

viszont egyre csökken minél magasabban helyezkednek el a korongok a kúpban. Ha azt szeretnénk,

hogy az egymásután következő korongok sugara, egynletesen csökkenjen, az a legjobb, ha -felé

osztjuk a kúp alapkörének sugarát. Így a legalsó sugár az alapkör sugarának egyszerese, azaz

-

szerese, a következő

-szerese az alapkörsugárnak, az a fölött lévő korongé

-szerese, majd a

következő

-szerese, stb. A legfelső nulla lesz, hiszen neki a fősugár

-szerese jut, ami

nyilván

-szeres. Ha tart a végtelenhez, akkor bizony ez az utolsó sugaracska olyan nulla, mint a

huzat. De ez is kell, mert ettől lészen hegyes a kúp. És minden becsületes kúp az.

Lássuk hát az öszeget:

És én voltam olyan ravasz, és felülről számoztam a korongokat, így a sorszámuk magadja majd, hogy

hányszorosát kell venni a fősugárnak. A fősugár, azaz az a kúp alapkörének sugara legyen . Ekkor,

mivel a korong egy henger, melynek térfogata:

Így:

Tehát látható hogy ezekben minegyikben ott van a

tényező. Így ha ezekez összedajuk, akkor ez minegyikből kiemelhető, és ami marad a zárójelben az

éppen az első egész szám négyzetének öszege:

Tehát, ha ismerünk egy képletet az első négyzetszém összegére, akkor azt behelyettesítve,

egyszerűbb összefüggést kapunk. Szerencsére ismerünk is:

A képlet helyességének bizonyításhoz lásd a c. fejezetet.

Vagyis:

Most a mindkét zárójeles tagból kiemelünk -et, hogy a számlálóban és nevezőben is előtessék az

,mint özönvíz után a szárazföld:12

Az -kel egyszerűsítve:

Majd figyelembe véve, hogy az tart végtelenhez, így az

-nek tartanak a nullához:

12 Ettől a dumától még senki sem vádolhat azzal, hogy kreacionista tanokat vallanék.

∎

Ja, hogy nem mondtam volna előre, hogy ez egy bizonyítás? Pedig az volt. Ha nem kör alakú

korongokat, hanem négyzet, téglalap, valami egyébféle sokszög, vagy bármilyen más, de egymáshoz

hasonló lapocskákból próbáljuk felépíteni az iménti kúpot, akkor gúlát kapunk. Az ilyen gúlára tehát

éppen így érvényes az imént belátott léplet:

Ezeken kívül még vannak csonka alakzatok is. Pl. csonka kúp, csonka gúla. Ezek térfogatát és felszínét,

már az eddigiek felhasználásával könnyen megkaphatjuk.

A csonkaságok térfogata, felszíne Az egyenes csonkakúp és egyenes csonkagúla esetére fogok csupán szoritkozni. Egyébb

csonkolások tekintetében kérdezze meg sebészét, kezelőorvosát! Ha olyan torz a csonkolás, hogy

hasonlóságról szó sem lehet, ama esetben ügyeskedni kell. Tovább darabolni, integrálszámolni, stb.

A csonkakúp

A becsületes körkúp tetjéből lenyisszantunk egy az eredeti kúphoz hasonló kúpot, és azt

kidobjuk a kukába. Tehát a hátramaradt testen az alaplappal párhuzamos, hozzá hasonló alakú

fedőlap keletkezik. Azaz egy kisebb körlap. Az eredeti körcikk alakú palástot pedig felváltja egy

körgyűrűcikk alakú palást. És eléggé előre sejthető módon, a magasság is rövidebb lesz annyival,

amennyi a levágott és kihajított kúpocska magassága volt. Ezekután már nincs az a félnótás13 ember,

aki azt várná, hogy akár a térfogat, akár a felszín képlete, illetve számértéke megegyezne az

ereddetiekkel. Itt a körkúpot választottam, de lehet bármilyen alaplapú, pl. ovális, vagy hepe-hupás

rajzolatú az alap és fedőlap. Olyankor jobb a majdan a gúlánál látott módon, a területek

hasonlóságára alapozni.

13

Definíció szerint, az, aki a .. kezdetű éneknek csak a dallamát, vagy csak a szövegét ismeri… Aki ebből is csak felet-felet, az a .

Térfogat

Meglehetősen sokszögnek néz ki, amit eredetileg körnek szántam, de ez igenis körvonal és punktum!

A felülről eltávolított kúp magassága legyen , ennek alapkörének sugara; mely a csonkakúp

fedőkörének sugaráva egyezik meg, hiszen a kisalap éppen a fedőkör; legyen . A csonkakúp és

egyúttal az eredeti nagykúp alapkörének sugara legyen Az eredeti nagy, csonkítatlan kúp

magassága , a csonkakúpé Tehát .

A nagykúp és a kiskúp egymáshoz hasonlóak. Ez annyit tesz, hogy az egymásnak megfelő szakaszok

aránya állandó. Azaz bármely két ilyen aránya egyenlő. Válasszuk ki a magasságok és a sugarak

arányait, tekintve, hogy amúgy is ezeken múlik minden, sőt amúgy is csak ezekről tudunk valamit.

Fejezzük ki ebből a kis -et, mivel a csonkakúpot vizsgálva ez már nincs is látható helyzetben.

Roppant patriarchális megközelítés. Három mister is van, oszt egyetlen miss sincs a közelben.

Miért lesz ez jó? Mert majd szépen béírjuk valahova. Hova? Mingyá,mingyá!

A csonkakúp térfogata megegyezik a nagykúp és a kiskúp térfogatának különbségével:

Miért piros a piros? Mert oda írjuk bele a kifejezett -etetet.

Így ni:

Ugye milyen szép? Lesz még szebb is.Emeljük ki az

-at!

És elvégeztem a szorzásokat is, ha netán nem tünt volna fel. Most a zárójel második és harmadik

tagjából kiemeljük a kis -t:

Vagyis:

Felhasználva, hogy :

Egyszerűsít mint állat:

Ha elvégezzük a kis -rel való szorzást:

Jaj de gyönyörű! Már majdnem olyan szép, mint egy ládányi behűtött sör. De a Ladányi Mari se volt

csúnya, pedig őt sosem hűtöttük be.

Felszín

Most itten kőne valamit kvartyogni a csonkakúp felszínéről is. Már mondtam róla valamit, ha

figyeltél, emlékszel. Most le is rajzolom.

Ez nem feltétlenül az előbb megdolgozott csonkakúp felszíne, de mindnek ilyesmi pofázmánya van, így ez is jó lesz a képlet megállapítására.

Mit kő észrevenni? Azt hogy a palást körvonalát a két körlap kerülete ill. , és a csonkakúp

alkotója adja. Ebből pedig már könnyű megadni a palást területét. Merthogy tessék kérem azt is

észrevenni, hogy az alkotó éppen merőleges a palást körívoldalaira, hiszen párhuzamos azon

körsugarakkal amelyekkel a körgyűrű palást megrajzolható. Merőleges. Nem ébreszt ez fel valami

gondolatot? Mikor szeretjük a merőlegességet? Területek számításánál. Ama két hosszúságvonal,

amiket összeszorzunk, mint alapoldal és a hozzátartozó magasság, reményeink szerint merőleges

egymásra. Ha nem akkor ez csak hiú remény és nem elegendő csak összeszorozni őket. De ez most

teljesül. És most utoljára még egy dolgot vegyünk észre! Nem olyan-e ez a a palást, mint egy görbített

trapéz? De bizony. Egy egész lényében mosolygó trapéz. Bátorítóan mosolyog ránk, hogy ne féljünk,

mert nem nehéz mindez. És itt a trapéz szára egyúttal a magassága is.

No, és a trapéz területét hogyan számoljuk? A két alap, és összegét szorozzuk az

magassággal, majd osztjuk kettővel.

Csak itt a mosolygós trapéz esetén a játsza a hosszabbik alap szerepét, a kisebbik alap

szerepét, és az a magasságét. , , . Így már csak be kell helyettesíteni őket

a trapéz képletébe:

Egyszerűsítve a -essel:

Mily egyeszű! És a teljes felszínhez, már csak eme területet kell összeadni a körlapok területeivel:

Csalogassuk ki a -ket! Pi-pi-pi-pi…gyere csak!

Csonkagúla

A duma hasonló mint az imént, csak itt nem körgyűrűcikk a palást, hanem sík lapokból áll. Így

ezek területeinek összege lesz a palást területe. Az alap és fedőlap pedig nem kör, de egymáshoz

hasonlóak. Így a hasonlósági ismereteinkre ismételten hivatkozhatunk. De még az alap és fedő lap

élhoszait sem kell ismernünk. Elég a területeiket ismernünk. De erre is van hasonlósági összefüggés.

Vagyis a fedő- és alaplap területei úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő testmagasságok

négyzetei. Az ábra szerint:

Térfogat

Ahol is az a teljes, még csonkolatlan test magassága. Így ha a csonkagúla magassága, akkor:

Fejezzük ki ebből az -met, hiszen azt úgysem ismerjük a legtöbb feladatban, így azzal nem

számolhatunk közvetlenül.

Azaz szebben írva:

Gyöktelenítettük a nevezőt! Ami ugye a nevező konjugáltjával való bővítést jelent. Lám mégsem volt

annyira haszontalan annak idején megtanulni ezt a trükköt. Aki ezt még nem ismeri,az a

láthat ilyet. Feltéve, hogy ott valóban írtam ilyesmit. Mert hát

ki tudja, lehet hogy mégsem?

Most lássuk végre a térfogatot! Mivel a test csonkolással keletkezett, a keresett térfogat két térfogat

különbsége. Nevezetesen Az mgasságú és alapterületű nagy gúla, illetve az

magasságú és alapterületű kis gúla térfogatának a különbsége.

Azaz:

És hát mi másért is fejeztük ki az imént az -et, ha nem azért, hogy most ide behelyettesítsük?

Hanem előbb emeljük ki a kis -et, hogy csak egyetlen helyre kelljen helyettesíteni!

Egyszerűsítsünk ama -vel:

Emeljük kiaz -at:

Beszorzunk a -vel:

Ami talán nem is olyan nehezen megjegyezhető formula. Sőt, baromi egyszerű.

Felszín

A csonkagúla felszíne, mint az már bizonyára feltünt, két hasonló lapból, alap- és fedőlappól,

valamint oldallapokból áll, mely utóbbiak a palástot alkotják. Tehát általánosan így néz ki a képlet:

Azonban én itt az ábraszerint egy négyzetalapú cuccost választottam, így ennek konkrétabban is

megadhatjuk a felszíne képletét. A nagyobbik alap, azaz az az alap, amely nem fedőlap, legyen

élhoszzal megáldva! A rövideb élű alap, azaz a fedőlap, rendelkezzék hossznyi éllel! Igen, igen, jól

láttad, illegalitásban töltött évei emlékére az ő fedőneve is alap. Méghozzá kisalap. Miként Dr. Genya

hű mása is a Kicsi Én. És a palástot alkotó, egybevágó (azonos méretű és alakú) lapok lapmagassága

lészen pediglen .

Így az alapok területei: ill. . A palástot 4 azonos trapéz alkotván, ilyen képlettel lehet

megadni:

A felszín tehát mindezek összege:

Akinek nem tetszik, ne nézzen rája, mert megcsípi a rája, aki nem más, mint Józsi bá arája.

A továbbiakban nézzünk egy olyan testet, melynek nincs síklapja. Mindenütt szép egészségesen

gömböjű. Az ókori görögök is a legtökéletesebb alakzatként tisztelték. S ha egy kicsit még több időt

adott volna nekik a történelem, és nem sodorja el őket történések viharos árja, még az

integrálszámítást is megismerhették volna. Már-már szinte sikerült is nekik. Sok olyan sejtésük volt,

melyet csak néhány száz éve tudunk bizonyítani. Az ő magas szintű tudásukra példa, és nem véletlen,

hogy a mai nyelvekben is rengeteg görög szót használunk, olykor nem is sejtve, hogy azt tesszük.

A gömb térfogatának magyarázata Természetesen integrálszámítással sokkal egyszerűbben és gyorsabban le lehet vezetni a

képletet, ha gömbi koordináta rendszert választunk. De ennek használata, az integrálszámítás nem

ismerete lévén még nem lehetséges, így kénytelenek vagyunk egy tekervényesebb módot választani.

Hasonlóan fogunk eljárni, mint az imént a kúp esetében. Vékony korongokra szabdaljuk a

gömböt. Sőt annak csak a felét. Hiszen ha annak a térfogatát kiszámoljuk, akkor a dupláját véve,

éppen megkapjuk a teljes gömb térfogatát. Valamennyi korong sugarát az szabja meg, hogy milyen

messze esik a gömb középpontjától. A maximális távolság éppen a gömb sugara, . Ekkor a korong

sugara nulla. A minimális távolság pedig nulla, ilyenkor a korong sugara, éppen a gömb sugarával

egyezik meg. Osszuk fel egyenlően a gömb sugarár felé. És ez az legyen jó nagy szám,

gyakorlatilag végtelen. Így ha az -edik korongnak a gömb középpontjától való távolságát -vel

jelöljük, és a korong sugarát -vel, akkor a gömb sugara , az -edik korong gömbközépponttól való

távolsága , valamint a korong sugara , között a következő összefüggés áll fenn: (lásd az ábrát!)

A korong

vastagsága (magassága) miatt ugyan kissé kilóg a gőmbfelszínből, de ez csak a láthatóvá tett vastagság miatt

van. Ha elég nagy, akkor a korong

vastagsága (magassága) oly kicsiny, hogy a korong belesímul a gömbe.

És mivel éppen a középpontól való távolsága az -edik korongnak, arról pedig tudjuk, hogy az -

nek részre osztása miatt:

Ahol értékeket veszi fel. Ahogy az iménti eljárás során is láttuk.Csak itt

most nem -től, hanem -tól indul a számozás. Mivel az első korong éppen távolságra van a

gömbiközépponttól. Ha nem ügyelnénk erre, akkor sem lenne nagy baj, mert a következő korong is

majdnem ugyanolyan közel van, ezért a kutya sem venné észre. De pontosság is van a világon! Persze

a darabszám nem változik, mivel -tól -ig számolva éppen darab így is.

Így eme alakját beírva az összefüggésünkbe:

Majd ebből kifejezve az -et:

Ami nem más mint:

Azaz:

Avagy:

Az -edik korong térfogatához, már csak ezt kell szorozni a korong magasságával, ami

, és

természetesen -vel. Hiszen az -edik korong térfogata:

Így az és az magasság helyére behelyettesítve a megfelelő alkokat:

Ami egyszerübben:

Ha minden korong térfogatát összeadjuk -től -ig:

Emeljük ki mindegyikből a

-t!

A kapcsos zárójelben ismét majdnem jóbarátunkkal, az első darab négyzetszám összegével

futunk össze. De azt már tudjuk, hogy vele hogyan kell elbánni, mert csak kissé tér el alakja az első

darab négyzet összegétől. Íme:14

Majd kiemelve -t kedvencünkből:

Majd kiemelve a szögletes szárójel mindkét tagjából:

Egyszerűsítve -bel:

Majd figyelembe véve, hogy

tart a nullához, ha tart végtelenhez:

Vagyis:

14 Hiszen az

képletben egyszerűen csak -et kell beírni az helyére.

Ami:

És ennek éppen a kétszerese a teljes gömb térfogata:

Ilyen félelmetesen egyszerű az egész.

∎

A gömb felszínképletének magyarázata Most próbáljunk meg az előbbiektől eltérő módszert! Részben mert már unjátok, hogy

mindig ugyanúgy csináljuk, másrészt ; és ez az igazi indok; sokkal nehezebb lenne az előzőek

mintájára. A mostani módszer tulajdonképpen egy bujtatott, csendesen, suttyomban elkövetett

15 művelet. És határártékszámítást is teszünk, kicsiny számra, de az előbb már úgy is

csináltunk ilyet mikor az

-eket el merészeltük hanyagolni végtelen nagy értéke miatt. Azonban,

ha nem mondjátok ki hangosan, talán nem is fogtok megijedni tőle.

Kezdjük! Legyen a mi gömbünk sugara és legyen vékony héjú, üreges! Tegyünk beléje egy nála csak

picivel kisebb gömböt akinek sugara egy kicsiny -vel kisebb. Majd vegyük körbe eme kettőt egy

harmadikkal, akinek a sugara pedig… ki tudja mennyivel nagyobb?

Igen, pont ezzel az előbbi parányi -vel. Essen a három gömb középpontja egybe! Azaz

legyenek . Így a mi középső gömbünk felszínétől kifelé és befelé is távolságnyira

van egy másik gömbfelszín. A legkisebb és a legnagyobb gömb által közrefogott térrész így, az

egyenletes vastagság miatt, kifejezhető a mi gömbünk felszínének, és a két határoló gömbfelszín

távolságával, mint vatagsággal. Ami ugye , hiszen befelé és kifelé is . És nem utolsó sorban eme

térrész térfogata, éppen a legnagyobb és a legkisebb gömb térfogatának kölönbsége:

Minő szerencse, hogy a gömb térfogatot már hivatalosan is ismerjük, és nem csak pletykákból, így

mostmár legálisan is felhasználhatjuk.

Mivel:

15

A szándékaim szerint, nem ebben a kötetben, hanem a folytatásában fog szerepelni, ha valaha azt is megírom.

És

Így ezt kapjuk:

A három gömb egy síkmetszete.

Mielőtt nekiesünk, emeljük ki a jobb oldal két tagjából a

-t, hogy ne kelljen oly sok alkalommal

leírogatni:

Nézzük külön a szöglezes zárójelben lévő tagot! Elvégezzve a köbözéseket , egyszerűsítünk, és

visszaírjuk a kapott egyszerűséget.

Felbontva at egyenlet jobboldali zárójelét, a most még bennelévők előjelet váltva bújnak elő:

Kiesik az és a :

Azaz:

Visszaírva:

Most az van az utolsó pillanat arra, hogy lelkiismeretesen megtegyük amit, meg kell. És amit tennünk

kell, az az, hogy a -öt elhanyagolható kicsinysége miatt elhagyjuk. Mivel is picinyke volt…ugye

emlékszünk? … Így a még kisebb. Miként az, az ilyen csöpségeknél mindig is így van.16

És most osztunk -vel:

Majd egyszerűsítve -mal is:

Ilyen fenségesen szép és felemelő dolog a tudás!

∎

16

Tessék kérem bátran kipróbálni, hogy az -nél kisebb számok egynél nagyobb hatványkitevővel mindig kisebbek, mint maga a szám. És nagyon rohamosan csökkenek ám! Pl. Mi ebből a tanulság? A Tesco-ban nem tudnak deriválni: „A legkisebb is számít…Tesco”

Test a testben típusú feladatok Észrevehetted, hogy hanyagoltam a feladatokat. A szimpla behylettesítést el akartam kerülni,

így csak összetettebb feladatokat fogunk venni. Ha ezeket túl bonyolultnak találod, akkor gondolkozz

el rajtuk magad is, majd veselkedj neki mégegyszer a megértésnek. Gondolkodni sohasem tilos, sőt

többnyire nagyon hasznos. Nem lesznek ám olyan nagyon bonyolultak, még én is meg tudom őket

oldani. Abban mindegyik feladat meg fog egyezni, hogy több mértani test felszínét, térfogatát fogjuk

kiszámolni minden feladatban. Kb. kettőét feladatonként.

Kockában gömb

Egy kockába helyezünk egy akkor a gömböt mely minden oldalát érinti egy-egy pontban

belülről. Ez csak úgy lehet, ha a gömb sugara éppen a kocka élének a fele.

Ahol nyilván a kocka éle az és a gömb sugara az . Így ha egyik adott, akkor tudjuk a másikat is.

Mivel a kocka térfogata és felszíne csak az élhosszának függvénye, és a gömb térfogata és felszíne is

csak a sugarának függvénye, továbbá a jelen esetben még a kocka és gömb is függ egymástól, igazak

a következők:

Kocka a gömbben

Remélhetően senkit sem lepett meg ezen sorok egyike sem.Most lássuk fordítva! Tegyük egy

éppen beleillő kockát a gömbe! Vagyis a kocka sarkaival éppen érintse a gömb belsejét!

A piros vonal a kocka egyik testátlója, s egyúttal a gömb egyik átmérője is.

Ekkor a gömb átmérője megegyezik a kocka testátlójával. A kocka testátlója pedig, a térbeli

Pitagorasz tétel szerint .

És mivel , . Így a következő képleteket kapjuk:

A felszínképletek rém tetszetősek, az egész együtthatók miatt.

Gömb gúlában, és kúppban

Aki emlékszik arra, hogy milyen összefüggés van a háromszög kerülete, területe és a beleírt

kör sugara között, annak ismerős lesz a következő.Vegyünk egy bármilyen alapú gúlát! A rajzon egy

négyszög alapú van, de ez a lényeg szempontjából mindegy. Viszont, hogy egyezés legyen a szöveg és

az ábra között, az ábrához fogok igazodni.

Ha a gúlába akkora gömböt helyezünk, mely éppen érinti belülről a gúla minden oldalát,

akkor a gömb középpontjából a gúla lapjaira állított merőleges szakaszok éppen a gömb sugarai

lesznek, hiszen az oldallapok a gömbnek érintő síkjai. Továbbá, ha felosztjuk a gúlát öt kisebb gúlára

úgy, hogy a gömb középpontjából éleket indítunk a gúla csúcsaiba, akkor ezen élek adják a kis gúlák

közös éleit. És mind az öt kis gúlának, melyeknek egy-egy lapja közös lesz a nagy gúla egy-egy

lapjával, ehhez a laphoz rendelt magasság a éppen a beírt gömb egy-egy sugarával fog megegyezni.

Egy kis gúla térfogata számítható úgy, hogy a nagy gúlával közös lapjának területét, mint

alapterületet véve szorozzuk a kis gúla magassággal, ami éppen a gömb sugara, majd vesszük a

harmadát, miként minden becsületes és becstelen gúla esetén tennénk. Mind az öt kis gúla

térfogatát összeadva kapjuk a nagy gúla térfogatát.

A nagy gúla térfogata legyen , lapjainak területe sorra legyen , a

beírható gömb sugara pedig . Ekkor a fentiek szerint:

(általános esetben nem kis gúlánk van, hanem annyi, amennyi lapja van a nagy gúlának. De a

végeredményt tekintve nem lesz különbség)

Emeljül ki az harmadot!

És a zárójelben lévő összeg mi más lenne, mint a gúla felszíne. Így

Kifejezve belőle az -t:

Tehát nem is kell tudnunk, hogy hány oldallapja van a gúlának. Sem a magasságát. Elegendő a gúla

térfogatát és felszínét ismerni, hogy megállapíthassuk a beírt gömb sugarát.

Az eredmény ugyanez lesz a kúp esetén is. Ne vacakoljunk sokat a levezetésével, hanem képzeljük el,

a kúp palástját úgy, hogy nagyon sok kis háromszog lapból állítjuk össze. Mikor ez a „nagyon sok” már

tényleg nagyon sok, mondhatni végtelen sok, akkor egészen elfogadhatóan kúpra hasonlító gúlánk

lesz. Ezt látod az ábrán. Ekkor ha a lapok száma az alaplappal együtt , akkor darab kis gúlára

nyiszáljuk a kúpot, mint már az imént is utaltam rá, midőn említettem, hogy a gúla konkrét alapja ás

lapjainak száma nem befolyásolja a számolást.

Így az agyondarabolt kúpunkra fenn áll:

Ahol is a a kúp térfogata, a zárójelben lévő kifejezés a felszíne; az alaplap és palást területe együtt;

pedig a beírt gömb sugara.

A kúp palástja végtelen sok háromszögből összerakva.

Így ismét azt kapjuk, hogy

Vagyis:

Tehát a képlet valóban helyes kúpra is. Ahogy Teller Ede bácsi mondaná: „Kérem, ez gyönyörű.”

Ja, hogy végül is nem volt semmi ténylegesen számolni való? Hát osztán? Ha ezeket megértetted,

már egy egész rakat feladatot meg tudsz csinálni. Tessék használni a saját feladatgyüjteményedet és

tankönyveidet is! Ne várd, hogy majd mindig én röpítem a szádba a már helyetted megcsámcsogott,

megemésztett sült matematikát! Ha valamit nagyon hiányolsz, írd meg nekem ide:

Sejtheted, hogy teljesen figyelmen kívül fogom hagyni, az összes siránkozásodat. Végül is nem

foglalkozom én senkinek a véleményével se. De azért csak írj bátran!

∎∎