Αναλυτική μελέτη ορθογωνικών πλακών οπλισμένου σκυροδέματος Ύ1ιΙ συνθήκες μονόπλευρης περιμετρικής έδρασης.

1.Ν. Δουδούμης, δρ. πολ. μηχ., επίκ. καθηγητής τμ. Πολ.Μηχ. Α.Π.Θ.

Β.Κ. Παπανικολάου, διπλ. πολ. μηχ. Α.Π.Θ.

Ε.Ν. Μητσοπούλου, δρ. πολ.μηχ., καθηγήτρια τμ. Πολ.Μηχ. Α.Π.Θ.

Περίληψη

Στην παρούσα εργασία διερευνήθηκε η επίδραση των συνθηκών μονόπλευρης απλής έ

δρασης στην ένταση και την παραμόρφωση των ορθο-yωνιιcών τετραερείστων πλακών

με ελαστικό νόμο υλικού. Η διερεύνηση έγινε μέσω παραμετρικής ανάλυσης -χpησιμο

ποιώντας κατάλληλο πρόγραμμα Η/Υ πεπερασμένων στοιχείων. Από την επεξεργασία

των αποτελεσμάτων της ανάλυσης κατασκευάσθηκαν πίνακες υπολο-yισμού της έντασης

των πλακών αυτών κατά το πρότυπο των γνωστών πινάκων Czerny.

Summary

ln the present paper the effects of uni lateral contact support conditions to the stress and displacement state of rectangular plates with linearly e\asιjc material law is inνestigated. The investigation caπied out through an analytical parametric stιιdy with a finitc ele-ment software. From the processing of the results of this analysis, proper tables for the stress calculation of the above mentioned plates were created, which are similar to the standard ofthe we\l-known tables compiled by Czem y.

1 Εισαγωγή - Θέση του προβλήματος

Σε αρκετές από τις δομικές κατασκευές και για διάφορους λόγους που σχετίζονται με

τον τρόπο δόμησης του φέροντα οργανισμού, πολλές φορές κατασκευάζονται πλάκες

οπλισμένου σκυροδέματος που δεν είναι ολόσωμα συνδεμένες και αγκυρωμένες στο υ

πόβαθρο που τις ( τηρίζει, σλλ.ά εδράζονται σε αυτό με απλή επαφή που δεν παρεμποδίζει το ανασήκωμά τους. Αυτό συνήθως συμβαίνει σε πλάκες επικάλυψης κτιρίων με

φέροντες τοίχους, σε προκατασκευασμένες πλάκες κτιριακών και τεχνικών εν γένει έρ

γων (πλακοσκεπών οχετών και δεξαμενών, καταστρωμάτων γεφυρών), σε εκ των υστέ

ρων προσθήκες πλακών κατά τις αναπαλαιώσεις κτιρίων κλπ. Στις περισσότερες από τις

προαναφερθείσες περιπτώσεις έχει επικρατήσει ώστε η στατική ανάλυση και η διαστα

σιολόγηση -ι:ων πλακών να γίνεται με τις συνήθεις κλασσικές παραδοχές της γραμμικής

ελαστικότητας που πρi}ποθέτουν συνθήκες αμφίπλευρης στήριξης, απαγορεύουν δηλα

δή το ενδεχόμενο ανασήκωμα της πλάκας σε οποιοδήποτε σημείο του εδραζόμενου συ

νόρου της. Όλοι οι ευρέως χρησιμοποιούμενοι πίνακες στατικής επίλυσης μεμονωμέ-

43

Σχήμα 1: Έδραση πλάκας με απλή επαφή και ανύψωση των γωνιών της

νων πλακών (Czerny, Hahn, Stiglat-Wippel, κλπ.), έχουν συνταχθεί με βάση την προαναφερθείσα παραδοχή .

Όπως όμως είναι γνωστό από την θεωρία των ορθογωνικών πλακών με φορτία βαρύτη

τας (Νιτσιώτας 1968), στις γων{ες συνάντησης των συνόρων απλής αμφίπλευρης έδρασης αναπτύσσονται αρνητικές μοναχικές αντιδράσεις Re=2 ·Mxye που οφείλονται αποκλειστικά και μόνον στην ανάπτυξη ροπών συστροφής Mxye σε αυτή την θέση. Όταν οι

μοναχικές αυτές αντιδράσεις δεν μπορούν να παραληφθούν από το στηρίζον υπόβαθρο,

οι γωνίες της πλάκας τείνουν να ανυψωθούν (Σχήμα 1 ), με άμεσο αποτέλεσμα την διαφοροποίηση της έντασης της πλάκας.

Η μέχρι σήμερα υπολογιστική αντιμετώπιση αυτού του ενδεχομένου δεν έχει γίνει με

την απαιτούμενη θεωρητική συνέπεια, αλλά συνήθως με έμμεσους τρόπους, θεωρώντας

π.χ. ότι το ανασήκωμα των γωνιών (που συνεπάγεται μηδενισμό της μοναχικής αντί

δρασης Re, άρα και της ροπής συστροφής Mxye στην γωνία) μπορεί να αποδοθεί με την πρόσθετη παραδοχή μηδενικής συστροφικής δυσκαμψίας σε όλη την έκταση της

πλάκας. Η παραδοχή αυτή οδηγεί σε καθολικό μηδενισμό των ροπών και του οπλισμού

συστροφής, οπότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν ειδικοί πίνακες επίλυσης ορθογωνικών

πλακών που έχουν συνταχθεί για αυτήν ακριβώς την περίπτωση (S6glat & Wippel 1976). Ομως οι ροπές κάμψης που υπολογίζονται με βάση αυτούς τους πίνακες είναι σημαντικά μεγαλύτερες (μέχρι και 2πλάσιες) από τις αντίστοιχες τιμές των πλακών με

πλήρη συστροφική δυσκαμψία και, παρ' όλο που βρίσκονται προς την πλευρά της α

σφαλούς διαστασιολόγησης, οδηγούν σε αντιοικονομικό τρόπο οπλισμού.

Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μεθοδολογία αναλυτικής μελέτης των πλακών, η

οποία λαμβάνει υπ' όψη με συνέπεια τις συνθήκες μονόπλευρης έδρασης (απλής επα

φής με δυνατότητας ανασηκώματος) που ενδέχεται να επικρατούν σε κάποια από τα ε

δραζόμενα σύνορα της πλάκας, και της οποίας η εφαρμογή, είναι απλή διότι οδηγεί

στην χρήση κατάλληλων πινάκων (κατά το πρότυπο των πινάκων Czerny) που συντάχθηκαν για αυτόν ακριβώς τον σκοπό.

2 Μέθοδος ανάλυσης

Για τις πλάκες που εξετάζονται στην παρούσα μελέτη δεχόμαστε ότι ισχύουν οι παρα

δοχές της γραμμικής ελαστικότητας με μικρές παραμορφώσεις και μετακινήσεις και ει

δικότερα οι παραδοχές των λεπτών πλακών.

44

Εξετάζονται μεμονωμένες ορθογωνικές πλάκες με λόγο πλευρών από 1: 1 μέχρι 1 :2 οι οποίες διακριτοποιούνται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, χρησιμοποιώντας

πυκνό πλέγμα από 4κομβα τετραγωνικά στοιχεία (20 στοιχεία κατά μήκος της μικρότερης πλευράς, Σχήμα 2). Οι πλάκες εδράζονται με γραμμική έδραση κατά μήκος των πλευρών τους, που μπορεί να είναι είτε απλή μονόπλευρη, είτε απλή αμφiπλευρη, είτε

πλήρης πάκτωση, αλλά η δυνατότητα ανασηκώματος εκδηλώνεται μόνο σε γωνίες συ

νάντησης συνόρων μονόπλευρης έδρασης.

r Ιy

l

r ly

ly

1 +-- .. --t +-- ,, --t

Ιyι1χ = 1.0 Ιyι1χ = 1.5 Ιyι1χ = 2 .Ο Σχήμα 2: Διακριτοποίηση των πλακών με πεπερασμένα στοιχεία

Οι συνοριακές συνθήκες μονόπλευρης έδρασης (επαφής χωρις τριβή) διατυπώνονται ως

εξής (Δουδούμης 1991):

(1)

όπου SN η κάθετη προς το σύνορο αντίδραση που αναπτύσσεται στο τυχόν ζεύγος σημειων επαφής και uN η αντίστοιχη σχετική μετα~ct.νηση (Σχ. 3α).

Μία συνηθισμένη πρακτική είναι η θεώρηση ενός ιδεατού ισοδύναμου συνδέσμου μο

νόπλευρης επαφής, του οποίου ο καταστατικός νόμος ταυτίζεται με τις σχέσεις ( l ). Συμβολίζοντας με σΝ την ένταση του συνδέσμου και μc εΝ την αξονική παραμόρφω

σή του, ο καταστατικός νόμος του φαίνεται με την παχειά γραμμή στο σχήμα 3β. Ο νό

μος αυτός μπορεί να αξιοποιηθεί ευκολότερα από τις σχέσεις ( 1) στην διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, όμως απαιτεί ειδική διατύπωση

του προβλήματος της μονόπλευρης επαφής με τη μορφή προβλήματος γραμμικής συ

μπληρωματικότητας (Δουδούμης l 99 l ), που ξεφεύγει από τα καθιερωμένα πρότυπα της μεθόδου. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιείται ένας προσεγγιστικός τρόπος παράκαμψης

αυτής της δυσκολίας σύμφωνα με τον οποίο αντικαθιστούμε τον κατακόρυφο κλάδο

μηδενικής ευκαμψίας του σχήματος 3β, με έναν σχεδόν κατακόρυφο με στοιχειώδη t:.ϊJ

καμψία Ι Ι~ι., καθώς επίσης και τον οριζόντιο κλάδο μηδενικής δυmcαμψίας με έναν

σχεδόν οριζόντιο με στοιχειώδη δυσκαμψία Κεφ, οπότε προκύπτει ο σχεδόν ισοδύνα

μος καταστατικός νόμος του ενδόσιμου πλiον συνδέσμου (με διακεκομμένη γραμμή

στο Σχ. 3 β) που γράφεται:

45

(α)

Ι 1./Κeι.. Ι . (β)

Σχήμα 3: Καταστατικοί νόμοι της μονόπλευρης απλής έδρασης

σ = Κ(ε}ε

όπου Κ(ε)~ Κι:., για ε>Ο και Κ(ε)= Κe~ για ε

3 Αποτελέσματα

Τα αποτελέσματα της μελέτης της ελαστικής συμπεριφοράς των ορθογωνικών πλακών

με συνθήκες μονόπλευρης έδρασης συνοψίζονται σε πίνακες κατά το πρ6τυπο των πι

νάκων Czerny. Ειδικότερα στους πίνακες του σχήματος 7 φαίνονται οι χαρακτηριστικοί συντελεστές από τους οποίους προκύπτουν τα βασικά μεγέθη έντασης και μετακί

νησης των πλακών που έχουν μονόπλευρη απλή έδραση και στις 4 πλευρέ; τους, για ομοιόμορφο φορτίο και λόγο πλευρών από 1: 1 μέχρι 1:2. Στους πίνακες του σχήματος 8 φαίνονται οι αντίστοιχοι συντελεστές για την περίπτωση πλακών που έχουν 3 πλευρές μc μονόπλευρη απλή έδραση και 1 πλευρά (την μεγάλη) πακτωμένη. Τα μεγέθη έντασης και μετακίνησης για κάθc τύπο πλάκας προκύπτουν από το πηλίκο ,;ης διαίρεσης

του γινομένου q·l.11;/ με τον αντlστοιχο συντcλι:στή του πίνακα, ο οποl.ος εξαρτάται μόνο από τον λσyο των πλευρών 1/Ιχ της πλάκας. Επίσης στα σχήματα 7 και 8 φαίνονται και τα διαγράμματα των βασικών μεγεθών έντασης.

Στο σχήμα 5 φαίνεται η συγκριτική παρουσίαση των συντελεστών υπολογ1σμού της ροπής κάμψης mx στο μέσον της πλάκας για την περίπτωση της απλής μονόπλευρης έδρασης στις 4 πλευρές και της αντίστοιχης απλής αμφίπλευρης έδρασης, συναρτήσει του λσyου l/ lx. Η μονόπλευρη έδραση δίδει δυσμενέστερες ροπές μέχρι και 14%. Τέλος στο σχήμα 6 φαίνεται η συγκριτική παρουσίαση των συντελεστών υπολογι.σμού της μέ

γιστης ροπής κάμψης ιηymιιχ της πλάκας για την περίπτωση της απλής μονόπλευρης έ

δρασης στις 3 πλευρές και της αντίστοιχης απλής αμφίπλευρης έδρασης, ενώ η τέταρτη πλευρά (η μεγάλη) είναι πακτωμένη. Η περίπτωση μονόπλευρης έδρασης. δίδει επίσης

δυσμενέστερες ροπές μέχρι και 18,5%.

4 Συμπεράσματα

Οι ροπές κάμψης και οι βυθίσεις των πλακών με συνθήκες μονόπλευρης ι~δρασης προ

κύπτουν αρκετά δυσμενέστερες από τις αντίστοιχες περιπτώσεις με αμφίnλευρες εδρά

σεις, ενώ το αντίθετο συμβαίνει στις ροπές συστροφής. Επομένως ο τρόπος υπολογι

σμού της έντασης αυτών των πλακών επιδέχεται σημαντικά περιθώρια βελτίωσης σε

σχέση με τα μέχρι τώρα εφαρμοζόμενα και αυτό μπορεί να γίνει με αξιόπιcrτο και οικο

νομικό τρόπο με την χρησιμοποίηση των προτεινομένων πινάκων.

Βιβλιογραφία

Νιτσιώτας Γ. (1968) Σημειώσεις επί της θεωρίας των επιφανειακών φορέων, Θεσσαλονίκη 1990.

Δουδούμης l.N ( 1991) "Μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων πλήρωσης με συνθήκες μονόπλευρης επαφής - τριβής και ελαστικό ή ανελαστικό καταστατικό νόμο", διδακτ. διατριβή στο Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Θεσ/νίκη 1991.

Παπανικολάου Β.Κ. (1999) "Εντατική κατάσταση ορθογωνικών τετραερεLστων πλακών με συνθήκες μονόπλευρης απλής έδρασης", δtπλ εργασία στο Τμ.Πολ.Μηχ. Α.Π.Θ, Θεσ/νίκη 1999.

47

Ο,9Η2

0,9

0,β

0,7

0,β

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

ο

ο 0,2 0,4 0,6 Ο,β

Σχήμα 4 Γραμμική σχέση φορτίου-μεταιcινήσεων για μονόπλευρη έδραση

30,0 m xm

25,0 -Ο-Τύπος 1 -0-Czemy τύπος 1

20,0

15,0

10,0

Ιy/Ιχ 5,0-t-----,----.--...---.--~-~--~--~--~~~~-

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,βΟ 1,90 :!,00

Σχήμα 5 Συντελεστές ροπών κάμψης m""' για αμφίπλευρη και μονόπλευρη έδραση (4 πλευρές)

60,Ο Πlymax -ο

55,0

50,0

45,0 -Ο-Τύπος6

-0-Czerny τύπος 2b

40,0

Ιy/Ιχ 35,Ο τ----τ---.----τ----..--.----.----τ--...----τ--~

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00

Σχήμα 6 Συντελεστές ροπών κάμψης m1,,,.. για αμφίπλευρη και μονόπλευρη έδραση (3 πλευρές)

48

ΤΥΠΟΣ 1 Μονόπλευρη απλή στήριξη και στις τέσσερις πλευρές

p· I.~ m =--m,..ν

fy Ι ι, 1.00 1.05

""· 23.37 21.08 m,. 23.37 23.80 m,_, 23.37 23.80 m,.._ 36.22 33.06 q,,_ 2.35 2.30

q,._ 2.35 2.30 ι

f., 0.05850 0.06425 f, 0.01573 0.01718

ty Ι t, 1.50 1.55

m,. 12.10 11.69 m,. 34.91 36.99 m,_ 27.96 28.20 m,.._ 24.52 23.92 q ..... 2.01 2.00

qyr..,,. 1.98 1.97

r~ 0.10596 0.10933 r. 0.02666 0.02720

Ροπές

p·l q=--· f- p·l~ . f - E· d3 'πιv

qπιν

1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 19.19 17.64 16.37 15.32 14.44 24.39 25.13 26.04 27.11 28.34

24.39 25.01 25.56 26.08 26.55 30.89 29.40 28.36 27.58 26.93

2.25 2.21 2.17 2.13 2.10 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07

0.06984 0.07523 0.08040 0.08532 0.08998 0.01861 0.01998 0.02126 0.02244 0.02351

1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 11.34 11.03 10.75 10.50 10.29 39.24 41.68 44.31 47.14 50.19

28.42 28.61 28.79 28.95 29.11

23.37 22.90 22.53 22.28 22.15

1.99 1.98 1.97 1.97 1.96

1.96 1.95 1.94 1.93 1.92

0.11247 0.1 l540 0.11814 0.12070 0.12309 0.02767 0.02808 0.02843 0.02875 0.02903

Τέμνουσες δυνάμεις

ry1----Eί) 1 1 1 1 /y 1 1 1

1 : : f- f< -.. χ

1.35 1.40 1.45 1.50 13.71 13.09 12.56 l 2. Ι Ο 29.73 31.29 33.02 34.91

26.98 27.35 27.68 27.96

26.33 25.74 25.13 24.52 2.07 2.05 2.03 2.01

2.04 2.02 2.00 1.98

0.09437 0.09849 0.10235 0.10596 0.02446 0.02530 0.02603 0.02666

1.85 1.90 1.95 2.00 10.10 9.93 9.78 9.63

53.46 56.97 60.74 64.79

29.25 29.38 29.48 29.54 22.10 22.05 21.91 21.52

1.95 1.95 1.94 1.94 1.91 1.91 1.91 1.91

0.12533 0.12741 0.12935 0.13 113 0.02928 0.02950 0.02968 0.02981

Μετακινήσεις

Σχήμα 7 Πλάκα με μονόπλευρη απλή έδραση και στις τέσσερις πλευρές

49

ΤΥΠΟΣ6 Πλήρης πάκτωση της μίας μεγάλης πλευράς και μονόπλευρη απλή

στήριξη στις άλλες τρεις πλευρές

f., = f. min

lyl t, m,. m,_ m.,._ m,. m,_ m,._ q .. ._

q,._,

q,._

r .. ι .... f,

ly Ι t, m,.

"'·-m.,._ mr. m,_ m,.._ q .. ._

q,._,

q,._ ι,.

r,. ... r,

Ρ . f.2 p· t χ m=--• q=-- - p· f.~ f- --3 ·fπιv

E·d m πιν qπιν

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30

29.80 27.69 25.95 24.51 23.31 22.32 21 .48

26.81 24.96 23.42 22.15 21.10 20.22 19.48

11.34 L0.84 10.42 10.07 9.77 9.52 9.30

38.84 40.85 43.19 45.87 48.93 52.38 56.26

38.84 40.60 42.25 43.76 45.12 46.32 47.36

37.60 36.68 35.95 35.37 34.92 34.57 34.31

1.71 1.68 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58

2.79 2.75 2.72 2.69 2.67 2.65 2.64

2.93 2.93 2.92 2.92 2.91 2.91 2.90

0.03609 0.03854 0.04080 0.04288 0.04479 0.04654 0.04813 0.03711 0.03964 0.04198 0.04414 0.04612 0.04794 0.04959 0.00932 0.00991 0.01041 0.01083 0.01118 0.01147 0.01171

1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80

19.22 18.83 18.49 18.19 17.93 17.71 17.51

l7.41 17.05 16.73 16.45 16.20 15.99 15.80

8.70 8.60 8.51 8.43 8.37 8.31 8.26

76.68 83.26 90.54 98.61 107.55 117.46 128.45

50. 11 50.52 50.86 51.14 51.37 51.57 51.74

33.77 33.71 33.67 33.64 33.62 33.60 33.59

1.56 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56

2.61 2.61 2.61 2.61 2.61 2.61 2.61

2.90 2.90 2.90 2.90 2.90 2.89 2.89

0.05320 0.05418 0.05507 0.05587 0.05660 0.05726 0.05785 0.05486 0.05588 0.05681 0.05765 0.05841 0.05910 0.05973 0.01230 0.01239 0.01245 0.01250 0.01254 0.01257 0.01259

q)'I'-·

Ροπές Τέμνουσες δυνάμεις

1.35 20.78

18.84

9. 12

60.58 48.24

34.11

1.58 2.63

2.90

0.04959 0.05111 0.01191

1.85 17.34

15.64

8.22

140.65

51.89

33.58

1.56

2.61

2.89

0.05838 0.06030 0.01261

Υ

1 ----~ tr 6

ι ----~> +-- ι. ---+ χ

1.40 1.45 1.50 20. 18 19.67 19.22

18.30 17.83 17.41

8.96 8.82 8.70

65.40 70.75 76.68

48.99 49.61 50.11

33.96 33.85 33.77

1.57 1.57 1.56 2.62 2.62 2.61

2.90 2.90 2.90

0.05091 0.05211 0.05320 0.05248 0.05373 0.05486 0.01207 0.01220 0.01230

1.90 1.95 2.00 17.19 17.06 16.93

15.50 15.37 15.24

8.18 8.15 8.12

154.20 169.25 185.97 52.01 52.10 52.12

33.58 33.57 33.57

1.56 1.56 1.56

2.61 2.61 2.61

2.89 2.89 2.90

0.05886 0.05929 0.05967 0.06081 0.06127 0.06167 0.01262 0.01263 0.01264

Μετακινήσεις

Σχήμα 8 Πλάκα με μονόπλευρη απλή έδραση στις τρείς πλευρές

50