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S I C E - I C A S E I n t e r n a t i o n a l J o i n t C o n f e r e n c e 2 0 0 6O c t . 1 8 - 2 1 , 2 0 0 6 i n B e x c o , B u s a n , K o r e aA P I D - T y p e R o b u s t C o n t r o l l e r D e s i g n f o r I n d u s t r i a l R o b o t s

w i t h F l e x ib l e J o i n tsS a n g - H u n L e e ' , J o n g - S u n g H u r l , H y u n - C h u l C h o ' a n d J o n g - H y e o n P a r k 2

E l e c t r o - M e c h a n i c a l R e s e a r c h I n s t i t u t e , H y u n d a i H e a v y I n d u s t r i e s C o . , L t d . , G y e o n g g i , K o r e a( T e l : + 8 2 - 3 1 - 2 8 9 - 5 0 7 1 ; E - m a i l : m r s h l e e L j s h u r l h c h o @ h h i . c o . k r )2 S c h o o l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g , H a n y a n g U n i v e r s i t y , S e o u l , K o r e a( T e l : + 8 2 - 2 - 2 2 9 0 - 0 4 3 5 ; E - m a i l : j o n g p a r k W h a n y a n g . a c . k r )

A b s t r a c t : I n t h i s p a p e r , a r o b u s t c o n t r o l a l g o r i t h m i s p r o p o s e d f o r i n d u s t r i a l r o b o t s h a v i n g f l e x i b l e j o i n t s . A l i n k w i t hf l e x i b l e j o i n t i s m o d e l e d a s a t w o - m a s s s y s t e m , w h i c h c a n b e r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f a c a s c a d e s y s t e m . T h e c o n t r o l l e r i sd e s i g n e d b a s e d o n a r e c u r s i v e p r o c e s s f o r t h e c a s c a d e s y s t e m a n d t h e r o b u s t n e s s i s o b t a i n e d i n e a c h s t e p o f t h e d e s i g n .E s p e c i a l l y , we d e s i g n t h e r e a l c o n t r o l p a r t h a v i n g a P I D - t y p e c o n t r o l s t r u c t u r e b y i n c l u d i n g t h e i n t e g r a l a c t i o n . T h ed e s i g n e d r o b u s t c o n t r o l l e r h a s c a p a b i l i t i e s o f v i b r a t i o n s u p p r e s s i o n a n d r o b u s t n e s s a g a i n s t d i s t u r b a n c e s a n d m o d e lu n c e r t a i n t i e s , e . g . , p e r t u r b a t i o n s d u e t o t h e c h a n g e s o f t h e p a y l o a d . T h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e d e s i g n e d c o n t r o l l e r i si n v e s t i g a t e d t h r o u g h s e v e r a l s i m u l a t i o n s o n a m o d e l o f i n d u s t r i a l r o b o t a n d a l s o s h o w n t h r o u g h e x p e r i m e n t s u s i n g aH I L S ( H a r d w a r e I n t h e L o o p S i m u l a t i o n ) s y s t e m i n c o r p o r a t i n g a s m a l l s i z e m a n i p u l a t o r .K e y w o r d s : F l e x i b l e J o i n t C o n t r o l , R e c u r s i v e D e s i g n , N o n l i n e a r H0 C o n t r o l , P I D - T y p e R o b u s t C o n t r o l .

1 . INTRODUCTIONR e c e n t l y , t h e r e a r e i n c r e a s i n g d e m a n d s f r o mi n d u s t r i e s f o r i m p r o v e d r o b o t m o t i o n p e r f o r m a n c e t oa c h i e v e g i v e n t a s k s m o r e a c c u r a t e l y , q u i c k l y , a n dw i t h o u t v i b r a t i o n . Many m o d e l - b a s e d c o n t r o la l g o r i t h m s h a ve b e e n s u g g e s t e d t o s u p p r e s s r e s i d u a lv i b r a t i o n o f r o b o t s w i t h j o i n t f l e x i b i l i t y w h i c h c a n b e

m o d e l l e d a s a t w o - m a s s s y s t e m . T h e s e c o n t r o la l g o r i t h m s w e r e e f f e c t i v e t o s o m e e x t e n t i n s u p p r e s s i n gt h e i n h e r e n t v i b r a t i o n o f f l e x i b l e j o i n t r o b o t s [ 1 - 5 ] .H o w e v e r , p e r f o r m a n c e d e t e r i o r a t i o n h a s b e e no b s e r v e d u n d e r t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s o rd i s t u r b a n c e s . I n i n d u s t r i a l r o b o t s s u c h a s t h e o n e s h o w ni n F i g . 1 , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s m a i n l y c o m e f r o m t h ep o s e v a r i a t i o n o f t h e r o b o t o r u n c e r t a i n p a y l o a d o f t h er o b o t . And t h e d i s t u r b a n c e s u s u a l l y c o m e f r o m t h ef o r c e s a t t h e e n d - e f f e c t o r , s u c h a s c l a m p i n g f o r c e o f t h es p o t w e l d i n g g u n [ 5 ] . I t i s n e c e s s a r y f o r t h e c o n t r o l l e r st o m a i n t a i n g o o d p e r f o r m a n c e i n s p i t e o f s u c hu n c e r t a i n t i e s a n d d i s t u r b a n c e s .We a d o p t a r e c u r s i v e r o b u s t c o n t r o l d e s i g n m e t h o df o r a n o n l i n e a r c a s c a d e s y s t e m [ 6 ] . I n t h e d e s i g n m e t h o d ,f i r s t l y w e d e s i g n a f i c t i t i o u s c o n t r o l f o r t h e f i r s ts u b s y s t e m u s i n g t h e n o n l i n e a r H r c o n t r o l a s i f t h e

s u b s y s t e m h a s a n i n d e p e n d e n t c o n t r o l , a n d t h e n d e s i g n ar e a l c o n t r o l f o r t h e o v e r a l l s y s t e m s o t h a t t h e s e c o n ds u b s y s t e m may e f f e c t i v e l y t r a c k t h e p r e v i o u s l y d e s i g n e df i c t i t i o u s c o n t r o l .I n t w o - m a s s s y s t e m c a s e w h i c h r e p r e s e n t s t h e j o i n tf l e x i b i l i t y o f i n d u s t r i a l r o b o t m a n i p u l a t o r s , t h e f i r s ts u b s y s t e m i s t h e l i n k s i d e d y n a m i c s a n d t h e s e c o n ds u b s y s t e m i s t h e m o t o r s i d e d y n a m i c s d r i v e n b y t h ed r i v i n g t o r q u e i n p u t . T h e l i n k o f t h e r o b o t c a n n o t b ec o n t r o l l e d d i r e c t l y b y t h e d r i v i n g t o r q u e f r o m m o t o rb e c a u s e o f e l a s t i c i n t e r c o n n e c t i n g m e c h a n i s m .

T h e r e f o r e we a s s u m e t h a t t h e r e i s a f i c t i t i o u s c o n t r o l i np o s i t i o n o f t h e m o t o r a n g l e o f t h e l i n k d y n a m i c s f o r t h er o b u s t s t a b i l i z a t i o n o f t h e l i n k d y n a m i c s . B e c a u s e t h ef i c t i t i o u s c o n t r o l i s n o t a r e a l c o n t r o l , we d e s i g n t h e r e a lc o n t r o l r e c u r s i v e l y t o m a k e t h e o v e r a l l s y s t e m r o b u s t l ys t a b l e .I n i n d u s t r i a l r o b o t s , a n g u l a r s e n s o r s a r e l o c a t e dg e n e r a l l y o n t h e m o t o r s i d e , s o i t i s d e s i r a b l e t h a t m a j o rc o n t r o l e f f o r t i s m a d e o n m o t o r s i d e . T h u s i n t h i s p a p e r ,f o r s t r e n g t h e n i n g t h e m o t o r s i d e c o n t r o l a c t i o n , t h e r e a lc o n t r o l p a r t i s d e s i g n e d t o h a v e a P I D - t y p e c o n t r o ls t r u c t u r e b y i n p u t t i n g t h e i n t e g r a l a c t i o n .T h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e d e s i g n e d c o n t r o l l e r i si n v e s t i g a t e d t h r o u g h s i m u l a t i o n s o n a m o d e l o fi n d u s t r i a l r o b o t a n d a l s o s h o w n t hr o u g h e x pe r i m e nt s o na HILS s y s t e m h a v i n g t w o - m a s s s y s t e m c h a r a c t e r i s t i c s[ 7 ] . T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e d e s i g n e d r o b u s t c o n t r o l l e rh a s v i b r a t i o n s u p p r e s s i o n c a p a b i l i t y a n d r o b u s t n e s sa g a i n s t t h e m o d e l u n c e r t a i n t i e s s u c h a s p e r t u r b a t i o n s i nl o a d i n e r t i a .

8 9 - 9 5 0 0 3 8 - 5 - 5 9 8 5 6 0 / 0 6 / $ 1 0 2 0 0 6 ICASE 5 9 0 5

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2 . DESIGN A ROBUST CONTROLLERFORTHE FLEXIBLE JOINT2 . 1 Two-Mass S y s t e m : Model o f t h e F l e x ib l e J o i n t

T h e f l e x i b l e j o i n t o f a n i n d u s t r i a l r o b o t c a n b ed e s c r i b e d b y a t w o - m a s s s y s t e m a s s h o w n i n F i g u r e 2 ,w h i c h i s c o m p o s e d o f a d r i v i n g m o t o r , a t o r s i o n a l s p r i n ga n d a l i n k [ 8 ] . T h e j o i n t s o f t h e m a n i p u l a t o r w i t h af l e x i b l e c o n n e c t i o n c a u s e u n w a n t e d v i b r a t i o n . J o i n tf l e x i b i l i t y u s u a l l y c o m e s f r o m t h e r e d u c t i o n g e a r s w h i c hm a g n i f y a n d t r a n s m i t t h e d r i v i n g m o t o r t o r q u e t o t h el i n k .

F i g . 2 T w o - m a s s s y s t e m .T h e m o t i o n o f t h e t w o - m a s s s y s t e m c a n b e e x p r e s s e db y t w o c o u p l e d d y n a m i c s e q u a t i o n s . O n e i s f o r t h e r o b o tl i n k s i d e d y n a m i c s a n d t h e o t h e r i s f o r t h e m o t o r s i d ed y n a m i c s a s f o l l o w sB . K K0 L = L 0 OL OL J L J L + J L rB. K K 1 I 1tmL+ 08+m = J m j m - J r 2 jmJr S L + J m

w h e r e J m a n d J L a r e t h e m o m e n t s o f i n e r t i a , B ma n d B L a r e d a m p i n g c o e f f i c i e n t s , O m a n d O L a r e t h ea n g l e s o f t h e m o t o r a n d l i n k , r e s p e c t i v e l y . K i s t h es t i f f n e s s c o e f f i c i e n t o f t h e j o i n t , r i s t h e g e a rr e d u c t i o n r a t i o , a n d r m i s t h e m o t o r t o r q u e .I n t h i s t w o - m a s s s y s t e m m o d e l , t h e m o t o r d y n a m i c si s a c t u a t e d b y t h e d r i v i n g t o r q u e a n d t h e l i n k d y n a m i c si s a c t u a t e d b y t h e s p r i n g t o r q u e g e n e r a t e d b y t h e a n g u l a rd i f f e r e n c e b e t w e e n m o t o r a n d l i n k . S o i t i s c o n s i d e r e da s a c a s c a d e s y s t e m w h i c h h a s a s e r i e s c o n n e c t i o n o ft w o s u b s y s t e m s , t h e m o t o r d y n a m i c s a n d t h e l i n kd y n a m i c s .2 . 2 . D e s i g n o f R o b u s t C o n t r o l l e r : a R e c u r s i v eC o n t r o l l e r D e s i g n P r o c e d u r eOn i n d u s t r i a l r o b o t s , t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e su s u a l l y come f r o m t h e p o s e v a r i a t i o n o f t h e r o b o t o ru n c e r t a i n p a y l o a d t h e r o b o t h a n d l e s . And t h ed i s t u r b a n c e s u s u a l l y come f r o m t h e f o r c e s o n t h ee n d - e f f e c t o r , s u c h a s t h e o p e r a t i o n o f t h e s p o t w e l d i n gg u n s t h e r o b o t h o l d s [ 5 ] . I t i s n e c e s s a r y f o r t h ec o n t r o l l e r s t o m a i n t a i n g o o d p e r f o r m a n c e i n s p i t e o ft h e s e u n c e r t a i n t i e s a n d d i s t u r b a n c e s .Yim a n d P a r k s u g g e s t e d a r e c u r s i v e r o b u s t c o n t r o ld e s i g n m e t h o d f o r a n o n l i n e a r c a s c a d e s y s t e m [ 6 ] . I n t h e

d e s i g n m e t h o d , o n e d e s i g n s a t f i r s t a f i c t i t i o u s c o n t r o lf o r t h e f i r s t s u b s y s t e m u s i n g t h e n o n l i n e a r H X c o n t r o l

a s i f t h e s u b s y s t e m h a d a n i n d e p e n d e n t c o n t r o l , a n d t h e nd e s i g n s t h e r e a l c o n t r o l f o r t h e o v e r a l l s y s t e m s o t h a t t h es e c o n d s u b s ys te m e f f e c t i v e l y t r a c k s t h e p r e v i o u s l yd e s i g n e d f i c t i t i o u s c o n t r o l .I n t h e t w o - m a s s s y s t e m c a s e , w h i c h r e p r e s e n t s t h ej o i n t f l e x i b i l i t y o f i n d u s t r i a l r o b o t m a n i p u l a t o r s , t h e f i r s ts u b s y s t e m i s t h e l i n k s i d e d y n a m i c s a n d t h e s e c o n ds u b s y s t e m i s t h e m o t o r s i d e d y n a m i c s d r i v e n b y t h ed r i v i n g t o r q u e i n p u t . A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e l i n km o ti o n o f t h e r o b ot c a n n o t b e d i r e c t l y c o n t r o l l e d b y t h ed r i v i n g t o r q u e b e c a u s e o f e l a s t i c i n t e r c o n n e c t i n gm e c h a n i s m . T h e r e f o r e we a s s u m e t h a t t h e r e i s af i c t i t i o u s c o n t r o l i n t h e p o s i t i o n o f t h e m o t o r a n g l eO m o f t h e l i n k d y n a m i c s o f E q . ( 1 ) , f o r t h e r o b u s ts t a b i l i z a t i o n o f t h e l i n k d y n a m i c s . B e c a u s e t h e f i c t i t i o u sc o n t r o l i s n o t a r e a l c o n t r o l , we d e s i g n t h e r e a l c o n t r o lr e c u r s i v e l y t o m a k e t h e o v e r a l l s y s t e m r o b u s t l y s t a b l e .2 . 2 . 1 F i c t i t i o u s C o n t r o l l e r D e s i g n

F i r s t l y , we d e s i g n t h e f i c t i t i o u s c o n t r o l f o r t h e f i r s ts u b s y s t e m , t h e l i n k d y n a m i c s . T h e d e s i g n p r o c e d u r e o ft h e f i c t i t i o u s c o n t r o l O f c o n s i s t s o f t w o p h a s e s : a t f i r s t ,a m o d e l b a s e d c o n t r o l i s d e r i v e d f r o m t h e n o m i n a ld y n a m i c e q u a t i o n t o r e g u l a t e t h e p o s i t i o n a n d v e l o c i t ye r r o r i n l i n k s i d e , a n d t h e n a r o b u s t c o n t r o l i s d e s i g n e dt o m a i n t a i n t h e t r a c k i n g p e r f o r m a n c e a g a i n s t m o d e lu n c e r t a i n t i e s . T h e f i c t i t i o u s c o n t r o l i n p u t i s e x p r e s s e d a sO f = O f . + r o r f ( 2 )w h e r e O f m i s t h e m o d e l b a s e d c o n t r o l t e r m a n d O f , i st h e r o b u s t c o n t r o l t e r m .

U s i n g E q . ( 1 ) , we d e s i g n t h e m o d e l b a s e d c o n t r o l ,O f m , w h i c h c o n t r o l s t h e n o m i n a l m o d e l b y c a n c e l i n g o u tt h e d y n a m i c t e r m a n d t r a n s f o r m s t h e l i n k - s i d e d y n a m i c st o a n a f f i n e f o r m f o r r o b u s t c o n t r o l , a sO j m K ( J L d + B L O d ) + r o d ( 3 )

w h e r e O d i s t h e d e s i r e d t r a j e c t o r y o f t h e l i n k , K , J La n d B L a r e n o m i n a l v a l u e s o f K, J L a n d B LS u b s t i t u t i n g O f o f E q . ( 2 ) f o r O m o f l i n k d y n a m i c se q u a t i o n o f E q . ( 1 ) a n d u t i l i z i n g E q . ( 3 ) ,

0 =_LO~_ O L + J K r ( O f + r O f )J L J L J L rB . ~ K L K J . . KB.d K O d K0 OL+ ~L+ L+O+ O f , r *= J L J L J K J K JdJ+( 4 )

N e x t , w e d e s i g n t h e r o b u s t c o n t r o l 0 f , . L e t s b e anew s t a t e v a r i a b l e v e c t o r a sS = = . 0 - 5 rT h e n t h e l i n k d y n a m i c s o f E q . ( 4 ) i s r e - e x p r e s s e d b yt h e s t a t e s o f E q . ( 5 ) a s

5 9 0 6

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3/6

A s + B l w + B 2 / O f_ K _B l s + K l w + L O f , 0 r 6J L J L _ J L _ J L

w h e r e w a g a i n r e p r e s e n t s t h e u n c e r t a i n t y a sw hJ7KKJd J KOf ( 7 )( K K ) K K) K( J L J 1 ,No w a new s t a t e v a r i a b l e z , w h i c h r e p r e s e n t s t h ep e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m , i s i n t r o d u c e d t o d e s i g n t h er o b u s t c o n t r o l b a s e d o n H O O c o n t r o l t h e o r y .

z = H s + D O f r , H TD = 0 , DTD > 0 ( 8 )T h e r o b u s t c o n t r o l d e s i g n f o r t h e s y s t e m E q . ( 6 ) i sd e s c r i b e d i n t h e T h e o r e m 1 [ 9 , 1 0 ] .Theorem 1 : G i v e n y > 0 , s u p p o s e t h a t t h e r e e x i s t s a

s e m i - p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i x P s a t i s f y i n gP T A A P+ ( 1 y 2 ) P T B B T P P T B 2 ( D T D ) - B T P + H TH < 0 ( 9 )

a n d t h e r e e x i s t s a n o n n e g a t i v e e n e r g y s t o r a g e f u n c t i o nE > 0 s u c h t h a t -= 2 s T P T . T h e n t h e r o b u s t c o n t r o la ss a t i s f y i n g L 2 - g a i n < y i s

-fr ( D T D ) B f T P s ( 1 0 )w h e r e P i s c a l l e d a s t h e r o b u s t g a i n o f t h e f i c t i t i o u sc o n t r o l . And t h e d e r i v a t i v e o f e n e r g y s t o r a g e f u n c t i o ns a t i s f i e sE < / 2 W 1 2 2 ( 1 1 )P r o o f D e r i v a t i v e o f e n e r g y s t o r a g e f u n c t i o n E i sg i v e n a s

E= sa s2 s T P T ( A s + B l w + B 2 O f r ) ( 1 2 )s ( P ' A + A P ) s + 2 s ' P ( r ) w + B 2 O r )I n t r o d u c i n g y / 2 1 1 w _ 2 _ I I z I 1 2 i n t o E q . ( 1 2 ) a n d u s i n g t h ea s s u m p t i o n E q . ( 9 ) a n d t h e s u g g e s t e d c o n t r o l E q . ( 1 0 ) ,

w e o b t a i nF 2 1 1 y 1 1 2 z 1 2 +S T(PT + A P ) s + ( 1 1 y 2 ) S T P T B 1 B T P s_ - / 2 | | w - ( 2 T+ TH T D fIw ( 1 1 7 2 ) B 1 I S zii S f 1 S T O D ~ D' 2 f r ~ ~ 2 + S H O f r t f+ 2 s H D O f tw2| 1 W V 1 2 _I I Z 1 2 _2 |w ( 1 / y 2 ) B f T P s | | + | | D O f t +D- T B 2 T P s I

+ s T [ P T A + A P + ( 1 / 2 ) P T B B T p P T B 2 ( D T D ) l B 2 T P+ H T H I s+ 2 s T H T D O f ,< y / 2 1 1 1 1 V 1 2 I Z I 1 2 .

( 1 3 )T h u s t h e c o n t r o l - = - ( D T D ) - ' B f P s y i e l d s a c l o s e dl o o p w i t h L 2 - g a i n l e s s t h a n o r e q u a l t o y . 0

T o o b t a i n t h e s o l u t i o n t o E q . ( 9 ) , p r e - m u l t i p l y a n dp o s t - m u l t i p l y t h e i n e q u a l i t y w i t h p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i c e s p - T a n d P - ' r e s p e c t i v e l y . T h e n i t i st r a n s f o r m e d i n t o a L MI ( L i n e a r M a t r i x I n e q u a l i t y ) b yt h e S c h u r c o m p l e m e n t a sr AQ+ QA T + ( / y2)BBT - B 2 ( D T D ) B 2 Q < 0 ( 1 4 )

w h e r e Q = P - 1 . T h e L MI c a n b e s o l v e d b y a n e f f i c i e n tc o n v e x o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m [ 1 ] .I n ( 1 4 ) , t h e s y s t e m m a t r i c e s A a n d B 1 a r e u n c e r t a i n .C o n s e q u e n t l y t h e s o l u t i o n Q o f L M I E q . ( 1 4 ) i s n o td i r e c t l y a c q u i r e d . B u t i f t h e m a t r i c e s f o r m i n g t h e L MIv a r y i n s o m e b o u n d e d s p a c e o f t h e s e t s o f m a t r i c e s , i . e . ,[ A , B 1 , B 2 , H , D ] E C O { [ A i , B i , B 2 ' H , D ] ie{I,2. ( 1 5 )w h e r e C o d e n o t e s t h e c o n v e x h u l l a n d L i s t h en u m b e r o f v e r t i c e s o f b o u n d e d s p a c e . And i fL A I Q + Q A f + ( 1 1 y 2 ) B 1 B 1 T -B2(DT D ) B 2 < 0 ( 1 6 )h a v e a common n o n s i n g u l a r m a t r i x s o l u t i o n Q f o r a l l

i e G { 1 , 2 , . . . , L } , t h e n Q i s a l s o a s o l u t i o n t o E q . ( 1 4 )[ 1 2 ] .T h e r e f o r e t h e r o b u s t f i c t i t i o u s c o n t r o l o f E q . ( 2 ) i sf i n a l l y r e - w r i t t e n a sO f = O f m + r o f =J= + B L O d ) + r o d - r ( D T D ) B 2 P s ( 1 7 )

2 . 2 . 2 R o b u s t R e a l C o n t r o l l e r D e s i g nI n t h i s s t e p , we d r i v e t h e a c t u a l c o n t r o l i n p u t mu s i n g a p o s i t i v e d e f i n i t e s t o r a g e f u n c t i o n , w h i c h e n a b l e st h e o v e r a l l s y s t e m t o m a i n t a i n H X s t a b i l i t yc h a r a c t e r i s t i c s . S i n c e t h e f i c t i t i o u s c o n t r o l O t f d e s i g n e di n t h e f i r s t s t e p i s n o t a r e a l c o n t r o l i n p u t , we h a v e t od e s i g n a r e a l c o n t r o l i n p u t f o r t h e m o t o r a n g l e t o t r a c kt h e f i c t i t i o u s c o n t r o l . I n t h i s s t u d y , t h e r e a l c o n t r o l l e ri n c l u d e s a PID t y p e c o n t r o l t e r m b y i n p u t t i n g a n i n t e g r a la c t i o n [ 1 3 ] .No w we d e f i n e a f i c t i t i o u s v e l o c i t y command f , a n de r r o r s b e t w e e n t h e f i c t i t i o u s m o t o r a n g l e a n d v e l o c i t ya n d t h e r e a l o n e s a s f o l l o w s

e l = 0-O f , e 2 =m- f, e 3 = J e ( 1 8 )U s i n g O , m = O f + e 1 , t h e l i n k s i d e e q u a t i o n o f E q . ( 1 )b e c o m e s

s = A s + B l w + B 2 0 f , +B2 rr ( 1 9 )To m a k e t h e o v e r a l l s y s t e m s a t i s f y t h e H O O normc o n d i t i o n , we d e f i n e a p o s i t i v e d e f i n i t e s t o r a g e f u n c t i o nV a s f o l l o w sV = E + { e T e 1 + e e 2 +e3e3 } ( 2 0 )

5 9 0 7

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4/6

By u s i n g E q . ( 2 0 ) a n d t h e m o t o r d y n a m i c s o f E q . ( 1 ) ,w e g e t V 7 a s f o l l o w s* . T - T - T -V = + e T e + e 2 e 2 + e 3 e 3

= 2 s T P ( A s + B l w + B 2 0 f r ) + 2 s P Z B+2 e T + e 2 2 + e 3 e 3r2A K I I I + 13{ p> I A 21 I + l 2 1

1 5 0 _1 . 8( 2 4 ) 1 . 9 2 2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5t i m e ( s e c )( a ) l i n k a n g l ex 1 0 42 . 3 4 5RB C o n t r o l l e r2 . 3 4

2 . 3 3 5 -

- 2 3 3a - ) 2 . 3 2 5 -

2 . 3 2 -

( 2 5 )

( 2 6 )

V S C o n t r o l l e r

2 . 3 1 52 . 3 1 I / _, I1 . 8 1 . 9 2 2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5t i m e ( s e c )( b ) m o t o r a n g l e

( 2 7 )

5 9 0 8

k z - j )

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5/6

RB C o n t r o l l e r

C o n t r o l l e r

1 . 9 2 2 . 1 2 . 2 2 . 3t i m e ( s e c )( c ) l i n k v e l o c i t y

V S C o n t r o l l e r

RB C o n t r o l l e r

1 . 8 1 . 9 2 2 . 1 2 . 2t i m e ( s e c )

2. 4 2 . 5

< C o n t r o l l e r > ( a ) S c h e m a t i c d i a g r a m

2. 3 2. 4 2. 5

( d ) m o t o r v e l o c i t yF i g . 3 S i m u l a t i o n r e s u l t s .enc motor( b ) P h o t o o f t h e e x p e r i m e n t a l h a r d w a r eF i g . 4 E x p e r i m e n t a l s y s t e m .

T h e t e s t m o t i o n h a s a n S t y p e r e f e r e n c e t r a j e c t o r y o fl i n k a n g l e , m o v i n g f r o m 0 d e g r e e t o 1 5 2 . 0 5 6 d e g r e e a n dt h e t o t a l t r a v e l d u r a t i o n i s 2 s e c o n d s . T h i s i s a q u i t ese ve r e m o t i o n o f t h e r o b o t , w h i c h r e q u i r e s n e a r l y 80%o f maximum t o r q u e a n d us es maximum motor s p e e da r o u n d 3 0 0 0 rpm a t t h e h i g h e s t r e g i o n .I n t h e f i g u r e s o f l i n k a n d motor a n g l e s , ( a ) a n d ( b ) o ft h e F i g . 3 , p r o p o s e d c o n t r o l l e r ( R B c o n t r o l l e r i n t h ef i g u r e ) s h o w s more u n i f o r m response i n t h e e n d o f t h et r a j e c t o r y t h a n t h e response o f t h e m o d e l b a s e d s t a t ef e e d b a c k c o n t r o l l e r ( V S c o n t r o l l e r i n t h e f i g u r e ) . T h eu n i f o r m i t y o f a n g u l a r v e l o c i t i e s i s c l e a r l y s h o w n i n t h ef i g u r e s . From t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s , b o t h c o n t r o l l e r ss h o w r o b u s t s t a b i l i t y , b u t p r o p o s e d c o n t r o l l e r h a ss m a l l e r v a r i a t i o n o f p o s i t i o n a n d v e l o c i t y t r a c k i n gp e r f o r m a n c e a g a i n s t t h e p e r t u r b a t i o n o f t h e l o a d s i d ei n e r t i a t h a n t h e m o d e l b a s e d s t a t e f e e d b a c k c o n t r o l l e r .T h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r h a s b e t t e r t r a c k i n g p e r f o r m a n c ei n t h e s ens e o f s e t t l i n g t i m e , t o o .3 . 2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t sI n t h i s s e c t i o n , t h e r o b u s t n e s s o f t h e d e s i g n e dc o n t r o l l e r i s c o m p a r e d w i t h t h a t o f t h e c o n v e n t i o n a ls t a t e f e e d b a c k c o n t r o l l e r b y t h e e x p e r i m e n t s u s i n g t h eHILS ( H a r d w a r e I n t h e L o o p S i m u l a t i o n ) s y s t e m s h o w ni n F i g . 4 . T h i s s y s t e m c o n s i s t s o f a 2 0 0 W A C s ervom o t o r , a l o a d , a f l e x i b l e s h a f t a n d t wo e n c o d e r sm e a s u r i n g motor a n d l i n k a n g l e s , r e s p e c t i v e l y . T h ec h a r a c t e r i s t i c o f t h e s y s t e m c a n b e e a s i l y a d j u s t e d b y

c h a n g i n g t h e s h a f t a n d t h e l o a d p r o p e r l y f o r t h ed e s i r e d a p p l i c a t i o n s .To c o m p a r e t h e r o b u s t n e s s o f t wo c o n t r o l l e r s ,p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s i n l o a d i n e r t i a J L ar e c o n s i d e r e d .E x p e r i m e n t s ar e p e r f o r m e d f o r t h e o v e r e s t i m a t e d( J L = 1 . 2 J , L ) a n d u n d e r e s t i m a t e d ( J L = O . 8 J L ) ca se s asw e l l as a n o m i n a l o n e ( J L = J L ) , w h e r e J L i s a ne s t i m a t e d J L -

1 5 0

0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5T i m e [ s e c ]4 0

0 2 0 : : : : : : : : . . . . . . . .10

u0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4T i m e [ s e c ]

. ..:.

4 . 6 6F i g 5 . D e s i r e d a n g l e a n d v e l o c i t y .

F i g s . 6 a n d 7 s h o w t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t ht h e d e s i r e d t r a j e c t o r i e s s h o w n i n F i g . 5 . I n t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t s , t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r ( R BC o n t r o l l e r ) s h o w s more u n i f o r m t r a j e c t o r y t h a n t h e

5 9 0 9

4: a

3 -> 2

1

1 E

2 0 0 01 8 0 01 6 0 01 4 0 01 2 0 01 0 0 0

o 8 0 06 0 04 0 02 0 0

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6/6

m o d e l b a s e d s t a t e f e e d b a c k c o n t r o l l e r ( V S C o n t r o l l e r )a g a i n s t t h e l o a d s i d e p e r t u r b a t i o n s . A s s h o w n i n t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t s , p r o p o s e d m e t h o d h a s i m p r o v e dr o b u s t p e r f o r m a n c e w h i l e t h e c o n v e n t i o n a l s t a t ef e e d b a c k c o n t r o l l e r s h o w s l a r g e p e r f o r m a n c e d e v i a t i o n s .

3 . 9 3 . 9 % 4 4 . 0 5 4 . 1 4 . 1 5 4 . 2 4 . 2 5T i m e [ s e c ]F i g . 6 L i n k a n g l e ( d o t t e d : r e f e r e n c e , s o l i d : e x a c t J L 'd a s h e d : 0 . 8 J L , d a s h - d o t : 1 . 2 J L ) .0 . 4

0 . 28 0 . 10 0

- . 1- 0 . 2- 0 . 3 L- 0 4 _4 4 . 0 5 4 . 1 4 . 1 5 4 . 2 4 . 2 5 4 . 3 4 . 3 5 4 . 4T i m e [ s e c ]F i g . 7 L i n k v e l o c i t y ( d o t t e d : r e f e r e n c e , s o l i d : e x a c t J L 'd a s h e d : 0 . 8 J L , d a s h - d o t : 1 . 2 J L ) .

4 . CONCLUSIONSA r o b u s t c o n t r o l a l g o r i t h m w a s p r o p o s e d f o r f l e x i b l ej o i n t s o f i n d u s t r i a l r o b o t s . T h e f l e x i b l e j o i n t w a s

m o d e l e d a s a t w o - m a s s s y s t e m w h i c h h a s c h a r a c t e r i s t i c so f a c a s c a d e s y s t e m . T h e c o n t r o l l e r d e s i g n w a s b a s e d o na r e c u r s i v e p r o c e s s f o r t h e c a s c a d e s y s t e m a n d t h er o b u s t n e s s w a s o b t a i n e d i n e a c h s t e p o f t h e d e s i g n .E s p e c i a l l y , we d e s i g n e d t h e r e a l c o n t r o l p a r t h a v i n g aP I D - t y p e c o n t r o l s t r u c t u r e b y i n c l u d i n g t h e i n t e g r a la c t i o n . T h e d e s i g n e d r o b u s t c o n t r o l l e r h a s v i b r a t i o ns u p p r e s s i o n c a p a b i l i t y a n d r o b u s t n e s s a g a i n s t t h ed i s t u r b a n c e s a n d m o d e l u n c e r t a i n t i e s s u c h a sp e r t u r b a t i o n s i n l o a d i n e r t i a . T h e e f f e c t i v e n e s s o f t h ed e s i g n e d c o n t r o l l e r w a s i n v e s t i g a t e d t h r o u g hs i m u l a t i o n s o n a m o d e l o f i n d u s t r i a l r o b o t a n d a l s os h o w n t h r o u g h e x p e r i m e n t s b y a HILS s y s t e m .

REFERENCES[ 1 ] N . M a t s u i a n d Y . H o r i , " A d v a n c e d t e c h n o l o g i e s i nmotor c o n t r o l , " T r a n s . o f IEE J a p a n , V o l . 1 1 3 - D ,N o . 1 0 , p p . 1 1 2 2 - 1 1 3 7 , 1 9 9 3 .[ 2 ] J . K . J i , S . H . S o n g , S . K . S u l a n d M . H . P a r k , " S p e e dc o n t r o l l e r f o r t o r s i o n a l v i b r a t i o n s u p p r e s s i o n o f2 - m a s s motor d r i v e s y s t e m , " T r a n s . K I E E , V o l . 4 2 ,N o . 8 , pp. 4 4 - 5 3 , 1 9 9 3 .[ 3 ] R . O g u r o a n d K . T o m i t a , " M a c h i n e c o n t r o lt e c h n o l o g y i n servo s y s t e m s , " Y a s k a w a T e c h n i c a lR e v i e w , V o l . 6 2 , N o . 4 , p p. 2 7 4 - 2 7 9 , 1 9 9 8 .[ 4 ] S . H . L e e , J . G . Y i m , J . S . H u r a n d J . H . P a r k , "Ag a i n - s c h e d u l i n g f o r t h e v i b r a t i o n s u p p r e s s i o n s ervoc o n t r o l o f a r t i c u l a t e d r o b o t s , " P r o c . o f I n t . C o n f onC o n t r o l , A u t o m a t i o n , a n d S y s t e m s , pp . 2 7 2 5 - 2 7 3 0 ,2 0 0 3 .[ 5 ] J . S . H u r , S . H . L e e a n d J . H . S o n g , " S t a t e o b s e r v e rb a s e d v i b r a t i o n s u p p r e s s i o n f o r a n i n d u s t r i a lr o b o t , " P r o c . o f 1 s t K o r e a - C h i n a J o i n t W o r k s h o p

on R o b o t i c s , pp . 1 6 2 - 1 6 6 , 2 0 0 1 .[ 6 ] J . G . Yim a n d J . H . P a r k , " R o b u s t c o n t r o l o f r o b o tm a n i p u l a t o r w i t h a c t u a t o r s , " KSME I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a l , V o l . 1 5 , N o . 3 , pp . 3 2 0 - 3 2 6 , 2 0 0 1 .[ 7 ] S . W . S o n , S . H . L e e a n d J . S . H u r , " G a i n - s c h e d u l i n go f A c c e l e r a ti o n E s t i m a t o r f o r L o w - v e l o c i t yM e a s u r e m e n t w i t h E n c o d e r s , " P r o c . o f I n t . C o n fon C o n t r o l , A u t o m a t i o n a n d S y s t e m s , J u n . 2 0 0 5 .[ 8 ] M. S p o n g , " M o d e l i n g a n d c o n t r o l o f e l a s t i c j o i n tr o b o t s , " A S M E J o u r n a l o f D y n a m i c S y s t e m s ,M e a s u r e m e n t a n d C o n t r o l , V o l . 1 0 9 , pp. 3 1 0 - 3 1 9 ,1 9 8 7 .

[ 9 ] M. G r e e n a n d D . L i m e b e e r , L i n e a r R o b u s tC o n t r o l , P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 5 .[ 1 0 ] A . S c h a f t , " L 2 - g a i n a n a l y s i s o f n o n l i n e a r s y s t e m sa n d n o n l i n e a r s t a t e f e e d b a c k H - i n f c o n t r o l , " IEEET r a n s . on A u t o m a t i c C o n t r o l , V o l . 3 7 , N o . 6 , pp.7 7 0 - 7 8 4 , 1 9 9 2 .[ 1 1 ] S . B o y d , E . E . G h a o u i , E . F e r o n a n d V .B a l a k r i s h n a n , L i n e a r M a t r i x I n e q u a l i t i e s i nS y s t e m a n d C o n t r o l T h e o r y , SI A M B o o k s , 1 9 9 4 .[ 1 2 ] J . H . P a r k a n d J . Y i m , " N o n l i n e a r H , C o n t r o l o fR o b o t i c M a n i p u l a t o r s , " P r o c . o f IEEE C o n f e r e n c eon S y s t e m s , M a n a n d C y b e r n e t i c s , p p . 8 6 6 - 8 7 1 ,1 9 9 9

[ 1 3 ] S . H . L e e , C o n t r o l l e r D e s i g n f o r I n d u s t r i a l R o b o t i cM a n i p u l a t o r s w i t h F l e x i b l e J o i n t u s i n g aG a i n - s c h e d u l i n g Method and a R o b u s tB a c k s t e p p i n g M e t h o d , P h . D . T h e s i s , H a n y a n gU n i v . , K o r e a , A u g . 2 0 0 6 .

5 9 1 0

a c n