§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4...

明德砺志博学笃行

§5-1 纯弯曲

§5-2 纯弯曲时的正应力

§5-3 横力弯曲时的正应力

§5-4 弯曲切应力

§5-5 关于弯曲理论的基本假设

§5-6 提高弯曲强度的措施

第五章弯曲应力第五章弯曲应力


§5-1 纯弯曲

CD 段剪力为零，弯矩为常量，该段梁的变形称为纯弯曲。AC 、 BD 段梁的内力既有弯矩又有剪力，该段梁的变形称为横力弯曲。


梁的纯弯曲实验

实验现象：横向线 (a b ）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，仍垂直于变形后的梁轴线。


中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线。

假设假设

①平面假设

②纵向纤维间无正应力


§5-2 纯弯曲时的正应力1. 变形几何关系

MM

m2

n2

y

L

y

yE

O1 O2

a2'dx n2

m2

n1

m1

O 曲率中心n2dxn1

m1 m2

ya1

ya2

e1

O1 O2

e2 x中性层 z

中性轴

y

对称轴

o

a2a1

y

d

d

d

xe2

e1

y

d

dy

dx

dy

dx

d

aa

aaaa

ydd

21

2121


2. 物理关系（胡克定律 )

y

EE

Mmin

max

Mmin

max


Az

Ay

AN

MdAyM

dAzM

dAF

0

0

dAy

z( 中性轴 )

x

z

y

O

dA

M

0 AAydA

EdA

中性轴通过截面形心

MdAyE

dAyMAAz 2

zEI

M

1

3. 静力关系


② 梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：

zc

zt I

My

I

My 2max

1max ，

zz W

M

yI

M

)/(||

maxmax

max/ yIW zz — 抗弯截面模量。

4. 纯弯曲梁横截面上的应力 ( 弯曲正应力 )： ① 距中性层 y 处的应

力 zI

My


矩形截面：

62/

122

3

bh

h

IW

bhI

zz

z

5. 三种典型截面对中性轴的惯性矩

实心圆截面

642/

644

4

d

d

IW

dI

zz

z

截面为外径 D 、内径d(=d/D) 的空心圆 :

)1(322/

)1(64

43

44

D

D

IW

DI

zz

z


§5-3 横力弯曲时的正应力

弯曲正应力分布ZI

My

弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

Z

maxmaxmax I

yM

横力弯曲最大正应力


弯曲正应力公式适用范围：① 线弹性范围—正应力小于比例极限 p ；② 精确适用于纯弯曲梁；③ 对于横力弯曲的细长梁 ( 跨度与截面高度比 L/h>5) ，上述公式的误差不大，但公式中的 M 应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。


弯曲正应力强度条件

σI

yMσ

z

maxmaxmax

1. 弯矩最大的截面上

2. 离中性轴最远处

4. 脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑

tt max, cc max,

3. 变截面梁要综合考虑与M zI


根据强度条件可进行：

强度校核 : ][max

截面设计 : ][max

M

Wz

确定梁的许可荷载 : zWM ][max


FFAYAY FFBYBY

BA

l = 3m

q=60kN/m

xC

1m

M

x

m67.5kN8/2 ql

30

z

y

180

120

K

FS

x

90kN

90kNmkN605.0160190C M

1. 求支反力kN90Ay F

kN90ByF

4733

Z 10832.512

180120

12mm

bhI

解：

例：求图示梁（ 1 ） C 截面上 K 点正应力；（ 2 ） C 截面上最大正应力；（ 3 ）全梁上最大正应力；（ 4 ）已知 E=200GPa ， C 截面的曲率半径 ρ


2. C 截面最大正应力

C 截面弯矩 mkN60C M

C 截面惯性矩 47Z 10832.5 mmI

MPa55.9210832.5

2180

1060

7

3

Z

maxmax

I

yMCC

MPa7.6110832.5

)302

180(1060

7

3

Z

KCK

I

yM （压应力）


3. 全梁最大正应力最大弯矩

mkN5.67max M

MPa17.10410832.5

2180

105.67

7

3

Z

maxmaxmax

I

yM


4. C 截面曲率半径 ρC 截面弯矩

mkN60C MC 截面惯性矩

47Z 10832.5 mmI

mmM

EI4.194

1060

10832.5102006

73

C

ZC


例：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重，起重量，跨度，材料的许用应力。试选择工字钢的型号。 MPa140

kN7.61 F kN502 Fm5.9l


（ 4 ）选择工字钢型号

（ 5 ）讨论

（ 3 ）根据

zW

Mmaxmax 计算

336

6

3

max

cm962m10962

101404

5.910)507.6(

M

Wz

（ 1 ）计算简图

（ 2 ）绘弯矩图

解：

36c 工字钢 3cm962zW

kg/m6.67q


例 5-3-3 ：已知 16 号工字钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a

=1m ， []=160MPa ， E=210GPa ，在梁的下边缘 C点沿轴向贴一应变片，测得 C 点轴向线应变，求 F 并校核梁正应力强度。

6c 10400

C NO.16

F

A Ba

2/l

l

z


MPa841040010210)1 63 CC E解：

kN4.47N104.47

10141

25.025.0

25.0)(

3

6

F

F

W

F

W

M

FalFM

zz

CC

BC

][MPa126Pa1012610141

108.17

mkN8.174

1)2

66

3max

max

max

zW

M

FLM

C

F

A Ba

2/l

l


例 5-3-4 ： T 型截面铸铁梁，截面尺寸如图 ,

, 试校核梁的强度。

MPa30t

MPa60c


mm52201202080

8020120102080

cy

（ 2 ）求截面对中性轴 z 的惯性矩

46

23

23

m1064.7

281202012

12020

42208012

2080

zI

（ 1 ）求截面形心z1

y

z52

解：


（ 4 ） B 截面校核

t

t

MPa2.27Pa102.27

1064.7

1052104

6

6

33

max,

c

c

MPa1.46Pa101.46

1064.7

1088104

6

6

33

max,

（ 3 ）作弯矩图

kN.m5.2

kN.m4


（ 5 ） C 截面要不要校核？

t

t

MPa8.28Pa108.28

1064.7

1088105.2

6

6

33

max,

（ 4 ） B 截面校核

（ 3 ）作弯矩图

tt MPa2.27max,

cc MPa1.46max,

kN.m5.2

kN.m4


例：图 a 所示为横截面如图 b 所示的槽形截面铸铁梁，该截

面对于中性轴 z 的惯性矩 Iz=5493×104 mm4 。已知图 a 中，

b=2 m 。铸铁的许用拉应力 [t]=30 MPa ，许用压应力 [ c]=

90 MPa 。试求梁的许可荷载 [F] 。

(a)

(b)


解：最大负弯矩所在 B 截面处，若截面的上边缘处最大

拉应力 t,max 达到 [t] ，则下边缘处最大压应力 c,max 为

根据可知此 c,max 并未达到许用压应力 [c] ，也

就是说，就 B 截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。

tt 56.186

134 3

1

c

t


显然， B 截面上的最大拉应力控制了梁的强度。

B 截面： zz

B

I

F

I

Mm1086m2

2m10863

3

maxt,

C 截面： zz

C

I

F

I

Mm10134m2

4m101343

3

maxt,

第四章弯曲应力


Pa1030

m105493

m1086m22 6

48

3

F

当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。

于是由 B 截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应

力 [t] 的条件来求该梁的许可荷载 [F] ：

由此得 F≤19200 N ，亦即该梁的许可荷载为 [F]=19.2 kN 。

第四章弯曲应力


讨论：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2 。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。

b

hd

解：b h d2 2 2

Wbh

z 2

6

b d b( )2 2

6

W

b

d bz 2 2

6 20

由此得 bd

3

h d b d 2 2 2

3

h

d 2


§5-4 弯曲切应力一、矩形梁横截面上的切应力

1 、公式推导：

n

1

m' n'

2

m1'

z

e1

1'

1'

1

1y

e2

e1

x

21

1 2

dxb

A

y y

dxx

M+dMM

FSFS

+d

'

y'

m nmm'

d

y

'

A


Fs(x)+dFs(x)M(x)

M(x)+d M(x)Fs(x) dx

1

x

y

z

’b

z

z

Az

AN I

MSAy

I

MAF

dd1

z

zN I

SMMF

)d(2

z

zs

z

z

bI

SF

bI

S

x

M

d

d

由剪应力互等

z

z

bI

QSy

*

)(

)4

(2

)2

(2

2 22

yhb

yh

by

h

AyS cz

dxbFF NN 12


5.12

3max

A

Fs

)4

(2

22

yh

I

F

z

s 矩

Fs

方向：与横截面上剪力方向相同；

大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h 分布为抛物线。

最大剪应力为平均剪应力的 1.5 倍。


二、其它截面梁横截面上的剪应力

其中 Fs 为截面剪力； Sz 为 y 点以下的面积对中性轴之静矩；

Iz 为整个截面对 z 轴之惯性矩； b 为 y 点处截面宽度。

1 、研究方法与矩形截面同；剪应力的计算公式亦为：

z

z

bI

QS *


2 、工字形截面梁的剪应力

腹板

翼缘在腹板上：

b

B

h Hy


在翼缘上，有平行于 Fs 的剪应力分量，分布情

况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。

在翼缘上，还有垂直于 Fs 方向的剪应力分量，

它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。

腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。


3 、圆截面梁的剪应力

A

Fs

3

4max

下面求最大剪应力：sF

z

y


三、弯曲剪应力强度条件

][*

maxmaxmax

bI

SF

Z

Zs


解：画内力图求危面内力

例：矩形 (bh=120180mm2)截面木梁如图， []=7MPa ， []=0. 9 M Pa ，试求最大正应力和最大剪应力之比 , 并校核梁的强

度。

N54002

33600

2max

qL

Fs

Nm40508

33600

8

22

max

qL

M

x

M

+

8

2qL

Fs

2

qL

2

qL

–+

x

q=3.6kN/m

A B

L=3m

明德砺志博学笃行求最大应力并校核强

度

应力之比

7.163

2max

max

max h

L

Q

A

W

M

z

][7MPa6.25MPa

180120

104050662

3

2maxmax

max

bh

M

W

M

z

][0.9MPa0.375MPa 180120

54005.15.1 max

max

A

Q


例： T 形梁尺寸及所受荷载如图所示 , 已知 []c=100

MPa ， []t=50MPa ， []=40MPa ， yc=17.5mm ， Iz=

18.2×104mm4 。求： 1)C 左侧截面 E 点的正应力、切应力； 2) 校核梁的正应力、切应力强度条件。

CA B

m1

kN1 kN/m1

m1 m1

40

40

10

10

yc

zE


CA B

m1

kN1 kN/m1

m1 m1

40

40

10

10

yc

zE

1

FS

0.25

0.75

(kN) _

+

M

(kN.m)

0.25

0.5

+

_

kN75.1kN25.0 CA FF ，

mkN25.0mkN5.0

kN1kN75.0 ,,

BC

CSCS

MM

FF

，

，右左

2 ）作梁的 Fs 和 M 图

1 ）求支座反力：


MPa1.210102.18

)5.12400(1075.0

)(MPa6.20102.18

5.7105.0)3

4

3*,

4

6

bI

SF

I

yM

z

zCS

E

z

ECE

左

拉

该梁满足强度要求

yz

cCCy

Lz

cCCL

yz

cBBy

Lz

cBBL

MPaI

yM

MPaI

yM

MPaI

yM

MPaI

yM

][2.89)05.0(

][0.48

][0.24

][6.44)05.0(

)4


][MPa9.21010102.18

10]2/)50(10[10154

923

*max

maxmax

c

z

zS，

y

bI

SF

5)切应力强度校核：

该梁满足强度要求


例：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为 1m 。胶合面的许可切应力为 [ 胶 ]=0.34MPa ，木材的 []=10MPa ， []=1MPa ，求许可载荷。

F

l100

505050

z


21max

max

6

bh

lF

W

M

z

1. 画梁的剪力图和弯矩图

2. 按正应力强度条件计算许可载荷

SF

F

M

Fl

3.75kNN375010006

15010010

6

22

1

l

bhF

bhFAFS 2/32/3 2max

3. 按切应力强度条件计算许可载荷

kN01N100003/15010023/22 bhF

F

l

解：


gZ

ZS

bh

F

bbh

hbF

bI

SF

3

4

12

3 33

2

3*

g

4. 按胶合面强度条件计算许可载荷

3.825kNN38254

34.01501003

4

33

gbh

F

5. 梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3kN10kN75.3 minmin iFF

F

l100

505050

z


§5-5 关于弯曲理论的基本假设在导出纯弯曲正应力的计算公式时，引用了两个假设：（ 1 ）平面假设；（ 2 ）纵向纤维间无正应力假设。假设材料仍是线弹性的，对于横力弯曲问题，按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。

)4

(2

22

yh

I

F

z

s 矩 )4

(2

22

yh

GI

F

G z

s 矩

可见上、下表面无切应变，中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化，可见这势必使横截面不能保持平面，而引起翘曲。


理论分析表明：当截面高度 h 远小于跨度 l 的梁，上述偏差是非常小的；而 h 远远小于跨度 l ，却正是杆件的几何特征。


z

q(x)

Fs+dFsFs

dx

p rn

r sr

s

p

tF’s

F’s+dF’s

y

y

理论分析表明： h 远远小于跨度 l ， y 是可以忽略的，这正是假设纵向纤维间无正应力的根据


§5-6 提高弯曲强度的措施

控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以

maxmax [ ]

M

WZ

作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。


一、合理安排梁的受力情况q q

M Mql 2

8 0 0214 2. ql

x l0 207.

xxl

l


P

M Pl / 4 al

2

l

2

P

Pl / 8

M

l

2

l

2

l

2

a

2

a

2


二、梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。

CL8TU20

h

bh

b

P

z z


尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，

以使弯曲截面系数 Wz 增大。


y

yt

c

1

2

[ ]

[ ]

CL8TU9

y1P

zy2

C


三、采用变截面梁梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力［ σ］时，称为等强度梁。


本章结束

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