Uppgifter framtagna av gymnasielärare och högskolelärare vid det femte nationella mötet i maj 2008 i Göteborg. För mer information kring mötet se http://mattebron.ncm.gu.se/node/506 Algoritmkompetens (bord 1-3) Gymnasiet MaA 1. Lös ekvationen xx !=+ 932 Redovisa alla steg i din lösning! Lösning:

2

3

6

63

933

932

=

=

=

=+

!=+

x

x

x

x

xx

Svar : x = 2

Bedömningsmall: Godtagbar, redovisad metod + 1p Med korrekt svar + 1p MaB 2. Lös 7x2 − 5x = 0. Svara exakt. (3p) Lösning: Modell 1: 7x2 − 5x = 0 ⇔

0)7

5(7 =!" xx ⇔

x = 0 eller 7

5=x

Modell 2: 7x2 − 5x = 0 ⇔

0)7

5(7 2

=!" xx ⇔

14

5

14

5)

14

5(

14

5 2±=±=x ⇔

7

5

14

10

14

5

14

5==+=x eller 0

14

5

14

5=!=x

Bedömningsmall: Korrekt ansats +1 p Korrekta lösningar +1-2p

MaC 3. Bestäm största och minsta värde till g(x) = 5x2 − 3x på [ ]5,3! . (3p) Lösning: g(x) = 5x2 − 3x I. Studera derivatan g′(x) = 10x − 3

g′(x) = 0 ⇔ 10

3=x

II. Jämför och tag det största respektive minsta

20

9

10

9

20

9

10

33

100

95)

10

3( !=!="!"=g

g (−3) = 45 + 9 = 54 g (5) = 125 − 15 = 110

Svar: Minsta värde 20

9! , största värde 110

Bedömningsmall: Bestämmer derivatans nollställe +1p Korrekt minsta värde med motivering +1p Korrekt största värde med motivering +1p MaD (räknarfri del) 4. Bestäm karaktären hos eventuella extrempunkter för funktionen 293

23+!+= xxxy

Lösning:

)29;3(max0''3

)1;1(min0''1

66''

3131103209630'

963'

21

22

2

!"<"!=

!">"=

+=

!=="+±!="=!+"=!+"=

!+=

iyx

iyx

xy

xochxxxxxxy

xxy

Svar: Funktionen har ett lokalt maximum i (−3;29) och ett lokalt minimum i (1;−1) Bedömningsmall: Korrekt förstaderivata + 1p Satt 1:a derivatan lika med 0 + 1p Bestämt den funna derivatans nollställen + 1p Tolkat andraderivatans tecken korrekt + 1p MaD (räknarfri del)

5. Bestäm ! +

3

0

)sin23(

"

dxx

Lösning:

[ ] 121)20()2

12(cos23)sin23(

3

0

3

0

+=+!=!!"!=!=+# $$$$

$

xxdxx

Bedömningsmall: Korrekt primitiv funktion +1-2p Korrekt insättning av gränser +1-2p Med korrekt svar +1p MaE 6. Lös differentialekvationen y″ + 2y′ + 3y = 0 med begynnelsevillkoren y(0) = 1 och y′(0) = 2 Lösning: Karakteristisk ekvation r2 + 2r + 3 = 0 r = i21±!

y = )2sin2cos(e xBxAx

+!

)2cos22sin2(e)2sin2cos(e xBxAxBxAyxx

+!++!="!!

Insättning av begynnelsevillkoren ger y(0) = 1 ⇒ A = 1 y′(0) = 2 ⇒ 22 =+! BA 32 =B

2

3=B

2

23=B

Svar: xxyx 2sin

2

232(cose +=

! )

Bedömningsmall: Karakteristisk ekvation med korrekt lösning +1p Korrekt allmän lösning +1p Korrekt derivata +1p Fullständig lösning +1-2p Högskolan

1. Beräkna integralen dxx

x

! +

2

1

21

Lösning: Vi använder primitiv funktion. Notera att

2

5ln2

1)2ln5(ln

2

1))11ln()21(ln(

2

1

)1ln(2

1

11)1ln(

2

1

1

2)1ln(

22

2

1

2

2

1

22

2

2

2

=!=+!+

="#

$%&

'+=

++="#

$%&

'+(

+=+ ) xdx

x

x

x

xx

dx

d

x

xx

dx

dQ

Svar: 2

5ln2

1 eller 2

5ln

Bedömningsmall:

Användning av primitiv funktion 1p Hittar rätt primitiv funktion 1p Rätt vid insättning och rätt svar 1p

2. Lös ekvationssystemet:!"

!#

$

=++

=+

=+

3

24

12

321

32

31

xxx

xx

xx

Lösning: På matrisform :

!!!

"

#

$$$

%

&

3

2

1

111

410

201

~!!!

"

#

$$$

%

&

1

2

3

201

410

111

~!!!

"

#

$$$

%

&

'' 2

2

3

110

410

111

~!!!

"

#

$$$

%

&

0

2

3

500

410

111

~!!!

"

#

$$$

%

&

0

2

3

100

410

111

~!!!

"

#

$$$

%

&

0

2

3

100

010

111

~

!!!

"

#

$$$

%

&

0

2

3

100

010

011

~!!!

"

#

$$$

%

&

0

2

1

100

010

001

Slutsats: !"

!#

$

=

=

=

0

2

1

3

2

1

x

x

x

Bedömningsmall: Uppställning på matrisform 1p Gausselimination eller bestämmer invers 1p Rätt svar 1p Alternativt: Gissar och verifierar 3p

3. Bestäm dxx

x

! +2

sin3

sin

Lösning:

=!"

#$%

&

='

==

'+=

'=

+ (((dtdx

txdx

xx

xdxx

xdxx

x

sin

cos

)cos2)(cos2(

sin

cos4

sin

sin3

sin22

= *)2)(2()2)(2(=

!+=

!+! ""

tt

dt

tt

dt

Partialbråksuppdelning

22)2)(2(

1

!+

+=

!+ t

B

t

A

tt⇒

4

1,4

1=!= BA

*= Ct

tCttdt

tt+

+

!=++!!=

+!

!" 2

2ln4

1)2ln2(ln

4

1)2

1

2

1(

4

1 =

= Cx

x+

+

!

2cos

2cosln4

1

Bedömningsmall: Variabelsubstitution 1p Partialbråksuppdelning 1p Primitiv funktion 1p Återsubstitution 1p 4. Bestäm samtliga heltalslösningar till 23x + 100y = 1 (3p) Lösning: 1. 100 = 4⋅23 + 8 23 = 2⋅8 + 7 8 = 1⋅7 + 1 SGD(23, 100) = 1 2. 1 = 8 − 1⋅7 = 8 − 1⋅(23 − 2⋅8) = −1⋅23 + 3⋅8 = −1⋅23 + 3⋅(100 − 4⋅23) = = −1⋅23 + 3⋅100 −12⋅23 = 3⋅100 −13⋅23 x0 = −13, y0 = 3 3. Alla lösningar x = −13 + 100k, y = 3 −23k Bedömningsmall: SGD 1p En lösning 1p Alla lösningar 1p 5. Lös z4 = −64. Ange svaren på formen z = a + bi, a, b ∈ R. (2p) Lösning: Skriv på polär form. VL. z = r⋅eiθ ⇒ z4 = r4⋅ei4θ HL. −64 = 64⋅ei(π + nπ) Jämför

⇔!"#

+=

=

$$% n

r

4

644

⇔ Znn

r

!"+=

=

,24

22##

$

n = 0 ger 22=r , 4

!" = ⇒ iiiz 22)2

1

2

1(22)

4sin

4(cos220 +=+=+=

!!

n = 1 ger 22=r , 4

3!" = ⇒ iiz 22)2

1

2

1(221 +!=+!=

n = 2 ger 22=r , 4

5!" = ⇒ iiz 22)2

1

2

1(222 !!=!!=

n = 3 ger 22=r , 4

7!" = ⇒ iiz 22)2

1

2

1(223 !=!=

Bedömningsmall: Omskrivning av VL och HL på polär form 1p

Alla lösningar 1p