5. integración de potencias trigonométricas

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas. Algunas identidades trigonométricas que se necesitan en esta sección son las siguientes Identidades pitagóricas

1cos22 =+ xxsen Despejando cada función xxsen 22 cos1−= xsenx 22 1cos −=

xx 22 sectan1 =+ Despejando cada función xx 22 tansec1 −= 1sectan 22 −= xx

xx 22 csccot1 =+ Despejando cada función xx 22 cotcsc1 −= 1csccot 22 −= xx Identidades del ángulo medio

2

2cos12 xxsen

−= 2

2cos1cos2 x

x+=

Paso de producto a suma

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]( )xnmxnmnxmx

xnmsenxnmsennxsenmx

xnmxnmsennxsenmx

++−=

++−=

+−−=

coscos21

cos.cos

2

1cos.

coscos2

1.

Para ángulos opuestos

)()( xsenxsen −=− )cos()cos( xx =− )tan()tan( xx −=−

)(csc)csc( xtx −=− )sec()sec( xx =− )cot()cot( xx −=− Suma y diferencia de ángulos

)tan()tan(1

)tan()tan()tan(

)()()cos()cos()cos(

)()cos()cos()()(

yx

yxyx

ysenxsenyxyx

ysenxyxsenyxsen

m

m

±=±

=±±=±

Una vez realizadas las transformaciones trigonométricas, el integrando queda listo para aplicar integración por sustitución. En algunos casos se debe recurrir a la integración por partes.


Resolver los siguientes ejercicios

Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

1. ∫ xdx3cos c

xsensenx +−

3

3

2. ∫ xdxsen5

cxx

x +−+−5

cos

3

cos2cos

53

3. ∫ xdxsen2 cxsenx +−

4

2

2 4. ∫ xdx2cos c

xsenx ++4

2

2

5. ∫ xdx4cos cxsenxsenx +++

32

4

4

2

8

3 6. ∫ θθdsen4 c

sensen ++−32

4

4

2

8

3 θθθ

7. ∫ xdxsen 22 cxsenx +−

8

4

2 8. ∫ θθdsen 24 c

sensen ++−64

8

8

4

8

3 θθθ

9. ∫ dxx

2cos2 c

senxx ++22

10. ∫ xdxxsen 43 cos c

xx ++−7

cos

5

cos 75

11. ∫ xdxxsen cos4 c

xsen +5

5

12. ∫ xdxxsen 32 cos

cxsenxsen +−

53

53


xxx ++−7

cos

5

cos2

3

cos 753

14.∫ xdxxsen44cos3

cx +−

16

4cos4

15. ∫ xdxxsen 5cos54 c

xsen +25

55


xsenx +−32

48

17. ∫ xdxxsen 3cos3 22

c

xsenx +−9612

8 18. ∫ dxxxsen cos3

c

xx ++−7

cos2

3

cos2 73

19. ∫ dxxsen

x3

3

3

3cos c

xsenxsen +−82

3 3 83 2

20∫ dtttsen 2cos23

ctt ++−

7

2cos

3

2cos 73

21∫ ααα dsen 2cos2 321

c

sensen +−7

2

3

2 73 αα

22. ∫− xdxxsen 43 cos

cxx +− sec

3

sec3

23. ∫− θθθ dsen 33cos 23 c

sen +−−33

33csc θθ

24. ∫ xdxxsen 4cos5 cxx +−−

189cos

2cos

25. ∫ ydyysen 5cos4 cyy +−

189cos

2cos

26. ∫ ydyy 4coscos cysenysen ++

105

63

27. ∫ tsentdtsen3 ctsentsen +−

84

42

28. ∫ ydyysen 5cos3 cyy +−

168cos

42cos

29. ∫ tdtt cos3cos ctsentsen ++

84

42

30. ∫ xdx2tan cxx +−tan

31. ∫ xdx2cot cxx +−− cot 32. ∫ xdx3tan cx

x ++ cosln2

tan2

33. ∫ xdx4cot cxx

x +++− cot3

cot3

34. ∫ xdx3cot4 cx

xx ++−−3

3cot

9

3cot3

35. ∫ xdx4tan cxx

x ++− tan3

tan3

36. ∫ tdt2cot3

ctsent +−−

4

2ln

42cot2


37. ∫ xdx3tan6 x

xxx −+−3

3tan

9

3tan

15

3tan 35

38. ∫ xdx2cot5

2

2ln

4

2cot

8

2cot 24 xsenxx ++−

39. ∫ xdx4sec cx

x ++ tan3

tan3

40. ∫ xdx6csc

cxxx ++−− cot

3

cot2

5

cot 35

41. ∫ xdx3sec 2

tansecln

2

tansec xxxx ++

42. ∫ xdx6sec cx

xx +++ tan3

tan2

5

tan 35

43. ∫ xdx3csc 2

cotcscln

2

cotcsc xxxx −+−

44. ∫ θθd3tan5

3

3cosln

6

3tan

12

3tan 24 θθθ −−

45. ∫ xdxx 46 sectan c

xx ++7

tan

9

tan 79

46. ∫ xdxx 75 sectan

cxxx ++−

7

sec

9

sec2

11

sec 7911


xx ++6

tan

8

tan 68

48∫ xdxx 55 sectan

cxxx ++−

5

sec

7

sec2

9

sec 579


xx +−9

sec11

sec 911

50∫ xdxx 2sec2tan 53

cxx +−

102sec

142sec 57

51. ∫ xdxx 3tan3sec 34 c

xx ++12

3tan

18

3tan 46

52. ∫

− xdxx 43 sectan c

xx +−

2

cottanln

2

53. ∫−

xdxx 21

sectan3 c

x

x ++sec

2

3

sec2 3

54. ∫ θθθ

d4

3

cos

tan c++

4

tan

6

tan 46 θθ

55. ∫ dxx

x2tan

sec

cx +− csc 56. ∫ xdxx 3csc3cot 42 c

xx +−−9

3cot

15

3cot 35

57. ∫ ααα d33 csccot c++−

3

csc

5

csc 35 αα

58. ∫ ααα d64 cotcsc c+−−

7

cot

9

cot 79 αα

59. ∫ xdxx 3cot3csc2 c

x +−9

3cot3 60. ∫ dx

x

x

csc

cot3

csenxx +−− csc


Integrales de potencias de funciones trigonométricas

=∫ xdxsenn∫

−

− senxdxxn2

1

)cos1( 2

=∫ xdxncos ∫−

− xdxxsesn

cos)1( 21

2

n = impar

∫

−= dxx

n2

2

2cos1

∫

+= dxx

n2

2

2cos1

n = par

∫∫−

−= xsenxdxxxdxxsen mmnn

cos)cos1(cos 21

2

∫∫−

−= xdxxsenxsenxdxxsen nmnm

cos)1(cos 21

2

n = impar m = impar

dxxxxdx nn∫∫ −= − )1(sectantan 22

dxxxxdx nn∫∫ −= − )1(csccotcot 22

n = entero positivo n = entero positivo

dxxxxdxn

n∫∫

−

+= )(sec)1(tansec 22 22

dxxxxdxn

n∫∫

−

+= )(csc)1(cotcsc 22 22

n = entero positivo par

xdxdvxu n 22 secsec == −

xdxdvxu n 22 csccsc == −

n = entero positivo impar

∫ xdxx mn sectan ∫−

+= )(sec)1(tantan 22 22

xdxxxm

n

∫−−

−= )tan(secsec)1(sec 12 21

xdxxxx mn

∫ −= xdxx mn

sec)1(sec 22

m = par n = par o impar

imparnimparm ==

parnimparm ==

∫ xdxx mn csccot ∫−

+= )(csc)1(cotcot 22 22

xdxxxm

n

∫−−

−= )cot(csccsc)1(csc 12 21

xdxxxx mn

∫ −= xdxx mn

csc)1(csc 22

m = par n = par o impar

imparnimparm ==

parnimparm ==

5. integración de potencias trigonométricas

Documents