15. Teória grafov

Grafy si môžeme prestavit’ ako zjednoduchšenie reálneho sveta, kde skúmané problémy znázor-níme pomocou bodov, ich vlastnosti a vzt’ahy medzi nimi pomocou ciar, ktoré spájajú tie body.Teória grafov je vel’mi dobrým nástrojom na tvorbu matematických modelov pre najrôznejšieproblémy.Príklady využitia teórie grafov:

• modelovanie dopravnej siete a hl’adanie najkratšej cesty medzi vybranými mestami

• modelovanie elektrických obvodov

• modelovanie chemických zlúcenín

• vyfarbit’ mapu s obmedzeným poctom farieb

• plánovanie športových stretnutí

• optimálne poradie fáz v svetelne riadenej križovatke

• úloha obchodníka (návšteva všetkých záklazníkov a vrátit’ sa domov tak, aby sa co najmenejnachodil)

2• spojit’ vrcholy pravidelného telesa tak, aby každý vrchol bol použitý práve raz

• modelovanie sociálnych vzt’ahov

• modelovanie kompatibility chemikálií v skladoch

• sedem mostov mesta Königsberg (úloha je prejst’ všetkými mostami práve raz a vrátit’ sa sovýchodzieho miesta)...

Definícia 5.1:

• Neorientovaný (resp. obycajný) graf - (ozn. G ): usporiadaná dvojica G = [V,H], kde Vje neprázdna množina a H je systém dvojprvkových podmnožím množiny V , pricom V ={v1,v2,v3, . . .} sú vrcholy grafu G a H = {h1,h2,h3, . . .} sú hrany grafu G, kde hi = (v j,vk),j 6= k je hrana spájajúca vrcholy v j,vk, pre i ∈ {1,2,3, . . .}, j,k ∈ {1,2,3, . . .}

• Orientovaný graf (resp. digraf) - (ozn.−→G ): usporiadaná dvojica

−→G = [V,

−→H ], kde V je

neprázdna množina a−→H je systém dvojprvkových podmnožím množiny V , pricom V =

{v1,v2,v3, . . .} sú vrcholy grafu−→G a−→H = {

−→h1,−→h2,−→h3, . . .} sú orientované hrany grafu

−→G , kde

−→hi = (−−→v j,vk), j 6= k je hrana spájajúca vrcholy v j,vk v tomto poradí, pre i ∈ {1,2,3, . . .}, j,k ∈{1,2,3, . . .}, t.j. v j je zaciatocný bod orientovanej hrany

−→hi a vk je koncový bod orientovanej

hrany−→hi

3Grafy možno v rovine znázornit’ pomocou tzv. diagramu tak, že vrcholy budú predstavovat’ malékrúžky, pricom dvojicu krúžkov spojíme úseckou (prípadne vektorom), resp. oblúkom (prípadneorientovaným oblúkom) práve vtedy, ked’ odpovedajúca dvojica vrcholov tvorí hranu grafu G(prípadne

−→G ).

Pre graf G = [V,H] na obrázku vl’avo platí: V ={

1,2,3,4}

, H ={(1,2),(1,4),(4,2),(2,3)

}.

Pre graf G = [V,H] na obrázku vpravo platí: V ={

A,B,C,D,E,F}

, H ={(A,B),(A,C),(A,F),(C,B),

(C,D),(C,E),(C,F)}

.

Pre graf−→G = [V,

−→H ] na obrázku vl’avo platí: V =

{1,2,3,4

},−→H =

{(−→1,2),(

−→1,4),(

−→2,4),(

−→2,3)

}.

Pre graf−→G = [V,

−→H ] na obrázku vpravo platí: V =

{A,B,C,D,E,F

},−→H =

{(−−→B,A),(

−−→A,C),(

−−→A,F),(

−−→C,B),

(−−→D,C),(

−−→C,E),(

−−→C,F)

}.

Definícia 5.2:

• Slucka: hrana grafu G = [V,H], resp. grafu−→G = [V,

−→H ] typu (vi,vi) ∈ H, resp. (−−→vi,vi) ∈

−→H , ak

vi ∈V

• Násobné hrany: ak je medzi vrcholmi vi,v j ∈V viacero hrán

4

Na grafe G = [V,H] vl’avo je hrana (D,D) ∈ H sluckou a hrana (A,B) ∈ H je násobnou hranou. Nagrafe

−→G = [V,

−→H ] vpravo je hrana (

−−→D,D) ∈ −→H sluckou a hrana (

−−→C,B) ∈ −→H je násobnou hranou.

Typ grafov: hrany násobné hrany sluckyobycajný (neorientovaný) graf neorientované nie sú povolené nie sú povolenémultigraf neorientované sú povolené nie sú povolenépseudograf neorientované sú povolené sú povolenédigraf (orientovaný graf) orientované nie sú povolené nie sú povolenémultidigraf orientované sú povolené nie sú povolenépseudodigraf orientované sú povolené sú povolenémigraf aj orientované

aj neorientovanénie sú povolené nie sú povolené

multimigraf aj orientovanéaj neorientované

sú povolené nie sú povolené

pseudomigraf aj orientovanéaj neorientované

sú povolené sú povolené

5Definícia 5.3:Nech G = [V,H] je pseudograf a u,v ∈V . Hovoríme, že vrcholy u a v sú susedné, ak existuje hrana(u,v) ∈ H. Pocet vrcholov, ktoré susedia s vrcholom u sa nazýva stupen vrchola u a oznacímedG(u). Slucka na vrchole prispieva dvakrát k stupnu vrchola.Ak majú všetky vrcholy grafu rovnaký stupen k, tak G sa nazýva pravidelným grafom stupna k.

Stupen vrcholov V ={

A,B,C,D,E,F}

(v tomto poradí) na grafe vl’avo je: 3,2,5,1,1,2.Stupen vrcholov V =

{A,B,C,D,E,F

}(v tomto poradí) na grafe vpravo je: 3,3,4,3,1,0.

Pravidelné grafy stupna k = 4, k = 2, k = 3, k = 2 v tomto poradí.

Oznacenie:

• |V | - pocet vrcholov grafu G = [V,H]

• |H| - pocet hrán grafu G = [V,H]

Veta 5.1:V každom pseudografe s n vrcholmi sa súcet stupnov všetkých vrcholov rovná dvojnásobku po-ctu hrán tohto grafu (t.j. dG(u1)+ . . .+dG(un) = 2|H|) a párny pocet vrcholov má nepárny stupen.

Definícia 5.4:Nech G = [V,H] je neorientovaný graf.

• Sled: postupnost’ (v0,h1,v1,h2,v2, . . . ,hk,vk), kde v0, . . . ,vk ∈ V , h1, . . . ,hk ∈ H a hi = (vi−1,vi)pre i = 1, . . . ,k

• Tah: sled, v ktorom sú všetky hrany navzájom rôzne

6• Cesta: sled, v ktorom sú všetky vrcholy navzájom rôzne

• Uzavretý sled, resp. uzavretý t’ah: sled, resp. t’ah, v ktorom je prvý vrchol zhodný s po-sledným

• Kružnica (cyklus) - ozn. Cn: je taká postupnost’ vrcholov a hrán, kde sa neopakujú hranyani vrcholy s výnimkou prvého a posledného vrcholu, ktoré sú rovnaké (je to uzavretá cestas minimálnym poctom hrán n = 3)

• Dlžka sledu, t’ahu, cesty, kružnice: pocet hrán (vrátane opakovania) toho sledu, t’ahu,cesty, kružnice

Definícia 5.5:Nech G = [V,H] je neorientovaný graf.

• Úplný (kompletný) - ozn. Kn: graf, kde je každý vrchol spojený s každým práve jednouhranou

• Biparitný graf: graf, kde množinu jeho vrcholov V možno rozdelit’ na dve disjunktné ne-prázdne podmnožiny V1,V2 tak, že žiadne dva vrcholy z tej istej podmnožiny nie sú susedné

• Úplný (kompletný) biparitný graf - ozn. Km,n: biparitný graf s cast’ami V1,V2, v ktorom|V1|= m, |V2|= n a v ktorom je každý vrchol množiny V1 susedný s každým vrcholom mno-žiny V2

Veta 5.2:

Pre úplný graf platí: |H|=|V |(|V |−1

)2

.

7

Diagramy úplných grafov K1 až K6. Sledy(1,(1,2),2,(2,3),3,(3,4),4,(4,1),1

)v K4, v K5 a v K6 sú

kružnice C4.

Na obrázku vl’avo je biparitný graf, kde |V1|= 6, |V2|= 6. Na obrázku v strede je úplný biparitnýgraf K2,2 a na obrázku vpravo je úplný biparitný graf K4,3.

Definícia 5.6:Nech G = [V,H] je neorientovaný graf.

• Súvislý graf: pre každú dvojicu vrcholov u,v ∈V existuje cesta z u do v

• Nesúvislý graf: graf, ktorý nie je súvislý

• Komponent súvislosti: najväcšia súvislá cast’ nesúvislého grafu

• Uzavretý Eulerovský t’ah: uzavretý t’ah v súvislom grafe, ktorý obsahuje každú hranugrafu práve raz

• Otvorený Eulerovský t’ah: t’ah v súvislom grafe, ktorý obsahuje každú hranu grafu práveraz, pricom prvý vrchol tohto t’ahu je rôzny od posledného

• Eulerovský graf: graf, ktorý obsahuje Eulerovský t’ah

Veta 5.3:Súvislý graf má uzavretý Eulerovský t’ah práve vtedy, ked’ každý vrchol má párny stupen. Sú-vislý graf má otvorený Eulerovský t’ah práve vtedy, ked’ má práve dva vrcholy nepárneho stupna.

8

Matematická reprezentácia grafov pomocou matice susednosti:

1) najprv si ocíslujeme/oznacíme vrcholy grafu G = [V,H], resp.−→G = [V,

−→H ]

2) rozmer matice je totožný s poctom vrcholov

3) prvky matice pre

a) neorientované grafy:

A = (ai j)|V |×|V | =

{pocet hrán hi j, ak hi j = (vi,v j),0, inak,

9pricom matica A je symetrická.

b) orientované grafy:

A = (ai j)|V |×|V | =

{pocet hrán

−→h i j, ak

−→h i j = (−−→vi,v j),

0, inak,

pricom matica A nie je symetrická.

A =

0 2 1 0 0 02 0 1 0 0 01 1 0 1 1 00 0 1 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0

A =

0 1 1 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 1 00 0 1 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Veta 5.4:Nech A je matica susednosti neorientovaného grafu G = [V,H] a C = (ci j) = Ak, pre k ≥ 1. Potomcíslo ci j urcí pocet sledov dlžky k z vrchola vi do v j.

Farebnost’ grafov:

Definícia 5.7:Zafarbenie vrcholov je dobré, ak majú každé dva vrcholy, ktoré sú spojené hranou, rôznu farbu.Ak je možné dobre zafarbit’ vrcholy grafu pri použití nanajvýš k farieb, tak graf je k-farbitel’ný.

10Veta 5.5:Ak je graf k-farbitel’ný, tak je aj (k+ 1)-farbitel’ný. Ak graf obsahuje aspon jednu hranu, tak najeho dobré zafarbenie potrebujeme aspon dve farby. Každý graf je 4-farbitel’ný.

Príklady:

1.) Koho v nasledujúcom grafe vpyvu ovplyvnuje Karol a kto vplýva na Karola?

2.) Môže existovat’ obycajný graf s 15 vrcholmi, pricom každý z nich má stupen 5?

3.) Kol’ko hrán má graf, ked’ má vrcholy stupna 4,3,3,2,2? Nakreslite taký graf?

4.) Existuje obycajný graf o piatich vrcholoch nasledujúcich stupnov? Ked’ áno, nakreslite ich.

a) 3,3,3,3,2,

b) 1,2,3,4,5,

c) 3,4,3,4,3,

d) 0,1,2,2,3.

5.) Ktorý z grafov na obrázku sa dá nakreslit’ jedným t’ahom (a nakreslite ich)?

6.) Na futbalovom turnaji hrá 11 mužstiev. Je možné, aby 6 mužstiev odohralo 4 zápasy, 3 muž-stvá 3 zápasy a 2 mužstvá 2 zápasy?

7.) Vypíšte prvky množiny vrcholov V , množiny hrán H, napíšte stupne všetkých vrcholov amaticu susednosti, ak graf je daný pomocou diagramu:

11

8.) Nakrelite graf s vrcholmi a,b,c,d, ktorý je reprezentovaný pomocou matice susednosti

A =

0 0 0 10 0 0 10 0 0 11 1 1 0

.

Výpoctom zistite kol’ko sledov dlžky 3 existuje medzi vrcholmi a a d, potom ich aj vyme-nujte.Výpoctom zistite kol’ko sledov dlžky 4 existuje medzi vrcholmi a a c, potom ich aj vyme-nujte.Výpoctom zistite kol’ko sledov dlžky 4 existuje medzi vrcholmi a a d, potom ich aj vyme-nujte.Výpoctom zistite kol’ko sledov dlžky 4 existuje medzi vrcholmi d a d, potom ich aj vyme-nujte.