1

5. Time Response

2

5.1 Steady State Error 정상상태오차는 과도응답이 해소된 후 , 응답의 정밀성에 관련되는 특성이다 . ( 예 : 위치나 속도가 설정치 에 얼마나 가까운가하는 문제 ) 일반적으로 입력신호의 변화가 빠를수록 출력신호가 따라가기 어려워 지기 때문에 발생되며 , 실제로는 차수가 높은 입력에 대한 분석도 필요하지만 보통 단위계단함수 , 램프

함수 , 포물선 함수가 대표적인 성능평가 함수로 사용된다 .

Prototype unity-feedback system

1. Steady State Error, ess

출력과 기준입력의 정상상태에서의 오차 . 즉 위와 같은 표준단위궤환시스템에서 et = r(t) - y(t)

rss 는 r(t) 의 정상상태부분

이므로

따라서 , ess 는 R(s) 와 G(s) 에 포함되어 있는 s-1 갯수에 따라 특성이 달라지게 된다 .

3

2. Type of Systems

Loop transfer function G(s) 가 다음과 같은 형태일 때 ,

N 을 시스템의 Type 이라고 하며 (Type-N 시스템 ), G(s) 에 포함되어 있는 적분기의 수 ( 원점에

있는 극점의 수 ) 에 해당한다 . 일반적으로 Type 이 높을수록 정상상태오차는 감소하나 적분의 특

성에 의해 불안정할 우려가 많아진다 .

대표적인 입력함수에 따른 ess 는 다음과 같다

3. System Type 에 따른 Steady State Error

TYPE Step – input Ramp - input Parabolic - input

0 R/(1+KP)

1 0 R/KP

2 0 0 R/KP

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예제 1)

Step input:

Ramp input: Paraolic input:

예제 2)

Step input: Ramp input: Parabolic input:

5

5. 2 Transient Response

과도응답은 시간이 지남에 따라 0 으로 소멸되는 부분이지만 , 그 동안 나타나는 진폭의 크기와 지속시간등은 시스뎀의 허용범위 이내로 유지시켜야 하므로 정상상태특성과는 또 다른 측면에서 매우 중요하다 . 과도응답 특성 해석을 위해서 주로 사용되는 입력함수는 순간적인 변화가 가장 큰 단위계단 함수이다 .

1. Time response of Prototype 2nd order system

Prototype second order system

시간응답해석에서 가장많이 사용되는 전형적인 2 차 시스템은 위의 그림과 같으며 , 시간응답은 시스템 특성근의 위치에 따라 지수 또는 진동 , 감쇄진동등의 형태로 나타난다 . 특성근의 위치표시로는 직교좌표계 ( ) 형태보다는 응답특성과 직접관계되는 (damping ratio) 와 (natural frequency) 를 사용하는 것이 일반적이다

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2. Closed-Loop system prototype 시스템의 closed loop transfer function M(s) 과 특성근

특성근 를 로 나타내면 , (damping factor) (damped frequency) 3. Unit step response prototype 2nd orde system 의 단위 계단 함수에 대한 응답은 다음과 같다 .

이므로 , 특성근의 형태에 따라

:overdamped. 는 두 실근 .- :overdamped. 는 중근 .

- :overdamped. 는 두허근

:overdamped. 는 공액복소근 .

-

                                      

-

                                                                       

-

                                                                          

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5. 3 time-domain specification for unit step response

전형적인 단위계단 함수 응답 곡선을 아래 설명화면에서 보인다 . 이 곡선에 대해 시스템의 성능을 나타내는 척도로 주로 사용되는 항목으로 상승시간 (tr), 정정시간 (settling time: ts) 최대 오버슈트등 이 있으며 주로 와 에 의해 달라진다 .

Specifications of time response

RISE TIME DELAY TIME

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MAX. OVERSHOOT

SETTING TIME

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1. 지연시간 (Delay time td)

최종치의 50% 에 이르는기까지 걸리는 시간 . y(t)=0.5 의 해로부터 구할 수 있다 . 그러나 실제 계산은 매우 복잡하므로 , 일반적으로 아래 그림과 같이 - 곡선을 의 범위에서 에 대해 를 근사화한 1 차식 또는 2 차식의 공식으로부터 구한다 .

- curve for prototye second-oder system

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2. 상승시간 (Rising time tr)

최종치의 10% 에서 90% 까지 도달하는데 걸리는 시간 . 로 부터 상 승시간을 구할 수 있으나 계산이 복잡하므로 일반적으로 아래 그림과 같은 - 곡선으로 부터 구한다 . 이 때에도 , 지연시간의 경우와 마찬가지로 근사화기법을 이용하여 아래 그림과 같이 의 범위에서 에 대한 의 관계를 직선 또는 2 차식으로 근사화한 식으로부터 구할 수 있다 .

- curve for prototye second-oder system

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3. Settling time ts

y(t) 가 지정된 범위이내로 되는데 소요되는 시간 . ( 아래 그림의 ) 그러나 실제로 이 시간을 구하 는 것은 복잡하므로 일반적으로 envelope 커브가 최종치가 지정된 범위이내로 도달하는데 걸리는 시간으로 한다 . 통상 5%, 3%, 2%, 1% settling time 이 주로 사용된다 .

5% settling time

settling time 의 근사화

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여기서 는 설정된 % 에 따라 0.05, 0.03, 0.02, 0.01 등이고 , 각각에 대해서 근사화하면 , 아래의 표와 같이 공식화할 수 있다 . 여기서는 에 대한 근사식이며 , 를 다른 값으로 가정하면 분자의 계수가 조금씩 달라진다 .

의 값 0.05 0.03 0.2 0.01

Setting time

(a) (b) (c) (d)

Im(s) Im(s) Im(s) Im(s)

Re(s) Re(s) Re(s) Re(s)

n

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실수축

허수축

2nd-order system 에서 pole 의 위치에 따른 시간응답 특성

발산속도 빨라짐 수렴속도 빨라짐

진동주파수 높아짐

진동주파수 높아짐

허수축

실수축0

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6. Root Locus Method

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6.1 Basic concepts

1. 목적 파라미터 변화에 따른 시스템특성해석을 위해 특성 근의 궤적을 그래프로 나타냄 .

2. 한 개의 변수 변화에 따른 근궤적도 (Root locus , Root loci) ① Root Loci(RL) : 에 대한 근궤적 ② Complementary Root Loci(CRL) : 에 대한 근궤적

Note : 일반적으로 근궤적은 K>0 에 대해서만 작성하는 경우가 많음 . Note : 두개 이상의 변수의 변화에 대한 근 궤적은 입체면이 되므로 Root contour(RC) 라고 부름

폐루프 전달함수

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폐루프 특성방정식

라면

에서 K의 변화에 따라 , 특성방정식의 근의 위치 변화 . 즉 , 근궤적도 상에 있는 s 는 위 식의 분자항을 만족한다 .

또는 이 폐루프 특성방정식을 다음과 같이 표현 할 수도 있다 . 즉 , 근 궤적은 - 을 만족하는 복소수의 집합이다 . 단 , K는 실수 .

1) s 평면상의 한 점이 근궤적이 되기 위한 조건

인때 을 만족하므로 , (K는 실수이어야 함 .) 따라서 궤적도상에 있는 s 는 다음 크기와 각 조건을 모두 만족하여야 한다 .

근 궤적이 되기 위한 조건

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- 크기조건

즉 ,     

- 각조건①

②

에 대한 적용의 예

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크기조건 .

각조건 ( 단 ,K>0 인 경우 ). ,

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6. 2 Plotting Root Locus

1. 근궤적도 그리기 단계별 설명 폐루프 전달함수

폐루프 특성방정식

의 영점 : 을 만족하는 s 의 극점 : 을 만족하는 s (1) 근궤적의 출발점 은 의 극점

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(2) 근궤적의 도착점 은 의 영점

(3) 실수축 위의 근궤적의 존재 범위 : Root Roci : 실수축에서 구간의 오른쪽에 있는 영점과 극점의 수가 홀수인 영역

각조건으로부터

실수축상에서 왼쪽에 있는 영점 , 극점과의 각은 모두 0 이고 오른쪽에 있는 것과는 모두 이므로 오른 쪽에 있는 영점 , 극점의수를 라 하면 이므로 가 홀수가 되어야 한다 . Complementary Root Roci : 실수축에서 구간의 오른쪽에 있는 영점과 극점의 수가 짝수인 영역 각조건으로부터

실수축상에서 왼쪽에 있는 영점 , 극점과의 각은 모두 0 이고 오른쪽에 있는 것과는 모두 이므로 오른 쪽에 있는 영점 , 극점의 수를 라 하면 , 이므로 가 홀수가 되어야 한다 .

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(5) 점근선의 교차각도

Root Loci 의 점근선 : Complementary Root Loci 의 점근선 :

각조건으로부터

이면 s 와 모든 영점 , 극점과의 각이 로 같아지게 된다 . 따라서

(4) 점근선의 교점 (centriod : )

인 때 ,

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(6) 이탈점 , 안장점 (Break away point, Break in point) 을 만족하는 s들 중에서

Root Loci 의 이탈점 , 안장점 : 의 값이 음의 실수가 되게 하는 s Complementary Root Loci 의 이탈점 , 안장점 : 의 값이 양의 실수가 되게 하는 s 이탈점 혹은 안장점은 특성방정식의 다중근에 대응한다 . 따라서

( : 특성방정식의 r(짝수 ) 중근으로써 이탈점 혹은 안정점 ) 이므로 이 된다 . 따라서 이탈점 혹은 안정점은

을 만족하는 s들 중에서 의 값이 음의 실수가 되게 하는 s : Root Loci

의 값이 양의 실수가 되게 하는 s : Complementary Root Loci 이다 .

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(7) 근궤적의 에서의 출발각과 도착각 (Root-Loci)

출발각 ( : 극점 ) :

극점에서부터 출발하므로 다음의 각조건에서

이면 가 된다 . 따라서

도착각 ( : 영점 ) :

영점으로 도착하므로 다음의 각조건에서

이면 가 된다 . 따라서

(8) 근궤적과 허수축과의 교점 방법 1 : Hurwitz 판별법을 이용하여 근궤적이 축을 통과하는 값 ( 시스 템의 안정한 영역과 불안정한 영역의 경계값 ) 과 값을 구한다 . 방법 2 : 특성방정식의 s 에 를 대입해서 연립방정식을을 품으로써 근궤적 이 축을 통과하는 값과 값을 구한다 .

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근궤적도 그리기 예 1

단계 1. 근궤적의 출발점 (K=0) 은 G(s)H(s) 의 극점 개루프 전달함수의 극점인 에서 근궤적도는 출발한다 ( 근 궤적 수는 5개 ).

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단계 2. 근궤적의 도착점 ( ) 은 G(s)H(s) 의 영점 G(s)H(s) 의 극점에서 출발한 5개의 근궤적 중 하나는 s = -3(finite zero) 에 도달한다 . 나머지는 점근선을 따라 무한대로 간다 .

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단계 3. 실수축 위의 근궤적 존재 범위 Root Loci( K > 0): 실수축에서 구간의 오른쪽에 있는 영점과 극점의 수가 홀수인 영역 .( 그림에서 청색부분 ) Complementary Root Loci( K < 0 ): 실수축에서 구간의 오른쪽의 영점과 극점의 수가 짝수인 영역 .

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단계 4. 점근선의 교점 (centroid : )

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단계 5. 점근선의 교차각도

Root Loci( K > 0 ) 의 점근선 :

따라서 , 가 양의 K에 대한 점근선이 된다 . Complementary Root Loci( K > 0 ) 의 점근선 :

그리고 , , 가 음의 K에 대한 점근선이 된다 .

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단계 6. 이탈점

이 방정식의 근은

이것들 중 두쌍의 복소근에 대한 G1H1(s1) 의 값이 실수가 되지 않으므로 취하지 않고 , 나머지 실근 s= - 5.53 만이 이탈점이 된다 . 그림에서 이 영역이 이탈점이 됨을 확인 할 수 있다

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단계 7. 근궤적의 출발각 에서의 출발각

이므로 k=-2 라고 하면 , 마찬가지 방법으로 에서의 출발각이 임을 알 수 있다

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단계 8. 궤적과 허수축과의 교점 방법 1 : 근궤적이 허수축을 통과하는 점은 안정한 영역과 불안정한 영역의 경계이므로 Hurwitz 판별법을 적용하여 K를 구할 수 있다 . 특성방정식 의 Routh's table 은 다음과 같다 .

Routh's table 의 첫 칼럼의 부호가 같아야 하므로 안정하기위한 조건은 다음과 같다 .

따라서 , K=35.514에서 근궤적이 허수축을 통과한다 . 근궤적이 허수축과 만날 때의 는 다음과 같이 보조방정식으로부터 구할 수 있다 .

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방법 2 : 특성방정식의 s 에 를 대입해서 연립방정식을 풀고 근궤적이 축을 통과하는

K값과 값을 구한다 .

특성방정식 의 s 에 를 대입하면

다음과 같다 .

실수부와 허수부가 모두 0 이 되어야 하므로

이다 . 따라서 를 윗 식에 대입하면

즉 , K=35.521 에서 근궤적이 허수축의 인 점을 통과한다 .

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K 값에 따른 Step response 비교

1 K=20(stable) 2 K=35.2(maginarily stable)

3 K=40(unstable)