三角 函数

三角三角

5.3.2 余弦函数的图象和性质

1. 诱导公式．

2. 正弦曲线的五点作图法．

3. 填表：

x

cos x

２π

２３π

π2π

1 0 -1 0 1

0

一、余弦函数的图象 余弦函数图象的五个关键点：

与 x 轴的交点 ，，２

)0π

( )0π

( ，２

３

图象的最高点 ，， )10( )1π2( ，图象的最低点 )1π( ，

o x

y

-

--1

1

-

-13π 2

π

3π2

6π5 π 6

π73π4

2π3

3π5

6π11 π2

6π

五点作图法

　　 由诱导公式 cos( x+2k) ＝ cos x ，将 y ＝ cos x ，x[0 ， 2 ] 的图象沿 x 轴向左、右平移 2 ， 4 ，…， 就可得到 y ＝ cos x 的图象 .

π2o π4 π62π4π6 x

y- - - ----

-

-

1

-1

余 弦 曲 线

二、余弦函数的性质

定义域　 x R ，值 域　 y[- 1 ， 1]. 　

当 x＝ 2 k， k Z 时，

y＝ cos x 取得最大值 1 ，即 ymax ＝ 1 ；

当 x ＝ (2 k+1) ， k Z 时，

　　 y ＝ cos x 取得最小值 -1 ，即 ymin ＝ -1 ．

观察余弦曲线(1) 余弦函数的值域

由公式 cos(x ＋ k · 2 ) ＝ cos x ( k Z )

可知：

　　余弦函数是一个周期函数， 2 ， 4 ，…，

－ 2 ，－ 4 ，… ， 2k ( k Z 且 k≠0 )

都是余弦函数的周期；

　　 2 是其最小正周期．

(2) 余弦函数的周期

余弦函数的图象每隔 2 重复出现．

(3) 余弦函数的奇偶性

由公式 cos( － x) ＝ cos x

余弦函数是偶函数．

图象关于 y 轴成轴对称 ．　

xo-

-1

2 3 4-2-3-4

1

y

(4) 余弦函数的单调性 观察余弦曲线

x

cosx － 1 0 1 0 －1

在 [(2 k － 1) , 2 k] (kZ) 上，是增函数；

在 [2 k ， (2 k ＋ 1) ] (kZ) 上，是减函数．

y

xo-

-1

2-2-3

1

2

π

2

π3

2

π52

π

2

π3

2

π5

－ … … 0 … … 2

π 2

π

例 1 求下列函数的最大值，最小值和周期 T ：

　　（ 1 ） y ＝ 5 cos x ；　 ( 2 ) y ＝－ 8 cos ( － x) ．

解 (1) .π2,5,5 minmax Tyy

(2) .π2,8,8 minmax Tyy

,4

πcos

4

π17cos)

4

π17cos(

例 2 不求值，比较下列各对余弦值的大小：

因为 ，π5

π3

4

π0 又 y＝ cos x 在 [0 ， ] 上是减函

数，

(1) cos 和 cos ； (2) cos(- 　 ) 和 cos(- 　 ) ．

5

π23

4

π17

5

π7

4

π5

解 (1) 因为 ，且 y＝ cos x 在 [ ， 2 ] 上 是增函数，

π25

π7

4

π5π

,5

π3cos

5

π23cos)

5

π23cos( (2)

,4

πcos

5

π3cos 所以 从而 ).

4

17πcos()

5

π23cos(

.5

π7cos

4

π5cos 所以

1. 余弦函数的图象以及“五点法”作图 .

2. 余弦函数的性质 .

教材 P157 ，练习 A 组第 2 、 3 题；

　　 练习 B 组第 2 题．