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Ch2. 傅利葉轉換的淺釋與應用曾柏軒 (Po-Hsuan Tseng)
Department of Electronic EngineeringNational Taipei University of Technology
[email protected]. 2019 1 / 59
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引言
• 第一章中所介紹的消息理論是建立通信系統最重要的理論及最高指導原則。• 本章介紹分析通信系統所需的學理中最重要的理論: 傅利葉理論。
- 在第一章中，我們已介紹通信系統的基本知識。✓ 何謂信息、信號、頻率、頻道?✓ 為何要做調變、調變的種類?✓ 何謂類比信號、與數位信號的產生優點。✓ 引介傅利葉轉換理論，本章針對部分內容作嚴謹的解說及定義。
✓ 需要解釋 DSB-SC、單旁帶、殘旁帶調變系統。✓ 需用此理論來定義系統函數，進而定義濾波器。✓ 讓同學們深刻的了解，用數學去分析自然系統的巧妙，進而擴展同學們的思考空間。能漸漸習慣用較抽象、多變數、及複雜的數學去分析系統。
✓ 此教材對同學們學習信號與系統及通信系統時，對傅利葉理論的瞭解，甚至對研究自然系統實的瞭解，有很大的幫助，能用更深一層的眼光，去洞察自然系統。
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引言
(a) 接收到的時域信號 (b) 頻域各頻道信號示意圖
• 藉由示波器可觀察一個時域信號的波形。• 數個信號加起來還是一個信號。
✓ 例如台視、中視、及各調幅調頻廣播電台所發射出來的信號，在大氣空間相加之後，這一個信號是雜亂無比的，幾乎是一個白色雜信。✓ 要由此信號區別台視、或 ICRT 發出的信號，是不可能的事情。
✓ 若把以上信號在頻域上表示出來，各電台信號卻清清楚楚分別表現出來。✓ 透過傅利葉分析可知，只要用一個 bandpass filter (BPF)，就可以把電台信號濾出來。
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Outline
1 基本觀念概述
2 傅利葉轉換理論傅利葉級數傅利葉轉換
3 傅利葉理論的應用基頻信號振幅調變信號的傅利葉轉換頻寬 (Bandwidth)
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傅利葉轉換的淺釋與應用
1 基本觀念概述
2 傅利葉轉換理論傅利葉級數傅利葉轉換
3 傅利葉理論的應用基頻信號振幅調變信號的傅利葉轉換頻寬 (Bandwidth)
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本章基本觀念概述
• 在化學領域中，化學家拿到一個化學物品，例如一個藥品或一種藥草，他們必須針對藥品或藥草進行分析，把他們所有成份分析出來。
✓ 各種成分是由哪些基本元素化合而成的? 結構如何?✓ 透過分析，才能判斷哪些成分有用，哪些有毒，哪些成分如何合成。
• 在生醫科技中，人類的基因圖譜清清楚楚地的分解出來，才能作醫療及改善一些人的體質的工作。
• 在通訊系統中，當天線接收到一個信號，我們必須如何處理信號呢?✓ 這個信號包含哪些電台的信號? 每個信號的結構如何?✓ 要瞭解接收到的信號的成分及每個成分的結構，可利用傅利葉轉換。
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本章基本觀念概述
傅利葉轉換把每一個時變函數的組成成分，用數學方法分析出來。
✓ 弦波函數是所有類比函數的基本元素成分。✓ 若用橫軸代表頻率，縱軸代表弦波成分的振幅及相角，可得到該時變函數的振幅頻譜及相角頻譜。
✓ 傅利葉理論的發展過程中確定義出兩種振幅及相角頻譜:- 單邊頻譜。- 雙邊頻譜。
✓ 將頻譜確實求出，才能明確的定義基頻信號及信號的頻寬。✓ 由傅利葉轉換所推出的振幅調變定理，才知已調變振幅的調變信號的頻譜與基頻信號及載波的關係。
✓ 由此瞭解雙頻帶壓縮載波、單旁帶、及殘旁帶調變信號的意義。
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本章基本觀念概述
時變函數如何被解析出基本元素成分?• 時變函數可分成週期性及非週期性兩大類。• 週期函數以傅利葉級數分析，非週期函數利用傅利葉轉換進行分析
週期函數的傅利葉級數:✓ 第一類型: 週期函數先被解析成可數的無窮多的正弦波及餘弦波。
- 每個正弦波及餘弦波都是該週期性函數的頻率的整數倍。- 缺點一: 同頻率的正弦波及餘弦波無法同時存在於自然界的，他們必定會合而為一成為另一個弦波存在於自然界。
e.g., An cos 2πntT0
+ Bn sin 2πntT0
=√
A2n + B2n cos(2πntT0
− ϕn
)- 缺點二: 若要畫該週期性函數所含的弦波成分，該以正弦或餘弦為主呢?
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本章基本觀念概述
✓ 第二類型: 將第一類型同頻率的正弦波及餘弦波合成一個有相角的餘弦波。- 依據第二類型將弦波成分的振幅及相角畫成圖譜，就是單邊振幅頻譜及相角頻譜。- 這兩個頻譜是週期函數在頻域的表示法。- 以數學的觀點來看，這兩個頻譜是以頻率為自變數 (函數輸入) 的兩個離散函數，頻率範圍從 0 到 ∞。
- 缺點: 數學領域的自變數通常是從 −∞ 到 ∞。
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本章基本觀念概述
✓ 第三類型: 用尤拉公式可把第二類型的級數變成第三類型的傅利葉級數。- 以指數型的弦波函數為主。- 缺點一: 不太能讓初學者接受。- 缺點二: 物理意義是由第二類型的指數加以引申後才能瞭解。
⋆ 以上兩個缺點也不是什麼缺點不是嗎?- 第三類型的自變數是從 ∞ 到 −∞，引進了負頻率的觀念。- 負頻及正頻的弦波函數的振幅及相角畫成圖譜就成了雙邊振幅頻譜及雙邊相角頻譜。
✓ 第三類型的指數級數才是傅利葉理論的重點，也一直廣泛地運用在所有的系統中。由第三類型傅立葉級數的結果，可定義出非週期性的傅利葉轉換
✓ 週期函數及級數是用等號，非週期函數與它的傅利葉轉換是用轉換符號。✓ 轉換符號是一對一的關係，這個時變函數與其傅利葉轉換是不相等的，是該時變函數在時域與頻域的表示法。
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本章基本觀念概述
為了拓展大家的思想空間，此章中還引用空間的觀念，讓同學看到傅利葉級數及轉換的空間意義。
✓ 抽象空間、無窮多度空間等。
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傅利葉轉換的淺釋與應用
1 基本觀念概述
2 傅利葉轉換理論傅利葉級數傅利葉轉換
3 傅利葉理論的應用基頻信號振幅調變信號的傅利葉轉換頻寬 (Bandwidth)
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傅利葉轉換理論的簡介
Figure 1: Jean Baptiste Joseph Fourier。
Definition 1 (傅利葉理論)一個時間函數 f(t) 可由不可數的無窮多的弦波函數相加組合而成。但若 f(t)是週期函數，則可由可數的無窮多的弦波函數相加組合而成，並且每一個弦波成分的頻率都是 f(t) 的頻率的整數倍。
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傅利葉轉換理論的簡介
• 可數的無窮多 vs 不可數的無窮多✓ 可數的無窮多: 實軸上的整數點是否可以算呢? 可以算，但數不盡，所以是可數的無窮多。
✓ 不可數的無窮多: 0 到 1 間有幾個點呢? 根本連算都不能算，所以是不可數的無窮多。
若把組成的成分侷限在類比信號的範圍，我們可以得到兩個結論:
Property 2 (傅利葉理論的性質)1 弦波函數是所有的時變函數的最基本元素成分。
2 除了一些不常用的特殊函數外，傅利葉理論把其他的任何一個時變函數所含有的最基本的組成元素，用數學的方法分析出來。若把這些元素成分畫出來，就是這一個時變函數的頻譜。因此頻譜是時變函數的組成成分。
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傅利葉轉換理論的簡介
• 為什麼由傅利葉理論可以推知弦波函數是所有時變函數最基本的成分呢?✓ 時域的自變數 (輸入) 是時間 t，時變函數 f(t) 是由不可數的無窮多的瞬間的值集合而成的。
⋆ 每一個瞬間 t = ts 的值可以表示成 f(ts)δ(t − ts)。⋆ δ(t − ts) 稱為 delta function。⋆ f(ts)δ(t − ts) 表示 t = ts 時，時變函數的值就是 f(ts)。
✓ 頻域的自變數是頻率 f，頻域的函數 F(f) 是由 F(fs)δ(f − fs)。• 在時域及頻域中，f(ts)δ(t − ts) 及 F(fs)δ(f − fs) 不可能由同領域的任何信號變成的，因此它們分別是時域及頻域的最基本元素。
✓ F(fs)δ(f − fs) 是頻率 f 等於 fs 的信號，它在時域中的波形就是頻率等於 fs 振幅等於F(fs) 的弦波。
✓ 把組成的元素成分侷限在類比函數的範圍，弦波函數當然是所有的時變函數的最基本類比元素成分。
✓ δ(t − ts) 不是類比函數。
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傅利葉轉換理論的簡介
• 因為有傅利葉轉換，才知道一個時變函數可以用頻域表示法表示出來，也因此知道弦波是時變函數的最基本類比元素成分。
• 週期函數可用可數無窮多的弦波函數相加組合而成，每一個弦波的頻率都是原週期函數的頻率 f0 的整數倍。
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傅利葉級數 (Fourier Series)
Figure 2: 方波與弦波的比較
x(t) = 4
π
∑∞k=1
sin [(2k − 1)2πft]2k − 1
=4
π
[sin(2πft) + 1
3sin(6πft) + 1
5sin(10πft) + ...
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傅利葉級數 (Fourier Series)
一個週期性的方波與一個同週期性的弦波間的差異本就不大，再由一些整數倍頻率的小弦波填補，可以用這些弦波合成一方波。
1. 第一類型的傅利葉級數：• 一個週期等於 T0 的週期性函數 v(t)，可以弦波函數展開如下:
v(t) = A0 +
∞∑n=1
An cos 2πntT0
+
∞∑n=1
Bn sin 2πntT0
(1)
✓ 正弦函數或餘弦函數的頻率是 fn = n/T0，振幅分別是 An 及 Bn。✓ A0 是 v(t) 的直流成分。✓ n 是從 1 到 ∞ 的整數，每個弦波的頻率成分 fn 已經被 fn = n/T0 所決定。✓ 若 v(t) 表示一方波，如果能求出 A0、An、Bn，則由 (1) 得知其傅利葉級數表示法。
• A0、An、Bn 必須使 (1) 收斂，週期函數的傅利葉級數才存在。
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傅利葉級數 (Fourier Series)
• 如何求 A0、An、Bn?利用弦波函數的對稱性。[弦波函數積分一週期為零] 當 m ̸= n 時，
∫ T0/2
−T0/2cos m 2π
T0t · cos n 2π
T0tdt =
∫ T0/2
−T0/2
1
2
[cos(m − n) 2π
T0t + cos(m + n) 2π
T0t]
dt = 0 (2)
∫ T0/2
−T0/2sin m 2π
T0t · sin n 2π
T0tdt =
∫ T0/2
−T0/2
1
2
[cos(m − n) 2π
T0t − cos(m + n) 2π
T0t]
dt = 0 (3)
當 m ̸= n 或 m = n，∫ T0/2
−T0/2cos m 2π
T0t · sin n 2π
T0tdt =
∫ T0/2
−T0/2
1
2
[sin(m + n) 2π
T0t − sin(m − n) 2π
T0t]
dt = 0 (4)
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傅利葉級數 (Fourier Series)
• 若要求 A1，將 (2) 左右同乘 cos 2πT0t，再從 −T0
2積分到
T0
2：∫ T0/2
−T0/2v(t) · cos 2πt
T0dt =
∫ T0/2
−T0/2A0 · cos 2πt
T0dt
+∞∑
n=1
∫ T0/2
−T0/2An cos 2πnt
T0· cos 2πt
T0dt
+∞∑
n=1
∫ T0/2
−T0/2Bn sin 2πnt
T0· cos 2πt
T0dt
等式右邊除了 A1 以外，其餘積分都等於 0，∫ T0/2
−T0/2v(t) · cos 2πt
T0dt =
∫ T0/2
−T0/2A1 · cos2 2πt
T0dt
=
∫ T0/2
−T0/2A1
[1
2+
1
2cos(2 ·
2πtT0
)]dt
=1
2A1T0
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傅利葉級數 (Fourier Series)
因此
A1 =2
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t) cos 2πt
T0dt
依以上的算法類推，可得
A0 =1
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t)dt
An =2
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t) cos 2πnt
T0dt
Bn =2
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t) sin 2πnt
T0tdt
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傅利葉級數 (Fourier Series)
Property 3 (第一類型的傅利葉級數)一個週期 T0 的週期函數 v(t)，若其傅利葉級數存在，可以弦波函數展開成:
v(t) = A0 +∞∑
n=1
An cos 2πntT0
+∞∑
n=1
Bn sin 2πntT0
其中
A0 =1
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t)dt (5)
An =2
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t) cos 2πnt
T0dt (6)
Bn =2
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t) sin 2πnt
T0tdt (7)
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傅利葉級數 (Fourier Series)
為了拓展同學的思考與想像空間，此處將基本的三度空間引導到無窮多度抽象空間，以對傅利葉級數作進一步解釋。
• [ 空間、垂直、投影 ]
• 空間的軸不一定要垂直。• 垂直空間會帶給我們運算及觀念上的方便。
✓ 例如 x, y, z 三度空間，x, y, z 軸是互相垂直的。⋆ x 及 y 軸互相垂直，表示 x 軸及 y 軸的交角是 90◦。⋆ 交角 90◦ 沒有很大的物理意義，而是延伸的投影 - x 軸在 y 軸上的投影等於 0。
• 若把 cos 2πmtT0
在以 cos 2πntT0為準的軸的投影長度定義如下：
p ≡2
T0
∫ T0/2
−T0/2cos 2πmt
T0cos 2πnt
T0dt
✓ 當 m ̸= n 時，投影為 0 (p = 0)，代表兩弦波是垂直的。✓ 同 (2)，當 m ̸= n 時，cos 2πmt
T0⊥ cos 2πnt
T0。
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傅利葉級數 (Fourier Series)
• 同理，✓ 當 m ̸= n 時，同 (3)，cos 2πmt
T0⊥ cos 2πnt
T0⊥ sin 2πmt
T0⊥ sin 2πnt
T0
✓ 對任意 m 與 n，同 (4)，cos 2πmtT0
⊥ sin 2πntT0
• 三度垂直空間的三個軸是 x，y，z，分別都是一條直線，每條直線是一個函數。✓ 例如 x 軸就是 f(x, 0, 0) = 0。✓ x 軸是 y = 0 及 z = 0 的直線?
✓ y = 0 及 z = 0 在定義 x、y、z 是空間中的軸之前，只是代表 y 及 z 兩個變數都等於 0。• 既然 f(x, 0, 0) = 0 可以是三度垂直空間的一個軸，那不同 n 值的cos 2πnt
T0及sin 2πnt
T0
的兩個弦波函數分別可以想像成一個軸呢?✓ 答案是肯定的。那麼我們是否可以把 x、y、z 的三度空間，擴展到 n 個可數的無窮多度空間？
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向量空間
• 為了描述三度垂直空間，我們必須說 f(x, 0, 0) = 0、f(0, y, 0) = 0、f(0, 0, z) = 0 是三度垂直空間軸。否則他們只是三條不相關的實數線。✓ 因此定義了三個垂直的單位向量 x⃗、y⃗、z⃗。
✓ 用三個垂直的單位向量 x⃗、y⃗、z⃗ 來代表三度向量空間。✓ 此三度向量空間 x⃗ ⊥ y⃗ ⊥ z⃗ 中的任何一個向量可以用 V⃗ = Vxx⃗ + Vyy⃗ + Vz⃗z 表示。✓ V⃗ 的終點在三度空間中是 (Vx,Vy,Vz) 的一個點。
✓ V⃗ 是三度空間中的一個點或是三度向量空間的一個向量。• 比較 (5)、(6)、(7)，是否可以說 An 及 Bn 分別是 v(t) 是在以cos 2πnt
T0及sin 2πnt
T0為
準的投影長度呢?✓ 肯定。
• 因此，v(t) 這個時變函數，可視為以 1、cos 2πntT0及sin 2πnt
T0為軸的可數無窮多度空
間中的一個點或向量。
• A0、An 及 Bn 分別是 v(t) 在這些軸上的投影到原點的距離。25 / 59
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傅利葉級數 (Fourier Series)2. 第二類型的傅利葉級數：
• 兩個同頻率的弦波的和，只以一個弦波出現，不會以兩個弦波出現。✓ 因此第一型原始的傅利葉級數，在分析上較少被採用，才產生第二型與第三型的傅利葉級數。
✓ 例如：cos 2πntT0及sin 2πnt
T0是兩個同頻率的弦波，從 (1)，要以 An 或 Bn 為頻譜的縱軸
呢?• 將 (1) 改寫如下：
v(t) =A0 +
∞∑n=1
An cos 2πntT0
+
∞∑n=1
Bn sin 2πntT0
= A0 +
∞∑n=1
(An cos 2πnt
T0+ Bn sin 2πnt
T0
)其中
An cos 2πntT0
+ Bn sin 2πntT0
=√
A2n + B2n
(An√
A2n + B2ncos 2πnt
T0+
Bn√A2n + B2n
sin 2πntT0
)
=√
A2n + B2n cos(2πntT0
− ϕn
)(8)
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傅利葉級數 (Fourier Series) (cont.)
(a) 弦波合成的相量示意圖 (b) 單邊頻譜
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傅利葉級數 (Fourier Series)
Property 4 (第二類型的傅利葉級數)一個週期 T0 的週期函數 v(t)，若其傅利葉級數存在，可以弦波函數展開成:
v(t) = A0 +∞∑
n=1
Cn cos(2πntT0
− ϕn
)(9)
其中C0 = A0
Cn =√
A2n + B2n =2
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t) cos
(2πntT0
− ϕn
)dt
ϕn = tan−1 BnAn
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傅利葉級數 (Fourier Series)• 為什麼第二類型的傅利葉級數要以餘弦波為主而非以正弦波為主?
✓ 其實這是習慣。✓ 向量 A⃗ 在 X 軸的投影是 A cosωt，在 Y 軸的投影是 A sinωt。✓ X 軸及 Y 軸分別可令成實軸及虛軸，因此 A cosωt 是向量 A⃗ 在實軸的投影，習慣上採用餘弦波為主。
✓ 餘弦波也是尤拉氏公式的實數部分。• 若用 Cn 當縱軸，f 當橫軸，v(t) 所含的弦波成分示意性的圖為 v(t) 的單邊頻譜。
✓ 其中 f0 =1
T0。
✓ 通常在畫通例的頻譜時，總是把 C1 畫得最大，越高頻率的成分就越小。✓ 這是自然的現象，C1 是週期函數的主要成分，越高頻率的成分就越小是信號的通性也是自然現象。
• Cn 及 ϕn 分別是類比函數 v(t) 所含有的弦波成分中頻率是 n/T0 的弦波成分的振幅及相角。✓ Cn 對 f 畫出的圖稱為單邊振幅頻譜。✓ ϕn 對 f 畫出的圖稱為單邊相角頻譜。
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傅利葉級數 (Fourier Series)
3. 第三類型的指數型的傅利葉級數：• 從數學的觀點來看，ωn = n 2π
T0= 2πnf0，只不過是一個離散的自變數而已。
✓ 很多離散的自變數及很多函數理論，都是把自變數從 −∞ 到 ∞ 的，第二類型的傅利葉級數不符合此要求。
• 為了把數學的重要結果引用到系統學，第三類型的傅利葉級數進一步利用尤拉氏公式：
ejx = cos x + j sin x e−jx = cos x − j sin x
cos x =ejx + e−jx
2sin x =
ejx − e−jx
2j• 則 (9) 中的弦波函數可改寫成：
Cn cos(2πntT0
− ϕn
)=Cn
ej[2πntT0
−ϕn]+ e−j
[2πntT0
−ϕn]
2
=
(Cn2
e−jϕn)
ej 2πntT0 +
(Cn2
ejϕn)
e−j 2πntT0
=Vnej 2πntT0 + V−nej 2π(−n)t
T0
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傅利葉級數 (Fourier Series)
Property 5 (第三類型的傅利葉級數)一個週期 T0 的週期函數 v(t)，若其傅利葉級數存在，可以弦波函數展開成:
v(t) =∞∑
n=−∞Vnej 2πnt
T0 (10)
其中 V0 = C0 = A0
Vn =1
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t)e−j 2πnt
T0 dt =
Cn2
e−jϕn n 是正整數
C|n|2
ejϕ|n| n 是負整數
e−jϕn = cosϕn − j sinϕn = cos(−ϕn) + j sin(−ϕn) = ej(−ϕn)
|ejϕn | =√
cos2 ϕn + sin2 ϕn = 1
• 不論 n 是正整數或負整數，|Vn| 都等於 |Cn|/2。
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傅利葉級數 (Fourier Series)• Vn 是一個複數，在接受負頻率的觀念下，第三類型傅利葉級數的物理意義如下：
✓ Vn 的絕對值 |Vn| 是頻率等於 n/T0 得弦波成分的振幅，而其相角 −ϕn 及 ϕ|n| 分別是 n 為正及負數時的弦波的相角。
✓ 此為 v(t) 的雙邊頻譜。
Figure 3: 雙邊頻譜。
• fn = n/T0 而 n 可從 −∞ 到 ∞，因此有負頻率的概念產生。✓ 負頻率是由實變函數的自變數可從 −∞ 到 ∞，此為數學觀念引申的結果。
• 實際系統沒有負頻率的信號存在。32 / 59
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傅利葉級數 (Fourier Series)• 雙邊振幅頻譜是把單邊振幅頻譜中頻率大於零的部分，乘以 1/2 分成兩部分，其中一部份往左翻轉到負頻所成的頻率。
• 如何求 Vn?
當 m ̸= n 時，ej 2πmtT0 ⊥ e−j 2πnt
T0∫ T0/2
−T0/2ej 2πmt
T0 e−j 2πntT0 dt =
∫ T0/2
−T0/2ej 2π(m−n)t
T0 dt
=
∫ T0/2
−T0/2
[cos 2π(m − n)t
T0+ j sin 2π(m − n)t
T0
]dt = 0
當 m = n，∫ T0/2
−T0/2ej 2πnt
T0 e−j 2πntT0 dt =
∫ T0/2
−T0/21dt = T0
因此，Vn =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2v(t)e−j 2πnt
T0 dt
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傅利葉級數 (Fourier Series)
• v(t) =∑∞
n=−∞ Vnej 2πntT0 也可由無窮多度空間觀念來解釋。
✓ 此時的軸卻是複變函數 ej 2πntT0 。
• v(t) 是以 ej 2πntT0 、n 從 −∞ 到 ∞ 為軸的無窮多度空間的一個點。
• Vn 是 v(t) 在 ej 2πntT0 軸上的投影到原點的長。
• 兩個複變函數 f1(t) 及 f2(t) 的投影關係以複變函數的內積形態來定義：內積 ≡
∫ b
af1(t)f∗2(t)dt
✓ f1(t) 及 f2(t) 在 [a, b] 間的內積是 f1(t) 及 f2(t) 的共軛複數的積在 [a, b] 間的積分。
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傅利葉級數 (Fourier Series)
(a) 向量在一條線上的投影 (b) 向量在另一向量上的投影
Figure 4: 向量投影與內積的關係35 / 59
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傅利葉轉換 (Fourier Transform)
• 兩個不同領域中的函數或數，若有一對一的關係的話，這關係可視為一個轉換。• 第三類型週期函數 v(t) =
∑∞n=−∞ Vnej 2πnt
T0 中，離散函數 Vn 與週期性函數 v(t) 有1 對 1 的關係，
v(t) ↔ Vn
✓ Vn 是 v(t) 這一個向量在 ej 2πntT0 軸上的投影。
✓ 不同的向量有不同的投影，所以是 1 對 1 的關係。
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傅利葉轉換 (Fourier Transform)• 若把週期性的函數的傅利葉級數延伸到非週期性函數，則得傅利葉轉換。
✓ 非週期函數可看成是一個週期是無窮大的週期函數。• Fig. 5 中，T1 保持固定不變，讓週期 T0 增加到 ∞，是否就得到非週期性函數?
✓ Vn 的對應頻率 fn = n/T0 就密密麻麻的擠在一起 (T0 → ∞)，變成一個連續變數 f。✓ 這可以讓我們想像一個非週期函數是由不可數的無窮多的弦波函數所合成。
(a) 週期性方波 (b) 非週期性方波Figure 5: 非週期性與週期性方波
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傅利葉轉換 (Fourier Transform)
• 一個非週期性函數 v(t) 的傅利葉轉換定義如下：V(f) =
∫ ∞
−∞v(t)e−j2πftdt
✓ 非週期函數可看成是一個週期是無窮大的週期函數。
• 比較傅利葉級數 Vn =1
T0
∫ T0/2−T0/2
v(t)e−j 2πntT0 dt 與傅利葉轉換：
✓ 讓 fn = n/T0 且 T0 → ∞。兩式除了常數 1/T0 外完全一致。✓ 傅利葉轉換是對應的關係，相差一個常數 1/T0 並不會影響系統的分析及設計 (可用放大器或衰減器補償)。
• 傅利葉反轉換定義如下：v(t) =
∫ ∞
−∞V(f)ej2πftdf
✓ 非週期函數 v(t) 是由不可數的無窮多的複數弦波 V(f)ej2πft 相加而成。
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傅利葉轉換 (Fourier Transform)
• 傅利葉轉換的對應關係表示如下：v(t) ↔ V(f)
✓ 如何把 v(t) 的傅利葉轉換 V(f) 求出來，或是已知 V(f) 反求 v(t)，是不容易的。✓ 此處需常用到積分表。✓ 常用函數 v(t) 及 V(f) 的傅利葉轉換對照表在很多系統學的書都有。
• 由傅利葉轉換的式子，V(f) 是一個複變函數，因此，V(f) = Vr(f) + jVi(f) = |V(f)|∠θ(f)
✓ Vr(f) 及 Vi(f) 分別是 V(f) 的實部與虛部。✓ |V(f)| 及 θ(f) 是 v(t) 所含的頻率等於 f 的弦波成分的振幅及相角。也是 v(t) 的振幅及相角的頻譜。
• v(t) 所含的 f = f1 的弦波成分是 |V(f1)| cos(2πf1t + θ(f1))。✓ V(f) 是由第三類型傅利葉級數 Vn 的觀念延伸，所以 |V(f)| 及 θ(f) 都是雙邊振幅及相角頻譜。
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傅利葉轉換 (Fourier Transform)
• 每一個 f 都有一個弦波成分，說明非週期性時變函數可由不可數的無窮多個弦波相加組合而成。
✓ v(t) 也是不可數的無窮多度空間的一個向量 (或是一個點)。• 本書是以頻率 f 為傅利葉轉換的變數。有些工程的書是以角頻率 ω 為自變數，因此在反轉換有 2π 這個常數存在：
F(ω) =∫ ∞
−∞f(t)e−jωtdt
f(t) = 1
2π
∫ ∞
−∞F(ω)ejωtdω
✓ 在使用傅利葉轉換時，要特別注意這個常數的影響。✓ 用 f 就以 f 為主的轉換表，用 ω 就以 ω 為主的轉換表，兩者可互相推導。
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傅利葉轉換 (Fourier Transform)Example 6 (問題 11)(1) 求出以下方波信號的傅利葉級數，並畫出此信號的單邊頻譜。(2) 求出以下方波信號的指數型傅利葉級數，並畫出此信號的雙邊頻譜。
Figure 6: 方波信號。
[本例題供作參考，目前不會需要會傅利葉級數的計算方式，但要能區分單邊與雙邊頻譜。]
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傅利葉轉換的淺釋與應用
1 基本觀念概述
2 傅利葉轉換理論傅利葉級數傅利葉轉換
3 傅利葉理論的應用基頻信號振幅調變信號的傅利葉轉換頻寬 (Bandwidth)
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基頻信號
• 假設 V(f) 是時間函數 v(t) 的傅利葉轉換，V(f) 是 v(t) 所含的頻率等於 f 的弦波成分：
v(t) ↔ V(f)V(f) = |V(f)|ej(2πft+θ(f))
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基頻信號
Example 7 (Unit Step Function)u(t) 是單階函數 (unit step function)。
u(t) ={1 t > 0
0 t < 0
Figure 7: 方波信號。
若 v(t) = e−αtu(t) 且 α > 0，求 v(t) 的傅利葉轉換。44 / 59
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基頻信號
V(f) =∫ ∞
0e−αte−j2πftdt = 1
α+ j2πf =1√
α2 + 4π2f2∠ tan−1 2πf
α
(a) v(t) = e−αtu(t) 且 α > 0 (b) |V(f)|Figure 8: 指數函數與其傅利葉轉換
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基頻信號
Example 8 (Pulse Function)一個時長是 T 的脈波 v(t) (pulse) 可畫出如下圖，求 v(t) 的傅利葉轉換。
Figure 9: 時長是 T 的脈波。
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基頻信號
v(t) 的傅利葉轉換 V(f) 可求出如下：
V(f) = e−jπfT sin(πfT)πf
= Te−jωT/2 sin(ωT/2)ωT/2 ω = 2πf (11)
我們可用 V(f) 畫出 v(t) 的雙邊頻譜如下：
(a) 振幅頻譜 (b) 相角頻譜Figure 10: 脈波的振幅及相角頻譜
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振幅調變信號的傅利葉轉換
• 我們必須要用調變技術，把基頻信號的頻率範圍轉移到所指定的頻道內，才能使各種傳輸介質被有效的應用。
✓ 被調變過後的已調變信號的頻譜，與基頻信號及載波有什麼關係呢?Theorem 9 (振幅調變定理)若 W(f) 是基頻信號 w(t) 的傅利葉轉換，也就是 w(t) ↔ W(f)，則:
w(t) cos 2πfct ↔1
2[W(f − fc) + W(f + fc)]
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振幅調變信號的傅利葉轉換證明：
• 假設 w(t) cos 2πfct 的傅利葉轉換是 Wc(f)，則Wc(f) =
∫ ∞
−∞w(t) cos 2πfct · e−j2πftdt
=
∫ ∞
−∞w(t) 1
2
[(ej2πfct + e−j2πfct
)]e−j2πftdt
=1
2
∫ ∞
−∞w(t)ej2πfcte−j2πftdt + 1
2
∫ ∞
−∞w(t)e−j2πfcte−j2πftdt
=1
2
∫ ∞
−∞w(t)e−j2π(f−fc)tdt + 1
2
∫ ∞
−∞w(t)e−j2π(f+fc)tdt
• 因為 W(f) =∫∞−∞ w(t)e−j2πftdt，若令 f− = f − fc 且 f+ = f + fc，
Wc(f) =1
2W(f−) +
1
2W(f+)
=1
2[W(f − fc) + W(f + fc)]
• 函數 f(x − a) 是 f(x) 往右移動 a，f(x + a) 是 f(x) 往左移動 a。49 / 59
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振幅調變信號的傅利葉轉換
Figure 11: 基頻信號與調變信號的頻譜。
• w(t) cos 2πfct 的頻譜是把 w(t) 的頻譜分成相等的兩部分。✓ 一部分移到 fc，另一部分移到 −fc 的地方。
• 從另一個角度，頻寬都以正的頻譜來定義，✓ 振幅調變以後的信號的頻寬是基頻信號的頻寬的兩倍。
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振幅調變信號的傅利葉轉換
[複數頻譜的討論?]
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振幅調變信號的傅利葉轉換
• 正規振幅調變的信號可表示如下：✓ sNA = [Ac + m(t)] cos 2πfct。✓ 因此基頻的信號為 Ac + m(t)。
• Ac 是直流成分，即頻率等於零的弦波成分。• 所以 Ac + m(t) 的示意性頻譜如下圖，
(a) 直流信號的頻譜 (b) Ac + m(t) 的示意性頻譜Figure 12: 信號的基頻頻譜
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振幅調變信號的傅利葉轉換
• 由調變定理知道正規振幅調變 sNA = [Ac + m(t)] cos 2πfct 的頻譜為將基頻的信號分別向左向右移 fc，且大小為 1/2。
✓ 圖中沒有斜線部分的頻譜稱為上頻帶頻譜 (upper sideband，USB)。✓ 圖中有斜線的部分稱為下頻帶頻譜 (lower sideband，LSB)。
Figure 13: 正規振幅調變信號的頻譜。
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振幅調變信號的傅利葉轉換• 雙頻帶壓縮載波信號是 SSC(t) = m(t) cos 2πfct 。
✓ 與正規振幅調變相比，少了直流的成分，所需消耗的能量較少。✓ 因為 m(t) 是實數信號，上旁帶及下旁帶是對稱的。
Figure 14: 雙頻帶壓縮載波信號的頻譜。
• 單旁帶調變技術: 喜伯特發現，只將上旁帶或下旁帶傳送出去，接收機就能用同步解調的方法，把 m(t) 解調回來。✓ 因為頻帶是很昂貴的公共資源，利用此技術的通信系統可以節省一半的頻寬。
• 因為第三類型的傅利葉級數引入了負頻及雙邊頻譜的觀念✓ 由此知道基頻信號的負頻的頻譜及正頻的頻譜是對稱的。✓ 由振幅調變定理推出了振幅調變信號的頻譜，由這個觀念定義出上、下頻帶，也才知道上、下頻帶是對稱的。
✓ 再由喜伯特導出了單邊的調變技術，節省下一般的通信頻道資源。 54 / 59
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頻寬 (Bandwidth)
• 傅立葉級數或轉換都可視為時變函數所含的不同頻率的弦波成分的集合，頻譜則是此集合的表示圖，由此可以定義出信號的頻寬。
• 1. 絕對頻寬：BW = f2 − f1✓ 若頻譜都在 f1 到 f2 之間，f2 > f1 > 0 之外都等於零。
✓ 對基頻訊號而言，f1 = 0 及 f2 > 0，所以 BW = f2。
(a) 帶通信號的絕對頻寬 (b) 基頻信號的絕對頻寬 55 / 59
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頻寬 (Bandwidth)
• 2. 3-dB 頻寬: 在 f1 及 f2 弦波成份振幅等於最大振幅的 1√2。
(c) 帶通信號的 3dB 頻寬 (d) 基頻信號的 3dB 頻寬
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頻寬 (Bandwidth)
• 3. 零零頻寬: 對基頻信號而言，由頻譜第一次零為準定義的頻寬。
Figure 15: 零零基頻頻寬，BW =1
T
• 為了避免干擾到其他的頻道，送出基頻信號之前、調變之後，都需要經過濾波手續。實際系統中都是絕對頻寬是有限的信號。
• 頻寬與脈波的時長 T 成反比。✓ T 越小，頻寬越大。
• 基頻信號: 若一時變信號所含的弦波成分大部分集中在 0 Hz 到 3 dB 頻寬或零零頻寬中 (包括絕對頻寬)，則此信號稱為基頻信號。 57 / 59
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結論
• 傅立葉轉換幾乎是所有信號處理的基礎及人們從事研究所用的方法及理念。• 弦波成分是信號組成的最基本成分：
✓ 因此我們如何把一群弦波組合成一個特定的信號，讓特定的信號方便傳送，為電信領域研究主題及一大挑戰。
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Question & Answer
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