55457049 geometria-analitica
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FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG
Geometria Analítica Engenharia
Profª. Alessandra S. F. Misiak
Cascavel – 2009
Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG
1.1. O PLANO CARTESIANOO PLANO CARTESIANO
A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.
Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.
A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.
Observações:I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.
II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.
III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa.
IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)
E(2
3−, - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).
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1º QUADRANTE
( +, + )
4º QUADRANTE
( +, - )
2º QUADRANTE
( -, + )
3º QUADRANTE( -, - )
x ( eixo das ABSCISSAS )
Y ( eixo das ORDENADAS )
Bissetriz dos quadrantes pares
Bissetriz dos quadrantes ímpares
P Є 0x ↔ P = ( x, 0 )
P Є 0y ↔ P = ( 0, y )
A Є bi ↔ A = ( a,
a )
B Є bp ↔ B = ( b,
-b )
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2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:a) Qual a ordenada do ponto P?b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?c) Qual a distância do ponto P à origem?
02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:
( ) ( ) 22ABABAB yyxxd −+−=
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
4. Calcule a distância entre os pontos dados:a) A (3, 7) e B (1, 4) R: 13b) E (3, -1) e F (3, 5) R: 6c) H (-2,-5) e O (0, 0) R: 29
d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R: 5
e) P (3, -3) e Q (-3, 3) R: 72f) C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5
5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2
6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles éa) 10b) 15
53216
R: c
7. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:a) 5b) 10c) 15
2025
R: a8. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
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yb - y
a
xb – x
a
xa
xb
ya
yb
A
B
dAB
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a) -1b) 0c) 1 ou 13
-1 ou 102 ou 12
R: c9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
a) (0,5)b) (5,0)c) (2,3)
(6,2)(-1,0)
R:a10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:
a) 5πb) 10πc) 20π
17π29π
R: b
03. PONTO MÉDIO03. PONTO MÉDIO
Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:
++
2,
2BABA yyxx
M
M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:a) A (-1, 6) e B (-5, 4)b) A (1, -7) e B (3, -5)
c) A (-1, 5) e B (5, -2)d) A (-4, -2) e B (-2, -4)
12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e C(2, 4).
13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:a) (4, 8)b) (2, 4)c) (8, 16)
d) (1, 2)e) (3, 4)
14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale:
a) (1, 6)b) (2, 12)c) (-5, 4)
d) (-2, 2)e) (0, 1)
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A
B
M
A xA
yB
xM XB
yA
yM
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04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se:
1
1 0
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
=
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados.
16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo.
17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:a) 0b) 10c) 3
d) 12e) -4
18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:a) k = 11b) k = 12c) k = 13
d) k = 14e) k = 15
05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (α ). Por definição, temos que:
São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:
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a = tg α
A(xA, yA)
B(xB, yB)
C(xC, yC)
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Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:
a = x
y
∆∆
ou a = AB
AB
xx
yy
−−
ou a = xmed
ymed
.
.−
06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Toda reta no plano possui uma equação de forma:
0ax by c+ + =
na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da reta.
Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas:
♦ Conhecido dois pontos 1 1 1( , )P x y e 2 2 2( , )P x y
1 1
2 2
1
1 0
1
x y
x y
x y
=
♦ Conhecido um ponto 1 1 1( , )P x y e a declividade a da reta:
1 1( )y y a x x− = −
onde a = 2 1
2 1
y y
x x
−−
ou a = tgα
19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a.a) P(2, 3); a = 2
b) P(-2, 1); a = -2
c) P(4, 0); a = 2
1−
20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α .
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a) P(2, 8) e α = 45º
b) P(-4, 6) e α = 30º
c) P(3, -1) e α = 120º
21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir:a) A(1, 1) e B(-2, -2)
b) A(3, 1) e B(-5, 4)
c)A(2, 3) e B(8, 5)
22. Determine a equação geral da reta: a) x – 2y - 4 = 0b) 2x + y – 2 = 0 c) 4x – 2y – 4 = 0d) x – y + 2 = 0e) x – y + 4 = 0
23. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)a) 4x + 3y + 1= 0b) 3x + 4y + 1= 0c) x + y + 3 = 0
d) x + y – 4 = 0e) x – y – 1 = 0
07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear.Exemplos:
−==
−=3
232
b
axy
=
−==−+
3
13
2
012b
ayx
==
+=1
515
b
axy
=
−==+04
5045
b
ayx
24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:a) 2/3 e 4b) 3/2 e 12c) -2/3 e -12
d) 2/3 e -4e) -3/2 e 4
25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é:a) 10b) 2c) 3 10
d) 4 10e) 10
26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:a) ½ e -2b) 2 e -1/2c) -1/2 e -2d) -2 e -1/2e) ½ e -1/2
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4
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27. Determine a equação reduzida da reta:a) y = x + 3b) y = -x + 3c) y = 2x+6d) y = x – 3e) y = - 3x + 2
08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x + 2y -1 = 0
29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação
12 3
x y+ =
30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x + y – 5 = 0
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⇔
≠=
21
21
bb
aaPARALELAS DISTINTAS
⇔
==
21
21
bb
aaPARALELAS COINCIDENTES
3
3
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31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x – 2y +1 = 0
32. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas. a) 1b) 2c) - 3
d) - 6e) 5
33. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.a) 2x – y + 9 = 0b) 2x – 3y – 15 = 0c) 3x + 2y – 15 = 0
d) x – 2y + 9 = 0e) 3x – 2y + 15 = 0
34. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.a) y = 2x – 3b) y = 4x – 10c) y = - x + 15
d) y = x + 5e) y = - 4x +5
RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são: a) x + 2y – 3 = 0 e x -2y + 7 = 0b) 2x + y – 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0
c) 7 2
3 3y x= − e
37
2y x= − +
36. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares. a) 1b) 6c) -10
d) 15e) 5
37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0.
a) y = -2x – 1b) y = x + 4c) y = 3x + 2
d) y = -x + 5e) y = - x – 12
38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).a) y = - 2x + 13 b) y = 2x – 13
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⇔−=2
1
1
aa PERPENDICULARES
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c) y = x + 1d) y = 13x + 2
e) y = x – 4
09.09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETASPONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações.
Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma:♦ Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes♦ Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes♦ Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
39. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.a) (-8, -22)b) (1, 2)c) (4, -10)
d) (5, 6)e) (-4, 12)
40. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.a) (-3, 3)b) (2, -2)c) (5, 22)
d) (1, 2)e) (3, 4)
41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente.
a) 1 e (2, 0)b) 2 e (1, 0)c) 5 e (2, 0)
d) 1 e (0, 2)e) 2 e (1, 2)
10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:
22
00Pr
BA
CByAxd
+
++=
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r:a) P(0, 3) e 4x + 3y + 1=0b) P(1, -5) e 3x - 4y - 2 =0c) P(3, -2) e 2x + y + 6 =0d) P(6, 4) e y - 2 =0
43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a coordenada p.
44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a distância entre as duas retas.
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P(xP, yP)
d
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45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:
A =
11
12
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
46. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).a) 16b) 4c) 10
d) 12e) 8
47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).a) 27b) 54c) 32
1943
48. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).a) 17b) 34c) 10
d) 6e) 8
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A(xA, yA)
B(xB, yB)
C(xC, yC)
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Cônicas
12. CIRCUNFERÊNCIA12. CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDAEQUAÇÃO REDUZIDA
Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:
( ) ( ) 222 Ryyxx cc =−+−
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.
a)
=2
)5,3(
R
C
b)
= 7
)0,0(
R
C
c) (0, 2)
4
C
R
− =
d) (4,0)
5
C
R
=
EQUAÇÃO GERALEQUAÇÃO GERALDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferênciaDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferênciaAx2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro CC(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
• os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; • não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 62º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
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xC
R
P(x, y)
yC
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3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Condições para ser circunferência:
1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)
2. C = 0 ( não pode aparecer xy )
3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real )
Coordenadas do centro:
−−=
2
.;
2
. ycoefxcoefC
Raio:
( ) ( ) FyxR cc −+= 22
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4.a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0
51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência:a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0e) 4x2 - 4y2 =0 f) x2 -10x + 25 + y2 =0 52. Determine o centro e o raio da circunferência 02041022 =−+−+ yxyx , respectivamente:a) (-2,5) e 7b) (5,2) e 5c) (2,2) e 2
d) (3,4) e 1e) (5,-2) e 7
53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência 036422 =−−−+ yxyxa) 2u.a.b) 4u.a.c) 8u.a.
d) 16u.a.e) 64u.a.
54. Determine o valor de k para que a equação 02422 =+−++ kyxyx represente uma circunferência:a) k > 5 b) k < 5
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c) k > 10d) k < 15
e) k = 20
41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0 a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0
13. POSIÇÕES RELATIVAS13. POSIÇÕES RELATIVAS
PONTO E CIRCUNFERÊNCIAPONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.
EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS:
55. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência 9)4()2( 22 =−+− yx
56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ.a) P( -1, 2) e λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52
b) P( 2, 2) e λ: x2 + y2 - 10x + 8y - 1 = 0c) P( 3, 1) e λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0
RETRETA E CIRCUNFERÊNCIA
Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável).Calculando o discriminante (∆ ) da equação obtida, poderemos ter:1º) Se ∆ > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).2º) Se ∆ = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).3º) Se ∆ < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).
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P
P
P
Interno Pertence Externo
dPC
< R dPC
= R dPC
> R
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EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo 01422 =−−+ xyx :
58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns (Tangente ou Secante), determine esses pontos:
a) r: 2x – y + 1=0 e λ: x2 + y2 – 2x = 0b) r: x = y e λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0
DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.
Há três possibilidades:1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção).3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).
Tangentes Secante Externas
dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2, dC1C2 > R1 + R2,
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS59. Qual a posição relativa entre as circunferências (λ ) 0910622 =+−−+ yxyx e (δ )
044222 =+−++ yxyx .a) tangenteb) secantec) externasd) coincidentese) n.d.a.
60. Dadas as circunferências λ 1 e λ 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se Houver)
a) (λ 1) : 2 2 4 8 5 0x y x y+ − − − = e (λ 2):
2 2 2 6 1 0x y x y+ − − + =
b) (λ 1) : 2 2 8 4 10 0x y x y+ − − + = e (λ 2):
2 2 2 10 22 0x y x y+ − − + =
c) (λ 1) : 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = e (λ 2):
2 2( 2) ( 2) 1x y− + + =
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SecanteTangente
Externa
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
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d) (λ 1) : 2 2 16x y+ = e (λ 2):
2 2 4 0x y y+ + =
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Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
• focos : os pontos F1 e F2
• centro: o ponto O, que é o ponto médio de
• semi-eixo maior: a
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• semi-eixo menor: b
• semidistância focal: c
• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
• eixo maior:
• eixo menor:
• distância focal:
Relação fundamental
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:
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b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:
Equação da ElipseFora da origem
1º caso: 1 2 //A A eixo x
Equação da ElipseFora da origem2º caso:
1 2 //A A eixo y
2 2
2 2
(x - h) (y - k) + = 1
b a
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' 2 ' 2
2 2
( ) ( )1
x y
a b+ =
2 2
2 2
(x - h) (y - k) + = 1
a b
1A •2A•
2B
•
1B
•
•C
x
y
h
k
2F
•
1F
• 'x
'y
P•
x
'x
y 'y
h 'x
x
k
'y
y
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ExemploDetermine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da
elipse de equação 2 24 25 100x y+ =Solução
2 2 2 2 2 22 2
2 2
4 25 1004 25 100 1 1
100 100 100 25 4 5 2
x y x y x yx y+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =
5 2a b= =2 2 2 2 2 2a b c c a b= + ⇒ = −2 25 4 21 21c c= − = ⇒ =
1 2 1 2 1 2( 5,0) , (5,0) , (0, 2) , (0, 2) , ( 21,0), ( 21,0)A A B B F F− − − 21
5e =
Exemplo
Conhecendo os focos 1(0, 3)F − e 2 (0, 3)F e a excentricidade 1
2e = , determine a equação da elipse.
Solução
ce
a=
1
2e = → 2a c⇒ =
32 3
2
ca
a c
= ⇒ ==
2 2 2 2 2 2 2 2(2 3) ( 3) 12 3 9a b c b b b= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
b a⇒
2 2 2 2
2 2
x y x y + = 1 + = 1
9 12
ExemploDeterminar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação
( ) ( )1
16
3
25
4 22
=++− yx.
Solução
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
4 3 4 31 1
25 16 5 4
x y x y− + − ++ = ⇒ + =
( ) ( )2 2
2 21
x h y k
a b
− −+ =
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1A • 2A•
1B
•
2B
•1F
•
2F
•
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2
2
4
3
25 5
16 4
h
k
a a
b b
=
= −
= ⇒ =
= ⇒ =
a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2
c2 = 9c = 3
C (4, -3)F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3)F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3)
Exemplo
Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro (4, 2)C − , excentricidade 1
2e = e
eixo menor de medida 6 .
Solução
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
b a
− −+ =
4 2h k= = −2 2? ?a b= =
22 6 3 9b b b= ⇒ = ⇒ =
1
2 2
c ae c
a= = ⇒ =
2 2 2a b c= +2 2 2 23 ( ) 12
2
aa a= + ⇒ =
2 2( 4) ( 2)1
9 12
x y− ++ =
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•
4
2− C
x
y
1A
•
2A
•
2B•1B •
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Hipérbole
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
A figura obtida é uma hipérbole.
Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
Elementos
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
• focos: os pontos F1 e F2
• vértices: os pontos A1 e A2
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• centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de
• semi-eixo real: a
• semi-eixo imaginário: b
• semidistância focal: c
• distância focal:
• eixo real:
• eixo imaginário:
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Como c > a, temos e > 1.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
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Hipérbole eqüilátera
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:
a = b
Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o
coeficiente é .
Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
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As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
Observações:
1) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x
2 2
2 2
(x - h) (y - k) + = 1
a b
2) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y
2 2
2 2
(x - h) (y - k) + = 1
b a
Exemplos
1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.
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Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida.
Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
x2/16 – y2/25 = 1
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resp: 1,60.
2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .
Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem:
x2/9 – y2/25 = 1
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.
3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem
(0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:
x2/a2 – y2/b2 =1
Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:
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Parábola
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
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• foco: o ponto F
• diretriz: a reta d
• vértice: o ponto V
• parâmetro: p
Então, temos que:
• o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos .
• DF =p
• V é o ponto médio de
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação e na parábola temos:
• ;
• P(x, y);
• dPF = dPd ( definição);
obtemos, então, a equação da parábola:
y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
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y2 = -2px
c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
x2=2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
x2= - 2py
Observações:
1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal
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Equação: (y – k)2 = 4p(x – h) Diretriz: x = h – p Coordenadas do foco: F(h + p, k)
2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical
Equação: (x – h)2 = 4p(y – k) Diretriz: y = k – p Coordenadas do foco: F(h, k + p)
Exemplos:
1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Resolução: Temos p/2 = 2 p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
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3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
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CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak
01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo.
02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8
Resp 2c=6
03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e do eixo menor é 2
Resp 2 2x y
14 25
+ =
04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400
Resp3
5SUGESTÂO:Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400
05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e que a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol
Resp:150929660 km156056330km
06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.
Resp :5 5 5 5
,0 ; ,0 ; 0, ; 0,3 3 2 2
− −
07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1)
Resp2 2x y
14 1
+ =
08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A ( )2 2,1 e de excentricidade
1
2
Resp 2 2x y
110 5
+ =
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09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo ponto A ( )15, 1− e seu semi-eixo menor é 2.
Resp.2 2x y
120 4
+ =
10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F6
,02
. Calcular a excentricidade da elipse
Resp2
2
11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S (da Geometria S= abπ )
Resp2 2x y
1 e S=18 3 u. a36 27
+ = π
12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10 m do centro da base
13. Determinar o comprimento da corda que a reta x 4y 4= − determina sobre a elipse 2 2x 4y 16+ =
Resp. 8 17
5
14. Determinar os pontos de intersecção da elipse2 2x y
14 9
+ = com a reta y 2x 3= +
Resp -48 21
P(0,3) e P' ,25 25
−
15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A (2, 2) e B ( 2 3 ,0)
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CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak
Trabalho Geometria Analítica
1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito d) m = 0e) m < 4
2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :
a) r é um número naturalb) r = - 3c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .e) não existe r nestas condições .
3. Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :
a) 200b) 196
c) 144 d) 36e) 0
4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0)b) (0, -1)
c) (0,4) d) (0,5)e) (0, 3)
5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:
a) 25b) 32
c) 34 d) 44e) 16
6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850
8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4b) 3
c) 3,5 d) 4,5e) 2
9. Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?
10. Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:a) elas são paralelasb) elas são concorrentes c) as três equações representam uma mesma reta .
11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.
12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?
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13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:
a) 12,32b) 10,16
c) 15,08 d) 7,43e) 4,65
14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).
15. Analise as afirmativas abaixo:(01) toda reta tem coeficiente angular .(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .
16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ?17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?
18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).Respostas:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15c c b d c 65 850 d plela c (4,2) 3 d Y=x+3 42
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