§5.6 利用希尔伯特 (Hilbert) 变换研究系统的约束特性•希尔伯特变换的引入•可实现系统的网络函数与希尔伯特变换

一．由傅里叶变换到希尔伯特变换已知正负号函数的傅里叶变换

j2sgn tF

根据对称性得到 tj

2π21sgn

则 sgnj

π1t

为奇函数sgn

sgnj1

t

若系统函数为

090 j0 90j

sgnj)j(

H

则冲激响应 t

HFthπ1j1

系统框图 :

系统的零状态响应 tf

ttfthtftf

π1ˆ

th

F

tf

ˆ

ˆ

F

tf

sgnj

利用卷积定理

0 j

0 jsgnjˆˆ

FF

FFtfF

具有系统函数为 sgnj 的网络是一个使相位滞 后 2

π 弧度的宽带相移全通网络。

同理可得到 :

若系统冲激响应为 t

thπ1

其网络的系统函数为

090 j0 90 j

sgnj)(

thFH

该系统框图为 th

F

tf

F

tf

ˆ

ˆ

sgnj

ttfthtftf

π1ˆˆ输出信号

具有系统函数为　　　 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络。

利用卷积定理

0 j

0 jsgnjˆ

FF

FF

sgnj

2π

希尔伯特变换

d

π1ˆ

tf

tftfH

t

tftfπ1ˆ

d

π1ˆ1

tf

tftfH

ttftf

π1ˆ

例 5-6-1 。的希尔伯特变换求 tfttf ˆcos 0

方法 1 :

弧度，即滞后比希尔伯特变换2πˆ tftf

tttfHtf 00 sin4πcosˆ

方法 2 ： 000 ππcos tFF因

用三种方法求解此题：

方法 3 ： 直接用希尔伯特变换定义式

tt

tH 00

0 sindcosπ1cos

即： ttfF 000 sinˆjπˆ

则希尔伯特变换的频谱函数为 00 πjjπsgnjˆ FF

二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应

tuthth 00 tth即 :其傅里叶变换

j1πj

π21j HH

)j(jjej)j( j XRHH 又则

jj)j( XR

j1πjjj

π21

XR

1jjππ21

XR

1jjππ2j

RX

djπ21j

21jjj XRXR所以

dj

π21

2jj RX

根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得

djπ1)j(

XR

djπ1j

RX

因果系统系统函数 )j( H 的实部与虚部满足希尔 伯特变换约束关系。

例 5-6-2

伯特变换的约束关系。

的实部与虚部满足希尔，证明已知 )()()( thFtueth t

因为

j1)(e

tuFthF t

即系统函数

jjjjj 2222 XRH

式中实部 22j

R

虚部 22j

X

djj

21

jj21

π1j 22

XH

现在求 jX 的希尔伯特变换

djπ1j

XXH

d

π1

22

CBA

jj22令

可求出各分式系数 22,

j21

,j21

CBA

则

djj

21

jj21

π1j 22

XH

d

π1

22

2

22

dπ

12222

2

22

lnlnarctan π

1 2222

00

2π

2π

π1

22

22

R

三．常用希尔伯特变换对 tf tf

t0cos t0sin

t0sin t0cos

t0je t0jje

ttm 0je ttm 0jej

对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。

乘法器

乘法器

2

移相

t0cos

t0sin

jH tg

ty

ty2

ty1

tg

例 5-6-3

m m

G

1

试分析下面系统可以产生单边带信号

已知信号 tg 是带限信号，其频谱函数为 G

图中系统函数 sgnjj H 载频 m 0

由调制定理可知 ttgty 01 cos 为带通信号 其频谱函数

0011 21

21

GGYtyF

tg 是 tg 的希尔伯特变换信号 其频谱

sgnjjˆˆ GGtgF 则 ttgty 02 sinˆ

解：

其频谱函数 0022 jπˆ

21

GYtyF

0000 sgnjsgnj2j

GG

即 00002 sgn

21sgn

21

GGY

输出信号 tytyty 21

其频谱为 21 YYY 频谱图如下所示

频谱图00 m0 m0

1Y

021

G 021

G

O

00 m0 m0

2Y

)sgn(21

00 G )sgn(21

00 G

O

是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。 Y00 m0 m0

Y

1

O