基本电路理论第五章 一阶电路

电子信息与电气工程学院2004 年 7 月

上海交通大学本科学位课程

基本要求：动态电路及其分析中的各种基本概念

一阶电路初始条件的求取

第五章 一阶电路

非时变特性和线性函数的概念在一阶电路中的应用

阶跃响应、冲激响应的求法

一阶电路微分方程的建立与求解

具有正弦输入的一阶电路的零状态响应 用卷积积分法求任意输入的零状态响应

由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。

具有储能元件的电路为动态电路。动态电路用微分方程来描述 。

含储能元件的电路在发生换路后，会从换路前的稳定状态转换到换路后的稳定状态。这个过程称为过渡过程。

过渡过程的时间是极为短暂的，也常称这一过程为瞬态过程。由于这短暂的过程对控制系统、计算机系统、通讯系统后关系重大，所以将是我们分析、讨论的重点。

第五章 一阶电路

• 换路：电路的接通、切断、短路、电路参数的突然改变、电路连接方式的突然改变、电源输出的突然改变等，通称为换路。

• 换路定则：网络在 t0 时换路，换路后的 t0+ ，

对 C ：只要 |iC|≤M( 有限量 ) ， vC 不会跳变；

对 L ：只要 |vL|≤M( 有限量 ) ， iL 不会跳变。• 电路的初始条件： t = t0

+ 时电路变量的值称为电路的初始状态，这些初始状态也就是求解该电路的微分方程所必需的初始条件。因此，确定电路的初始条件是很重要的。

第五章 一阶电路

• 定义：一阶电路是指由一阶微分方程描述的电路。

电路初始条件求取：电路在任一瞬间都遵循 KCL 、 KVL 、支路方程，再借助置换定理，就能求得换路后瞬间电路的初始条件。 C

12VSv

4k

0t 2k

Cv

1i 2i

换路前电路视为稳态，直流输入时，电容稳态为开路。 vC(0-)=12V 。换路定则 vC(0+)= vC(0-)=12V

1

32

31 2

(0 )(0 ) 0

4(0 )

(0 ) 6 10 A2

(0 ) (0 ) (0 ) 6 10 A

S C

C

C

v vi

kv

ik

i i i

根据 KCL 、 KVL ，置换定理

第五章 一阶电路

C12VSv

4k

0t

(0 )Cv

12VSv

4k

0t

2k(0 )Cv

1(0 )i 2 (0 )i (0 )Ci

K 闭合前电路处稳态，求t=0 时 K 闭合后的 vC(0+) 、iC(0+) 、 iL(0+) 和 vL(0+) C

10V

30k

20kLv 40k

K

L

Ci

vC(0-) = 4V = vC(0+) ， iL(0-) = 0.2mA = iL(0+) ，运用替代定理，有t=0+ 时刻的电路。

则有 vL(0+)=10-6-4=0 ， iC(0+)=0.2-0.3=-0.1mA

4V10V

30k

20k 40k

0.2mA

第五章 一阶电路

(0 ) 0Lv

(0 ) (0 )C Cdv i

dt C

(0 ) (0 )L Ldi v

dt L

在 t=0 时换路的网络，换路前电路处稳态，处在直流电源 VS 的作用下， t=0- 时电容支路可视为开路，电感支路用短路等效。

1 2

(0 ) (0 ) SC L

Vi i

R R

1 2

(0 ) SL

Vi

R R

2

1 2

(0 )C S

Rv V

R R

22

1 2

(0 )R S

Rv V

R R 2R

(0 )Li

(0 )Cv

Ci2Rv

Lv

第五章 一阶电路

1R

2R

(0 )Li (0 )Cv SV

L

1R

C

2R

Li0t

L

Ci

LvCv

SV

仅由初始状态引起的响应称为零输入响应，因为在这种情况下电路的输入为零；

仅由电路输入引起的响应称为零状态响应，因为在这种情况下电路的初始状态为零；

由独立电源和电路的初始状态共同所引起的响应，则称之为全响应。

第五章 一阶电路

K K

( )Ri t

( )Rv t( )Cv t0Sv V

0t

( )Ci t

电路方程0

0 0

(0)

CC

C

dvRC v t

dtv V

… 解 ( ) stCv t ke

特征方程 RCs+1=0 特征根 1 1s

RC

电容器上的电压 ( ) 0t

RCCv t ke t

…

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

( )Ri t

( )Rv t( )Cv t

( )Ci t

0(0)Cv V

0t

( )Cv t

0V

00.368V

T 2T 3T0 t

( ) 0t

RCCv t ke t

…

式中 k是一个取决于初始条件的积分常数。应用 t ＝ 0时的初始条件 vC(0)=V0 ，有 k= V0 ，求得

0( ) 0t

RCCv t V e t

… 0( )

( ) ( )t

C RCR

v t Vi t e u t

R R

( )Ri t

0 /V R

00.368 /V R

0 T 2T 3T t

电容器上的电压

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

• 时间常数 =RC ：放电时间的长短与 C 和 R 有关。 RC具有时间量纲：欧法 = 欧库 / 伏 = 欧安秒 / 伏 = 秒

每经过时间常数电容电压或电流，衰减到原值的 36.8%

当 t=4~5 时，电容电压或电流，衰减到最初值的 1.84% ~0.68% ，工程中认为此时放电基本结束，电路又处稳态。

1( )

101

0

( )36.8%

( )

tRC

RC

tRC

V ev te e

v tV e

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

时间常数越小，放电过程进行得越快，反之，则越慢。

用图解法求电路的时间常数： 由电路方程

0

0 0

(0)

CC

C

dvRC v t

dtv V

…C C Cdv v v

dt RC

( )

C

C

vdv

dt

可见，时间常数等于 vC(t) 曲线上任一点的次切距。

0( )t

Cv t V e

1t 2t

p

( )Cv t

0 t

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

特征根 s = -1/ = -1/RC 具有频率的量纲，称电路变量 vC 的固有频率。

从 RC 电路的零输入响应 vC 的表达式可知， vC 的瞬时值取决电容上的初始电压 V0 和电路的时间常数 =RC

• 线性电路的零输入响应是初始条件的线性函数

当初始条件为定值时，零输入响应是时间的指数函数。

对每个时间定值 T ，T

RCe

A常数 ，有 vC=Av0

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

例 一组 40μF 的电容器，从高压电网上切除，切除瞬间，电容器两端的电压为 3.5kV 。切除后，电容经本身漏电电阻 Rs 放电。今测得 Rs ＝ 100MΩ ，试求电容器电压下降到 1kV 所需的时间。

解 电容从高压电网切除的等效电路如右图，电容器经漏电电阻器 Rs 放电，其电压逐步降低

33.5 10t

Cv e

其中 =RsC =1001064010-6=4000s

如果在 t=t1 时 vC 下降到 1000V ，则有 1

33.5 10 1000Vt

e

解得 t1= ln3.5×4000=1.25×4000=5000s

可见，电容虽与电源断开已逾 1小时，但还保持高达 1000V 电压。这样高的电压足以造成人身安全事故。

i

C SRSv

K

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

RL 电路的零输入响应 iL ： ( 根据对偶原理 )

RC 电路： RL 电路：

0

0 0

(0)

CC

C

dvRC v t

dtv V

…

0( ) 0t

RCCv t V e t

… 0( ) 0

RtL

Li t I e t

…

RC L

GLR

亨 / 欧 = 韦 / 欧安 = 伏秒 / 欧安 = 秒

0

0 0

(0)

LL

L

diGL i t

dti I

…

i 1R

0V Lv L

Li Ci

Rv R

0t

K

Lv L

Li Ci

Rv R

0t

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应

例 设图示电路中，开关在 t=0 时打开，此时流过电感器中的电流 i(0)=E/R1 ，试求开关两端在打开瞬间的电压 vk(0) 以及 R2 上的电压 vR(t)

解 t≥0 的电路方程

特征根

用初始条件 i(0)=E/R1 ，求得 k=E/R1 ，有

解得

若 R2 R≫ 1 ，则开关打开瞬间，其两端间的电压会高于电源电压 E许多倍，即有一个很高的冲击电压。

1 2( ) 0di

L R R idt

令 得特征方程 sti ke 1 2 0R R

sL

1 2R Rs

L

1

t

TE

i eR

22

1

t

TR

Rv R i Ee

R

2(1 )

1

t

TK R

Rv E v E e

R

开关刚打开的瞬间 2

1

(0) (1 )K

Rv E

R

K

Kv

E

1 2

2R Rv

i

1R

L

§5.1 线性定常一阶电路的零输入响应