可靠度常用的統計方法

卓益如

Contents

14.5 最低壽命假定為零，平均失效時間 的信賴區間14.5 最低壽命假定為零，平均失效時間 的信賴區間

14.6 可靠度與百分點信賴界限的推定14.6 可靠度與百分點信賴界限的推定

14.7 關於平均壽命的假設檢定14.7 關於平均壽命的假設檢定

14.8 完成壽命試驗所需的期望時間14.8 完成壽命試驗所需的期望時間

14.9 韋伯分配在統計學上的應用14.9 韋伯分配在統計學上的應用

14.5 最低壽命假定為零，平均失效時間的信賴區間

用一定個數抽樣計畫失效時間作為紀錄資料若觀測中所得失效時間為 ，此時的 值為服從 。

代數轉換 : ( : 平均壽命估計

值 )

14.5 最低壽命假定為零，平均失效時間的信賴區間

用一定時間抽樣計畫的失效時間作為紀錄的資料 如紀錄在某一總試驗時間 T 內所發生的失效次數 r ，則

平均壽命的 100(1-α)%雙尾信賴區間為

當卡方分配自由度極大 ( 無法查表 ) 可用

根據此近似關係，可將 簡化

14.6 可靠度與百分點信賴界限的推定指數分配的可靠度函數的推定式為點估計可由總試驗時間 ( 累積操作時間 )T 與過程中所發生之失效數 r 計算；

其中 100(1-α)% 雙邊信賴區間為

這適用於完整型數據或失效檢剔型數據時之運算式。若屬於時間檢剔型則雙邊規格為

假定 U 和 L 為 θ 的信賴區間上限與下限，則可靠度信賴界限為

若重點是在某一時間內，或某一里程內，群體中某一固定百分數仍屬倖存的情形。假設 P 代表在時間為 XP 時的失效部分，可得

在指數分配情況下

【例 14.18 】試驗一種原型車輛，其引擎電力系統失效發生時的里程如下：28,820;36,707;46128;68,345 。全部試驗里程為 72000 公里。求解行駛 12000 公里可靠度 90% 信賴下限為例。

下限為

再估計其中有 10% 的車輛發生失效時的里程數。

10% 失效發生的時間，有時稱為 B10壽命。

14.7 關於平均壽命的假設檢定

試驗開始使用 n 個樣品，在第 r 次失效停止試驗。

Ex14.19:

02,22

0

2

02,2

0

01

00

(2)

ˆ2(1)

1ˆ2

:

:

HXX

rX

Xr

PP

H

H

rc

c

ra

，則否定若

。計算

週次表示平均壽命大於因此否定 000,000,1

41.3143.57000,000,1

391,871,2)10(2ˆ2

000,000,1:

000,000,1:

0

20,05.02

0

2

1

0

H

Xr

X

H

H

c

14.8 完成壽命試驗所需的期望時間

在平均壽命和可靠度推定上，推定值的精確程度應該是試驗截略點 r 的函數，而非樣品數 n 的函數。無論是 r 個樣品試驗到全部失效，或是 n 個樣品試驗到 r 個失效發生，精確程度相同。

完成試驗的期望時間為 :

變異數

選擇失效數 r 大的樣本試驗。

r

ir intE

1 1

1)(

r

ir intV

12

2

)1(

1)(

表 14.12 n 中截取 r 次失效時間比值表

用 10 個樣品試驗到 5 個失效即停止 -0.283用 5 個樣品試驗到 5 個失效停止 -1

14.9 韋柏分配在統計學上的應用

韋伯分配之 p.d.f

可靠度與失效率函數

1

1

)()(

)()(

)(),;(

x

tR

tfxh

ex

xfx

0)()(

0)(

1

)(

tx

x

xexRx

【範例】經研發測試分析得知，某型軸承的運轉壽命分布屬於韋伯分配，形狀參數為 2.0 ，尺度參數為 1000 小時，試分析此軸承經運轉 100 小時後之產品可靠度與失效率。

0002.01000

100

1000

0.2)1000(

99.0)100(12

)1000/100( 2

eR

14.10.1 圖解估計法

韋伯分配之 CDF

取兩次自然對數。

透過轉換，讓累積分配轉換成線性形式

t

etF1)(

lnln))(1

1ln(ln

t

tF

ln))(1

1ln(ln

1ln

tFt

XY A

圖圖 14.1614.16

63.2%

Θ=190

14.10.2 最低壽命非零的情況

當最低壽命 δ>0 時，也可轉換 F(t) 成直線形式：

)ln()ln())(1

1ln(ln

t

tF

14.10.3 截略試驗的圖解分析

主要是針對樣本並未失效，因其它原因由試驗中剔除。

【課本範例】F2 的序號計算： j=3+2(2)/3=2.33中位等級 :

F3的序號計算 :j=4+4+3/3=3.667

461.04.04

3.033.2

4.0

3.0)ˆ(

n

itF

試驗時間 位置 中位等級

84 1 0.159

122 2.33 0.461

274 3.67 0.766

I II IIIF1 F1 F1

S1->F F2 F2

F2 S1->F F3

F3 F3 S1->F

14.10.3 截略試驗的圖解分析若同時有很多截略件，且出現在不同的位置，則使用新增量 (increment) 計算。

)(1

)()1(

剔除件以後的樣品數前序號數

n

I

計算第三個失效的新增量

第四個失效的序號 :3.29+1.29=4.58( 因為第三與第四之間沒有停試）

計算第五個失效的新增量

1.2961

2-1)(10I

剔除件之後n=3

60.131

4.58-1)(10I

【例 14.20 】利用一批車輛試驗其水泵的失效率，在停止試驗時，一共有四個失效，其餘則為所使用里程，但無失效發生。里程記錄資料列如 14.22 表。管理單位想知道此種水泵是否適合以之 24,000公里的保用期。

第一個失效之序號： 1.25

第二個失效之序號： 1.25+2.344=3.594

第三次失效之序號： 3.594+4.102=7.696

第四次失效之序號： 7.696+6.152=13.848

使用公里數 使用公里數4010 22112 4731 231104812 24020 ( 發生失效 )8657 2500412550 ( 發生失效 ) 2511214992 2600216121 26179 ( 發生失效 )16437 2684220740 30529 ( 發生失效 )21021

25.1151

0)119(

I

344.271

250.1)119(

I

102.471

594.3)119(

I

152.611

696.720

I

【範例 14.22 】有 100 輛警察巡邏車，經定期記錄車上所使用的某一引擎組件失效情況，其累積的失效紀錄如表。根據此項紀錄，試依韋伯分配進行分析。

第一組最後一個失效之序號： 3×1.217=3.651第二組最後一個失效之序號： 3.651+4×1.803=10.862第三組最後一個失效之序號： 10.862+3×2.731=19.056第四組最後一個失效之序號： 19.056+2×5.856=30.762第五組最後一個失效之序號： 30.762+1×14.048=44.810

217.1821

0)1100(1

I

048.1441

762.30101

856.5131

056.19101

731.2321

862.10101

803.1531

651.3101

5

4

3

2

I

I

I

I

-綜合測驗題 -

【 P.499-41 題】信賴區間為

,

【 P.500-42 題】

故信賴區間為

【 P.503-51 題】 【 0,10 】間之可靠度為

【範例 14.14 】八片彈簧板用加速反覆應力做壽命試驗，所得失效時週次紀錄 :

8712 39400 79000 151208 21915 54613 110200 204312平均壽命推定值為

故得 θ 的範圍

即

【範例 14.15 】就 15 個汽車交流電開關作壽命試驗，紀錄失效發生時的使用週次，在進行中當第五個開關失效時即停止，已失效的開關均不予更換。

1410 1872 3138 4218 6971

【補充】時間檢剔型數據分析 考慮 10 台 PC裝置於正常操作環境下，各執行 1000 小

時之可靠度試驗，試驗結果有兩台裝置失效，其失效時間分別為 771 及 835 小時，由平均失效間隔時間 (θ) 之基本定義得點估計值為

【範例 14.16 】 使用六輛半頓軍用小卡車，每輛行進 100,000公里實試，紀錄出某一預定類型的失效共為 84次。求平均失效里程的 90% 信賴區間。

故得信賴區間

5,967 公里≦ θ≦8,652 公里

完整數據型 (Complete)

失效檢剔型 時間檢剔型 (Type Ⅱ censored) (Type I

censored)