水平線

眼睛水平線水平線仰角俯角

視線

視線

一、角度、方位與簡易一、角度、方位與簡易測量測量

1. 仰角與俯角：物體與地心的連線稱做鉛垂

線，和鉛垂線垂直的線稱為水平水平線線，觀測高處或低處目標

時，視線與水平線所形成的夾角，分別稱作仰角和俯角。

本段結束本段結束

PBH BH x 中，設，

PAH PH AH 中，

( 3 1) 100x

100

3 1x

3PH x所求

3x

xA45 H

B60

100

P

30

2. 範例：欲觀測某大樓高度，在地面上的 A 點測得樓頂 P 的仰角為 45 ，面向大樓的方向前進 100 公尺到達

B 點再測得樓頂 P 的仰角為 60 ，求此大樓的高度?

解：設過 P 的垂直線交地面於 H ，

3PH x ，

13 00xx

50 3( 3 1)

50( 3 1)

50(3 3) 公尺。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

APB AB x 中，設，

3ACH CH PB x 中，，

3 2BC x x x

2 14x

3AC x所求 3x

xx

A

H

B

60

C

P

30

22xx

60

14

馬上練習 . 小新從家裡頂樓的窗口測得對面一棵大樹樹頂的俯角為 30 ，又樹底的俯角為 60 ，已知大樹的高度為 14 公

尺，求小新眼睛與地面的距離是多少 ?

解：設小新眼睛在 A 點，樹頂為 P ，樹底為 H ，

3PB x ，

3AC x ，

7x

21 公尺。

3x

＃＃

ACD如圖，中，由正弦定理得

20 3

2CD

C( 丙)

20

120A( 甲)

B( 乙)

45

D( 丁)

3. 範例：假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。

兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮

而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路

解： 20

45 12n 0sin si

CD

10 6 ( ) 公里。

的夾角為 4 5 ，試求丙、丁兩鎮間的距離。

20

20Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

150CB CD ，2

ABC AB 中，

50 7AB 所求。A D

B

60150C

3050

30

馬上練習 . 如右圖， A 、 B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。

某人在通往 A 點的筆直公路上，分別

距離 A 點 50 公尺的 C 點與距離 A 點 200 公尺的 D 點，

解： CBD CDB 30 　

測得 ACB 60 ， ADB 30，

17500 ，

= 502 1502 250150cos 60

求 A 與 B 的距離。

＃＃

150

北

東西

南

50

3070 60

A

B

DC

20

40O

4545

4. 方位：地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向，

除了東南西北四個主要方位之外，若要更精確則需配合角度，

例如： A 點的位於 O 點的北 30 東

B 點的位於 O 點的北 70 西

C 點的位於 O 點的南 40 西

D 點的位於 O 點的東 45 南 ( 或東南

方 ) ，

( 或西 50 南 ) ，

( 或西 20 北 ) ，

( 或東 60 北 ) ，


400 200OA OB ，，2

AB如圖，

200 3AB

A

B

15

O

45200400

5. 範例：氣象局測出在 20 小時期間，颱風中心的位置

試求颱風移動的平均速度 ( 四捨五入取整數 ) 。解：設恆春為 O ，則 AOB 6

0 ，

所求平均速度 = 346.4 20 17.32 17 (km / hr)。

2001.732 346.4

4002 2002 2400200cos60

由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南 15 西的 200 公里處，

2002 (4 1 2) 2002

3 ，


2 2 2200 3 12000 2 200 300 cosAB 如圖，

190000 。

100 19 ( )AB 所求公尺。

A B50

O

70200 300

解：

馬上練習 . 一汽艇在湖上沿直線前進，有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50 ，距離為 200 公尺。一分鐘後，於原地再測，知汽艇駛到正前方偏右 70 ，距離為 300 公

尺。那麼此汽艇在這一分鐘內行駛了多少公尺 ?

＃＃

: : 1: 5AF BF BD CD ，2 215 3BCD BC 中，

1

2

45CBO 。

13

A(27,8)

B(2,3)

O(0,0)O(0,0)

32

25

3

5

13 25

234

C D

F

E

解：

6. 範例：如右圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處，直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛

去，

試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度？

到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。

~ABF BCD 如圖，

234 ，213

1

234 13cos

2 3 234BCO CBO

中，

所求為左轉 45 。＃＃

角度

角度

二、三角函數值的二、三角函數值的求法求法1. 查表：常用的三角函數值表最左邊一行為介於 0 到 45 之

間的銳角度數，由上而下遞增，由最上一列查出對應這些角的函數值；表的右一列為介於 45 到 90 之間的銳角度

數，由下而上遞增，其所對應的函數值由最下一列查出。

為了使測量更精密，我們將 1 度分成 60 分，即 1 度 = 60 分， 1 分 = 60

秒。

1 分再分成 60 秒，以符號表示為 1 = 60' ， 1' = 6

0" 。

.0175

.0349

.6947

.7071

1

2

44

45

sin

cos

tan

cos

sin

tan

89

88

46

45

.9998

.9994

.7193

.7071

.0175

.0349

.9657

1.000

57.29

28.64

1.036

1.000

To be continued To be continued 查表查表

例如：欲查 sin44 之值，得 sin44 0.6947 。而查 cos46 之值時，亦得 cos46 0.694

7 。發現 sin44 和 cos46 的值是一樣的，

而查 cos4540' 之值時，亦得 cos4620' 0.6988 。

欲查 sin4420' 之值，得 sin4420' 0.6988 。

因為此兩角互為餘角的關係。

角度

角度

.0175

.0349

.6947

.7071

1

2

44

45

sin

cos

tan

cos

sin

tan

89

88

46

45

.9998

.9994

.7193

.7071

.0175

.0349

.9657

1.000

57.29

28.64

1.036

1.000


c 20osABAH 如圖：

11 0.9397( 1 .3 6) 0 3 7 查表，

sin 30A

HA

HAC

C 在中，

s 30inAC

AH

所求旗竿的長度 10.33

2

3671

20.6734 。A 東

B

30

10

60

西

H

C

6020

10

解：

故選 (3) 。

2. 範例：在與水平面成 10 的東西向山坡上，鉛直 ( 即與水平面垂直 )立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上

時，旗竿的影子長為 11 公尺，如右圖所示( 其中箭頭表示陽光投射的方

向，請問旗竿的長度最接近以下哪一選項？

(1) 19.1 (2) 19.8 (3) 20.7 (4) 21.1

而粗黑線段表示旗竿的影子 ) 。

(5) 21.7 公尺。

＃＃

(2) C BA A

由斜率斜率

0.580 5.5 4831 0.5831

43 50 04 40

k

30.5831 0.0023

10k

y = sinx

A (3540, 0.5831)

P(3543 , y ) B (3550, 0.5854)

C(3543 , k )

3. 內插法：若要查的三角函數值無法由查表求得，

範例： (1) 利用查表，求出 sin3540 與 sin3550 的值。(2) 利用 (1) 的結果，以內插法求 sin3543 的近似

值。

可仿照對數表的線性內插法來估算。

解： (1) 查表得 sin3540 0.5831 ，

故所求 y = sin3543 k

sin3550 0.5854 。

0.58379 0.5838 。

0.5838 。


(2) C BA A

由斜率斜率

0.7800. 87826 0.7826

38 3 400 30

k

，

0.7826 0.7826

38 30 3

0.78080.

4 0

78

0

17

，

0.000938 30 10

0.0018

故所求

y = cosx

A(3830, 0.7826)

B(3840, 0.7808)

C( , k )

P( , 0.7817 )

馬上練習 . 利用查表與內插法，求 cos = 0.7817 的銳角的近似值。解： (1) 查表得 cos3830 0.782

6 ，

0.7817k 其中。

38 35 。

cos3840 0.7808 。

＃＃

3AH h ， hBH ，

2 22 50 3co

( 3 )

3 22s30

h

h

h

h

。

50h 解之得。 B

AH 30

45

30

50

P

h

3h

三、三三、三角測量角測量1. 範例：自塔的正東方 A 點測得塔頂仰角為

30 ；而在塔的東 30 南 B 點測得塔頂仰角為 45 。

解：設塔高 h ，

已知 A 與 B 相距 50 公尺，求塔高。

ABH 中，

h


600PH AH 故所求。

BA

606045

600

P

60 60600600

60045

H

馬上練習 . 某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北 60 ，山頂的仰角為 4

5 ，某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的方位變成在西偏北 60 ，則山有多

高﹖解：如

圖， PAH 為等腰直角，

ABH 為正，

＃＃

1000 3 公尺的高度，

1000 3BCD CD 中，，

1000ACO CO 中，，

COD 中，

1000 2 。

100 2

10

0所求 100 2 ( ) 公尺

秒。

BA

O

45601000

1000 31000 3

C1000 3

D1000 2

2. 範例：小明發現正北方仰角 60 處有一架飛機，

等速朝東方飛行，經過 10 秒後

再測得飛機的仰角只有 45 ，問飛機的速度每秒多少公尺﹖

解：

且此架飛機正保持

＃＃

2 2(1000 3 1 0) 0 0OD

1 305

BC

sin

ABB

s nC

iA

中，

6 2400 100( 6 2)

4BC

。

sin 75BCD CD BC 中，

6 2100( 6 2) 100

4

。

100 200010CH 故所求。

3. 範例：有人於山麓測得山頂的仰角為 45 ，

再測得山頂的仰角為 75 。求山的高度。

解：

由此山麓循 30 斜坡上行 200 公尺，

100 3

B

H

C

75

200

4545A

100 100

300

100

D

3030

15

2001

2

400

＃＃

5( , 8)2

D 通知在的砲臺；

8 8

9 3分別為及。

8 8tan tan

9 3BCBAC A

8

2 98

( 4) 3

y

xy

x

又

2 25( ) 4

2

5( ) ( 8 )2

DC 故所求

O

y

xB(4, 0) A(2,

0)

5( , 8)2

D

C(x, y)

(x,0)

馬上練習 . 在坐標平面的 x 軸上有 A(2 , 0) ， B( 4 , 0) 兩觀測站，同時觀察在 x 軸上方的一目標 C

點，測得 BAC 及 ABC 之值後，此兩個角的正切值

求砲臺 D 至目標 C 的距離。

解：

C 較靠近 B 。

8 9 16

8 3 32

x y

x y

5

24

x

y

。

2 25 12 13 。＃＃

300OAAOH 中，，

150OH ，

22 12 0 505OBH BH 中，

200 。

200 200

50

所求 8 ( ) 小時。

4. 範例：根據氣象局發布的颱風消息，颱風目前的中心位置在鵝鑾鼻正南方 300 公里處，以每小時 50 公里的速度朝北 30 西等速直線前進，暴風半徑為 250 公里。如果此颱風的速度方向及暴

風半徑

解：

都不變，那麼鵝鑾鼻在暴風圈內前後共計多少小時﹖

B

A

O

303000

300

H

C250

150

250200

200


PQ QR 故。

O PH則為中點，

PQ Q kR 令，

ROH OH t 則中，，

3 3tan

2 2

tRPH

t 中，，

2 23 3tan ( )

2 4 故所求。

O

y

xP

30

R

H

k

k

60tt

Q3t 2t

馬上練習 . 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在 P 點，一分鐘後，其位置在 Q

點，且∠ POQ＝ 90 。再過一分鐘後，該物位置在 R 點，且∠ QOR＝ 30 。請以最簡分數表示 tan2(∠OPQ)＝ ___

__ 。解：因作等速直線運動，過 R 作垂線交 x 軸於

H ，

PO OH t ，

3RH t ，

＃＃

3PAH AH h 中，，

ABH BH h 中，，3

hBCH CH 中，，

2 22( 3 ) 30

30( )

2s

3co

hA

h

hBH

中

222( 3 )

3

50

5)

(

0

)3 (

2

h

Hh

ACh

中

10 15h 解之得。

B

A 30

30

60

45

h3h

3

h

h

P

C

H

20

且起初測得湖邊飯店頂的仰角為 30 ，

5. 範例：一船在湖面上直線前進，若船的行進方向與飯店不共線，

再前進 20 公尺後測得飯店頂的仰角為 60 ，求飯店的高度。解：設飯店高

h ，

前進 30 公尺後測得飯店頂的仰角為 45 ，

＃＃

30 , 50ACB AB 若公尺，

3AO BO C

hO ，

ABC 中，由正弦定理得

3

501

2

2h

50 3h 。

6. 範例：自地面上 A 、 B 、 C 三點，分別測得空中一氣球的仰角

求此氣球的高度。

解：設汽球高 h ，

皆為 60 。

50

302

sinR

B

C

A60

50

60

60

h

3

h 3

h

3

h

P

O

30

本章結束本章結束

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To be continued To be continued 注意注意

(1) 0f

(2) 0f

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水平線

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