Логика

117 ноября 2009 г.

Васинькина Н.Н., учитель информатики и ИКТ

МОУ «СОШ №51» г. Саратова

ЛогикаЛогикаПодготовка к государственной итоговой

аттестациипо информатике в 9 классе

2Содержание

СодержаниеСодержание• Логические выражения и логические операции

– Высказывания– Инверсия– Конъюнкция– Дизъюнкция– Приоритет выполнения логических операций– Составление таблиц истинности

• Задачи А9: Примеры 1, 2, 3, 4 • Задачи А7: Варианты 3, 4, 6, 7, 8, ifmo • Круги Эйлера• Задачи В10: работа поискового сервера.

Варианты 1, 2, 3, 4, 6, 8• Задачи А12: Цепочки бусин. Варианты 1, 2, 5, 6, 7• Законы де Моргана• Упрощение логических выражений: Примеры 1, 2, 3, 4, ifmo• Особенности формирования запросов. Пример• Задачи А23: Результаты работы запросов в Базах данных

Примеры 1 сп1, 1 сп2, 2 сп1, 2 сп2, 3• Источники информации

По фрагменту Табл.Ист. определить Какое выражение соответствует F?

Какое из названий удовлетворяет логическому условию


математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания

Булева алгебра Булева алгебра (Алгебра логики) – это:(Алгебра логики) – это:

Джордж Буль ( английский математик, XIX век) разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1(алгебра логики, булева алгебра).

Результат выполнения логической операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.


Логическое высказывание – это повествовательное предложение, про которое однозначно можно сказать: истинно оно или ложно.

Будут ли высказыванием следующие предложения?

Дважды два – четыре.

Рим – столица Франции.

Математика – любимый предмет.

Да здравствует Первое Мая!

Прелестно!

У неё зелёные глаза.

Ты сегодня пойдёшь в кино или в театр?

Логические высказыванияЛогические высказывания


A – Это утро ясное.

B – Это утро тёплое.простые высказывания

(элементарные)

простые высказывания (элементарные)

Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) "и", "или", "не"...

A и B

A и не B

не A или B

Это утро ясное и тёплое.

Это утро ясное и оно не тёплое.

Это утро не ясное или оно тёплое.

Обозначение высказыванийОбозначение высказываний

Любое высказывание либо ложно (0) либо истинно (1)


Если высказывание A истинно, то "не А" ложно,и наоборот.

А не А

1

0

0

1таблица

истинности операции НЕ

таблица истинности операции НЕ

также: ,not A (Паскаль),

также: ,not A (Паскаль),

Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

A А

Операция НЕОперация НЕ ( (инверсия, отрицание)инверсия, отрицание)


A B А и B

1

0 также: A·B, AB,AB, А&В,

A and B (Паскаль)

также: A·B, AB,AB, А&В,

A and B (Паскаль)

0 00 11 01 1

0

1

2

3

00

конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение

Высказывание "A и B" истинно тогда и только тогда, когда А и B одновременно истинны.

Операция ИОперация И ((логическое умножение, конъюнкция)логическое умножение, конъюнкция)


A B А или B

1

00 00 11 01 1

11

дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение

Высказывание "A или B" ложно тогда и только тогда, когда А и B одновременно ложны

Операция ИЛИОперация ИЛИ ((логическое сложение, дизъюнкция)логическое сложение, дизъюнкция)

также: A+B, A|B, AB, A or B (Паскаль),

также: A+B, A|B, AB, A or B (Паскаль),


Приоритет выполнения операцийПриоритет выполнения операций

• Выражение в скобках

• Инверсия

• Конъюнкция

• Дизъюнкция

• Операции отношения (<, >, ≤, ≥, =, ≠)


BBABAX

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

2

3

B

1

0

1

0

A

1

1

0

0

0

0

0

1

BA

0

1

0

0

1

1

1

1

1 23 45 6

A·B X

Составление таблиц истинностиСоставление таблиц истинности


A B C AB AC BC X0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

CBCABAX

0

1

2

3

4

5

6

7

00000011

00000101

00010001

00010111

Составление таблиц истинностиСоставление таблиц истинности

12

Содержание

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

1) ¬X/\¬Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X\/Y\/¬Z 4) X\/Y\/Z

1) 2) 3) 4)ZYХ ZYХ ZYX ZYX

Можно записать компактнее

Пр.1А9А9

13


X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

1) ¬X/\¬Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X\/Y\/¬Z 4) X\/Y\/Z

1) 2) 3) 4)

X Y Z

0 0 0

0 0 1

0 1 0

ZYХ ZYХ ZYX ZYX

Х Y ZYХ

1 1 0


14


X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

2) 3) 4)

X Y Z

0 0 0

0 0 1

0 1 0

ZYХ ZYX ZYX

Х Y ZYХ

1 1 1

1 1 1

1) ¬X/\¬Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X\/Y\/¬Z 4) X\/Y\/ZСодержание

15


X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

3) 4)

X Y Z

0 0 0

0 0 1

0 1 0

ZYX ZYX

Z

1 1

0 0

ZYX

1 1

ОТВЕТ

1) ¬X/\¬Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X\/Y\/¬Z 4) X\/Y\/ZСодержание

16

• Ответ найден, но…

• Для самоконтроля можно перепроверить случай 4)


17

X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

4) X\/Y\/Z

4)

X Y Z

0 0 0

0 0 1

0 1 0

ZYX

0

ZYX




Чему равно F?

X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1) X/\Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X/\Y/\¬Z 4) ¬X/\¬Y/\¬Z

Пр.2


1) 2) 3) 4)ZYX ZYХ ZYX ZYX

1) X/\Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X/\Y/\¬Z 4) ¬X/\¬Y/\¬Z

Ответ: 4

X Y Z F0 0 0 10 0 1 00 1 0 0




1) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z

2) X /\ ¬Y /\ ¬Z

3) X \/ Y \/ Z

4) X /\ Y /\ Z

Пр.3

X Y Z F

0 0 0 0

1 1 0 1

1 0 0 1



Пр.3

X Y Z F

0 0 0 0

1 1 0 1

1 0 0 1

X /\ Y /\ Z

X \/ Y \/ Z

X /\ ¬Y /\ ¬Z

¬X \/ ¬Y \/ ¬Z

4)

3)

2)

1)

ZYX ZYX

ZYX

ZYX

Ответ: 3


Пр.4Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

010110110010FZYX


1) ¬X \/ Y \/ ¬Z

2) X /\ Y /\ ¬Z

3) ¬X /\ ¬Y /\ Z

4) X \/ ¬Y \/ ZОтвет: 2


010110110010FZYX Какое выражение

соответствует F?

X \/ ¬Y \/ Z4)

¬X /\ ¬Y /\ Z3)

X /\ Y /\ ¬Z2)

¬X \/ Y \/ ¬Z1) ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

Ответ: 2


А7 А7 Вариант 3Вариант 3

Какое из приведённых названий животных удовлетворяет логическому условию:

В слове 5 букв /\ Четвёртая буква гласная?

Ответ: 3

1) Зебра2) Слон3) Кабан4) Олень

!!



Для какого имени ложно высказывание:

Первая буква гласная \/ Четвёртая буква согласная?

1) Петр2) Алексей3) Наталья4) Елена

Ответ: 3



Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:

Первая буква гласная /\ Четвёртая буква согласная \/ В слове 4 буквы?

1) Сергей2) Вадим3) Антон4) Илья

Ответ: 4


А7 А7 Вариант 7 Вариант 7 Для какого из названий животных Для какого из названий животных

ложноложно высказывание: высказывание:

В слове 4 гласных буквы /\ ¬(Пятая буква гласная) \/ В слове 5 согласных букв?

согласных5гласных4 Г5

1) Шиншилла2) Кенгуру

согласных5гласных4 С 5

3) Антилопа4) Крокодил


1) Шиншилла2) Кенгуру3) Антилопа4) Крокодил

4 гласных

5С &5

согласныхрезультат

0 0 0 1 1

0 0 0 0 0

1 1 1 0 1

0 0 0 1 1

Дизъюнкция … ложна, когда оба высказывания ложные

Ответ: 2

согласных5гласных4 С 5

!!



А7 А7 Вариант 8.Вариант 8.

•Для какого символьного набора истинно высказывание:

Вторая буква согласная /\ (В слове 3 гласных

буквы \/ Первая буква согласная)?

1) АББЕЖК

2) КАИЕЖЖ

3) ЖАБВЕИ

4) ИККРОЕ

Ответ: 4


Из интернет-олимпиады для Из интернет-олимпиады для 9 классов:9 классов:

Для какого символьного выражения неверно высказывание:«первая буква гласная ИЛИ пятая буква согласная»?

1.dbaac2.abcab3.babas4.abcde5.becde

Ответ: 5

ГССГСГ 515151

Удобно использовать закон де Моргана!


A

BA

A A /\ BА ∩ B

A

B

A \/ BА U B

Круги Эйлера (Диаграммы Вена)Круги Эйлера (Диаграммы Вена)


В10В10

• В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдёт поисковый сервер по каждому запросу.

• Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» − &.


1 живопись & литература

2 живопись | литература

3 живопись | литература | графика

4 живопись & литература & графика

В10 В10 Вариант1Вариант1

…номера запросов в порядке возрастания…

Ответ: 4 1 2 3




3 живопись | литература



…номера запросов в порядке возрастания количества страниц …

Ответ: 1 4 3 2


1 графика | литература



4 живопись & графика


…номера запросов в порядке возрастания количества страниц …

Ответ: 3 4 1 2




3 графика | литература



…номера запросов в порядке убывания количества страниц …

Ответ: 2 3 4 1


А12 А12 ВариантВариант11

• Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему правилу.

• В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, D, E. • В середине – одна из бусин B, C, E, которой нет

на последнем месте. • На первом месте - одна из бусин A, B, D, не

стоящая на втором месте.• Какая из перечисленных цепочек создана по

этому правилу?

1) ABB 2) DED 3) BAD 4) DEC

Ответ: 2



• В середине цепочки стоит одна из бусин A, D, E.• На третьем месте – одна из бусин A, B, C, E,

которой нет на втором месте.• На первом месте - одна из бусин A, B, D, не

стоящая на третьем месте.• Какая из перечисленных цепочек создана по этому

правилу?

А12 А12 Вариант2Вариант2

Ответ: 3

1) BEE 2) ADA 3) BAC 4) BCE



• В конце цепочки стоит одна из бусин W, X, Y, Z.• На середине – одна из бусин V, W, Z, которой

нет на последнем месте.• На первом месте - одна из бусин X, Y, Z, не

стоящая на втором месте.• Какая из перечисленных цепочек создана по



Ответ: 4

1) XZZ 2) ZXY 3) YWV 4) YWY


Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему правилу.

В начале цепочки стоит одна из бусин A, B, E. На втором месте – одна из бусин B, D, E, которой

нет на третьем месте. На третьем месте - одна из бусин A, B, C, D, не

стоящая на первом месте.• Какая из перечисленных цепочек создана по



Ответ: 3

1) ADE 2) AAE 3) BED 4) ADA



• В середине цепочки стоит одна из бусин A, C, D, E.

• На первом месте – одна из бусин A, B, D, E, не стоящая в конце.

• На третьем месте - одна из бусин B, C, E, которой нет на втором месте.

• Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?


Ответ: 1

1) AAB 2) BEB 3) ACC 4) DCA


Законы алгебры логики

название для И для ИЛИправила де Моргана

BABA BABA

BB Закон двойного отрицания:


Упрощение логических выражений

Какое логическое выражение равносильно

выражению ¬ (А \/ ¬B) ?

1) A \/ B 2) A /\ B 3) ¬A \/ ¬B 4) ¬A /\ B

Ответ: 4

Решение.

¬ (А \/ ¬B) = BABABA

Пр.1


• Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (¬А /\ B)

1)A \/¬B 2)¬A \/ B 3)B /\ ¬A 4)A /\ ¬B

Упрощение логических выражений Пр.2

Ответ: 1

Решение.

¬ (¬ А /\ B) = BАВAВA


Какое логическое выражение равносильно

выражению ¬ (¬A \/ B) \/ ¬C?

1) (A /\ ¬B) \/ ¬C

2) ¬A \/ B \/ ¬C

3) A \/ ¬B \/ ¬C

4) (¬A /\ B) \/ ¬C

Пр.3


Для какого из указанных значений числа X истинно выражение

(X>2) & ((X<4) \/ (X>4))?

1)1

2)2

3)3

4)4

(X>2) (X<4) (X>4) ((X<4) \/ (X>4) результат

0 0

0 0

1 1 1 1

1 0 0 0 0

Ответ: 3

Пр.4


10 класс10 класс

Для какого числа X истинно высказывание

X>1 /\ ((X<5) → (X<3))

1)1 2)2 3)3 4)4


Особенности формирования запросовОсобенности формирования запросов

• Формализация условий поиска: создание логических выражений. Например,

Выбрать всех неуспевающих по физике:Физика <3

• В БД «Библиотека» найти информацию о книгах Л.Н.Толстого и А.С.Пушкина

Автор = «Толстой» и Автор = «Пушкин»

Автор = «Толстой» или Автор = «Пушкин»


1)5 2)2 3)3 4)4

71311423Пират6

171412333Химик5

2515063Звезда4

71316414Опушка3

71318306Авангард2

5918135Боец1

МПМЗОПНВКомандаМесто

• A23 Сколько записей в нижеследующем фрагменте турнирной таблицы удовлетворяют условию«Место <=5 И (В>4 ИЛИ MЗ>12)» ?

Ответ: 4

!!!!!!

!!

Пр.1 Пр.1 1 способ 1 способ


«Место <=5 И (В>4 ИЛИ MЗ>12)»

1. «И» - ПЕРЕСЕЧЕНИЕ множеств I и II выполняется в послед очередь =>

2. Ищем записи множества II только в первых 5 строках множества I (где Место <=5 )

3. Множество II – результат «ИЛИ» =>4. Необязательно рассматривать оба поля,

если условие первого поля уже истинно

Пр.1 2 способПр.1 2 способI II


1)5 2)2 3)3 4)4

71311423Пират6

171412333Химик5

2515063Звезда4

71316414Опушка3

71318306Авангард2

5918135Боец1

МПМЗОПНВКомандаМесто

A23 Сколько записей в нижеследующем фрагменте турнирной таблицы удовлетворяют условию«Место <=5 И (В>4 ИЛИ MЗ>12)» ?

Ответ: 4

!!!!!!

!!

Пр.1 2 способПр.1 2 способ


Сколько записей в нижеследующем фрагменте турнирной таблицы удовлетворяют условию

«Место <=4 И (Н>2 ИЛИ О>6)»?

Место Участник В Н П О

1 Силин 5 3 1 6 ½

2 Клеменс 6 0 3 6

3 Холево 5 1 4 5 ½

4 Яшвили 3 5 1 5 ½

5 Бергер 3 3 3 4 ½

6 Численко 3 2 4 4

1)5 2)2 3)3 4)4Ответ: 2

!!

!!

Пр.2 1 способПр.2 1 способ

Пр.2


«Место <=4 И (Н>2 ИЛИ О>6)»?

Место Участник В Н П О

1 Силин 5 3 1 6 ½

2 Клеменс 6 0 3 6

3 Холево 5 1 4 5 ½

4 Яшвили 3 5 1 5 ½

5 Бергер 3 3 3 4 ½

6 Численко 3 2 4 4

1)5 2)2 3)3 4)4 Ответ: 2

!!

!!

2 способПр.2


В табличной форме представлен фрагмент базы В табличной форме представлен фрагмент базы данных о результатах тестирования учащихся данных о результатах тестирования учащихся

(используется стобалльная шкала):(используется стобалльная шкала):

Фамилия Пол Математика

Русский язык

Химия Информатика

Биология

Аганян ж 82 56 46 32 70

Воронин м 43 62 45 74 23

Григорчук м 54 74 68 75 83

Роднина ж 71 63 56 82 79

Сергеенко ж 33 25 74 38 46

Черепанова ж 18 92 83 28 61

Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию

«Пол=’м’ ИЛИ Химия>Биология»?

!!!!

1)5 2)2 3)3 4)4 Ответ: 4

!!!!

Пр.3


Источники информацииИсточники информации• «Преподавание базового курса информатики в средней

школе»: Методическое пособие/ И.Г.Семакин, Т.Ю. Шеина. – 3-е изд, испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

• «ЕГЭ 2010. Информатика. Типовые тестовые задания / П.А. Якушкин, В.Р. Лещинер, Д.П. Кириенко». – М.: Издательство «Экзамен», 2010

• Информатика: Учеб. Пособие для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений / Л.З. Шауцукова. – М.: Просвещение, 2003.

• Презентация Полякова К.Ю. «Логические основы компьютеров». 2007г. http://kpolyakov.narod.ru/school/ppt.htm

• Демоверсии ЕГЭ 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009 г.г.

Логика

Documents