基本概念

连续性 偏导数存在

方向导数存在 可微性

1. 多元函数的定义、极限 、连续、偏导、可微、方向导数、梯度

2. 几个基本概念的关系

0,0

0,)(),(

22

22

2322

22

yx

yxyx

yx

yxf

在点 (0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .

证明 :

设

其中 f 与 F 分别具

有一阶导数或偏导数 , 求

tdt

teyxe

zxxyx

0

sin,2

有连续的一阶偏导数 ,

及 分别由下两式确定

求

又函数设

多元函数微分法的应用1.在几何中的应用

求曲线在切线及法平面( 关键 : 抓住切向量 )

求曲面的切平面及法线 ( 关键 : 抓住法向量 )

2. 极值与最值问题• 极值的必要条件与充分条件

• 求条件极值的方法 ( 消元法 , 拉格朗日乘数法 )

• 求解最值问题

3. 在微分方程变形等中的应用

求曲线

04532

03222

zyxxzyx

在点 (1,1,1) 的切线与法平面 .

求函数 在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线

在该点切线方向的方向导数 ;2

3

2 1

x t

y t

z t

求旋转抛物面 与平面

之间的最短距离 .

已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),

试在椭圆

上求一点 C, 使

△ABC 面积 S△最小 .

)0,0(149

22

yxyx

设二阶偏导数连续的函数 满足

令

求 所满足的方程。

已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),

试在椭圆

上求一点 C, 使

△ABC 面积 S△最小 .

)0,0(149

22

yxyx

空间平面

一般式

点法式

截距式 1cz

by

ax

三点式 0

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

空间直线与平面的方程

为直线的方向向量 .

空间直线一般式

对称式

参数式

00

2222

1111DzCyBxADzCyBxA

0

0

0

x x mt

y y nt

z z p t

),,( 000 zyx

),,( pnms 为直线上一点 ;

面与面的关系

0212121 CCBBAA

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

平面

平面

垂直 :

平行 :

夹角公式 :

线面之间的相互关系

),,( ,0: 222222222 CBAnDzCyBxA

021 nn

21

21θcosnn

nn

,1

1

1

1

1

11 p

zzn

yym

xxL

：直线

0212121 ppnnmm

,2

2

2

2

2

22 p

zzn

yym

xxL

：

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

线与线的关系

直线

垂直 :

平行 :

夹角公式 :

),,( 1111 pnms

),,( 2222 pnms

021 ss

21

21cosss

ss

Cp

Bn

Am

平面 :

垂直：

平行：

夹角公式：

面与线间的关系

直线 :

),,(,0 CBAnDCzByAx

),,(, pnmsp

zzn

yym

xx

0ns

0ns

ns

ns sin

过直线

0

0:

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAL

的平面束

)( 1111 DzCyBxA 0)( 2222 DzCyBxA

方程

0, 21 不全为

1

2

平面束方程

的距离为到平面 ： A x+B y+C z+D = 0

),,( 0000 zyxM

d

0M

1M

n

kji

到直线

的距离为

222

1

pnm 010101 zzyyxx

pnm

d

s

sMMd

10 ),,( pnms

),,( 1111 zyxM

),,( 0000 zyxM

求过点 且与两直线

都相交的直线 L.

r

直线 绕 z 轴旋转一周 , 求此旋转

转曲面的方程 .

提示 : 在 L 上任取一点 旋转轨迹上任一点 ,

L

x

o

z

y

0MM

则有z

22 yx

得旋转曲面方程1222 zyx

r