吉林大学远程教育课件

主讲人 : 杨凤杰 学 时： 64

(第十二讲 )

离散数学

第三章 谓词逻辑§3.1 谓词逻辑的基本概念3.1.1 谓词和量词命题逻辑研究的基本元素是命题。命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。 因此，用这样简单的手段，很多思维

过程不能在命题逻辑中表达出来。例如，逻辑学中著名的三段论： 凡人必死 张三是人 张三必死在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。

因为，如果用 P 代表 “凡人必死” 这个命题， Q 代表 “张三是人”这个命题， R 代表 “张三必死”这个命题，则按照三段论， R 应该是 P和 Q 的逻辑结果。但是，在命题逻辑中， R 却不是 P 和 Q 的逻辑结果，

因为公式 PQR 显然不是恒真的，解释{P ， Q ， R} 就能弄假上面的公式。

发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，即 PQR ，使 R 成为一个与 P ， Q 无关的独立命题。因此，取解释时，可将 P ， Q 取真，R 取假，从而弄假公式 PQR 。 但是，实际上命题 R 是和命题 P ， Q 有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。因此，对命题的成分、结构和命题间的共同特性等需要做进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。在谓词演算中，可将命题分解为谓词与个体两部分。例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张

三”是主语，称为个体。

定义 3.1.1 可以独立存在的物体称为个体。（它可以是抽象的，也可以是具体的。）如人、学生、桌子、自然数等都可以做个体。在谓词演算中，个体通常在一个命题里表示思维对象。 定义 3.1.2 设 D 是非空个体名称集合，定义在 Dn

上取值于 {1 ， 0} 上的 n 元函数，称为 n 元命题函数

或 n 元谓词。其中 Dn 表示集合 D 的 n 次笛卡尔乘积。

一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。 0 元谓词中无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。

于是，用谓词的概念可将三段论 做如下的符号化： 令

H(x) 表示 “ x 是人”， M(x) 表示 “ x 必死”。 则三段论的三个命题表示如下： P ： H(x)M(x) Q ： H( 张三 ) R ： M( 张三 )那么，在命题逻辑的基础上，仅仅引进谓词的概念是否就可以了呢 ? 下面的例子说明，仅有谓词还是不够的。例如我们想得到 “命题” P 的否定 “命题”，应该

就是“命题” P 。

但是， P=(H(x)M(x)) =(H(x)M(x)) =H(x)M(x)亦即，“命题” P 的否定 “命题”是 “ 所有人都不死”。这和人们日常对命题 “所有人都必死”的否定的理解，相差得实在太远了。其原因在于，命

题 P 的确切意思应该是： “对任意 x ，如果 x是人，则 x 必死”。

但是 H(x)M(x) 中并没有确切的表示出 “对任意 x” 这个意思，亦即 H(x)M(x) 不是一个命题。因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进 “对任意 x” 这个语句，及其对偶的语句 “存在一个 x” 。

定义 3.1.3 语句 “对任意 x” 称为全称量词，记以 x；语句 “存在一个 x” 称为存在量词，记以 x 。 这时，命题 P 就可确切地符号化如下： x(H(x)M(x)) 命题 P 的否定命题为：P=(x(H(x)M(x))) =x(H(x)M(x))亦即 “有一个人是不死的”。这个命题确实

是 “所有人都要死”的否定。

有了谓词和量词的概念，就可以 建立起谓词逻辑了。三段论的三个命题，在谓词逻辑中是如下这样表示的： P ： x(H(x)M(x)) Q ： H( 张三 ) R ： M( 张三 ) 以后可以证明：在谓词逻辑中， R 是 P 和

Q 的逻辑结果。

设 G(x) 是一元谓词，任取 x0D ，则 G(x0) 是一个命题。于是 xG(x)是这样一个命题 “对任意 xD ，都有 G(x)” 。故对命题 xG(x) 的真值做如下规定是自然的。 xG(x) 取 1 值对任意 xD ， G(x) 都取 1 值；xG(x) 取 0 值有一个 x0D, 使 G(x0) 取 0 值。 类似地， xG(x) 是命题 “存在一个 x0D ，使得 G(x0) 成立”。对命题 xG(x) 的真值规定如下： xG(x) 取 1 值有一个 x0D, 使 G(x0) 取 1 值；xG(x) 取 0 值对所有 xD ， G(x) 都取 0 值。

对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词作用之下。则它就不再是命题函数，而是一个命题了。但是，这种命题和命题逻辑中的命题毕竟有所不同。因为终归这种命题里还有变量，当然这种变量和命题

函数中的变量还有区别。因此，使用量词时应注意以下几个问题

1. 量词的论域，即 D 中都有那些元 2. 在多重量词时 , 应注意量词的顺序； 3. 量词的作用域。

3.1.2 改名规则定义 3.1.4 在一个由谓词，量词，逻辑联结词，括号组成的有意义的符号串 ( 实际是指下一节将严格定义的公式 ) 中，变量的出现说是约束的，当且仅当它出现在使用这个变量的量词范围之内；变量的出现说是自由的，当且仅当这个出现不是约束的。例如， x(P(x ， y)Q(x ， z))R(x) 。从左向右算起，变量 x 的第一，第二次出现是约束的，第三次出现是自由的；变量y ， z 的出现是自由的。

定义 3.1.5 变量说是约束的，如果至少一个它的出现是约束的；变量说是自由的，如果至少一个它的出现是自由的。 由定义可以看出一个变量可以既是约束变量又是自由变量。 例如，上例中的 x 既是约束变量，又是自由变量； y ， z 只是自由变量。 显然， xG(x) 与 yG(y) 的真值一样，xG(x) 与 yG(y) 的真值一样，亦即，谓词逻辑中的命题的真值，与命题中的约束变量的记法无关。这就引出了谓词逻辑中

的改名规则。

在由谓词，量词，逻辑联结词，括号组成的有意义的符号串( 实际是下节定义的公式 ) 中，我们可将其中出现的约束变量改为另一个约束变量，这种改名必须在量词作用区域内各处以及该量词符号中实行，并且改成的新约束变量要有别于改名区域中的所有其它变量。显然改名规则不改变原符号串的真值。

例如，对于 x(P(x ， y)Q(x ， z)) ，可改名为 u(P(u ， y)Q(u ， z)) 。 但下面的改名都是不对的： a. u(P(u ， y)Q(x ， z)) b. x(P(u ， y)Q(u ， z)) c. u(P(x ， y)Q(x ， z)) d. y(P(y ， y)Q(y ， z)) e. z(P(z ， y)Q(z ， z))因此，在谓词逻辑中的一个表达式里，我们总可

以通过改名规则，使得该表达式中所有的约束变量都不是自由变量，于是所有的自由变量也都不是约束变量了。以后的讨论，我们总是在这种假定下进行。