ГрафыХочешь знать

больше?

Математические чтения

Задача

. Винни-Пух решил навестить своих друзей: Пятачка, Кролика и Иа-Иа. Ему обязательно нужно побывать у каждого из своих друзей и вернуться домой. Если он к кому-то не зайдет, то его друг обидится. Но вы же знаете Винни-Пуха: он не любит длительных путешествий. Помогите ему выбрать кратчайший путь, если известно, как расположены домики друзей и на каком расстоянии они находятся друг от друга

Решим, построив граф:

В-К-П-И-В=60+50+55+30=195;В-К-И-П-В=60+45+55+40=200;В-И-К-П-В=30+45+50+40=165.

Ответ: самый короткий путь Винни-Пуха: В-И-К-П-В=165

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год), хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг

Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном

Леонард Эйлер (1707—1783гг.)Математик, механик, физик и астроном. Ученый необычайной широты интересов. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. Л.Эйлер по происхождению швейцарец. В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской академии наук (в 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почетным членом Петербургской Академии наук).

Графы широко используются в технике и естественных науках

Граф метаграмм

Графы используют филологи

Турнирное дерево чемпионата Европы по футболу 2008 г.

Генеалогическое древо

Схема линий москов-ского метропо-литена

Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова

« графио » - пишу.

Наверное, все помнят с детства, что очень популярна была следующая задача: не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “открытый конверт”

Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: “можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?”.

Некоторые понятия теории графов

Точки А, Б, В, Г, Д называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки — ребрами графа.

Заметим, что если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно

n(n-1)/2

Cтепень вершины - количество ребер графа, исходящих из этой вершины.

Вершина называется нечетной - если степень этой вершины нечетная, четной - если степень этой вершины четная.

Закономерность 1 Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из

них на 1 меньше числа вершин этого графа. Закономерность 2

Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа. Эта закономерность справедлива не только для полного, но и для любого

графа. Закономерность 3 Число нечетных вершин любого графа четно. Закономерность 4 (вытекает из рассмотренной нами

закономерности 3). Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

Вернемся к задаче о кенигсбергских мостах:

Теперь понятно, что и более громоздкие задачи, например задачу о 15 мостах, можно легко решить при помощи графов

Задача о 15 мостах

Задача Льюиса Кэрролла. В различных домах живут три поссорившиеся между собой соседа. Недалеко от их домов имеются три колодца: один с водой, другой с маслом, а третий с повидлом. Можно ли от каждого дома проложить к каждому из колодцев тропинку так, чтобы никакие две из них не пересекались?

Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей.

Материал подготовила ученица

8 – А класса Белицкая Елена

2008 – 2009 учебный год