小波轉換之介紹

大綱 簡介 時域訊號分析與短時間傅立葉轉換 小波轉換 小波轉換的實現 結論

簡介 小波應用於數據收集，影像處理和時域頻譜分

析。 小波轉換 (WT) 較多應用在分析時間頻率的離

散訊號。 透過描述短時間傅立葉轉換 (STFT) 分析時間

頻率訊號的理論和限制， WT 可修改和替代 STFT 。

WT 起源於數學界，因此它有廣泛的數學理論。

時域訊號分析與短時間傅立葉轉換 (STFT)

傅立葉轉換普遍被當作訊號分析工具。它是現代訊號處理的基礎。傅立葉轉換及其逆的定義如下：

反轉換可以概括為正弦和餘弦函數：

f(t) 為待轉換的時域訊號

傅立葉轉換對於穩定訊號是理想分析。 對於非平穩訊號分析，則使用短時間傅立葉轉

換 (STFT) ，它可對局部時域訊號作分析。 STFT 針對非平穩訊號引進一個窗形函數，來

取得時間與頻域之訊息。

g(t) ：窗形函數 s(t) ：原始訊號

STFT 利用窗形函數 g(t) 在時間上移動，對訊號作加權，取得此時段的局部訊號。

以傅立葉轉換對窗形內的訊號作處理，在利用位移參數 τ 改變視窗的位置。依序對不同時段的訊號作傅立葉轉換。

選擇短的窗形解析度更好且取樣數減少。 Δt 與 Δf 是窗形函數在時間與頻率的解析度，

根據不確定定理可寫成：

Δt 愈小時，表示窗形函數在時域的解析度較佳，但相對的 Δf 就會變大。

在整個分析中，這兩個常數保持不變，因此時間與頻率的解析度也不會改變。

STFT 與小波轉換相比較下，小波轉換具有良好的時域 - 頻域解析特性。

時間與頻率解析度交換的例子

雖然有所限制，但 STFT 還是適用於許多問題。一但訊號需由高解析度或未知的訊號所組成，替代 STFT 的技術是必須的。

小波轉換 小波轉換的基底具有彈性的時間與頻率特性，

它在低頻時基底會變寬，可取得較多的時域訊息；而在高頻時其基底會變窄，能取得較多頻域訊息。

先前 STFT 的方程式可用一通用公式表示：

而小波將頻率變量 ω 與時間移動參數 τ ，分別以 a( 尺度參數 ) 、 b( 平移參數 ) 作為代表。可將小波表示為：

帶入方程式 7 可得到連續小波轉換 (CWT) 的定義：

WT 分解訊號 s(t) 到一組加權過的比例小波函數 h(t) 。

小波在高頻持續時間有限，在低頻持續時間相對較長。這種可變窗形的特點，適合分析窄高頻與長低頻。

CWT 作為時間比例轉換有三個尺寸表示在 log(a) ， b 半平面。

log(a) 軸 ( 尺度 ) 面朝下和 b 軸 ( 時間位移 ) 面朝右。 log(a) 代表點數， b 半平面代表灰度強度。

時間改變從左至右，降低頻率從上到下。

轉換調頻測試訊號

圖 2c 和圖 9b 可以看到類似的結果，區別這兩者方法，小波轉換是由時間尺度解釋結果，而STFT 則在時間頻率解釋。

由圖 9c 看出，相位常數存在清楚的線條。分離這些相位常數線依靠於訊號的頻率和獨立的小波的選擇。

通過測量這些分離相位線，訊號頻率可明確判斷 STFT 時間頻率和小波時間尺度的關聯。

通過使用尺度窗形函數， WT並沒有克服不確定性，但通過增加窗形長度，可實現解析度的增加。

圖 11顯示的大小和相位曲線， WT已明確分開的訊號成分。

圖 11b 可以看出局部的時間在高頻率，訊號位置不連續處清晰可見。

小波轉換的實現 兩種最常見的 WT ： 離散小波轉換（ DWT）利用圖像處理和數據壓縮。

小波取樣使用時間尺度頻譜判斷。

離散小波轉換 小波通過使用數位電腦轉換取樣訊號。由於這

個原因，連續小波轉換 (CWT) 取代 DWT 。 部分波段分解的數位濾波器等效 DWT 。該濾

波器結構通常具有部分波段分解和 DWT執行，有效利用樹狀結構如圖 12 。

通過使用正交鏡像濾波器（ QMF）可以近似完整的頻率範圍。

每個階段的樹狀結構，訊號平分到它的高、低高頻成分。過濾後，這兩個成分包含過多信息，而且每個成分的抽樣是有效的，分解這兩個因素之外不會失去任何信息。

樹狀結構過濾器在連續分佈帶通濾波器對延伸對數頻率，如圖 13 ，該過濾器結構，相當於連續小波轉換訊號的取樣，連續的八度音尺度值。

小波轉換等同於帶通濾波器的函數。如果小波反覆地擴大這兩個因素，對數頻率將會互相覆蓋。

取樣刻度 上面所述在八度音分析有一些應用，包括數據壓縮和影像處理，但結果不會比不上使用 STFT產生的頻譜曲線。

覆蓋時間 - 頻率平面由 DWT抽樣有效但是分散。

圖 14a顯示由圖 12樹狀結構產生的時間 - 頻率取樣網格。抽樣由每個八度音的兩個因素產生如圖 12 ，一半的取樣點在連續八度音如圖14a 。

要產生能和 STFT 譜圖相比的尺度曲線，必須參考連續小波變換公式：

其中 n 是訊號的取樣數 Ts 是取樣間隔。從這個公式可以看出，在所有值的尺度參數 a ，產生 n 個取樣點，即沒有時域抽樣發生在八度音之間。也可以看出 a 是不受約束的，它可以採用任何離散值允許八度音分析進行細分。

這些細分八度音通常稱為聲音。

其中 j 是八度音數， m 是聲音數， M 是每八度音的聲音數。圖 14b顯示使用倍頻的聲音數產生時間尺度網格。

取樣密度沿水平時間軸決定取樣頻率的訊號開始轉換並且由八度音降低垂直坐標聲音數。

使用適當密集的網格可使尺度圖的外觀類似典型的 STFT 頻譜圖。

計算量 基於快速傅立葉變換 (FFT) ，通過分析 CWT

在傅立葉域的基本迴旋運算 ， CWT 透過簡單乘法運算實現：

　　為傅立葉轉換的連續小波轉換。 　　為傅立葉轉換的小波。 　　為傅立葉轉換的輸入訊號。 這個方程式可作為基於 FFT 的快速小波變換，

可用圖表表示。

實際上，分析 的取樣數（約 2秒內 8 kHz 的取樣率）超過 700次，較不複雜的計算使用快速小波變換運算法，而不是直接執行WT 。

基於 FFT 的快速小波轉換和其他同等的快速算法較節省計算，而且即時分析變得更為實際。

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結論本文介紹的小波理論是透過 WT 與古典傅里葉

轉換之間的關係以及其衍生的 STFT 。 之前有很多論文描寫小波基礎數學問題。本文

是介紹小波，進而導讀更多的理論文章。 WT 的離散形式，從 CWT 和直接從 DWT 。

雖然 WT 比 STFT 性能更好，增加這種性能將導致增加複雜的解釋。