温故：3.1.1 方程的根与函数的零点1 、函数的零点的概念2 、零点存在判定法则3 、零点个数的求法

1 、函数的零点的定义： 使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点（ zero point ）

结论 :

( ) 0

( )

( )

f x

y f x x

y f x

方程 有实数根函数 的图象与 轴有交点函数 有零点

( ) [ , ]f x a b

如果函数y= 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b)<0,

那么，函数y=f (x)在区间（a, b）内有零点，即存在c (a, b),使得f (c)=0,这个c也就是方程f (x)=0的根.

2 、零点存在判定法则

如何寻找函数数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数？

求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点

新课——如何寻找零点？

3. 零点个数的求法：

问题

查找线路电线、水管、气管等管道线路故障

每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于：

一场暴雨，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，已知线路全长为 10km ，如何迅速查出故障所在？

方法分析：

实验设计、资料查询； 是方程求根的常用方法！

3.1.2 用二分法求方程的近似解

例 1( 补 ) 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点( 即求方程 lnx+2x-6=0 的实数根 , 精确度为 0.01)

n a ba+b

2b-a f a f b f

a+b

2

0 2.00000 3.00000 2.50000 1.00000 -1.30685 1.09861 -0.083711 2.50000 3.00000 2.75000 0.50000 -0.08371 1.09861 0.511602 2.50000 2.75000 2.62500 0.25000 -0.08371 0.51160 0.215083 2.50000 2.62500 2.56250 0.12500 -0.08371 0.21508 0.065984 2.50000 2.56250 2.53125 0.06250 -0.08371 0.06598 -0.008795 2.53125 2.56250 2.54688 0.03125 -0.00879 0.06598 0.028626 2.53125 2.54688 2.53906 0.01563 -0.00879 0.02862 0.009927 2.53125 2.53906 2.53516 0.00781 -0.00879 0.00992 0.00057

几何画板

解 : 用计算器或计算机作出的图象和对应值表从图象和对应值表中看出 f(x)= lnx+2x-6 在(2,3) 内有一个零点 . 由于函数在定义域内是增函数 , 所以它仅有一个零点 .

由上表可知 , 该函数的零点的近似值为 2.53125

3.1.2 用二分法求方程的近似解

例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 ( 精确到 0.1).

解 : 令 f(x)= 2x+3x-7, 则把问题转化为求函数的零点 , 用二分法

例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 ( 精确到 0.1).

方法三：画出 y=lnx 及 y=-2x+6 的图

象

方法一：用计数器或计算机作出 x,f(x) 的对应值表

方法二：用几何画板作出函数 y=f(x) 的图象

用《几何画板》软件，演示

用《 EXCLE 》软件，演示

练习 借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到 0.1 ）

732 xx

解 原方程即 令

0732 xx

732)( xxf x

x 0 1 2 3

f(x) -6 -2 3 10

例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 ( 精确到 0.1).方法二：用几何画板作出函数 y=f(x) 的图象

观察表可知 f(1)·f(2)<0 ，说明这个函数在区间 (1,2) 内有零点0x

取区间 (1,2) 的中点 ，然后用计算器算得 f(1.5)≈0.33. 因为f(1)·f(1.5)<0, 所以

5.11 x

)5.1,1(0 x

再取区间 (1,1.5) 的中点 ，然后用计算器算得 f(1.25)≈-0.87. 因为 f(1.25)·f(1.5)<0, 所以

25.11 x

)5.1,25.1(0 x

同理可得

由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1

)4375.1,375.1(

),5.1,375.1(

0

0

x

x

此时区间 (1.375,1.4375) 的两个端点精确到 0.1 的近似值都是 1.4,所以原方程精确到 0.1 的近似解为 1.4

左端点 右端点第一次第二次第三次第四次第五次

1 2

1 1.5

1.25 1.5

1.375 1.5

1.375 1.4375

给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似解的步骤如下：

那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤

, 给定精确度 ； ⑴确定区间 [a,b],验证 ( ) ( ) 0f a f b ⑵求区间 (a,b) 的中点 ；1x⑶计算 f( ）；1x①若 f( 1x )=0，则 1x 就是函数的零点；

②若 1( ) ( ) 0f a f x ，则令 b= 1x ( 0 1( , )x a x )；此时零点③若 1( ) ( ) 0f x f b ，则令 a= 1x (此时零点 0 1( , )x x b )；

⑷判断是否达到精确度：即若 |a-b|< ,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵ ~ ⑷

小结

这节课你学到了什么吗？有什么收获吗？

—— 二分法求方程的根

二分法 对于区间 [a,b] 上连续不断、且 f(a)f(b)<0的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（ bisection ）

抽象概括 :

利用二分法求方程实数解的过程如右

选定初始区间

取区间的中点

中点函数值为零

M

N

结束

是 否

是否

练习：已知关于 x 的方程 lg(kx)=2lg(x+1) 有且仅有一个实数解，求实数 k 的取值范围 。

练习点评

解：原方程可化为： lg(kx)=lg(x+1)2, 它等价于

有且仅有一个实数解

⑴ 方程有两个相等的实根，此根大于－１，且不为０，令 f(x)=x2+(2-k)x+1 ，则　　　　　　　　　求得 k=4

⑵ 方程有二根，一个大于－１，一个小于－１，则 f(-1)<0 ，解得 k<0

所以 k 得取值范围是 k<0 或 k=4

练习；关于 x 的方程 lg(kx)=2lg(x+1) 有且仅有一个实数解，求实数 k 的取值范围 。

22

01

1 0(2 )) 1 0

( 1)

kxx

xx k x

kx x

2(2 ) 4 0

21

2

k

k