المصفوفات

إعداد

صباح عبد الله عبد مدرس المناهج وطرق تدريس العظيم

الرياضياتكلية التربية – جامعة السويس

تعريف المصفوفة

هي جدولة لمجموعة من العناصر موضوعة علي هيئة صفوف أفقية وأعمدة رأسية بين قوسين من النوع )

)

مثال

مص-نع جل-ود ينتج ثالث-ة أن-واع من المص-نوعات الجلدي-ة: الن-وع األول من األحذي-ة والث-اني من الش-نط والث-الث من األحزم-ة ف-إذا ك-ان للمص-نع فرع-ان

أ ، ب وكان متوسط اإلنتاج اليومي من كل نوع في كل فرع كاآلتي:

150 ش--نطة ، 200 ح--ذاء ، 110الف--رع أ : ينتج حزامNا

120 ش-نطة ، 180 ح-ذاء ، 140الف-رع ب : ينتج حزامNا

ضع البيان---ات الس---ابقة في ص---ورة مص---فوفة بطريقتين مختلفتين واذكر نظم كل مصفوفة

الحل

يمكن ترتيب البيانات السابقة في جدول بإحدي الطريقتين اآلتيتين:الطريق

ة األولي

حزام شنطة حذاء

150 200 110 أ الفرع

120 180 140 ب الفرع

ويمكن االستغناء عن الجدول السابق بكتابة األعداد فقط بنفس الترتيب داخل مصفوفة

فنكتب متوسط االنتاج اليومي للمصنع =

110 200 150

140 180 120

الطريقب ة الثانية الفرع أ الفرع

140 110 حذاء

180 200 شنطة

120 150 حزام

ويمكن االستغناء عن الجدول السابق بكتابة األعداد فقط بنفس الترتيب داخل مصفوفة

فنكتب متوسط االنتاج اليومي للمصنع =

110

200

150

140

180

120

ويتم ج- تسميته يمكن فيها عنصر أي فإن ما مصفوفة ج كانت إذامكانه علي يدل ما بكتابة المصفوفة داخل وآخر عنصر بين التمييز

N فمثال: 11ج- ح- } ويقرأ األول والعمود األول الصف في يقع الذي العنصر هو

.} واحد واحد: 23ج- { ويقرأ الثاني والعمود الثالث الصف في يقع الذي العنصر هو

.} اثنين ثالثة ح- : ح- يكون ع وبالتالي ص ص ترتيبه الذي الصف في يقع الذي العنصر هو

ع ترتيبه الذي والعمود

داخل العنصر عن التعبيرالمصفوفة

نظم المصفوفة

يح--دد بع--دد الص--فوف وع--دد األعم--دة ف--إذا ك--ان ع--دد الص-فوف يس-اوي م وع-دد األعم-دة يس-اوي ن قي-ل أن المص-فوفة علي النظم م × ن ) وتق-رأ م × ن ( حيث م

، ن عددان صحيحان موجبان

، س ، ج ، ب ، أ مثل الكبيرة األحرف بأحد للمصفوفة يرمزص،.......... : ، ج- ، ب ، أ مثل الصغيرة األحرف بأحد للعنصر يرمز بينماص، .... ، س

: فإن × ن م النظم علي المصفوفة كانت إذام = × = األعمدة عدد الصفوف عدد المصفوفة عناصر عدد

ن×

علي × كتابتها فيمكننا ن م النظم علي مصفوفة أ كانت إذاالصورة:

أ = ) ع أ ص( = ص م .......... 3، 2، 1حيث ، ،ع = ن ............ 3، 2، 1، ،

مالحظات

المصفوفات بعضالخاصة

من تتكون التي المصفوفة هيمن عدد وأي واحد صفاألعمدة

أ: = ) هي( 1 -3 2فمثالالنظم علي صف × 1مصفوفة

3 الصف مصفوفةمن تتكون التي المصفوفة هيمن عدد وأي واحد عمودالصفوف = هي: س فمثال

النظم علي العمود 2مصفوفة ×1 العمود مصفوفة

1

-2

المصفوفات بعضالخاصة

عدد فيها التي المصفوفة هياألعمدة عدد يساوي الصفوف

هي: = أ فمثالالنظم علي مربعة 2مصفوفة ×2

المربعة المصفوفة

3

-2

5

6

جميع التي المصفوفة هيلها ويرمز أصفار عناصرهابالرمز

هي: = فمثالالنظم صفريةعلي 2مصفوفة ×2 المصفوفة

الصفرية

0

0

0

0

المصفوفات بعضجميع الخاصة مربعة مصفوفة هي

عناصر عدا ما ، أصفار عناصرهاأحدها فيكون الرئيسي، القطر. للصفر ا Nمغاير األقل علي المصفوفة

القطرية

0

-2

0

1

0

0

0

0

-1

فمثال

علي قطرية مصفوفة3 × 3النظم

المصفوفات بعضالخاصة

0

1

0

1

0

0

0

0

1

فمثال

علي الوحدة مصفوفة3 × 3النظم

فيها يكون قطرية، مصفوفة هيالرئيسي القطر عناصر كلبالرمز لها ويرمز الواحد، Nا مساويI

الوحدة المصفوفة

0

1

1

0علي الوحدة مصفوفة

2 × 2النظم

مصفوفتين تساوي

•: اآلتيان الشرطان تحقق إذا وفقط إذا ب ، أ المصفوفتان تتساوي

.1. النظم نفس علي المصفوفتان

في 2. الموضع في له المناظر العنصر يساوي أ المصفوفة في عنصر كلب المصفوفة

: أ أن ع أي ع ب= ص ع ص ولكل ص لكل

ضرب عدد حقيقي في مصفوفة

إذا ك-انت أ مص-فوفةمن النظم م × ن ف-إن حاص-ل ض-رب أي ع-دد حقيقي ك في المص-فوفة أ هي المص-فوفة ج = ك أ من النظم م × ن ونحص-----ل علي المص-----فوفة ج بض--رب ك--ل عنص--ر من عناص--ر المص--فوفة أ في الع--دد

الحقيقي ك

مثال

: كانت إذا

12- 4 6

4 8 0

أ = 2فإن:

أ =

6- 2 3

2 4 0

18- 6 9

6 12 0

أ = 3

مالحظة

مم-ا س-بق نس-تنتج أن-ه يمكن أخ-ذ عام-ل مش-ترك من بين جمي-ع عناص-ر المصفوفة

18- 6 9

6 12 0

=3

6- 6 3

2 4 0

المصفوفة مدور

• × أو باألعمدة الصفوف استبدلنا إذا ن م النظم علي أ مصفوفة أي فين × النظم علي مصفوفة علي نحصل فإننا الترتيب بنفس بالصفوف األعمدة

أ بالرمز لها ويرمز أ المصفوفة بمدور تسمي مدم

: أنه أ = ) أي أ كانت ع إذا : = ) ص أ( مد أ ص فإن (ع

أن • يتضح التعريف هذا أ = مد (مدأ: ) ومن

•. باألعمدة الصفوف استبدال نفسه هو بالصفوف األعمدة استبدال أن الحظ

وشبه المتماثلة المصفوفةالمتماثلة

= أ أ كانت إذا وفقط إذا متماثلة تسمي فإنها مربعة مصفوفة أ كانت مدإذا

أ = - أ كانت إذا وفقط إذا متماثلة شبه مدوتسمي