ハドロン

ハドロン

原子核

陽子中性子

中間子

p nuud

udd

基本粒子

ミュー

タウ

レプトン

s

c

b

t

電子e

光子

原子

電磁相互作用を媒介

d

クォークu

グルオンGa

強い相互作用を媒介

ニュートリノ e

崩壊

Z0W±

崩壊

e

e

p

n W

弱い相互作用を媒介

ウィークボソンゲージボソン

物質の究極構造

　　は反粒子

弱い相互作用

基本粒子

光子

電磁相互作用を媒介

s

c

b

t

d

クォークu

グルオンGa

強い相互作用を媒介

ミュー

タウ

レプトン

電子e

ニュートリノ e

Z0W±

弱い相互作用を媒介

ウィークボソン

量子論

力学変数 : ),,,( zyxti場の基本粒子の従う

基本法則は何か ?

量子論

基本場=場

番号時空座標

),,,( 3210 xxxxx 時空座標はパラメタ

=

量子論

力学変数 :

場の基本粒子の従う基本法則は何か ?

場

番号時空座標

),,,( 3210 xxxxx 時空座標

=

力学変数は演算子状態空間

の枠組み

交換関係の代数),( ii qqLL 力学運動方程式

運動方程式ii q

LqL

t

i

i qL

p

正準共役運動量

Lagrangian

正準交換関係 ijji pq ],[

対称性局所性簡単な形を決める基準力学変数の変換で運動方程式の形が不変

運動方程式が 1 時空点に関する記述になっている

量子論

法則どう決める ?

Lagrangian

対称性

局所性Lagrangian が不変必要条件

はパラメタ

),,,( zyxti

: 力学変数iq

力学変数の変換で運動方程式の形が不変対称性Lagrangian が不変十分条件


古典力学では、力学変数をその関数として与えられる変数に変えて記述することを変換という。

qj'Fj qi

力学変数 qi の変換

量子論では、状態も対応して変換する。状態　　　の変換 U'

変換を逐次行って得られる変換を変換の積と定義し、恒等写像による変換を単位元とし、逆変換が存在するものとするとこれらの変換の集合は群 ( 変換群 ) をつくる

確率を変えないため、 U はユニタリー変換。

変換は物理量を定義する。


力学変数の変換


時空の変換 x'=Ax 　によって引き起こされる場の変換' TA ととととととととと

i' x'

' とと A ととととと

Fi j x

TA i A x

Fi j ととととととと Dj x A ji

DAijDBjkDABik 変換群の線形表現

)()( 1xAAD jij )()( xT iA

状態の変換1)()()( AUxAU i

)(AUA場の変換

無限小変換 )(1 2 OXiA X Xie

)()()( ABUBUAU

)()(1)( 2 OXuiAU )(Xu )(Xuie )()(1)( 2 OXdiAD )(Xd )(Xdie

]),([)](),([ YXuYuXu ]),([)](),([ YXdYdXd

)()](),([ kijkji JuiJuJu )()](),([ kijkji JdiJdJd

ijijii xXXdXuX

)(]),([)(

リー代数

3

1k kk JieA

回転群O(3) iJ )3,2,1( igenerator

直行行列 A AAt1 ijkjki iJ

kijkji JiJJ ],[交換関係

ベクトル空間の基底 Xi[Xi,Yj]=ifijkXk fijk: 構造定数

DABik

DAijDBjk変換群の線形表現

リー代数

23

22

21

2 )()()( JJJJ 群の不変量

3

1k kk JieA

回転群O(3) iJ )3,2,1( i

kijkji JiJJ ],[generator


交換関係リー代数0],[ 2 iJJ

3

1k kk JieA



kijkji JiJJ ],[交換関係リー代数

3

1k kk JieA

回転群O(3) iJ )3,2,1( i

kijkji JiJJ ],[2

32

22

12 )()()( JJJJ 群の不変量

generator直行行列 A AAt1

ijkjki iJ 交換関係リー代数

0],[ 2 iJJ

yx iJJJ JJJ z , zJJJ 2, とおくmmJ 2 mmmJ z とする

mJmmJJJmJJ zz )1()( 1 mmJ

2/)(2222 JJJJJJJJ yxz 022 m

m の最大 ( 小 ) 値 j (k) jJ

zz JJJJJ 22

02 kk

0 kJ

,02 jj

0)1)(( kjkj ,kj )1( jj

1)1()1( mmmjjmJ

j kn は整数

2/nj

ととと

1)1()1( mmmjjmJ

1)1()1( mmmjjmJ

0j 0m 0zJ 0J 0 yx JJ

2

1j

2

1m

10

01

2

1zJ

00

10J

01

00J

01

10

2

1xJ

0

0

2

1

i

iJ y

2i

iJ

01

101

0

02 i

i

10

013

kijkji i 2],[ ijji 2},{

3

1k kk JieA

群としては 2 価表現群の表現

リー代数の表現

Pauli 行列

1)1()1( mmmjjmJ 1)1)(( mmjmj

1j 1,0 m

100

000

001

zJ

3

1k kk JieA

群の表現

000

100

010

2J

010

001

000

2J

010

101

010

2

1xJ

010

101

010

2

iJ y リー代数の表現

mj jjjjm ,1,,1,

1)1)(( mmjmjmJ mmmJ z

2/)( JJJ x iJJJ y 2/)(

)1(2 jjJ

2j1 次元表現

1)1()1( mmmjjmJ 1)1)(( mmjmj

),( 13SO

xx '

xxxx ''

1det 100

X

))(( XX

0

XX XX

)(MiX

2

1

)()(

iM )()(

iM

Lorentz 群　　

proper Lorentz transformation

　　　　

　　　

　

　　　

0000

0000

000

000

10

i

i

M )(

0000

000

0000

000

20 i

i

M )(

000

0000

0000

000

30

i

i

M )(

0000

000

000

0000

12 i

iM

)(

000

0000

000

0000

13

i

iM

)(

000

000

0000

0000

23

i

iM

)(

,

,

)(],[ MMMMiMM

231 MJ 312 MJ 123 MJ jkijki MJ

2

1

011 MK 022 MK 033 MK ii MK 0

kijkji JiJJ ],[ kijkji KiKJ ],[ kijkji JiKK ],[

2/)()(iii iKJJ )()()( ],[ kijkji JiJJ 0 ],[ )()(

ji JJ

)()()()( )()()()()()( 123

22

21

2 jjJJJJ

,,,.)(

2

31

2

10j )()()()()()( ,,,, jjjjjJ 1133

　

　

　

　

　

　

,

),( )()( jj表現はで指定される。

,,,.)(

2

31

2

10j )()()()()()( ,,,, jjjjjJ 1133



) 0 (1/2,

,1/2) 0 (

,1/2) 0 () 0 (1/2,

(1/2,1/2)

scalar field

right-handed 　 Weyl spinor field

Dirac spinor field

vecrtor field

) , ( jj ) 0 , 0 ( )(x0)(

iJd 0)( iJd 0)( iKd

2/)( iiJd 0)( iJd 2/)( iiJd 2/)( ii iKd

)(R x

left-handed 　 Weyl spinor field

)(L x2/)( iiJd 0)(

iJd 2/)( iiJd 2/)( ii iKd

)(

)()(

R

L

x

xx

ii JJd )( ii JJd )( ii KKd )(

)(xV


scalar field ) , ( jj ) 0 , 0 ( )(x

0)( iJd 0)( iJd 0)( iKd

scalar field )(x

scalar field )(x

4222

!4

1

2

1

2

1 mL

LL

)(32

!3

1 m

Lagrangian 密度

運動方程式

)()(

xx

L

42222

!4

1

2

1})({

2

1 mH

)()](),([00

yx

iyxyx

正準共役運動量

Hamiltonian 密度

正準交換関係

Lagrangian 密度 L Lagrangian L xdL 3

Lorentz 不変なLagrangian



時空の変換 x'=Ax 　によって引き起こされる場の変換' ととととととととと

i A x

i ABx

DABkik x

i' x'


Fi j ととととととと D j x A ji

Dkik

x AB i

x

Fi j x

D⇒⇒⇒

AB

ABx i

= =

i A x



時空の変換 x'=Ax 　によって引き起こされる場の変換

DAijTB j Bx


Fi j ととととととと D j x A ij

D BijTBj

Bx

i' x'Fi j x

i ABx⇒⇒ ⇒

Bx

⇒

TB

' TA ととととととととと

i ABx

DABkik x ABx i




TA i A x



DBjk k x

i' x'Fi j x


TAB i ABx DABikk x

TB j Bx

DAij

⇒⇒

DBjk k x

⇒

B

DAijTB j Bx

TATB ABx i


i A x




DAijTB j Bx



D BijTBj

Bx

i' x'Fi j x

i ABx⇒⇒ ⇒

Bx

⇒

TB


i ABx

DABkik x ABx i




TA i A x



DBjk k x

i' x'Fi j x


TAB i ABx DABikk x

TB j Bx

DAij

⇒⇒

DBjk k x

⇒

B

DAijTB j Bx

TATB ABx i




時空の変換 x'=Ax 　によって引き起こされる場の変換' TA ととととととととと

TA i A x

TAB i ABx

DABkik x

i' x'


Fi j ととととととと D j x A ji

Dkik

x ABT i

x

Fi j x

D⇒⇒⇒

ABAB

TBTA ABx i

= =




TA i A x

DAijTB j Bx



D AijTBj

Bx

i' x'Fi j x

TAB i ABx DABikk x

TBTAi ABx⇒⇒ ⇒

Bx

⇒

TB


TBTA ABx i




TA i A x



DBjk k x

i' x'Fi j x


TAB i ABx DABikk x

TB j Bx

DAij

⇒⇒

DBjk k x

⇒

B

DAijTB j Bx

TATB ABx i


)()( 1xAAD jij )()( xT iA

状態の変換1)()()( AUxAU i

)(AUA場の変換

無限小変換 )(1 2 OXiA X Xie

)()()( ABUBUAU

)()(1)( 2 OXuiAU )(Xu )(Xuie )()(1)( 2 OXdiAD )(Xd )(Xdie

]),([)](),([ YXuYuXu ]),([)](),([ YXdYdXd

)()](),([ kijkji JuiJuJu )()](),([ kijkji JdiJdJd

ijijii xXXdXuX

)(]),([)(

リー代数

3

1k kk JieA



kijkji JiJJ ],[交換関係

ベクトル空間の基底 Xi[Xi,Yj]=ifijkXk fijk: 構造定数

DABik

DAijDBjk変換群の線形表現

リー代数

ハドロン

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