结构力学

结构力学

结构力学教研室

长安大学建筑工程学院

第八章力法

§8.1 力法基本概念

1. 力法基本概念

力法基本未知量超静定结构是有多余约束的几何不变体系，具有多余约束是其与静定结构在几何组成上的区别，也是造成其仅用静力平衡条件不能求解的显见原因。力法的基本未知量是超静定结构多余约束中的多余力。

力法基本体系

A

q

B

(a) 原结构

BA

q

x 1

(b) 基本体系

图 8-1-1

如图 8-1-1(a) 所示为有一个多余约束的几何不变体系。取 B支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力 x1，见图 (b) 。

设想 x1是已知的，图 (b) 所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，如果 x1等于原结构 B支座的反力，则图 (b) 所示体系就能代替原结构进行分析。

超静定结构去掉多余约束，并代以多余力后的体系，作为原结构的力法基本体系。本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫力法基本结构。力法基本方程力法基本方程，应是求解结构多余约束中多余力的条件方程。

受力条件只能从原结构的外荷载、多余约束，与基本体系的外荷载及相应的多余约束力定性一致考虑，见图 8-1-1 。变形和位移条件是结构内部对外力响应的外部表现形式，见图 8-1-2(a) 、(b) 所示，可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条件定量分析。

A

q

B

(a) 原结构 x 1

q

BA

(b) 基本体系

该条件可表示为： 01 (a)

利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用下的两种情况，分别分析后再叠加。分解后，见图 (c) 、 (d) 所示

BA

x 1(c)

q

BA

(d)

11 P1 叠加，与得：

即： 11 P1 01 + = 11 P1+ = 0 (b)

111x11 = 使式 (b) 改写成：

111x P1+

=

0 (c)

力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。即位移条件。

例 8-1-1 试用力法计算图 (a) 所示超静定梁，并作梁的弯矩图。

A

q

B

(a) 原结构

解： (1) 取基本体系如图 (b) 。

(b) 基本体系

q

BA

x 1

见图 (c) 、 (d) 和 (2) 作PM1M 图图

L

BA

x = 11

(c)

BA

q2

2q L

(d)

(3) 作弯矩图，见图 (e) 。

82qL82qL

A B

(e)

2. 力法基本未知量的确定确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系。

如图 8-1-3(a) 所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b) B CA

(a) 原结构

B CA

x 1 x 2

(b) 基本结构 1 x 2

B CA x 1 x 2

(c) 基本结构2 图 8-1-3

力法基本未知量数 =结构的多余约束数 =结构的超静定次数

一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。

对于较复杂的超静定结构，则可采用拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下：切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于去掉一个约束；

切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；

将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加一个单铰，相当于去掉三个约束。

切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个约束；

用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意：

结构上的多余约束一定要拆干净，即最后应是一个无多余约束的几何不变体系；

要避免将必要约束拆掉，即最后不应是几何可变体系或几何瞬变体系。

例 8-1-2 试确定图 (a) 、 (b) 所示结构的基本未知量。

(a)

x 3 x 3

x 1x 1x 2

x 2

(a1)

x 1

x 2x 3

(a2)

(b)

x 1

x 2

x 1

x 2x 2

(b1)

x 3x 1

x 2 x 2

(b2)

§8.2 在荷载作用下的力法方程及示例

1. 两次超静定结构的力法方程

取原结构的力法基本体系如图(b)

x 2

x 1

BA

(b)

01 方向的位移条件 1x

02 方向的位移条件 2x

分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图 (c) 、(d) 、 (e) 所示。

Bx 2

A

x 1

BA

(c)

(d)

A B

(e)

将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得：

222221

111211

P

P (a)

引入位移影响系数 ,并代入位移条件，式 (a) 写成：

01212111 pxx

02222121 pxx (b)

式 (b) 既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。

2. 次超静定结构的力法方程（力法典型方程）

由两次超静定结构的力法方程推广，得：

0

0

2222222121

1111212111

Pnnjjii

Pnnjjii

xxxxx

xxxxx

……………..

0

0

2211

2211

jPnjnjjjijijj

iPninjijiiiii

xxxxx

xxxxx

……………..

02211 nPnnnjnjininn xxxxx

(8-2-1)

力法方程是力法基本结构与原结构一致的位移条件。写成矩阵形式：

nnnjninn

jnjjjijj

inijiiii

nji

nji

21

21

21

2222221

1111211

n

j

i

x

x

x

x

x

1

1

nP

jP

iP

P

P

2

1

0

0

0

0

0

0

0

+ = (8-2-1a)

柔度矩阵特征

在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角的斜直线）排列的是主系数。主对角线两侧，排列的是副系数。根据位移互等定理，在主对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系数为个。2/)( 2 nn

例 8-2-1 使用力法计算图 (a) 所示超静定梁，并作弯矩图。

L

AB

(a)

(1) 判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系。见图 (b) 。

x 1 x 2

A B

x 1 x 2

A B

(b) 基本体系

解：

(2) 写力法方程。

02222121 pxx

01212111 pxx (a)

(3) 求力法方程中的系数和自由项。 1) 作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图 (c) 、 (d) 、(e) 。

x = 11

A B

(c)

A B

x = 11

(d)

A B(e)

2) 图乘求系数和自由项。

EI

LL

EI 3)1

3

21

2

1(

12211

EI

LL

EI 6)1

3

11

2

1(

12112

EI

qLL

qL

EIPP 24)1

2

1

83

2(

1 32

21

11 可由 1M 的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做自乘。

12 2M可由图的面积与该面积形心对应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），叫做互乘。由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图自乘或互乘的过程。

3) 将所的系数和自由项代入力法方程 (a) ，并求解多余力。

02436

02463

3

21

3

21

EI

qLx

EI

Lx

EI

L

EI

qLx

EI

Lx

EI

L

简化为：

082

1

082

1

2

21

2

21

qLxx

qLxx

(b)

解方程，得：

12

2

1

qLx

12

2

2

qLx (c)

4) 作弯矩图。见图 (f) 。

AB

2 4

2qL

1 2

2qL1 2

2qL

(f)M图

利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端（控制截面）弯矩值：

PABABABAB MxMxMM 2211

PBABABABA MxMxMM 2211

1200)

12(1

2

2

2 qLx

qLM AB （上侧受拉）

120

1210

22

1

qLqLxM BA （下侧受拉）

说明：

(1) 超静定结构的内力只与杆件刚度 EI的相对值有关，而与其绝对值无关。(2) 作最后弯矩图的叠加公式。

(3) 力法解题一般步骤：（针对梁和刚架，并仅在荷载作用下）确定结构的力法基本未知量，并绘出相应的力法基本体系；

作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷载作用下的弯矩图；求力法方程中的系数和自由项；

将系数和自由项代入力法方程，求解多余未知力；叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构的弯矩图；由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图作结构的轴力图；

校核力法计算结果。

例 8-2-2 计算图 (a) 所示超静定刚架，并作弯矩图。

L /2

A

CB

L /2L

(a)

(1) 确定基本未知量，并选择基本体系。对图 (b) 、 (c) 所示的两个基本体系比较。

A

x 2

B C x 1

(b) 基本体系1

L/3

L/3

x 2

x 1

x 1

CB

Ax 2

(c) 基本体系 1

解：

x = 11

A

B C

L

(b1)

A

x = 12

L CB

L

(b2)

A

B C

(b3)

x 1

x = 11

CB

A1 / 2x 2

x = 12

CB

A

1

3 / 2

CB

A

F L / 4P

(c1) (c2) (c3)

(2) 计算系数和自由项

EI

LL

EI

LL

EI 12

5)1

3

21

2

1(

2

1)1

3

2

3

21

2

1

2

1

3

2

32

1

2

1(

111

EI

LL

EI 4

3)

2

3

3

2

2

3

2

1(

122

EI

LFL

LF

EIPP

P 32)1

2

1

42

1(

2

1 2

1

02 P

(3) 将系数和自由项代入力法方程，并求解：

04

3

03212

5

2

2

1

xL

LFx

L P

解得： 0

40

31

xEI

LFx P

(4) 计算杆端弯矩，并作弯矩图

EI

LF

EI

LFMxxM PP

PABAB 80

3)

40

3(

2

1

2

3

2

121 （右侧受拉）

EI

LFxMM P

BCBA 40

31 （左、上侧受拉）

A

B C

(d)M图

力法简化计算主要是使力法方程解耦或使联立数目减少。当所有的副系数等于零时，力法方程是完全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，应使尽可能多的副系数等于零。

说明：

在选择力法基本体系上注意比较对照，往往起到使力法方程解耦、或减少计算量的效果，节省时间并有利于得出正确的结果。例 8-2-3 用力法计算图 (a) 所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式杆的抗弯刚度 EI=常数，各桁架杆的轴向刚度 EA= 常数，且 A=I/16。

4 m 4 m

q = 1 0 k N / m

D

BCA

(a)

q = 1 0 k N / m

x 1

x 1

D

BCA

(b)

(1) 确定力法基本体系解：

力法方程为： 01111 px

(2) 计算力法方程中的系数和自由项

x = 11

x 1

D

BCA

(c) 因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架

部分上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见图 (d) 。

q = 1 0 k N / m

3 0 k N4 0 k N m

D

BCA

1 0 k N

(d)

显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆不用变形特点的位移计算式。计算如下：

EIEIEA

78.169)2

3

242

2

1(

2]5)

6

5)(

6

5(2)311[(

111

EIEIP

67.266)2

2

14

8

410

3

22

3

2440

2

12(

1 2

1

(3) 将系数和自由项代入力法方程，并解之：

067.26678.169

1 EI

xEI

kNx 57.11

(4) 计算内力

mkNMxMM PCACBCA 86.3640)57.1(22 1

（下侧受拉）桁架杆轴力：

kNxFNDC 57.11 1 （压力）

kNxFF NDANDB 31.16

51 （拉力）

D

BCA

(e)

力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式：

dxEI

M i

ii

2

dxEI

MM ji

ij dxEI

MM Pi

iP

梁和刚架：

EA

LF Ni

ii

2

LEA

FF NPNi

iP LEA

FF NjNi

ij

对于曲杆或拱结构，将梁和刚架相应的计算式中对 x 的积分换乘对曲线杆轴的积分，即将 dx 换成 ds 。

组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的计算式计算后叠加。

桁架：

判定结构的力法基本未知量，确定基本体系，并写出力法方程；计算基本结构在各因数单独作用下的内力，然后计算力法方程中的系数和自由项；将系数和自由项代入力法方程，并求解出多余力；计算控制截面内力，做内力图，并进行最后结果的校核。

力法解题的主要步骤为：

§8.3 力法中的对称性利用

若结构是对称的，荷载是正对称时，结构的内力分布也是正对称的；荷载是反对称时，结构的内力分布也是反对称的。

若取对称的基本结构，并且多余力也具有正或（和）反对称性，则，在正对称荷载作用下，结构只有正对称多余力，反对称多余力等于零；在反对称荷载作用下，结构只有反对称多余力，正对称多余力等于零。

例 8-3-1 计算并绘制一超静定刚架分别在图 (a) 、 (b) 所示荷载作用下的弯矩图。 C

A `A

B B `

L /2 L /2

L/2

L/2

C

A `A

B B `

L /2 L /2

L/2

L/2

(b)

(a)

(1) 图 (a) ，刚架在正对称荷载下的内力计算：

x 1

C

A `

x 1

A

B B `C `

LL

x 1

C

A `

x = 11

A

B B `C `

(a1)

(a2)

解：

由图 (a2) 、 (a3) 图乘求系数和自由项：

A `A

B B `C C `

(a3)

EI

LLLL

EI 3

2)

3

2

2

1(

2 3

11

EI

LFL

LLF

EIPP

P 24

5)

6

5

222

1(

2 3

1

代入力法方程，解得：

16

5

11

11

PP Fx

计算杆端弯矩：

16

3

2)

16

5(

LFLFFLM PPP

AB （外侧受拉）

弯矩图见图 (c) 。

C

A `A

B B `

(c)

(2) 图 (b) ，刚架在反对称荷载作用下的内力计算：取对称的基本结构，只考虑反对称的多余力，见图 (b1) 、 (b2) 。

x 2

C

A `

x 2

A

B B `C `

x 2

C

A `

x = 12

A

BB `

C `

(b1)

(b2)

C

A `A

B B `C `

(b3)

由图 (b2) 、 (b3) 图乘求系数和自由项：

EI

LLLLLL

L

EI 12

7)

23

2

222

1

22(

2 3

22

EI

LFLLLF

EIPP

P 8)

2222

1(

2 3

2

代入力法方程，解得： 14

3

22

22

PP Fx


28

11

2)

14

3(

2PPP

AB

FLFFLM （左侧受拉）

28

3)

14

3(

2

LFFLM PP

BA （右侧受拉）

弯矩图见图(d) 。 C

A `A

B B `

11 F L /2 8P

3 F L / 2 8P

(d)

力法利用对称性需要且仅需要 (1) 取对称的基本结构； (2) 使多余力具有正对称或（和）反对称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑荷载是否具有对称或反对称性。

B

q

A `

B `

A

C

(a) 原结构

如上述图 (a) 所示为一般荷载作用下的对称结构，力法基本未知量为 3,因而力法方程为：

0

0

0

3333232131

3332222121

1313212111

P

P

P

xxx

xxx

xxx

(a)

取对称的基本结构如图 (b) ，其上的多余力具有正对称和反对称性。

x 1

x 3

x 2

B

x 2

x 1

q

A `

B `

A

C C `

x 3

(b) 基本体系

其上的多余力具有正对称和反对称性。基本结构在各多余力单独作用下弯矩图自然具有相应的对称和反对称性。

q

B

A `

B `

A

C C `

(c)

C C `B

A `

B `

A

(d) x 2x 2

B

A `

C

A

C ` B `

(e)

x 3

x 3

CC `

B

A `

B `

A

(f)

032233113 代入方程 (a) ，得：

0

0

0

3333

2222121

1212111

P

P

P

x

xx

xx

(b)

副系数为两个单位弯矩图的互乘，由于正对称与反对称的弯矩图互乘等于零，所以有副系数：

例 8-3-2 利用对称性计算图 (a) 所示对称刚架。

BC C `

A

q = 6 k N / m

(a)

图 (a) 所示对称刚架，为两次超静定结构。

取图 (c) 所示基本结构，但在对称位置上的两个多余力在一般荷载作用下不具有对称性，也不具有反对称性。

BC C `

x 2

A

x 1

q = 6 k N / m

(c)

仍然取与图 (c) 相同的基本结构，所不用的是将在对称位置上的两个多余力进行分组，分成一组正对称的和一组反对称的，见图 (b) 所示。

C C `

x 2 `

A

x 1 `

B

x 2 `

x 1 `

q = 6 k N / m

(b)

计算系数和自由项：

EIEI

18)3

3

233

2

1(

211

EIEIEI

78)646(

2

1)

3

233

2

1(

222

EIEIP 4

243)3

4

3327

3

1(

11

EIEIEIP 4

1539)6427(

2

1)3

4

3327

3

1(

12

代入力法方程，求多余力：

0

0

2222

1111

P

P

x

x

93.4

38.3

2

1

x

x


mkNxxMM BAAB 58.26027 21

（左侧受拉）

mkNxxM BC 07.23327 21

（上侧受拉）

mkNxxMBC

65.4330 21` （上侧受拉）

弯矩图见图(g)

BC C `

A

(g)

§8.4 在支座移动、温度改变时的力法方程及示例

概念

除荷载 (狭义上的外力 )以外其它因数使结构发生的内力，常称为结构的自内力。

与荷载作用下力法思路和建立方程的方法相同，所不同的是：基本结构（静定结构）在支座移动时是刚体位移，并且无内力发生 ;

1. 支座移动时的内力计算

基本结构多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移条件一般不全等于零。

以图 8-4-1(a) 所示超静定梁为例，考虑超静定结构在支座移动时的力法方程

B `

AB

图 8-4-1(a)

x 2

x 1

B `

BA

(b) 基本结构其多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移条件为：

B102

取力法基本体系如图 (b)

叠加基本结构在各因数单独作用下的位移，得力法方程：

02222121

1212111

xx

xx B

(a)

1 2式中－分别表示基本结构在

支座移动时沿多余力方向上的位移注：基本结构的支座移动，指基本结构保留的支座上的位移。

例 8-4-1 图 (a) 所示刚架，固定支座A在三个约束方向上都有位移发生，即水平位移 a，竖向位移 a/2 ，转角位移a/L。各杆 EI相等，并为常数。只用力法计算该刚架，并作弯矩图。

L

L

a / 2

a

A `A `

C

Aa / La / L

BB `

a / 2

x 2

x 1

A `

CB

a

B `

a / L

A

Laxx

xx

/

0

2222121

1212111

(a)

取基本体系如图 (b) 所示。力法方程为：

解：(a) (b)

作各单位多余力单独作用下的弯矩图，并求出相应的支座反力见图 (c) 、(d)

0

x 2 = 1

C

A

B

1

1L

x 1 = 1

C

A

BL

(c) (d)

EI

LLLL

EI 3

2)

3

2

2

1(

2 3

11

EI

LLL

EI 3

4)111

3

21

2

1(

122

EI

LLLLL

EI 6

5)

2

11

3

21

2

1(

1 2

2112

计算柔度系数方法同前，即：

自由项的计算是静定结构在支座移动时的位移计算，可按演变过来的 (自由项位移）计算公式计算。即

cF Rii (8-4-1)

上式中：

i ——表示基本结构由于支座移动引起的在多余力方向上的位移

ix

RiF ——多余力 =1 单独作用在基本结构上时引起的支座反力

ix

c ——基本结构的支座位移

2)

211(1

aaa

L

aa

La

2)

2

10(2

aL

EIx

31 7

69 a

L

EIx

22 7

51

本例自由项计算如下：

求解多余力：


EIL

axxM AB 221 7

5110 （右侧受拉）

EIL

axxLMM BCBA 221 7

181 （左侧、上侧受拉）

CB

A E IL

a27

5 1

E IL

a27

18

(e)

结构在支座移动下的最后弯矩叠加公式仅含各多余力的影响。即：

Nijijijij MxMxMM 2211 (8-4-2)

弯矩图见图 (e)

t 2 Bt 1

A

(a) 原结构

x 2

x 1t 2 Bt 1

A

(b) 基本结构

x 1

A B B `

(c)

图 8-4-2

2. 温度改变时的内力计算

x 2

B `

BA

t

t 2

B `

t 1

A Bt

(d) (e)

图 8-4-2

图 8-4-2(a) 所示两次超静定梁，温度改变影响下的力法方程：

0

0

2222121

1212111

t

t

xx

xx

(b)

t1 t2自由项 ——分别表示基本结构在温度改变时沿多余力和方向上的位移。

1x 2x

式中：

iNiit Ah

tLtF )()( 0 (8-4-3)

NiF iA ——分别表示基本结构在多余力 =1 单独作用下，结构的杆件中产生的轴力值和弯矩图的面积。

ix

自由项的计算式可写成一般形式：

式中：

例 8-4-2 图 (a) 所示结构，除承受图示的荷载外，内外侧的温度也发生了改变，其内侧升高了，外侧也升高了。杆件截面为矩形，尺寸见图示。已知：材料在温度下的线膨胀系数为。用力法计算并作弯矩图和轴力图。

60 c

m4 0 c m

q = 2 0 k N / m

t 1

C D

A

t 2

B

x 1

q = 2 0 k N / m

t 1

C D

A

t 2

B

(a) 原结构 (b) 基本结构

011111 tPx (a)

该刚架为一次超静定结构，基本体系如图 (b) ，力法方程：

解 :

1 2 0 k N mq = 2 0 k N / m

C D

A

B

t 1

C D `

A

t 2

B `D

B

(c) (d)

1 / 6

C

A

1

x = 11

DB

1

1 / 6(1/ 6

)

( 0 )

(e)

BC D

A

(f)

EIEI

8)1611

3

261

2

1(

111

计算系数和自由项：由图 (e) 弯矩图自乘，得：

由图 (e) 和图 (c) 两弯矩图互乘，得 :

EIEIP

60)1

2

16

8

620

3

21

3

16120

2

1(

1 2

1

由式 (8-4-3) 计算：

1101 )()( A

h

tLFt Nt (b

)

321 1085.2)6161

2

1(

1060

2000001.06

6

11500001.0

t

由题给条件知：

Ctt

t

152

525

221

0 温度升高

Cttt 2052512 外侧温度高

则 ,

251044.1 mkNEI

mkNx Pt

8.4311

111

mkNxM AB 8.431 1

矩形截面的抗弯刚度：

将以上所得值代入力法方程(a) 式中，解得：


右侧受拉

超静定结构在支座移动或温度改变的影响下，会产生自内力，并且自内力与结构刚度的绝对值有关；

AB 杆轴力： kNxFNAB 3.7

6

11 拉力

注意 :

超静定结构在支座移动下，或由于温度改变的影响，自内力是由多余力作用在基本结构上的内力体现的，因基本结构是静定结构，在上述因素下不产生内力。或者更简单的说，自内力是由多余力引起的。

超静定结构在支座移动或温度改变的影响下的位移，应考虑所取力法基本结构的位移。

§8.5 超静定结构的位移计算及力法结果的校核

1. 超静定结构的位移计算 cFds

EI

MMds

GA

FFkds

EA

FFR

QQNN

0 (7-3-3)

(1) 荷载作用下的位移计算 ds

EI

MMds

GA

FFkds

EA

FF PQPQNPN

0 (7-4-1)

虚力状态（单位力作用下），仍可由力法基本体系（基本结构在荷载等其它一切外因和多余力共同作用下的体系）与原结构一致的位移条件考虑。

基本体系不仅在多余力方向与原结构的位移一致（力法方程条件），并且显然应满足基本结构在任一截面上的位移都必须与原结构一致。

静定结构的位移计算就是其任意一个基本体系的位移计算（因超静定结构的基本体系不是唯一的，见图 8-5-1(b) 、 (c) ）。计算超静定结构位移时的虚单位力可加在其原结构的任意一个基本结构上。

超静定结构位移计算时的单位虚弯矩图可以是一个静定结构的计算。见图 8-5-1(e) 、 (f) 。为了区别位移计算公式 (7-4-1)相同的内力符号（分别表示结构在荷载作用下的最后内力），并使位移计算公式更具一般形式，将式 (7-4-1) 改写成：

dsEI

MMds

GA

FFkds

EA

FF QQNN

0 (7-5-1)

计算超静定结构（原结构）在荷载作用下的内力（实际状态）；

超静定结构在荷载作用下的位移计算步骤：

在原结构的任意一个基本结构上沿拟求位移方向施加虚单位力，并计算由此产生的内力；将以上所得两种状态内力代入位移计算公式（ 7-5-1 ）计算。

L /2

A

CB

L /2

L

A

x 2

B C x 1

L/3

L/3

x 2

x 1

x 1

CB

Ax 2

(a) 原结构 (b) 基本结构 1 (c) 基本结构 2

例 8-5-1 求图 8-5-1(a) 所示刚架在

荷载作用下 C端截面的转角位移 C。

图 8-5-1

A

B C 1

A

B C

1

A

B C

(d)M图 (e)

(f)

图 8-5-1

解 : 刚架在荷载作用下的最后弯矩图已在例 8-2-2 中得出，见图 (d) 。图 (e) 、(f) 示出了原结构的两个基本结构在虚单位力作用下的弯矩图，比较后，显然后者与最后弯矩图互乘较简单，因此取图 (f) 为原结构的虚力系。

EI

LFL

LFL

LF

EIPPP

C 40)1

2

1

42

11

3

1

40

3

2

1(

2

1 2

（）

一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能少的基本结构作虚力系。

将图 (d) 、 (f) 互乘，得

注意

cFdsEI

MMds

GA

FFkds

EA

FFR

QQNN

0

(7-5-1)

(2). 支座移动和温度改变时的位移计算

1) 支座移动时的位移计算

一般形式 :

例 8-5-2 求图 (a) 所示超静定梁由于B支座位移引起的梁中点的竖向位移。

L

A BC

bB `

x 1

A

b

B

B `

C

(a) 原结构 (b) 基本结构

(1) 用力法计算原结构，作梁在支座移动时的最后弯矩图（实际状态）。取图 (b) 所示简支梁为力法基本结构，力法方程为：

01111 x

解 :

方程中的系数和自由项：基本结构在单位多余力作用下的弯矩图和支座移动单独作用下的刚体位移见图 (d) 、(f) 。

b

A BC

B `1 / L

x = 11

A B

1

(c)

(d)

A BC

23

L

E Ib

A BCx = -1

23

L

E Ib

(e)M图 (f)M图

EI

LL

EI 3)1

3

21

2

1(

111

L

bb

LcF R )

1(11

将系数和自由项代入力法方程，求解多余力：

211

11 3

L

EIbx

梁的最后弯矩图见图 (e) 所示。

作最后弯矩图：

杆端弯矩： 211 3L

EIbMxM AB 上侧受拉

(2)虚设单位力见图 (g) ，作虚单位弯矩图并求支座反力（虚力状态 ) 。

F = 1P

A BC

b

A BC

B `

(g)虚单位弯矩图 (h)

A BC

F = 1PL /2

A BC

(i)虚单位弯矩图 (j)

(3) 利用位移计算公式 (7-3-3) 求位移 CV

cFdxEI

MMR

16

5)

2

1()

3

2

1

42

1(

12

bbEI

L

bL

L

EICV

(a)

（）

则 ,

根据所取虚单位力所在基本结构的不同，公式 (a) 的右侧后一项做相应的取舍。如若取悬臂梁建立虚单位力系，见图 (i) 示，位移计算公式 (a) 为零。

16

5)

3

6

5

222

1(

12

bEI

L

bLL

EICV （）

说明：

即 ,

超静定结构在支座移动时的位移，在力法中应表现为由多余力（自内力）作用在基本结构上引起的位移，再加上基本结构在支座移动时的位移。因基本结构若有支座移动时有位移发生。

])()([ 00 Ah

tLtFds

EI

MMds

GA

FFkds

EA

FFN

QQNN

2) 温度改变时的位移计算

一般形式：

(8-5-2)

例 8-5-3 图 (a) 所示单跨超静定梁，其上下侧的温度改变量分别为 t1 、 t2 ，且 t2=3t1 ， h=L/10，材料的线膨胀系数为。求梁 B端的转角位移 B。

L

A B

b

ht 2

t 1 B `A B

t 2

t 1

(a)

(b) 原结构

B `X 1

A B

t 2

t 1

X 1

A B

1

A BX = 11

A Bt 2

t 1

(e)

(c)

(d)

(f)

(1) 用力法计算超静定梁在温度改变时的内力，作弯矩图、轴力图。力法基本体系见图 (c) 。由单位多余力作用下的弯矩图见图 (f) ，自乘得：

EI

LL

EI 3)1

3

21

2

1(

111

解：

1101 )()( Ah

tLFt Nt

111 101

2

1

102

)3(tL

L

tt

01111 tx

L

EItx 11 30

自由项 :

代入力法方程 :

解方程得：

AB

t 2

t 1

L

E It13 0

A B

(g)

(h)

虚单位力作用在简支梁上并绘虚单位弯矩图，见图 (h)

作梁的最后弯矩图，见图 (g) 。

(2) 求超静定梁 B端转角位移

Ah

tLtFdx

EI

MMNB )()( 0

1111 5)1

2

1

10

3()1

3

130

2

1(

1tL

L

ttL

L

EIt

EI

（）

若取虚单位力作用在悬臂梁上，见下页图 (i) ，则角位移 :

1111 5)1

10

3()1

30

2

1(

1tL

L

ttL

L

EIt

EIB

（）

由公式 (8-5-2) 计算如下：

A B A Bt 2

t 1

(i)

(i)

2. 力法结果校核力法结果的主要校核条件是位移条件。具体校核方法是，选择结构上某一已知位移点，计算该点位移看是否等于已知值。

例 8-5-4 已用力法求得图 (a)刚架弯矩图如图 (b) ，校核该弯矩图。

L /2

A

CB

L /2

L

A

B C

A

B C

(a)

(b)

(c)

C 点的竖向位移等于零： 0CV

虚设单位力系见 (c) ，由图 (b) 、 (c)互乘得：

0)80

3

40

3(

2

11)

2

1

42

1

3

2

40

3

2

1(

2

1 2 LFLF

LEI

LLLF

LLLF

EIPPPP

cv

(2) 计算该位移

解：(1)选已知位移点

例 8-5-5 由力法得在支座移动时梁的弯矩图见图 (b) ，校核该弯矩图。

L

A BC

bB ` A

B

23

L

E Ib

b

A B

B `

M = 1A B

(a)

(c)

(b)

(d)

梁支座 A端的角位移等于零：

0A

虚设单位力系见图(d)

cFdxEI

MMRA

0)1

()13

23

2

1(

12

bL

LL

bEI

EI

解 :(1)选择已知位移点

(2) 计算该位移

在计算超静定结构的未知位移时，选择虚单位力所在的基本结构应使单位弯矩图的图形越简单、在结构上分布得越少越好；

说明：

在力法结果校核的已知位移计算中，选择虚单位力所在的基本结构应使单位弯矩图尽可能布满结构的所有杆件上。

结构力学

Documents