複變數對偶邊界元素法研究

報告人 陳鈺文海洋大學河海工程研究所中華民國八十七年六月四號

複變數阿達馬主值之觀念及其應用

陳正宗 教授

海洋大學河海工程研究所，基隆

八十八年電子計算機於土木水利工程應用會議

中華民國八十九年二月十七日～十八日，台中

綱 要研究動機以阿達馬主值求解基本解複變數對偶邊界元素法結論

研 究 動 機

對偶邊界元素法

實數域

核函數的超奇異性

計算難度較繁雜

傳統複變數邊界元素法

變量 (u,v) 退化邊界問題 ?

變量 (t)?

複變數對偶邊界元素法

主值與基本解

以複數域阿達馬主值求解基本解

高 階 極 點 的 路 徑 積 分極點以往如何處置如何將極點降階

Re

Im

二階極點

R R

x0

數線

a b

x

Re

Im

CR

x>s

1

1

Re

Im

CR

x<s

2

Re

Im

C4

C

二階極點

C1 C3

x>s

Re

Im

C4’

C’

二階極點C1 C3

x<s

d U x sdx

x s2

2

( , )( )

d U x sdx

qU x s x s2

2( , )( , ) ( )

Re

Im

二階極點

R R

泰勒展開

L’Hopital’s rules剛體運動

傳統方法

本文方法

桿 件 問 題

Re

Im

C4

C

二階極點

C1 C3

x>s

d U x sdx

x s2

2

( , )( )

U s e i s( , )

12

12

12

1[ ( , )] ( , )U s U x s e e di s i x

C C C C C

1 3 4

0

f z i x s ei z x s( ) ( )( ) ( )10 0 0

C C Cf z i f z

1 3 40 01

0

0

20

lim ( ) ( ) ( )( )

C C

HPV

f z i f z1 3 0 0

10

2

lim ( ) ( ) ( )( )

12

1 122

HPVze dz x si z x s( ) ( )

輔助系統控制方程

阿 達 馬 主 值

Re

Im

二階極點

R R

f zz z

dzC

( )

( )0

2

f z f z f z z zf z

z z( ) ( ) ( )( )( )

!( )( )

( )

01

0 0

20

02

2

fzzzdz

C

()

( )

02

fz

zzdz

C

()

( )0

02 fz

zzdz

C

()()10

0 +

f zdz

C

()()

!

20

2

lim()

( ) 00

02

fz

zzdz

C =fz()lim00

2

lim( )()

010

0

f z

zzdz

C = if z()( )1

0

lim()

( ) 00

02

13RCC

fz

zzdz

=fz()lim002

lim( )()

01

0

01 3

RCC

f z

z zdz

= 0

C 段 CPV 段

將發散的部分予與扣除

泰勒展開

主 值

柯西主值 (C.P.V.)

阿達馬主值 (H.P.V.)

CPVg xx b

dxg xx b

dxg xx b

dxb

c

a

b

a

c ( )lim [

( ) ( )]

0

HPVh xx b

dx CPVh xx b

dx h ba

c

a

c

( )

( )

( )

( )lim [ ( ) ]

2 2 0

2

ab c

gxx b( )

x

a b c

hxx b

( )

( ) 2

x

複變數對偶邊界元素法

域內點實數域對偶積分方程式

2

u x T s x u s U s x t s dB sB

( ) { ( , ) ( ) ( , ) ( ) } ( )

2

t x M s x u s L s x t s dB sB

( ) { ( , ) ( ) ( , ) ( ) } ( )

U s x r( , ) ln

T s xU s xns

( , )( , )

L s xU s xnx

( , )( , )

M s xU s xn ns x

( , )( , )

2

其中， r 代表 x 與 s 的距離， 與分別表示在 x 與 s 點的法向量

nx ns

邊界點實數域對偶邊界積分方程式

,

u x CPV T s x u s dB s

U s x t s dB s x b

B

B

( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

,

t x HPV M s x u s dB s

CPV L s x t s dB s x b

B

B

( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

域內點複數域對偶積分方程式

( )

( )

( ),z

it

t zdt z D

B

12

柯西積分公式

( )

( )

( ),z

it

t zdt z D

B

12 2

阿達馬積分公式

( ) ( , ) ( , )z u x y i v x y

邊界點複數域對偶邊界積分方程式

( )

( )

( ),z

iCPV

tt z

dt z BB

1

( )

( )

( ),z

iHPV

tt z

dt z BB

12

Re { ( ) }

z

ux

Im { ( ) }

y

z

u

t z n z n Re { ( ) } Im { ( ) } 1 2

Complex

Complex

Real

邊界積分方程之離散化

( )

( )( )

( )

( )

zi

tt z

dt

i t zdt t

ii

B

j

N

j ij jBj

1

1 1

1

( )

( )( )

( )

( )

zi

tt z

dt

i t zdt t

ii

B

j

N

j ij jBj

1

1 1

2

12

Ct z

dtijj i

jB j

1 1

( )

影響係數

Ct z

dtijj i

jB j

22

1

( )

影響係數

數 值 分 析

影響係數矩陣的秩數

rank C NpqR

N N [ ]1 1

rank C NpqI

N N [ ]1 1

rank C C NpqR

pqI

N N [ ]1 12

rank C C NpqI

pqR

N N [ ]1 12

rank

C C

C C

NpqR

pqI

pqI

pqR

N N

1 1

1 1

2 2

2 2

rank

C C

C C

nC nC nC nC

N

pqR

pqI

pqI

pqR

pqR

pqI

pqI

pqR

N N

1 1

1 1

12

22

12

22

3 2

2

( ) ( )

CiCPV

t zdtpq

q pqB pq

q

1 1 1

(

( ))

影響係數C

iHPV

t zdtpq

q pqBq

2

2

1 1

( )

影響係數

C C

nC nC nC nC

u

v t

pqR

pqI

pqR

pqI

pqI

pqR

N N

q

q N p N

1 1

12

22

12

22

2 2 2 1 2 1

0

( ) ( )

C C

nC nC nC nC

u

v t

pqI

pqR

pqR

pqI

pqI

pqR

N N

q

q N p N

1 1

12

22

12

22

2 2 2 1 2 1

0

( ) ( )

C C

C C

nC nC nC nC

u

vt

pqR

pqI

pqI

pqR

pqR

pqI

pqI

pqR

N N

q

q N

p

1 1

1 1

12

22

12

22

3 2

2 1

0

0

( ) ( )

3 1N

方式一，配合 SVD

方式二，配合 SVD

方式三，配合 SVD

方式四 ( 由方式三與 Least-Square) ，配合 SVD

奇 異 值 分 解 法

奇異值為零或數值趨近於零就會出現問題，愈接近於零的奇異值會致使解對於資料的誤差非常敏感，為避免解空間被不正常的放大這需要分析者對問題本身的經驗來決定。

帶入邊界條件後，為過定的方程（ Eq. No. > unknow No. ），以及有 v 角色的輔助，出現上述劣性情況相對降低。

A x b m nm n n m

1 1

,

A U Vm n m m m n n nT

x A b 1A V U

n

T

1

1

1 diag

1

, ,

方 形 正 規 邊 界 算 例

2u(x,y)=0u = 0 u = 1

t = 0

t = 0

(0,0) (1,0)

(0,1) (1,1)

2u(x,y)=0t = -1 t = 1

t = 0

t = 0

(0,0) (1,0)

(0,1) (1,1)

解析解為 u(x,y)= x

Mixed type B.C. Neumann type B.C.

邊界效應對 t 與 u 的影響藉由 u 與 v 建構起 t 。也因常數元素的模擬產生邊界效應，此

邊界效應對 u 值的影響較小，但對 t 值影響較大。

剛體運動項貢獻在何方

ux

vy

1 v=y+c1

與給定邊界條件有關混合邊界條件與 Dirichlet 邊界條件

c1 貢獻量全由 v 吸收 Neumann 混合邊界條件

c1 貢獻量由 u 與 v 吸收

u=x

力 平 衡 條 件

t

t

t

t

K K K K

K K K K

K K K K

K K K K

u

u

v

v

1

2

3

4

11 12 17 18

21 22 27 28

31 32 37 38

41 42 47 48

1

4

1

4

t1

t3

t2t4

tNN

1

4

0M

N MN

K

1

8

1

4

0 0( )

亦即矩陣的每一列 (column) 所有元素和為零。若不是等常數元素則需將元素長度 (li) 乘 ti ，才是力平衡條件。

實數域下的力平衡條件

角域部分的誤差量較大。 採力平衡檢驗實數域下的結果較由複數域誤差

量較小。

Ut T u t U T u 1

L t M u t L M u 1

常數場與不含極點的封閉路徑積分

A

u

v

tij

j

j

j

A

u c

v c

tij

j

j

j

1

2

A

c

cij

1

2

0

解一

解 二

解 三

每一行 (row) 所有元素和為零時，常數元素所造成的差量顯示了複數域下的定常解檢驗較實數域模式佳。

亦可利用留數定理再次檢驗離散化後邊界積分方程在此封閉積分中並不包任何極點在內，相對的無論 u 值與 v 值為何，其結果應為零。

矩 形 退 化 邊 界 算 例

2u(x,y)=0

u = -1 u = 1

t = 0

t = 0

(-1,-0.5)

(-1,0.5) (1,0.5)

(1,-0.5)

(0,0)

t = 0t = 0

四種組合求解方式的比較

方式一 正規邊界之順序如左

對於退化邊界，方式一、二的束制條件不足無法做單一考量，以方式四的效果為佳

方式四

方式三

方式二

佳

較差

結 論提出了兩個驗核方法，一為常數場解，另一為平衡條件。

自柯西積分公式可得阿達馬積分公式，可簡化奇異積分方程與超奇異積分方程的計算過程。

對退化邊界問題提出解決之道。

未 來 研 究 方 向嘗試以線性元素模擬時，

如何滿足超奇異核函數之密度函數微分需連續的要求。

如何推廣到三維問題。 由平衡條件檢定，可建構

誤差評估指標，進行自適性網格切割。

拉普拉斯方程在退化邊界時： element ： node

t=0

t=0t=0

t=0t=0

t=0

u=1u=-1

2u=0

C R1

00 10986 01837 0 4778 0 4581 0 4581 00 08047

10986 00 08047 00 0 4581 0 4581 0 4778 01839

06119 08047 00 08047 01116 01116 06119 00

0 4778 00 08047 00 03466 03466 10986 01839

05108 05108 0

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . .1928 14166 00 00 14166 01928

05108 05108 01928 14166 00 00 14166 01928

00 0 4778 01839 10986 03466 03466 00 08047

08047 06119 00 06119 01116 01116 08047 00

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

C R2

40 13333 02051 00615 06 06 08 16

13333 40 16 08 06 06 00615 02051

03294 08 00 08 02 02 03294 00

00615 08 16 4 10 10 13333 02051

064 064 03012 09412

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . 00 00 09412 03012

064 064 03012 09412 00 00 09412 03012

08 00615 02051 13333 10 10 40 16

08 03294 00 03294 02 02 08 00

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

C I1

00 05880 05192 03218 03218 09273 11072

00 11072 09273 03218 03218 05192 05880

02188 11072 11072 0 4637 0 4637 02188 0 49

05191 09273 11072 07854 07854 00 05880

09273 09273 08885 13258 13258 0

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .8885

09273 09273 08885 13258 13258 08885

09273 05191 05880 00 07854 07854 11072

11072 02188 0 49 02187 0 4637 0 4637 11072

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

C I2

00 00 03077 0 4923 02 02 00 08

00 00 08 00 02 02 0 4923 03077

02824 16 40 16 0 4 0 4 02824 02353

0 4923 00 08 00 10 10 00 03077

08533 08533 07153 37647

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . 80 80 37647 07153

08533 08533 07153 37647 80 80 37647 07153

00 0 4923 03077 00 10 10 00 08

16 02824 02353 02826 0 4 0 4 16 40

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

CiCPV

t zdtpq

q pqB pq

q

1 1 1

(

( ))

影響係數

CiHPV

t zdtpq

q pqBq

2

2

1 1

( )

影響係數

留 數 定 理 若 z0 為 f(z) 的 m 階極點：則在 z0 之留數表

示式為

R zm

ddz

z z f zz z

m

mm( )

( )!lim [( ) ( )]0

1

1 0

11 0

研 究 動 機 以往對偶邊界元素法均建構在實數域，複數域

中核函數的超強奇異性，可簡化實數域計算上的困難度

傳統的複變數邊界元素法只引用變量 u與 v 傳統的複變數邊界元素法 v.s. 含退化邊界的

問題加入複變數對偶邊界元素法中的第二式，提高擁有的束制方程