考慮電偶極突然形成或產生變化

?+

電偶極突然出現等於電荷加速

-

電偶極突然不只產生電場，電場的突然出現會感應出磁場！

?+-

遠方並沒有電荷與電流，那裡的電磁場如何產生？除了電荷與電流，電磁感應也可以產生電磁場！

電偶極如果突然形成或產生變化，遠處的電磁場如何被影響？

即使在沒有電流與電荷的區域變化的電磁場也可以成為電磁場的來源！

電場變化時會感應產生磁場！ 磁場變化時會感應產生電場！

電磁感應

電偶極在近處突然產生電場此電場變化在周圍產生感應磁場此磁場變化又在周圍產生感應電場

如果突然出現一個電偶極

電場與磁場有一種互相感生的機制。

這樣的連鎖關係比較像一條弦！

第 3 片的電場與第 2 片的磁場既為因又是果！1 2

34

電場與磁場是彼此連鎖感應互生，分不清楚因果。兩者的變化必須滿足 Maxwell Equation 。

變化的電場決定了前後的磁場，但此電場正與後方的磁場的變化相關。

一處電場通量變化等於前後片磁場的差！

T

T

弦上一個粒子的加速度是由前後兩個粒子對其張力的合力決定！

T

波動是透過介質擾動在空間中的傳播，來傳遞能量的物理現象。在這些連續介質上最典型的現象就是波動！

電偶極在近處產生電場此電場變化在稍遠處產生感應磁場此磁場變化又在更遠處產生感應電場

如果突然出現一個電偶極

我們可以合理推想電磁場會如弦的擾動由源頭以定速如波一般傳播到遠方！

在遙遠的遠方

即使源頭的電偶極消失之後，

電場與磁場依舊向前獨立傳播

電荷與電流都已不存在，

傳播的電磁場可以獨立於原始產生它的電偶極。

遠處電場變化在更遠處產生磁場更遠處磁場變化在更更遠處產生電場

A1689-zD1 銀河距離地球 130 億光年，所發出的電磁波已獨立走了 130 億年！

遠處電場變化在更遠處產生磁場更遠處磁場變化在更更遠處產生電場如同骨牌效應將電磁場傳播到遠方！

波動是透過介質擾動在空間中的傳播，來傳遞能量的物理現象。在這些連續介質上最典型的現象就是波動！

同樣的情況幾乎發生在所有連續的介質，如水面

電場與磁場在一個波前平面的後面不為零電場與磁場在一個波前平面的前面為零因為電場與磁場互相感生，所以彼此需要垂直！

讓我們大膽地猜想，電磁場也有波動，最簡單的波就是一個海嘯一般的電磁場的波

在波前平面的後面，電場與磁場都是常數，與座標無關

若要彼此相生，獨立的電磁場必須滿足一定的條件！

波前平面以定速 c 沿垂直於電磁場的方向移動。

這個條件是什麼？

)()( tdt

dsdtE B acBdtdABEa

BcE

選如圖 ghef 的安培圈：

要滿足法拉第定律，電磁場與速度必須滿足一個條件：

要滿足安培馬克斯威爾定律，電磁場與速度也必須滿足另一個條件：

EacdtdAEBa 0000

EcB 00dtdsdB E

00

選如圖 ghef 的安培圈：

EcB 00 BcE

法拉弟定律安培 - 馬克思威爾定律

磁電若兩者互生，以上兩個條件必須同時成立！

EcB 00 BcE

1002 c

00

1

c

m/s1099.21085.81026.1

1 8

126

光速！！

波前平面傳播的速度給定！

這個電場與磁場互相感生的機制，

cBE

因為是依靠電場及磁場的相互感應而達成，可以讓電磁場離開電荷與電流，獨立地在空間中傳播

電磁場方向彼此垂直，又垂直於傳播方向，大小成正比：若要彼此相生，獨立的電磁場必須滿足一定的條件！

電磁場的波方程式電磁場連鎖感生可以以波方程式來描述！

弦只是一個粒子系統的連續極限！y

每一個粒子都滿足牛頓運動定律！

r

Nitri 1)(

)(tr

粒子以位置的時間函數來描述

粒子系統以一系列的位置的時間函數來描述

如何描述一條弦上的波動？

弦也可以用一個粒子系統來近似！

Nitytr ii 1)()(

當粒子間隔區向無限小，離散足標趨向連續變數：

),()( txytyi

y

xi

波函數 Wave Function

粒子排列整齊，編號自然以平衡時的水平位置最自然！

所有波動的資訊都在這一函數！

構成弦的粒子的運動是沿垂直於弦的方向！

未波動時位置為 x 的粒子在時間為 t 時的垂直位移。

r

)(tri

)(tr

粒子以位置的時間函數來描述

粒子系統以一系列的位置的時間函數來描述

),( txy

波動系統以一個時間與空間座標的函數：波函數來描述

),( txy波函數：描述介質的擾動的物理量

固定 t = t0 ),(),( 0txytxy t = t0 時的波形

固定 x = x0 ),(),( 0 txytxy x = x0 處介質的運動

它是一個雙變數函數了解雙變數函數，最方便的就是先固定一個變數，討論函數對另一變數的變化：

是單變數 x 的函數

是單變數 t 的函數

未波動時位置為 x 的粒子在時間為 t 時的垂直位移。

),( txy波函數 可以利用波函數來計算弦的運動狀態

該單變數函數的微分就是粒子的速度！

0

0

0( , ) ( , )x xx x

d yv y x t x tdt t

固定一個變數，對另一個變數微分！偏微分 Partial Differentiation

固定 x = x0 ),(),( 0 txytxy x = x0 處介質的運動

00 0( , ) ( , ) ( , )x x

y d yx t y x t x tt dt t

時的垂直速度處在 txtxty

),(

垂直加速度 ),(2

2

txty

瞬間波型的斜率 ),( txxy

的變化率波型斜率隨 xtxxy

),(2

2

00 0( , ) ( , ) ( , )t t

y d yx t y x t x tx dx x

偏微分：由一個多變數函數得到另一個多變數函數的運算固定一個變數 x （視為常數），對另一個變數 t 微分

固定一個變數 t（視為常數），對另一個變數 x 微分

弦的組成元素只有垂直運動：將牛頓定律用在一小段弦上

一小段弦的垂直受力，等於垂直加速度

弦上一小段的加速度是由前後兩小段對其張力的合力決定！前後兩段的斜率不等因此垂直方向的合力不為零。

1 sin ,yF x t

),(tansin txxy

當角很小時x

xyx

xy

xtx

xytxx

xyFF yy

2

2

12 ),(),(

2 2

2 2( , )y yx t x xx t

2 2

2 2

y yx t

x xx

2F

1F

ya

一小段弦的垂直受力一小段弦的垂直受力必須等於垂直加速度！

質量 垂直加速度

假設弦很緊，張力的改變比起張力小很多，

21 FF

一小段弦的左端垂直受力：

斜率隨 x 座標之變化率 x 座標變化

所以張力是一個常數，與位置時間無關。

波方程式 Wave Equation

2

2

22

2

2

2 1ty

vty

xy

2 2

2 2

y yx t

v2

2

22

2 1ty

vxy

所有波動現象滿足的運動方程式

考慮沿 y 方向的電場與沿 z 方向的磁場電磁場只與座標 x 有關！

)()( tdt

dsdtE B

dtxaBdaxEadxxE )()()(

tBaxax

xEaxExxE

)()(

tB

xE

磁場變化與垂直的電場滿足法拉第定律。

選擇如左圖 efgh 的封閉曲線

a

dtxaEdaxBaxxB )()()( 00

tE

xB

00

dtdsdB E

P

00

選擇如左圖的封閉曲線

tEaxax

xBaxBxxB

00)()( a

電場變化與垂直的磁場滿足 Maxwell 定律。

變化的電場感應產生的變化的磁場，感應產生變化的電場

tB

xE

tE

xB

00

變化的磁場與感應產生的電場必須滿足的關係

變化的電場與感應產生的磁場必須滿足的關係

兩個條件都必須滿足！

tB

xE

tE

xB

00

2

2

00

22

2

2

tE

xtB

txB

xE

2

2

22

2 1ty

vxy

波方程式

對 x 作偏微分

對 t 作偏微分第一式的右方等於第二式的左方

2

2

002

2

tE

xE

txB

xE

2

2

2

2

2

00

2

tE

xtB

00

1

v

m/s1099.21085.81026.1

1 8

126

cv

光速！！

電磁波的速度

tB

xE

tE

xB

00

2

2

002

2

tB

xB

2

2

22

2 1ty

vxy

波方程式

對 t 作偏微分

對 x 作偏微分第一式的左方等於第二式的右方

2

2

002

2

tB

xB

2

2

002

2

tE

xE

電磁波 Electromagnetic Wave

對均勻的介質)(0 f )(0 f

)()(11

00 fncfvc

除了光速的變化，光在介質中的性質與在真空中大致一樣，以直線行進。

2

2

22

2 1ty

vxy

波方程式的解

解： )()( vtxgvtxf

以上結果適用於任何滿足波方程式的波動現象！

2

2

2

2

ty

xy

')(),( xfvtxftxy 代入

'' '

y df dx dfx dx dx dx

2 2

2 2'y d f

x dx

'' '

y df dx dfvt dx dt dx

2 2

2

2 2'y d fv

t dx

2

2

22

2 1ty

vxy

vtxx '

固定 t

固定 x

)( vtxf 這個解的物理意義就是以函數 f 的波型，以常數波速 v 傳播，傳播的過程波型不變

現在這個日常熟知的結果是正式由運動方程式推導出來

)'(xfy

在 O’ 座標上看，波型靜止，波函數與時間無關vtxx ')(),( vtxftxy

在 O 座標上看函數 f ：靜止的波的形不變的波形以定速傳播！

在波動現象中波形以定速傳播，波形不變。

)(),( vtxftxy

此三組 (x,t) (0,0), (3,1), (6,2) 的 x-vt 值是相等的所以波函數即垂直位移即相等！

x-vt 值相等則波函數值相等維持 x-vt 值相等的位置隨時間線性增加！維持波函數值相等的空間點以定速移動

2

2

22

2 1ty

vxy

波方程式的解

解： )()( vtxgvtxf

波動的特徵皆來自此方程式：波型以定速傳播波型在傳播過程中不變形疊加定律以上結果適用於任何滿足波方程式的波動現象！

波速真的是常數

v

2

2

22

2 1ty

vxy

波方程式的解為：)()(),( vtxgvtxftxy

可見電磁波的電場也是如此：

波型以定速傳播，波型不變

)()(),( 21 vtxEvtxEtxE

2

2

22

2 1tE

cxE

電偶極如果突然形成或產生變化，遠處的電磁場如何被影響？?

+

電偶極出現-

電荷加速

電荷加速

電磁場的變化會以光速向外傳播。

在空間中傳播後，在水平線上看起來，電場是位置的正弦函數當電偶極做簡諧運動時，電磁場也會以時間的正弦函數來振盪！

正弦波

'sin)','( kxytxy m

波型是正弦函數：vtxx '

tkxykvtkxytxy mm sinsin),(在 O 座標上看

'sin)'( kxyxf m

vk

2

k

Tf 22

vfk

色散關係

tkxytxy m sin),(

kxytxy m sin)0,(

tytxy m sin),0(

瞬間波型如正弦函數

單點運動如簡諧運動

正弦波的波函數

角波數與波長

角頻率與周期

頻率與波長不是獨立的

tkxEtxE m sin),(

tkxBtxB m sin),(

正弦電磁波中電場與磁場方向垂直，大小隨時隨地都成正比！

正弦電磁波

tB

xE

vfk

mm BkE

因此磁場也是同樣的函數型式！

mmm cBBk

E

),(),( txBctxE

正弦平面波

在空間一固定點觀察正弦電磁波，電磁場會呈現簡諧振盪的形式 000 sinsin),( tEtkxEtxE mm

會在空間中傳播的電磁場，方向及大小必須滿足特定關係！電磁波是依賴電磁感應，因此其電場與磁場必須互相垂直

電偶極作為電磁波波源

LC1

Hertz (1887)

在水平方向看起來如同一個平面波

放送天線就是一個電偶極振盪器

電磁波以頻率或波長為特徵cf

天線的大小大致與波長相當。

無線電波 Radio Wave

AM FM

f ~ 535kHz to 1605kHz f ~ 88MHz to 108MHz

微波 Microwave

可穿透大氣層，太空通訊用

紅外線 Infrared

熱擾動的典型輻射

太陽的輻射能量的最大部分

可見光與紫外線 波長極小，只能以原子機制產生

紫外線可以打斷化學鍵，幸好會被大氣層吸收

X 射線

12 billion light years awayas bright as the whole universe

γ 射線

平面波

可以近似以波前平面及傳播線（ Ray）來描述平面波的傳播波前平面會沿與波前垂直的傳播線（ Ray）方向以光速傳播！平面波有波峰與波谷，可以連接相鄰的波峰來定義一系列的波前平面（Wavefront）

能量密度2

0

2

0

20 12

12

BBEuuu BE

能量通量BEcBcuS

0

2

0

11

的方向正好是能量流動的方向，因此可以定義通量為一向量BES

0

1

BE

speedn propogatiodensityenergy area

eenergy/timS

Poynting vector

電磁波的強度 Intensity

avg2

0avg

0avg

11 Ec

BESI

對正弦波 2

0

2

avg22

0avg 2

sin1m

mm E

cEtkxE

cSI

強度與振幅平方成正比2mEI

電磁波可以是立體波！

球面波前平面也會沿與波前垂直的傳播線（ Ray）方向以光速傳播！球面波如平面波一樣有波峰與波谷，可以定義球面波前

tkrEE m sin

24TimeEnergy

rP

AI

2mEI

rEm

1

立體波的能量會隨距離變大而稀釋，因此強度也會隨距離變大而減弱：

2

1r

I

點波源產生的球面波

tkrr

E sin1

Polarization 偏振

Polarized Unpolarized波動的電場有一定方向

未偏振的光可以以偏振片來偏振化

偏振片只容許一特定偏振方向的波通過

20 cosII

偏振化電磁波的電場向量可以分解疊加，分解後電場沿偏振片容許的方向的電磁波可以通過偏振片，強度為

分解後電場垂直於容許方向的電磁波則被吸收。

反射及散射也可以使光偏振化

當反射光與折射光垂直時，反射光會垂直於入射面偏振

tEtE mm sin90cos tEm cos

y 偏振 z 偏振

左旋光

右旋光

levotartaric acid(D-(−)-tartaric acid)

dextrotartaric acid(L-(+)-tartaric acid)