57 กำหนดการเชิงเส้น...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ก าหนดการเชงเสน (เนอหาตอนท 2)

การหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสน

โดย

อ.ดร.ณหทย ฤกษฤทยรตน และ อ.ดร.ดาวด ทองทา

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ก าหนดการเชงเสน สอการสอน เรอง ก าหนดการเชงเสน มจ านวนตอนทงหมดรวม 6 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน 2. เนอหาตอนท 1 การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

- การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร - ทบทวนการเขยนกราฟของอสมการเชงเสนสองตวแปร

3. เนอหาตอนท 2 การหาคาสดขด - การหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสน

4. แบบฝกหด (พนฐาน) 5. แบบฝกหด (ขนสง) 6. สอปฏสมพนธ เรอง ปญหาก าหนดการเชงเสน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ก าหนดการเชงเสน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง ก าหนดการเชงเสน (การหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสน) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/2) หวขอยอย การหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจวธหาจดสดขดและคาสดขดของปญหาก าหนดการเชงเสนโดยใชกราฟของ ฟงกชนจดประสงค 2. มความเขาใจวธหาจดสดขดและคาสดขดของปญหาก าหนดการเชงเสนโดยการแทนคาจดใน อาณาบรเวณทหาค าตอบไดลงในฟงกชนจดประสงค 3. มความเขาใจความสมพนธระหวางกราฟและค าตอบของปญหาก าหนดการเชงเสน

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. หาจดสดขดและคาสดขดของฟงกชนจดประสงคได 2. อธบายความสมพนธระหวางกราฟและค าตอบของปญหาก าหนดการเชงเสนได 3. หาค าตอบของปญหาก าหนดการเชงเสนได


3

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


4



5


สอการสอนเรองก าหนดการเชงเสน ตอนท 2 เรมตนดวยการน าปญหาจากตอนท 1 มาหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสน

การหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสนคอ การพจารณาฟงกชนจดประสงค P โดยการแทนคา P ดวยคาคงตวทแตกตางกน ซงท าใหไดกราฟเสนตรงทมความชนเทากนขนชดหนง หรอกลาวไดวาการแทนคา P ดวยคาคงตวทแตกตางกน ท าใหไดกราฟทขนานกนขนชดหนง จากนนเขยนกราฟเสนตรงเหลานใหตดกบอาณาบรเวณทหาค าตอบได (ถาท าได) แลวสงเกตลกษณะกราฟเสนตรงกบคา P ทเปลยนไป (ส าหรบตวอยางนจะเหนวาเมอคา P เพมขน กราฟเสนตรงจะเลอนขน) และหาจดในอาณาบรเวณทหาค าตอบไดทใหคา P สงสด (หรอต าสด) ตามตองการ


6

นอกจากนผสอนควรเนนย าถงความแตกตางของค าวา “จดทใหคาสงสด (ต าสด)” กบ “คาสงสด (ต าสด)” ของ ดวย นนคอ “จดทใหคาสงสด (ต าสด)” หมายถงคอนดบ ทอยในอาณาบรเวณทหาค าตอบได ซงเมอแทนคา และ ในสมการ แลวท าให P มคาสงสด (ต าสด) และเรยกคาสงสด (ต าสด) นนวา “คาสงสด (ต าสด)” ของ P

หลงจากทผเรยนไดศกษาปญหาชวนคดแลว ผสอนอาจเนนย ากบผเรยนอกครงวา อาณาบรเวณทหาค าตอบไดเดยวกน แตฟงกชนจดประสงคตางกนอาจท าใหไดจดสดขด (จดสงสดหรอจดต าสด) ตางกน และถามฟงกชนจดประสงคเปนฟงกชนเดยวกนแตอาณาบรเวณทหาค าตอบไดตางกน กอาจท าใหไดจดสดขด ตางกน นนคอ การพจารณาจดทใหคาสดขด (คาสงสดหรอคาต าสด) จะขนอยกบอาณาบรเวณทหาค าตอบไดและฟงกชนจดประสงค อาณาบรเวณทหาค าตอบไดอาจเปนอาณาบรเวณปด (อาณาบรเวณทมขอบเขต) ดงสองตวอยางขางตน หรออาณาบรเวณเปด (อาณาบรเวณทไมมขอบเขต) ดงตวอยางตอไปน


7

ในท านองเดยวกนกบตวอยางขางตน อาจไมมจดในอาณาบรเวณทหาค าตอบได ทท าให P มคาต าสด ค าถามหนงทนาสนใจและผสอนควรถามผเรยนคอ เปนไปไดหรอไมทฟงกชนจดประสงค P ไมมทงคาสงสดและคาต าสดบนอาณาบรเวณทหาค าตอบไดบรเวณหนง จากนนผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง พจารณาแบบจ าลองทางคณตศาสตรตอไปน

ฟงกชนจดประสงค อสมการขอจ ากด

วธท า

จากรปจะเหนไดวา เสนตรง มสวนททบกบอาณาบรเวณทหาค าตอบไดเสมอ ไมวา P

จะถกแทนดวยจ านวนจรงใด ดงนน ส าหรบอาณาบรเวณทหาค าตอบไดน ฟงกชนจดประสงค P ไมมทงคาสงสดและคาต าสด #


8

อกประเดนหนงทผเรยนมกสบสนคอ จดทใหคาสดขดอาจมหลายจดกได

สงทผสอนควรเนนย าคอ จดทกจดทอยบนเสนตรง เมอ ตางกเปนจดทท าให P มคาต าสด และคาต าสดนนคอ 20

เชน จด เปนจดทใหคาต าสดและคาต าสดของ P คอ 20 จด เปนจดทใหคาต าสดและคาต าสดของ P คอ 20

จด เปนจดทใหคาต าสดและคาต าสดของ P คอ 20 จด เปนจดทใหคาต าสดและคาต าสดของ P คอ 20

ในท านองเดยวกน จดทกจดทอยบนเสนตรง เมอ ตางกเปนจดทท าให

P มคาสงสด และคาสงสดนนคอ 60 เชน จด เปนจดทใหคาสงสดและคาสงสดของ P คอ 60

จด เปนจดทใหคาสงสดและคาสงสดของ P คอ 60 จด เปนจดทใหคาสงสดและคาสงสดของ P คอ 60 จด เปนจดทใหคาสงสดและคาสงสดของ P คอ 60


9

เมอผเรยนไดเหนตวอยางการประยกตของการหาคาสดขด โดยใชจดมมของอาณาบรเวณทหาค าตอบไดดงขางตนจบแลว ผสอนควรตงค าถามวา ในกรณท และ แทนจ านวนรถยนต และอาณาบรเวณทหาค าตอบได เปนอาณาบรเวณปดทมจดมม อยางนอยหนงจด ซง หรอ ไมเปนจ านวนเตม ผเรยนจะมวธหาคาสดขดดวยวธของก าหนดการเชงเสนไดอยางไร ผสอนอาจใหตวอยางเพมเตม เพอใหผเรยนแสดงความคดเหน ดงตวอยางตอไปน


10

ตวอยาง โรงงานแหงหนงผลตรถยนต 2 รนคอ รน A และรน B

รถยนตรน A ขายไดก าไรคนละ 12,000 บาท รถยนตรน B ขายไดก าไรคนละ 15,000 บาท

ในการประกอบรถยนต โรงงานใชเครองจกร 2 ชนด แตละชนดใชเวลาดงตาราง เครองจกร

รถยนต เครองจกรชนดท 1 (ชวโมงตอคน)

เครองจกรชนดท 2 (ชวโมงตอคน)

รน A 2 3 รน B 3 1

ถาเครองจกรเครองท 1 สามารถท างานไดไมเกนวนละ 21.5 ชวโมงและเครองจกรเครองท 2 สามารถ

ท างานไดไมเกนวนละ 20 ชวโมง แลวโรงงานแหงนควรจะผลตรถยนตแตละรนจ านวนเทาใดในแตละวน เพอใหขายไดก าไรมากทสด วธท า ให และ แทนจ านวนรถยนตรน A และรน B ทโรงงานประกอบไดในแตละวนตามล าดบ

และให P แทนก าไรทไดจากการขายรถยนต 2 รนนในแตละวน ฟงกชนจดประสงคคอ อสมการขอจ ากดคอ

เมอน าอสมการขอจ ากด มาเขยนกราฟ ในกรณ และ เปนจ านวนจรง จะไดอาณาบรเวณทหาค าตอบ

ไดดงรป


11

จากกราฟจะเหนวา เมอเสนตรงของฟงกชนจดประสงคเลอนขน คาของ P จะเพมขน และจะใหคามากทสด เมอเสนตรงผานจด

ดงนน โรงงานแหงนควรผลตรถยนตรน A จ านวน 3 คน และรถยนตรน B จ านวน 5 คน เพอใหขายไดก าไรมากทสดในแตละวน #

หมายเหต ในกรณทอาณาบรเวณทหาค าตอบได เปนอาณาบรเวณปด และตวแปร และ เปนจ านวนเตม เราอาจจะหาคาสดขดไดโดยน าคอนดบ ซง และ เปนจ านวนเตม ในอาณาบรเวณทหาค าตอบได มาแทนคาในฟงกชนจดประสงค เพอหาคา P ทสงทสด หรอต าทสด


12

จากตวอยางขางตน เราอาจจะพจารณาจดตางๆ ในอาณาบรเวณทหาค าตอบไดดงน

จะเหนวาจด เปนจดทใหคา P สงสด


13

ตวอยาง รานขายน าผลไมแหงหนงผลตน าสมและน ามะนาวทกวน สมมตวาในแตละวนรานคาแหงนผลตน าสม ลตร และผลตน ามะนาว ลตร โดยมเงอนไขดงน

ถาน าสมขายไดก าไรลตรละ 5 บาท และน ามะนาวขายไดก าไรลตรละ 2 บาท รานคาแหงนควรจะผลต

น าสมและน ามะนาวอยางละเทาใด จงจะขายไดก าไรมากทสดตอวน

วธท า ให P แทนก าไรทไดจากการขายน าสมและน ามะนาวทงหมด จากโจทยจะไดฟงกชนจดประสงค อสมการขอจ ากด

และไดอาณาบรเวณทหาค าตอบไดดงรป


14

พจารณาหาคา P ทจดมมของอาณาบรเวณทหาค าตอบไดดงน

จากการพจารณาขางตน ผเรยนสวนใหญจะตอบวา จด และจด คอจดทท าให ซงเปนคาสงสด นนคอ รานคาแหงนควรผลต น าสม ลตร และน ามะนาว ลตร หรอน าสม 6 ลตร

และน ามะนาว 15 ลตร จงจะท าใหขายไดก าไรมากทสด คอไดก าไร 60 บาท

ถงแมวาทงสองค าตอบจะเปนค าตอบทถกตอง แตกยงมปรมาณการผลตแบบอนอกทท าใหขายไดก าไร 60 บาท


15

จากรปจะไดวา จดทกจดทอยบนเสนตรง เมอ เชนจด ตางกเปนจดทท าให ซงเปนคาสงสด ดงนน รานคาแหงนสามารถผลตน าสมและน ามะนาวไดอกหลายแบบ เชน น าสม 8 ลตร และน ามะนาว 10 ลตร หรอน าสม 10 ลตร และน ามะนาว 5 ลตร ซงตางกท าใหขายไดก าไรสงสด คอ 60 บาท #


16

สรปสาระส าคญประจ าตอน


17

สรปสาระส าคญประจ าตอน


18

ภาคผนวกท 1

แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


19

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหาค าตอบดวยวธของก าหนดการเชงเสน

1-4 จงหาจดสดขด และคาสดขดของ P ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดใหตอไปน 1.

2.

3.

4.

5. โรงงานแหงหนงผลตอาหารสตว 2 ชนดคอ ชนด A และ ชนด B และมเครองจกรในการผลต 2 เครอง โดยมขอจ ากดเรองเวลาทเครองจกรสามารถท างานไดและเวลาทใชในการผลตอาหารสตวแตละชนดดงน


20

เวลาทเครองจกร

สามารถท างานได (ชวโมง/วน)

เวลาทใชผลต อาหารสตวชนด A

(ชวโมง/ตน)

เวลาทใชผลต อาหารสตวชนด B

(ชวโมง/ตน) เครองจกรท 1 18 2 3 เครองจกรท 2 11 1 2

ถาบรษทไดก าไรจากการขายอาหารสตวชนด A และ ชนด B ตนละ 3,000 และ 4,000 บาทตามล าดบ โรงงานแหงนตองผลตอาหารสตวแตละชนดวนละเทาไรเพอขายใหไดก าไรสงสด

6. บรษทผลตโทรศพทแหงหนงไดผลตโทรศพทรนใหมออกมา 2 รน คอ รน A และ รน B โดยทรน A ขาย

เครองละ 12,000 บาท และ รน B ขายเครองละ 15,000 บาท ในแตละวนบรษทตงใจจะผลตโทรศพทรน A ไมนอยกวา 60 เครอง และผลตรน B ตงแต 50 ถง 100 เครอง ถาบรษทมความสามารถในการผลตโทรศพททงสองรนรวมกนในแตละวนไมเกน 150 เครอง แลวในแตละวนบรษทควรจะผลตโทรศพทรนละกเครอง เพอใหขายได รายไดสงสด

7. ชายคนหนงตองการท าแปลงดอกไมรปสเหลยมมมฉากแปลงหนง โดยมเงอนไขคอ สองเทาของความยาว

ของดานกวางนอยกวาหรอเทากบความยาวของดานยาว และความยาวรอบรปของแปลงดอกไมนอยระหวาง 550 ถง 700 เมตร ถาคาวสดในการลอมรวดานกวางราคาเมตรละ 20 บาท และคาวสดในการลอมรวดานยาวราคาเมตรละ 35 บาท เขาจะตองกนรวแบบใดจงจะเสยคาใชจายนอยทสด

8. เกษตรกรคนหนงบรรจสมในกลองขนาดเทากนทกกลองและจางบรษทรบสงของใหน าสมไปสงใหลกคา

โดยตองการใชเวลาในการขนกลองสมทงหมดขนรถไมเกน 1 ชวโมงครง บรษทรบสงของมรถบรรทกขนาดเลกและขนาดใหญใหเลอก รถบรรทกขนาดเลกสามารถบรรทกสมได 40 กลอง รถบรรทกขนาดใหญสามารถบรรทกสมได 60 กลอง และขณะนนมคนขบรถทวางอย 10 คน ถาเกษตรกรตองการใหขนกลองสมขนรถทละคนเพอตรวจสอบคณภาพดวยตนเอง เขาจะตองใชเวลาในการขนกลองขนรถบรรทกขนาดเลก 5 นาทตอคนและใชเวลาในการขนกลองขนรถบรรทกขนาดใหญ 15 นาทตอคน เกษตรกรจะตองจางบรรทกขนาดละกคน เพอจะสงสมไปใหลกคาไดมากทสด


21

9. ในการผลตขนมขบเคยวชนดหนง ในแตละวนโรงงานตองใชมนฝรงเปนวตถดบไมต ากวา 500 กโลกรม โดยน ามาจากแหลงปลกทจงหวดเชยงรายและจงหวดชลบร มนฝรงจากเชยงรายใหปรมาณแปง 4 หนวยตอกโลกรม ในขณะทมนฝรงจากชลบรใหปรมาณแปง 3 หนวยตอกโลกรม ทงนปรมาณแปงทตองการจากมนฝรงทงหมดไมนอยกวา 1,600 หนวย หากราคาของมนฝรงจากเชยงรายและชลบรเทากบกโลกรมละ 10 บาทและ 8 บาทตามล าดบ ในแตละวนโรงงานตองจายคามนฝรงต าสดเทาใด (PAT ตลา 51)

10. ฉตรลดาและวรรณพรชวยกนท าสมดบนทกและกรอบรป เพอน าไปขายในงานวนลอยกระทง ทงสองคน

ใชเวลาในการท า สมดและกรอบรป ดงน ฉตรลดาใชเวลาท าสมดบนทกเลมละ 1 ชวโมงและท ากรอบรปชนละ 2 ชวโมง

วรรณพรใชเวลาท าสมดบนทกเลมละ 1 ชวโมงและท ากรอบรปชนละ 1 ชวโมง ในหนงวน ฉตรลดาและวรรณพรมเวลาท างานประดษฐ ไมเกน 6 ชวโมง และไมเกน 4 ชวโมง ตามล าดบ และตกลงกนไววาจะผลตสมดบนทกและกรอบรปใหไดอยางนอยชนดละ 1 ชนตอวน ถาสมดบนทกขายไดก าไรเลมละ 10 บาทและกรอบรปขายไดก าไรชนละ 20 บาท จากเงอนไขนฉตรลดาและวรรณพรจะไดก าไรสงสด วนละเทาไร


22

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


23

เฉลยแบบฝกหด

1. เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดไดบรเวณทแรเงา ดงรป

เมอแทนคาพกดของจดมมทไดจากอสมการขอจ ากดในฟงกชนจดประสงค จะไดคา P ดงน

ดงนน จดทใหคาสงสดของ P คอ และคาสงสดของ P คอ 40 จดทใหคาต าสดของ P คอ และคาต าสดของ P คอ -125 #


24





25





26


เมอก าหนดให P เปนคาคงตวใดๆ คา P ทแตกตางกนท าใหไดกราฟเสนตรงทขนานกน เชน เมอ จะได

จะได

จะได 2 จะได สงเกตวา ถาเลอนกราฟเสนตรงของฟงกชนจดประสงคขน คาของ P จะเพมขน และเสนตรงนยงคงมสวนททบกบกราฟของอสมการขอจ ากดเสมอ ดงนน ไมมจดใดทสอดคลองกบอสมการขอจ ากดทใหคาสงสดของ P

ในท านองเดยวกน ถาเลอนกราฟเสนตรงของฟงกชนจดประสงคลง คาของ P จะลดลง และเสนตรงนยงคงทบกบกราฟของอสมการขอจ ากดเสมอ ดงนนไมมจดใดทสอดคลองกบอสมการขอจ ากดทใหคาต าสดของ P #


27

5. สมมตใหโรงงานผลตอาหารสตวชนด และชนด จ านวน ตน และ ตนตามล าดบ และให แทนก าไรทไดจากการขายอาหารสตวทงหมด

ฟงกชนจดประสงค คอ อสมการขอจ ากด คอ เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดไดบรเวณทแรเงา ดงรป


ดงนน โรงงานแหงนตองผลตอาหารสตวชนด A เพยงชนดเดยว และผลตวนละ 9 ตน จงจะไดก าไรสงสด #


28

6. ให และ แทนจ านวนโทรศพทรน และ ทบรษทผลตในหนงวนตามล าดบ และให แทนรายไดจากการขายโทรศพทรน และ ในหนงวน

ฟงกชนจดประสงค คอ อสมการขอจ ากด คอ

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากด ในกรณ และ เปนจ านวนจรงได ดงรป


ดงนน บรษทแหงนควรผลตโทรศพทรน A วนละ 60 เครอง และผลตโทรศพทรน B วนละ 90 เครอง เพอใหขายได รายไดสงสด #


29

7. สมมตใหแปลงปลกดอกไมกวาง เมตร ยาว เมตร และให แทนคาใชจายในการลอมรวทงหมด ฟงกชนจดประสงค คอ อสมการขอจ ากด คอ

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดไดบรเวณทแรเงา ดงรป


ดงนน ชายคนนตองกนรวดานกวาง เมตร และดานยาว เมตร จงจะเสยคาใชจายนอยทสด #


30

8. ให และ แทนจ านวนรถบรรทกขนาดเลกและขนาดใหญทเกษตรกรจางตามล าดบ และให แทนจ านวนสมทเกษตรกรสงไปใหลกคา




ดงนน เกษตรกรตองจางรถบรรทกขนาดเลก 6 คน และขนาดใหญ 4 คน เพอจะสงสมไปใหลกคาไดมากทสด #


31

9. ให และ แทนปรมาณมนฝรงทน ามาจากจงหวดเชยงรายและชลบรตามล าดบ และให แทนราคามนฝรงทงหมดในแตละวน


เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดไดบรเวณทแรเงา ดงรป

เมอก าหนดให P เปนคาคงตวใดๆ คา P ทแตกตางกนท าใหไดกราฟเสนตรงทขนานกน สงเกตวา ถาเลอนกราฟเสนตรงของฟงกชนจดประสงคขน คาของ P จะเพมขน และจะเลอนไปตดจดในอาณาบรเวณทหาค าตอบไดทจด เปนจดแรก ดงนน จด เปนจดทใหคาต าสดของ P และคาต าสดของ P คอ เพราะฉะนน ในแตละวน โรงงานตองจายคามนฝรงต าสด 4,200 บาท #


32

10. ให และ แทนจ านวนสมดบนทกและกรอบรปททงสองคนผลตไดในแตละวนตามล าดบ และให แทนก าไรทไดจากการขายสนคาทงหมด

ฟงกชนจดประสงค คอ

อสมการขอจ ากด คอ


เนองจาก และ ตองเปนจ านวนเตม เราจงพจารณาจด ซง และ เปนจ านวนเตม และ

อยในอาณาบรเวณทหาค าตอบไดเทานน

ดงนน ฉตรลดาและวรรณพรจะไดก าไรสงสดวนละ 60 บาท #


33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


34

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


35


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขชก าลง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกของยอย อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


36


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงล าดบ

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

57 กำหนดการเชิงเส้น...

Documents