สถิติ ( 푺풕풂풕풊풔풕풊풄풔) … … …

อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท

1. สถิติ หมายถึง ตัวเลขท่ีแทนขอเท็จจริง หรือ ขบวนการที่กระทํากับขอมูล 4 ข้ันตอน ดังนี ้ ข้ันตอนที่ 1 การเก็บรวบรวมขอมูล ข้ันตอนที่ 2 การนําเสนอขอมูล

ข้ันตอนที่ 3 การวิเคราะหขอมูล ข้ันตอนที่ 4 การแปลความหมายของขอมูลและการนําไปใช

2. คําตางๆที่ใชในวิชาสถิติที่ควรทราบ 1) ประชากร (푝표푝푢푙푎푡푖표푛)

หมายถึง เซตของขอมูลทั้งหมด ที่เราตองการศึกษา 2) กลุมตัวอยาง ( 푆푎푚푝푙푒 )

หมายถึง สับเซตของประชากร ที่เลือกมาศึกษา 3) คาพารามิเตอร ( 푝푎푟푎푚푒푡푒푟 )

หมายถึง คาตางๆที่ใชอธิบายประชากร เชน 휇 , 휎 4) คาสถิติ หมายถึง คาตางๆที่ใชอธิบายกลุมตัวอยาง เชน 푥̅ , 푆 5) คาสังเกต หมายถึง คาของขอมูลแตละตัว

6) ขอมูลสถิติ หมายถึง ตัวเลขหรือขอความซึ่งเกี่ยวของกับเรื่องใดเรื่องหนึ่ง

ที่เราสนใจ เปนขอเท็จจริง มีมากกวา 1 คา

3. แหลงขอมูล ประกอบดวย แหลงขอมูลปฐมภูมิ และ แหลงขอมูลทุติยภูมิ

4. ชนิดของขอมูล 1) ขอมูลเชิงคุณภาพ

2) ขอมูลเชิงปริมาณ 3) ขอมูลเชิงกาลเวลา 4) ขอมูลเชิงภูมิศาสตร

การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน 1. การวัดคากลางของขอมูล

ที่สําคัญไดแก คาเฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

คาที่มีความสําคัญรองลงมาไดแก คาเฉล่ียเรขาคณิต ฮารโมนิก และคากึ่งกลางพิสัย

สาเหตุที่มีคากลางหลายคาเพราะวาขอมูลแตละชุดมีลักษณะแตกตางกัน

และผูใชมีวัตถุประสงคแตกตางกัน

2. ตัวกลางเลขคณิต( 푥̅ )สวนใหญใชกับขอมูลเชิงปริมาณ

ที่มีคาไมแตกตางกันมากนัก ไมใชกับขอมูลเชิงคุณภาพ

1) กรณีไมแจกแจงความถี่ ใชสูตร 푥̅ =∑ 푥

푛

2) กรณีแจกแจงความถี่ ใชสูตร 푥̅ =∑ 푓 푥

푛

3) กรณีแจกแจงความถี่( แบบสมมุติคาตัวกลาง)

푥̅ = 푎 + 푖∑ 푓 푑

푛 โดยที่ 푑 =푥 − 푎

푖

4) กรณีหาคาเฉล่ียรวมของขอมูลหลายกลุมหรือขอมูลถวงน้ําหนัก

푥 =∑ 푛푖푥푖

푛푖=1

∑ 푛푖푛푖=1

3. ตัวกลางมัธยฐาน ( Median)ใชกับขอมูลเชิงปริมาณ

ที่มีคาแตกตางกันมาก การกระจายไมสม่ําเสมอ 1) กรณีไมแจกแจงความถี ่ ไมมีตารางความถี่

ใหเรียงขอมูลจากนอยไปมาก Median คือขอมูลในตําแหนงที่ n + 1

2

2) กรณีแจกแจงความถี่ Med. = L + i

n2 − Fl

fm

L = ขอบลางของชั้น median

FL = ความถี่สะสมกอนถึงชั้น Med f = ความถี่ของชั้น Med

i = ความกวางของชั้น Med

4. ตัวกลางฐานนิยม ( Mode ) คือคาสังเกตที่มีความถี่สูงสุดเพียงคาเดียว สวนใหญใชกับขอมูลเชิงคุณภาพ

กรณีแจกแจงความถี่ Mode = L + id1

d1 + d2

โดยที่ d1 = ผลตางของความถี่ในชั้น mode กับชั้นที่ต่ํากวา d2 = ผลตางของความถี่ในชั้น mode กับชั้นที่สูงกวา 퐿 = ขอบลางของชั้น 푀표푑푒

푖 = ความกวางของชั้น 푀표푑푒

หมายเหตุ ในกรณีที่ความกวางของทุกชั้นเทากันและหาแบบคาประมาณ

สามารถใชคากึ่งกลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุดเปนคา 푀표푑푒 ไดเลย

คาประมาณของ 푀표푑푒 =퐿 + 푈

2ของชั้นที่มีความถี่มากสุด

5. คาเฉล่ียเรขาคณิต ( 퐺푒표푚푒푡푟푦 푀푒푎푛 ∶ 퐺. 푀. )

เหมาะสมกับที่จะใชกับขอมูลที่เปนเศษสวนหรือทศนิยม

กรณีไมแจกแจงความถี่ 퐺푀 = 푥1푥2푥3 … 푥푛푛

กรณีแจกแจงความถี่ 푙표푔 퐺푀 =1푛 푓 푙표푔푥

6. คาเฉล่ียฮารโมนิก (퐻푎푟푚표푛푖푐 푀푒푎푛 ∶ 퐻. 푀 )

เหมาะที่จะใชกับขอมูลที่เปนความเร็ว อัตราสวน แรงงาน

กรณีไมแจกแจงความถี่

퐻. 푀. =푛

1푥 + 1

푥 + 1푥 + ⋯ + 1

푥

กรณีแจกแจงความถี่

퐻. 푀. =∑ 푓

푓푥 + 푓

푥 + 푓푥 + ⋯ + 푓

푥

ถาจะเปรียบเทียบกับความเร็วเฉล่ียจะไดวา ความเร็วเฉล่ีย

퐻. 푀 =푠 + 푠 + 푠 + ⋯ + 푠푠푣 + 푠

2 + 푠푣 + ⋯ + 푠

푣

7. กึ่งกลางพิสัย ( 푀푖푑 푅푎푛푔푒 )

กรณีไมแจกแจงความถี่ 푀. 푅. =푥푚푎푥+푥푚푖푛

2

กรณีแจกแจงความถี่ 푀. 푅. =

퐿 = ขอบลางของชั้นต่ําสุด

푈 = ขอบบนชั้นสูงสุด 8. การวัดตําแหนงของขอมูล(푄푢푎푟푡푖푙푒푠, 퐷푒푐푖푙푒푠 푃푒푟푐푒푛푡푖푙푒푠)

โดยใชควอไทล เดไซดและเปอรเซ็นไทล กรณีไมแจกแจงความถี่ มีวิธกีารหาดังนี ้ 1) ใหเรียงขอมูลจากคานอยไปคามาก

2) หาตําแหนงที่ตองการไดดังนี้

푅푎푛푘 푄 =푟4

(푛 + 1) หรือเขียนวา 푅푄 =푟4

(푛 + 1)

푅푎푛푘 푄 =푟4

(푛 + 1) หรือ เขียนวา 푅퐷 =푟

10 (푛 + 1)

푅푎푛푘 푃 =푟

100(푛 + 1) หรือเขียนวา 푅푃 =

푟100

(푛 + 1)

ถาหาได 푅푃 =푟

100(푛 + 1) = 푎. 푏

จะสรุปไดวา ∴ 푃 = 푥 .

3) หาคาของ 푄 , 퐷 , 푃 จาก คาของ 푃 = 푥 . ∴ 푃 = 푥 . = 푥 + (0. 푏)(푥 − 푥 )

แตถา คาของ 푃푟อยูในตําแหนงทศนิยม .5 เชน 푃푟 = 푥3.5

ใหใชคาเฉล่ียของ 푥3 กับ 푥4 จะได 푃3.5 =푥3 + 푥4

2

กรณีแจกแจงความถี่ มีข้ันตอนการหาดังนี้ 1) หาตําแหนงจากสูตรตอไปนี้

푅푎푛푘 푄 =푟푛4

หรือ 푅푎푛푘 퐷 =푟푛10

หรือ 푅푎푛푘 푃 =푟푛

100

2) หาวาตําแหนงที่หามาไดตกในชั้นที่เทาไรแลวใชสูตรดังนี้

푃 = 퐿 + 푖푥푛

100 − 퐹푓

퐷 = 퐿 + 푖푥푛10 − 퐹

푓

푄 = 퐿 + 푖푥푛4 − 퐹

푓

โดยที่ 퐿 = ขอบลางของชั้น 푃푥 , 퐷푥, 푄푥

푖 = ความกวางของชั้น 푃 , 퐷 , 푄

푛 = จํานวนขอมูลทั้งหมด

퐹 = ความถี่สะสมกอนถึงชั้น 푃 , 퐷 , 푄

푓 = ความถี่ของชั้น 푃 , 퐷 , 푄

สิ่งที่ตองจํา มีประโยชนมากในการทําขอสอบ

9. คุณสมบัติของคากลางของกลุมตัวอยาง

1) 푥 = 푛푥̅

2) (푥 − 푥̅) = 0

3) 푥 < 푥̅ < 푥

4) (푥 − 푥̅) ≤ (푥 − 푎) โดยที่ 푎 ∈ 푅

หรือ (푥 − 푎) มีคานอยสุดเมื่อ 푎 = 푥̅

5) |푥 − 푀푒푑| ≤ |푥 − 푏| โดยที่ 푏 ∈ 푅

หรือ |푥 − 푏| มีคานอยสุดเมื่อ푏 = 푀푒푑.

6) ถาขอมูลชุด 퐴 มี: 푥 , 푥 , 푥 , … , 푥

ถาขอมูลชุด 퐵 มี 푦 = 푎푥 ± 푏 แลวจะไดวา

6.1) 푦 = 푎푥̅ ± 푏 6.2) 휎 = |푎 |휎 , 푠. 푑. = |푎 |푠. 푑.

6.3) 푀표푑푒 = 푎푀표푑푒 ± 푏

6.4) 푀푒푑 = 푎푀푒푑 ± 푏

6.5) 푅푎푛푔푒 = |푎 |푅푎푛푔푒

6.6) 푀. 퐷. = |푎 |푀. 퐷.

7) ถาขอมูลเปนชนิดอันตรภาคชั้นเปด จะหาคากลางของขอมูล

ไมได ยกเวนคา 푀푒푑푖푎푛 และคา 푀표푑푒

8) ขอมูลที่มีลักษณะ แจกแจงความถี่แบบ เบลาดทางขวา จะมี 푀표푑푒 < 푀푒푑. < 푥

9) ขอมูลที่มีลักษณะ แจกแจงความถี่แบบ เบลาดทางซาย จะมี 푥̅ < 푀푒푑. < 푀표푑푒 10) ขอมูลที่มีลักษณะ แจกแจงความถี่แบบโคงปกติ จะมี 푥 = 푀푒푑. = 푀표푑푒

การวัดการกระจายของขอมูล มี 2 ลักษณะ ลักษณะที่ 1 การวัดการกระจายสัมบูรณ (퐴푏푠표푙푢푡푒 푉푎푟푖푎푡푖표푛)

เปนการวัดเพื่อศึกษาขอมูลชุดเดียวมีวิธีการวัด4 แบบ

แบบที่ 1 พิสัย ( 푅푎푛푔푒) โดยที่ 푅푎푛푔푒 = 푥푚푎푥 − 푥푚푖푛

แบบที่ 2 สวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄푢푎푟푡푖푙푒 퐷푒푣푖푎푡푖표푛) โดยที่

푄. 퐷. =푄 − 푄

2

แบบที่ 3 สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀푒푎푛 퐷푒푣푖푎푡푖표푛) โดยที ่

푀. 퐷. =∑ 푓|푥 − 푥̅|

푛 หรือ 푀. 퐷. =∑ 푓|푥 − 휇|

푁

แบบที่ 4 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(푆푡푎푛푑푎푟푑 퐷푒푣푖푎푡푖표푛)

โดยแบงเปน กรณีวัดจากประชากรทั้งหมด จะใชสูตร

휎 =∑ 푓(푥 − 휇)

푁 หรือ 휎 =∑ 푓푥

푁 − 휇

กรณีวัดจากกลุมตัวอยาง จะใชสูตร

푠 =∑ 푓(푥 − 푥̅)

푛 − 1 หรือ 푠 =∑ 푓푥 − 푛푥̅

푛 − 1

ความแปรปรวนของประชากร (푉푎푟푖푎푛푐푒) = 2

ลักษณะที่ 2 การวัดการกระจายสัมพัทธ (푀푒푎푠푢푟푒 표푓 푟푒푙푎푡푖푣푒 푣푎푟푖푎푡푖표푛)

เปนการวัดการกระจายเพื่อใชศึกษาเปรียบเทียบขอมูลตั้งแต 2 ชุดข้ึนไป

มีวิธีการวัด 6 แบบ แบบที่ 1 สัมประสิทธิ์ของพิสัย (퐶표푒푓푓푖푐푖푒푛푡 표푓 푟푎푛푔푒 ) 퐶. 푅. =

แบบที่ 2 สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอรไทล (퐶표푒푓푓푖푐푖푒푛푡 표푓 푞푢푎푟푡푖푙푒 푑푒푣푖푎푡푖표푛 )

퐶. 푄. 퐷. =푄 − 푄푄 + 푄

แบบที่ 3 สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย

(퐶표푒푓푓푖푐푖푒푛푡 표푓 푚푒푎푛 푑푒푣푖푎푡푖표푛 )

퐶. 푀. 퐷 =푀. 퐷

푥̅ หรือ 퐶. 푀. 퐷 =푀. 퐷

휇

แบบที่ 4 สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน(퐶표푒푓푓푖푐푖푒푛푡 표푓 푣푎푟푖푎푡푖표푛 )

. 푉. =푆. 퐷

푥̅ หรือ 퐶. 푉. =휎휇

การคํานวณสวนเบี่ยงเบนโดยใช สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน푆. 퐷.

โดยใชคา 푥 เปนคากลางจะมีคานอยกวาใชคากลางชนิดอ่ืน

การ 푪풐풎풃풊풏풆 ขอมูล 2 ชุด การหาคาของ 푆 จากการรวมขอมูล 2 ชุด โดยที่ ชุดที่ 1 มี 푁1, 휇1 , 휎1 ชุดที่ 2 มี 푁2, 휇2 , 휎2 กรณีที่ 1 ขอมูล 2 ชุดมีคาเฉล่ียเลขคณิตไมเทากัน 휇1 ≠ 휇2 จะหาไดจากสูตรตอไปนี้

สูตรที่ 1 휎2 =∑ 푥1

2 + ∑ 푥22

푛1 + 푛2− 휇2

โดยที่ 휇 =푛1휇1 + 푛2휇2

푛1 + 푛2และ 푥2 = 푛(휇2 + 휎2)

สูตรที่ 2

휎 =푛 휎 + 푛 휎 + 푛 (휇 − 휇 ) + 푛 (휇 − 휇 )

푛 + 푛

โดยที่ 휇 =푛1휇1 + 푛2휇2

푛1 + 푛2

สูตรที่ 3 휎2 =푛1휎1

2 + 푛2휎22

푛1 + 푛2+ 푛1푛2

휇1 − 휇2

푛1 + 푛2

2

กรณีที่ 2 ขอมูล 2 ชุดมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากัน 휇1 = 휇2

จะไดวา 휎2 =푛1휎1

2+푛2휎22

푛1+푛2

คะแนนมาตรฐาน ( 푍 − 푠푐표푟푒 )

สูตรที่ใชในการหาคาคะแนนมาตรฐานไดแก

푍 =푥 − 휇

휎 หรือ 푍 =푥 − 푥̅

푠

ขอสังเกตเกี่ยวกับคาคะแนนมาตรฐาน มีดังนี ้1) 푍 จะเปนคา บวกหรือคา ลบหรือ 0 ก็ได 2) โดยทั่วไปคา 푍 จะอยู ระหวาง − 3 กับ 3 โดยประมาณ

3) 푍 = 0 เสมอ ∴ 푍̅ = 0 หรือ 휇 = 0 เสมอ

4) 푍 = 푁 เสมอ

5) 휎 = 1 เสมอเพราะวา 휎 =∑ 푧

푁 − 휇

แต 푧2 = 푁 และ 휇푧 = 0เสมอ

∴ 휎 =푁푁 − 0 = 1

พื้นที่ใตโคงปกติ ( 푁표푟푚푎푙 퐶푢푟푣푒 ) มีคุณสมบัติดังนี้ 1) พื้นที่ใตโคงปกติจะมีคาเทากับจํานวนขอมูลเสมอ

2) พื้นที่ใตโคงปกติของคามาตรฐาน จะมีคา 휇 = 0 , 휎 = 1

และพื้นใตโคงปกติของคามาตรฐานมีคาเทากับ 1 เสมอ

ลักษณะกราฟของขอมูล จากตารางขอมูลการสอบของนักเรียนหอง A และ B

เรานํามาสรางกราฟแทงไดดังนี้

และสรางเปนกราฟเชิงเสนไดดังนี้

กราฟเหลานี้จะแสดงจํานวนขอมูล ในชวงคะแนนตางๆโดยวัดจากความสูงของกราฟ กราฟเหลานี้มิใชกราฟปกติ เสนกราฟ 퐴 มีลักษณะที่เรียกวา กราฟเบขวา (โยซาย) กลาวคือ 푚표푑푒 < 푚푒푎푛 < 푚푒푑푖푎푛 เสนกราฟ 퐴 มีลักษณะที่เรียกวา กราฟเบซาย (โยขวา) กลาวคือ 푚푒푑푖푎푛 < 푚푒푎푛 < 푚표푑푒 เสนกราฟโคงปกติ 푁표푟푚푎푙 퐶푢푟푣푒 푚푒푑푖푎푛 = 푚푒푎푛 = 푚표푑푒

พื้นที่ใตโคงปกติของขอมูล

โคงปกติมีคุณสมบัติดังนี้ 1) สมการของกราฟ 푛표푟푚푎푙 퐶푢푟푣푒

푓(푥) =√

푒 , 푒 ≈ 2.718, 휋 ≈ 3.1416 2) 휇 = 푚푒푑푖푎푛 = 푚표푑푒 = 푎 , 푎 ∈ 푅 และ 휎 > 0 3) สมมุติให พื้นที่ใตโคงปกติ มีคาเทากับ 1 ตารางหนวย เสมอ พื้นที่ซีกซาย = พื้นที่ซีกขวาเสมอ = 0.5 การเปรียบเทียบกราฟของโคงปกติ ของขอมูล 2 ชุด ที่มีจํานวนขอมูลเทากัน

กรณีที่1 휇 = 휇 และ 휎 < 휎 กรณีที่2 휇1 < 휇2 และ 휎1 = 휎2

กรณีที่ 3 휇 < 휇 และ 휎 < 휎

กรณีที่ 4 휇1 < 휇2 และ 휎1 > 휎2

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1 -0.5 0.5 1 1.5

2

1.5

1

0.5

-1 1

0.5

-1 1 2

1

0.5

-1 1 2

1

0.5

-1 1 2

พื้นที่ใตโคงปกติ ของคะแนนมาตรฐาน มีคุณสมบัติดังนี้

1) สมการของกราฟ ของคะแนนมาตรฐาน(푍)จะเปนโคงปกต ิ ซึ่งมี 휇 = 푚푒푑푖푎푛 = 푚표푑푒 = 0 , 휎 = 1 มีสมการของกราฟดังนี้

푓(푥) =1

√2휋푒 , 푒 ≈ 2.718, 휋 ≈ 3.1416

2) สมมุติให พื้นที่ใตโคงปกติ จะมีคาเทากับ 1 เสมอ พื้นที่ซีกซาย = พื้นที่ซีกขวาเสมอ = 0.5

3)พื้นที่ใตโคงปกติที่ควรทราบ

4) ถา 푧 = 2 จะมี 퐴 = 0.4773 หมายถึง พื้นที่ใตโคงปกติที่วัดจากแกนกลางถึงระยะ 푍 = 2 จะมีพื้นที่เทากับ 0.4773 จากพื้นที่ใตโคงทั้งหมด 1 หนวย

�

5) คาพื้นที่ ที่ใหจากตารางจะเปนคาของพื้นที่ที่วัดจากแกนกลางถึงคา 푍 ที่เปนคาบวกเทานั้น คา 푍 ที่เปนคาลบจะมีพื้นที่สมมาตรกับ พื้นที่ของคา 푍 ที่เปนคาบวกเสมอ เชน 푍 = 2.0 มี 퐴 = 0.4773 แลว 푍 = − 2.0 จะมี 퐴 = 0.4773 เชนเดียวกัน

6) ความหมายของ 푍 = 2 , 퐴 = 0.4773 หมายความวา จากพื้นที่ 1 หนวย( 푁 = 1) จะมีพื้นที่ที่วัดจากแกนกลาง(푍 = 0)ถึงคะแนน 푍 = 2 มีคาเทากับ 0.4773 ตัว และถาขอมูลมีทั้งหมดมี 10,000 ตัว แลว จํานวนขอมูลที่มีคาตั้งแต 푍 = 0 ถึง 푍 = 2 จะมีขอมูลทั้งหมดเทากับ 0.4773 × 10000 = 4773 จํานวน

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-1 -0.5 0.5 1

การวิเคราะหความสัมพันธเชิงฟงกชั่นระหวางขอมูล โดยทั่วไป ความสัมพันธเชิงฟงกชั่นของขอมูล แบงออกเปน 2 ชนิดคือ

1) มีความสัมพันธที่เปนเสนตรง ในรูปสมการ 푦 = 푎푥 + 푏

2) มีความสัมพันธที่ไมเปนเสนตรง เชน ในรูปสมการ 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐 หรือ 푦 = 푎푏 เรียก 푥 วา ตัวแปรตน หรือ ตัวแปรอิสระ ( 퐼푛푑푒푝푒푛푑푒푛푡 푉푎푟푖푎푏푙푒푠 )

เรียก 푦 วา ตัวแปรตาม ( 푑푒푝푒푛푑푒푛푡 푉푎푟푖푎푏푙푒푠 )

3) วิธีการหาคาพยากรณหรือการประมาณคา ความสัมพันธ ของตัวแปร 푦 ดวยตัวแปร 푥 ที่มีความคลาดเคล่ือนนอยสุด

จะใชวิธีการที่เรียกวาวิธีกําลังสองนอยสุด(푀푒푡ℎ표푑 표푓 퐿푒푎푠푡 푠푞푢푎푟푒 )

ซึ่งมีข้ันคอนการทําดังนี้ (1)นําขอมูลของตัวแปรแตละคูมาลงจุดในกระดาษกราฟ (푆푐푎푡푡푒푟푝푙표푡푠)

(2)พิจารณาลักษณะของกลุมจุดที่ลงวามีแนวโนม(푡푟푒푛푑 )

ใกลเคียงกับลักษณะของเสนกราฟแบบใด

โดยลงเสน 퐼푚푎푔푖푛푎푟푦 푙푖푛푒 หรือ 퐸푠푡푖푚푎푡푒 퐿푖푛푒

(3) การหาสมการเสนพยากรณ ในกรณีตางๆ กรณีที่ 1 เสนพยากรณ คือ 푦 = 푎푥 + 푐

วิธีทํา ใหดําเนิการหาสมการเสนปกติ (푁표푟푚푎푙 푙푖푛푒 ) ดังนี ้

ใส ที่สมการ 푦 = 푎푥 + 푐 푛

푖=1

ทั้งสองขางจะได

จะได 푦 = (푎푥 + 푏)

∴ 푦 = 푎 푥 + 푛푏 … … … (1)

นํา 푥 คูณสมการ 푦 = 푎푥 + 푐 แลวใส ทั้งสองขาง 푛

푖=1

จะได (푥 푦 ) = 푎 푥 + 푏 푥 … … . (2)

นําคาตางๆมาแทนในสมการทั้ง สอง แลวแกสมการหาคา 푎 , 푏

จะไดสมการเพื่อการพยากรณดังนี้ 푦 = 푎푥 + 푏

กรณีที่ 2 เสนพยากรณใชสมการ

푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐

สามารถหาเสนปกติเพื่อใชแกสมการหาคา 푎 , 푏 , 푐 ไดดังนี ้

푦 = 푎 푥 + 푏 푥 + 푛푐 … … (1)

푥 푦 = 푎 푥 + 푏 푥 + 푐 푥 … (2)

푥 푦 = 푎 푥 + 푏 푥 + 푐 푥 … (3)

นําคาตางๆมาแทนในสมการทั้ง 3 แลวแกสมการหาคา 푎 , 푏 , 푐

จะไดสมการเพื่อการพยากรณดังนี้ 푦푖 = 푎푥푖2 + 푏푥푖 + 푐

กรณีที่ 3 เสนพยากรณใชสมการ 푦 = 푎푏푥 สามารถหาเสนปกติเพื่อใชแกสมการหาคา 푎 , 푏 ไดดังนี ้เปล่ียนสมการใหอยูในรูปเหมาะสมคือ 푙표푔푦 = 푙표푔(푎푏 ) 푙표푔푦 = 푙표푔푎 + 푥푙표푔푏 푙표푔푦 = 푥푙표푔푏 + 푙표푔푎

푙표푔푦 = 푛푙표푔푎 + 푙표푔푏 푥 … (1)

푥푙표푔푦 = 푙표푔푎 푥 + 푙표푔푏 푥 … (2)

นําคาตางๆมาแทนในสมการทั้ง 3 แลวแกสมการหาคา 푎 , 푏

จะไดสมการเพื่อการพยากรณดังนี้ 푦 = 푎푏푥