5ª aula

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Estatística Aplicada a Estatística Aplicada a Segurança do TrabalhoSegurança do Trabalho

ProfProfaa.: Eng.: Engaa. Denise Costa. Denise Costa

5ª AULA

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Probabilidade de Não-Ocorrência de um Evento

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Estamos agora em condições de estabelecer um importante resultado que felizmente é obvio.

Muitas vezes interessa-nos saber a probabilidade de não-ocorrência de um evento.

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Por exemplo, se no jogo de dois dados estamos interessados em não obter 7, é claro que se há uma chance de 1/6 de obter 7, então há 5/6 de chance de não obter 7.

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Pode-se demonstrar isso. Seja A o evento que consiste em não obter 7.

Então A contém 30 resultados:

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Portanto, N(A) = 30 e Pr(A) = 30/36 = 5/6.De modo geral, se p é a probabilidade de

ocorrência de um evento A, então 1 – p é a probabilidade de não-ocorrência daquele evento.

Daremos um nome especial ao conjunto que contém todos os resultados que não estão em A.

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É ele o complemento de A; escreve-se cA (o c minúsculo representa complemento – lê-se “complemento de A” ou “complementar de A”):

Pr(cA) = 1 – Pr(A) Este resultado é importante para os cálculos,

pois às vezes é mais fácil calcular a probabilidade de não-ocorrência de um evento do que a probabilidade de sua ocorrência.

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Por exemplo:Se o experimento consiste na jogada de

uma moeda, e A é o evento aparecer cara, então A é o evento aparecer coroa.

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Probabilidade e União

Suponhamos agora que nos interesse o total 5 ou 7 na jogada de dois dados.

Não raro precisamos saber a probabilidade de ocorrência de um ou outro ou ambos os eventos – daqui para frente a conjunção ou será usada no sentido de pelo menos um.

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Chamemos A o evento obter 7.Então A contemos resultados: {(1.6) (2.5)

(3.4) (4.3) (5.2) (6.1)}Se B é o evento obter 5, então B

contemos resultados: {(1.4), (2.3), (3.2), (4.1)}

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Seja C o evento obter 5 ou 7.Então C contém os resultados seguintes:

{(1.6), (2.5), (3.4), (4.3) (5.2) (6.1), (1.4), (2.3) , (3.2) , (4.1)}

C contém 10 resultados e, assim,Pr(c)= 10/36.

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Há um nome especial para o conjunto que contém todos os elementos de um ou outro de dois conjuntos.

É chamado a união dos dois conjuntos.Em matemática a palavra união é

representada por um símbolo que se assemelha a um u: U.

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Podemos pois dizer que C é a união de dois conjuntos A e B escrevendo:

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Se A é conjunto dos números pares e B é o conjunto dos números ímpares, então A é o conjunto das vogais de todos os números inteiros.

Se V é o conjunto das vogais e I é o conjunto das consoantes, então V U C é o conjunto de todas as letras (o alfabeto).

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Há outro fato interessante que o exemplo dos dados nos ensina.

Dissemos que a probabilidade de obter 7 = Pr(A) = 3/36, a probabilidade de obter 5 = Pr(B) = 4/36 e a probabilidade de obter 5 ou 7 = Pr (A ou B) = Pr(A U B) = 10/36.

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Parece que basta somar as probabilidades dos dois eventos para obter a probabilidade de ocorrência de pelo menos um deles, pois 10/36 = 6/36 + 4/36.

Essa regra, extremamente simples, em geral funciona:

Pr(A ou B) = Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B).

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Mas esse resultado só é válido quando não há possibilidade de os eventos A e B ocorrerem simultaneamente.

Eis um exemplo de raciocínio incorreto: joguemos uma moeda duas vezes.

Como a probabilidade de aparecer cara na primeira jogada é 1/2 e a probabilidade de aparecer cara na segunda jogada é também é 1/2, a probabilidade de aparecer cara na primeira ou na segunda jogada é 1/2 + 1/2 = 1.

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É obvio que tal não é o caso. No exemplo dos dados podíamos aplicar aquela fórmula simples porque não é possível obter 5 e 7 em uma única jogada de um par de dados.

Dois eventos que nunca podem ocorrer simultaneamente dizem-se disjuntos ou mutuamente excludentes.

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Probabilidade de uma Interseção

Consideremos agora o caso de dois eventos que podem ocorrer simultaneamente.

Suponhamos a extração de uma carta de um baralho; queremos saber a probabilidade de obter uma figura vermelha – isto é, um valete vermelho, uma dama vermelha ou um rei vermelho.

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Seja F o evento extrair uma figura. Então F contém esses resultados:

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Como N(F) = 12, a probabilidade de obter uma figura é de 12/52.

Seja Go evento extrair uma carta vermelha; G contém os resultados:

|AC, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, VC, DC, RC, AO, 2O, 3O, 4O, 5O, 6O, 7O, 8O, 9º, 10O, VO, DO, RO|

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G contém 26 resultados e, assim, Pr(G) = 26/52 =½.

Seja C o evento que corresponde à ocorrência de F e G – ou seja, C é a extração de uma carta que é simultaneamente uma figura e vermelha.

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Então C contém os resultados: |VO, VC, DO, DC, RO, RC|Portanto, Pr(C) = N(C)/S= 6/52.

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Há um nome especial para o conjunto que contém todos os elementos que estão simultaneamente em dois outros, A e B.

Em nosso caso C é a interseção de F e G, porque contém os resultados que estão simultaneamente em F e em G.

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O símbolo para a interseção se assemelha a um u invertido: ∩.

Podemos então escrever: C = conjunto que contém os elementos F e em

G C = F interseção G ou C = F ∩ G

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Princípio da Multiplicação

Quando temos um conjunto (A) de resultados igualmente prováveis (ou equiprováveis), a probabilidade de um deles, ocorrer é dada por:

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Onde:

NA - É o número de resultados em A e, S - É o número total de resultados possíveis.

Assim, desde que possamos determinar esses dois números – N(A) e S – resolvemos o problema.

Podemos então calcular diretamente a probabilidade.

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A parte importante do cálculo de probabilidade é a contagem dos resultados correspondentes a um dado evento.

Se não forem muitos, poderemos relacioná-los um a um; mas, em situações mais complicadas, o número de resultados logo se torna demasiadamente grande para permitir uma listagem.

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Suponha que queiramos adquirir um carro. Escolhemos o modelo: perua. Agora vamos escolher: Cor: vermelho, azul, verde ou branco, Número de portas: 4 portas, 2 portas.

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Princípio da MultiplicaçãoCARRO: PERUA

COR NÚMERO DE PORTA

Verde 4 2

Branco 4 2

Vermelho 4 2

Azul 4 2

Vamos ter como resultado N(A) = 4x2 = 8 Resultados possíveis

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Dando uma formulação geral para esse principio, consideremos dois experimentos.

O primeiro comporta qualquer um dentre n resultados, e o segundo admite qualquer um dentre m resultados possíveis.

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Suponhamos ainda que possa ocorrer qualquer combinação dos dois resultados.

Então, o número total de resultados dos dois experimentos é: n x m

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Esse resultado óbvio, costuma se chamar princípio da multiplicação.

Por exemplo, jogando duas moedas, cada uma pode apresentar dois resultados, logo, o número total de resultados é 2 x 2 = 4.

Amostragem Amostragem

Existem vários procedimentos de amostragem Existem vários procedimentos de amostragem probabilística ou aleatória de uma população.probabilística ou aleatória de uma população.

Sendo a Sendo a amostragem aleatória simples o o procedimento mais fácil de ser aplicado, pois procedimento mais fácil de ser aplicado, pois todos os elementos da população possuem a todos os elementos da população possuem a mesma probabilidade de pertencer à amostra. mesma probabilidade de pertencer à amostra.

Amostragem aleatória simples : Esse Esse procedimento de possui dois critérios, procedimento de possui dois critérios, CCom om reposiçãoreposição, e , e sem reposiçãosem reposição. .

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AmostragemAmostragem

Se a população for infinita qualquer Se a população for infinita qualquer procedimento, não afetará o resultado. procedimento, não afetará o resultado.

Se, no entanto, a população for finita, Se, no entanto, a população for finita, teremos que diferenciar os procedimentos, teremos que diferenciar os procedimentos, pois, a cada retirada afetará o resultado. pois, a cada retirada afetará o resultado.

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Amostragem Sem reposiçãoAmostragem Sem reposição A amostragem sem reposição é mais eficiente, A amostragem sem reposição é mais eficiente,

pois, reduz a variabilidade. Cada elemento só pois, reduz a variabilidade. Cada elemento só pode ser tirado uma vez uma vez. pode ser tirado uma vez uma vez.

Considerando que N = população e n = Considerando que N = população e n = amostra, então o número de amostras possíveis amostra, então o número de amostras possíveis de acordo com os dois critérios citados acima de acordo com os dois critérios citados acima será:será:

Com reposição: Número de amostras = NCom reposição: Número de amostras = Nn n

Sem reposição: Sem reposição:

Número de amostras = Número de amostras =

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Sem reposiçãoSem reposição

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Exemplo:Exemplo: Considere a população P = {1, 3, 5, 6}. Considere a população P = {1, 3, 5, 6}. Em seguida, observe os cálculos do número de Em seguida, observe os cálculos do número de amostras através dos procedimentos de amostras através dos procedimentos de amostragem com e sem reposição, para amostragem com e sem reposição, para tamanhos de amostras de 1 e 3. tamanhos de amostras de 1 e 3.

Tamanho de amostra (n) = 2Tamanho de amostra (n) = 2

Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras possíveis será: possíveis será:

4!/ (2!(4-2)! = 24/4 = 6 resultados4!/ (2!(4-2)! = 24/4 = 6 resultados

As amostras serão: (1,3) (1,5) (1,6) (3,1) (3,5) (3,6). As amostras serão: (1,3) (1,5) (1,6) (3,1) (3,5) (3,6).

Sem reposiçãoSem reposição



As amostras serão: (1,3,5) (1,3,6) (1,5,6) (3,5,6). As amostras serão: (1,3,5) (1,3,6) (1,5,6) (3,5,6).

Observe que os grupos de amostras não se Observe que os grupos de amostras não se repetem, ou seja, a ordem dos elementos dentro repetem, ou seja, a ordem dos elementos dentro do grupo não é relevante no método de do grupo não é relevante no método de amostragem simples sem reposição. amostragem simples sem reposição.

Com reposiçãoCom reposição Tamanho de amostra (n) = 2Tamanho de amostra (n) = 2

Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras possíveis será: Npossíveis será: Nnn = 4 = 422 = 16 = 16

As amostras serão: (1,1) (1,3) (1,5) (1,6) (3,1) As amostras serão: (1,1) (1,3) (1,5) (1,6) (3,1) (3,3) (3,5) (3,6) (5,1) (5,3) (5,5) (5,6) (6,1) (6,3) (3,3) (3,5) (3,6) (5,1) (5,3) (5,5) (5,6) (6,1) (6,3) (6,5) (6,6). (6,5) (6,6).

Observe, por exemplo, que as amostras (1,3) e Observe, por exemplo, que as amostras (1,3) e (3,1) são consideradas diferentes, porque a (3,1) são consideradas diferentes, porque a ordem dos elementos dentro das amostras é ordem dos elementos dentro das amostras é relevante no método de amostragem simples relevante no método de amostragem simples com reposição. com reposição.

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Com reposiçãoCom reposição



NNnn = 4 = 433 = 64 = 64

As amostras serão: As amostras serão: (1,1,1) (1,1,3) (1,1,5) (1,1,6) (1,3,1) (1,1,1) (1,1,3) (1,1,5) (1,1,6) (1,3,1) (1,3,3) (1,3,5) (1,3,6) (1,5,1) (1,5,3) (1,5,5) (1,5,6) (1,6,1) (1,6,3) (1,3,3) (1,3,5) (1,3,6) (1,5,1) (1,5,3) (1,5,5) (1,5,6) (1,6,1) (1,6,3) (1,6,5) (1,6,6) (3,1,1) (3,1,3) (3,1,5) (3,1,6) (3,3,1) (3,3,3) (3,3,5) (1,6,5) (1,6,6) (3,1,1) (3,1,3) (3,1,5) (3,1,6) (3,3,1) (3,3,3) (3,3,5) (3,3,6) (3,5,1) (3,5,3) (3,5,5) (3,5,6) (3,6,1) (3,6,3) (3,6,5) (3,6,6) (3,3,6) (3,5,1) (3,5,3) (3,5,5) (3,5,6) (3,6,1) (3,6,3) (3,6,5) (3,6,6) (5,1,1) (5,1,3) (5,1,5) (5,1,6) (5,3,1) (5,3,3) (5,3,5) (5,3,6) (5,5,1) (5,1,1) (5,1,3) (5,1,5) (5,1,6) (5,3,1) (5,3,3) (5,3,5) (5,3,6) (5,5,1) (5,5,3) (5,5,5) (5,5,6) (5,6,1) (5,6,3) (5,6,5) (5,6,6) (6,1,1) (6,1,3) (5,5,3) (5,5,5) (5,5,6) (5,6,1) (5,6,3) (5,6,5) (5,6,6) (6,1,1) (6,1,3) (6,1,5) (6,1,6) (6,3,1) (6,3,3) (6,3,5) (6,3,6) (6,5,1) (6,5,3) (6,5,5) (6,1,5) (6,1,6) (6,3,1) (6,3,3) (6,3,5) (6,3,6) (6,5,1) (6,5,3) (6,5,5) (6,5,6) (6,6,1) (6,6,3) (6,6,5) (6,6,6). (6,5,6) (6,6,1) (6,6,3) (6,6,5) (6,6,6).

4040

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Amostragem com reposiçãoAmostragem com reposição

A amostragem significa a escolha de alguns elementos de um conjunto maior chamado população.

De modo geral, se escolhermos n objetos, com reposição, de uma população de m objetos, então temos m maneiras de selecionar os objetos.

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A idéia fundamental da amostragem com reposição é que, escolhido um elemento, nada impede que esse elemento volte a ser escolhido.

A jogada de uma moeda é um exemplo de amostragem com reposição.

A população tem tamanho 2: caras (K) e coroas (C).

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O fato de obtermos cara não impede que obtenhamos cara novamente na próxima jogada.

Portanto, jogando-se uma moeda n vezes, temos 2 resultados possíveis.

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Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

Suponha-se, por exemplo, que queiramos saber a probabilidade de obter o total de 8 na jogada de dois dados (622 =36) =36).

É claro que essa probabilidade é 5/36.

(2,6), (3,5);(4,4); (5,3),(6,2)Entretanto, jogando um dos dados

primeiro, teremos uma idéia melhor da possibilidade de obter 8.

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Se, por exemplo, obtemos um 5 como primeiro dado, precisamos de um 3 no segundo, e a probabilidade desse resultado é de 1/6.

Portanto se o primeiro dado acusou 5, nossa chance de obter o total 8 melhorou de 5/36 para 1/6.

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Por outro lado, suponhamos que o primeiro dado tenha apresentado a face 1.

Então não há como obtermos o total de 8, qualquer que seja o resultado do segundo dado.

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Por conseguinte, a probabilidade de obtermos a soma 8, quando temos 1 como resultado do primeiro dado, é zero.

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Cálculo de Probabilidade Condicionais

A situação acima é exemplo de probabilidades condicional.

Probabilidade condicional: É a probabilidade de ocorrência de um evento em consequência de outro que já ocorreu.

A probabilidade condicional de ocorrência de A, dado que B ocorreu, se escreve: Pr(A|B) (A barra vertical significa dado que)

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Devemos agora determinar como calcular probabilidades condicionais.

Em circunstâncias usuais, a probabilidade de ocorrência de A é N(A)/S, em que S é o número total de resultados e N(A) é o número de eventos em A.

Mas sabemos que nem todos esses resultados são possíveis se B ocorreu, apenas os resultados em B devem ser considerados.

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Portanto, o número de possibilidades é N(B). A questão seguinte é quantas dessas

possibilidades restantes incluem o evento A? De modo global, há N(A) maneiras de A

ocorrer, mas agora nem todas essas maneiras são possíveis.

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Portanto, o número de resultados possíveis em que o evento A pode acorrer é igual ao numero de resultados que estão tanto em A como em B.

Ora já demos um nome a esse evento: A e B = A ∩ B

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O evento em que ambos, A e B, ocorrem é chamado A interseção B.

Portanto, a probabilidade de o evento A ocorrer, dado que B ocorreu é:

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Podemos reescrever essa fórmula dividindo ambos os membros por s:

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A probabilidade de A ocorrer, sendo que B ocorreu, é igual à probabilidade de ocorrências simultâneas de A e B dividida pela probabilidade de ocorrência de B.

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Eventos independentesEventos independentes

O conhecimento da ocorrência de um evento auxilia na avaliação da viabilidade de outro evento.

Há, entretanto, alguns casos em que o conhecimento da ocorrência de um evento nada diz sobre a possibilidade da ocorrência de outro.

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Suponhamos, por exemplo, que você saiba que uma família acaba de ter uma filha.

Qual é a probabilidade de o próximo rebento de mesma família ser também menina?

Nesse caso o conhecimento a respeito do ultimo filho nada nos diz quanto ao próximo.

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Suponhamos que apareça um 3 na jogada de um dado.

Qual a probabilidade de aparecer um 5 na próxima jogada?

O fato de sabermos que apareceu um 3 na primeira jogada nada nos diz a respeito do resultado da próxima jogada.

5858


Nesse caso, chamado A o evento 3 na primeira jogada e B o evento 5 na segunda jogada.

Pr(A) = 1/6 e Pr(|B) = 1/6, pois o fato de B ter ocorrido não afeta a probabilidade de ocorrência de A.

5959


Daremos um nome especial a essa situação, diremos que esses dois eventos são eventos independentes.

O fato de sabermos que um dos eventos ocorreu nada nos diz sobre se o outro ocorrerá ou não.

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Exercício 5Exercício 5

1.1. Fale sobre a amostragem com reposição Fale sobre a amostragem com reposição e sem reposiçãoe sem reposição

2.2. Disserte sobre a probabilidade Disserte sobre a probabilidade condicional.condicional.

3.3. Uma família teve um bebê do sexo Uma família teve um bebê do sexo masculino. Qual a probabilidade do masculino. Qual a probabilidade do próximo bebê também ser um menino? próximo bebê também ser um menino? Explique.Explique.

4.4. Explique eventos independentes.Explique eventos independentes.5.5. Fale sobre a união de dois conjuntos.Fale sobre a união de dois conjuntos.

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6.6. O que são “elementos disjuntos”? Explique.O que são “elementos disjuntos”? Explique.

7.7. Quando um empregado é um elemento de Quando um empregado é um elemento de interseção ou disjunto?interseção ou disjunto?

8.8. O que seria óbvio a morte de um trabalhador O que seria óbvio a morte de um trabalhador que estava sem EPI ou a sua sobrevivência que estava sem EPI ou a sua sobrevivência por estar usando EPI? Explique.por estar usando EPI? Explique.

9.9. Qual a probabilidade de acontecer um Qual a probabilidade de acontecer um acidente num canteiro de obras? Explique.acidente num canteiro de obras? Explique.

10.10. Em sua opinião a probabilidade de acontecer Em sua opinião a probabilidade de acontecer um acidente num escritório é a mesma da um acidente num escritório é a mesma da construção civil? Sim ou não. Por quê?construção civil? Sim ou não. Por quê?

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