6 장 . 계수 및 확률 (2)

이산수학 및 응용

하병현

bhha@pusan.ac.kr

2

목차6.1 개요6.2 가능성 트리 및 곱의 법칙6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산 : 합의 법칙6.4 부분집합의 개수 계산 : 조합6.5 중복을 허락하는 r- 조합6.6 조합의 대수적 성질6.7 이항정리6.8 확률공리 및 기대값6.9 조건부 확률 , Bayes 의 공식 및 독립사건

6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산 : 합의 법칙

The whole of science is nothing more than a refinement of everyday thinking. Albert

Einstein, 18791955

4

합의 법칙• 정리 6.3.1: 합의 법칙

– 유한 집합 A 가 k 개의 서로 소인 부분집합 A1, A2, …, Ak

의 합집합으로 이루어지면N(A) N(A1) + N(A2) + … + N(Ak)

– 증명 ?

• 예제– 컴퓨터의 비밀번호가 1 문자 이상 3 문자 이하의 26 개의

영문자로 만들어진다면 , 가능한 비밀번호의 개수는 ?• 길이가 1 인 비밀번호의 개수 : 26

• 길이가 2 인 비밀번호의 개수 : 2626

• 길이가 3 인 비밀번호의 개수 : 262626

• 비밀번호의 총 개수 : 26 + 2626 + 262626

5

합의 법칙• 예제

– 100 부터 999 까지의 정수 중 5 로 나누어 떨어지는 것의 개수는 ?

• 0 으로 끝나는 정수의 개수 : 910

• 5 로 끝나는 정수의 개수 : 910

• 총 개수 : 910 + 910

6

차집합 계수원리

• 정리 6.3.2: 차집합 계수원리– 유한집합 A 에 대해 집합 B 가 A 의 부분집합이면

N(A B) N(A) N(B)

– 증명 ?

• 예제– 비밀번호는 “ 26 개의 영문자와 10 개의 숫자”에서

고른 4 개의 문자로 이루어진 열이다 . 중복된 문자가 있는 비밀번호의 개수와 확률은 ?

• 총 비밀번호의 개수 : 36363636

• 문자의 중복이 없는 비밀번호의 개수 : 36353433

• 그렇다면 ?

7

차집합 계수원리

• 예제 ( 계속 ): 형식적으로 쓰면 ,• 모든 비밀번호의 집합 : S

• 중복이 없는 비밀번호의 집합 : A

• 여사건에 대한 확률 공식– S 가 유한한 표본공간이고 E 가 S 에서

사건이면 , E 에 대한 여사건의 확률은 다음과 같다 .

P(Ec) 1 P(E)

)(1)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)()( AP

SN

AN

SN

SN

SN

ANSN

SN

ASNASP

8

포함 / 제외 규칙• 정리 6.3.3: 둘 또는 세 집합의 포함 / 제외 규칙

– A, B, C 가 유한집합일 때 , 다음의 규칙이 성립한다 .• N(AB) N(A) + N(B) N(AB)• N(ABC) N(A) + N(B) + N(C)

N(AB) N(AC) N(BC)

+ N(ABC)

• 예제– 1 부터 1,000 까지의 정수 중 3 또는 5 의 배수의

개수는 ? 또 , 3 의 배수도 5 의 배수도 아닌 것의 개수는 ?

6.3 부분집합의 개수 계산 : 조합“But ‘glory’ doesn’t mean ‘a nice knock-down argumen

t,’” Alice objected. “When I use a word,” Humpty Dumpty said, in rather a scornful tone, “it means just what I choose it to meanneither more nor less.” Lewis Carroll, Tho

ugh the Looking Glass, 1872

10

조합• 예제

– 12 명의 그룹에서 프로젝트를 수행할 팀을 구성하기 위해 5 명을 선발한다 . 가능한 경우의 수 ?

– n 개의 원소를 갖는 집합 S 에 대해 , S 로부터 r개의 원소를 선택하는 방법의 개수 ?

• 정의– 음이 아니고 r n 인 정수 n 과 r 에 대하여 , n

개의 원소를 갖는 집합의 r- 조합 (r-combination)은 n 개의 원소 중 r 개를 뽑아 만든 부분집합이다 . 기호 C(n, r) 은 n 개의 원소를 갖는 집합의 r- 조합의 개수를 나타낸다 .

rnCr

n

다른 표기 :

11

조합• 예제

– S {Ann, Bob, Cyd, Dan} 에 대하여 , 3 명을 뽑아 위원회를 구성하는 각각의 방법은 S 의 3- 조합이다 .

• S 의 3- 조합을 모두 나열하면 ?

• C(4, 3) 의 값은 ?

• 예제– 집합 {0, 1, 2, 3} 에서 순서를 고려하지 않고 2

개의 원소를 선택하는 경우의 수는 ?

12

r- 조합의 개수• 순열과 조합 간의 관계

– 순열의 수 P(n, r) 은 다음과 같이 구할 수 있음• n 개의 원소를 갖는 집합의 r- 조합의 수를 구함• 각각의 r- 조합에 대하여 r 개를 나열하는

경우의 수를 계산– 따라서 , P(n, r) C(n, r)r! 임을 알 수 있다 .

)!(!

!

!)!(

!

!

),(),(

rnr

n

rrn

n

r

rnPrnC

13

r- 조합의 개수• 예제

– 12 명의 그룹에서 둘은 항상 같이 일을 하거나 같이 일을 하지 않는다 . 5 명의 팀을 짜는 방법의 개수는 ?

• C(10, 3) + C(10, 5)

– 위에서 두 명이 헤어져 같이 일을 하지 않기로 했다 . 5 명의 팀을 짜는 방법의 개수는 ?

• C(10, 4) + C(10, 4) + C(10, 5)

14

r- 조합의 개수• 예제

– 남자 5 명과 여자 7 명의 그룹이 있다 .• 남자 3 명과 여자 2 명으로 된 팀을 구성하는

방법의 개수는 ?– C(5, 3)C(7, 2)

• 적어도 1 명을 남자를 포함하는 팀을 구성하는 방법의 개수는 ?

– C(12, 5) C(7, 5)

• 많아야 1 명의 남자를 포함하는 팀을 구성하는 방법의 개수는 ?

– C(5, 0)C(7, 5) + C(5, 1)C(7, 4)

15

r- 조합의 개수• 예제

– 3 개의 A 와 5 개의 B 를 포함하는 문자열의 개수 ?

– 즉 , 8 개에서 3 개를 고르는 경우의 수와 같음• C(8, 3)

21 43 65 87

A 세 개를 어디다넣을지 결정하자

16

r- 조합의 개수• 예제

– MISSISSIPPI 에 포함된 문자들의 서로 다른 배열 방법의 개수는 ?

• C(11, 4)C(7, 4)C(3, 2)C(1, 1)

• 정리 6.4.2– n 개의 개체를 가진 집합에 종류 1 이 n1 개 , 종류 2

가 n2 개 , …, 종류 k 가 nk 개 있고 n1 + n2 + … + nk n이라면 n 개의 개체를 나열하는 서로 다른 순열의 수는 다음과 같다 .

!!!

!),(),(),(

21121211

kkk nnn

nnnnnnCnnnCnnC