§6. 全概率公式与贝叶斯公式

§6.全概率公式与贝叶斯公式

解： B=AB+ĀB 且 AB 与 ĀB 互不相容。P(B)=P(AB+ĀB) =P(AB)+P(ĀB)

=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)

=0.7×0.95+0.3×0.8 =0.905P AB

P A BP B

( )( | )

( )

P A P B A

P A P B A P A P B A

( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )

0 7 0 95

0 7 0 95 0 3 0 8

. .. . . .

0 735.

例 1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70 ％，乙厂占30 ％，甲厂产品的合格率是 95 ％，乙厂的合格率是 80 ％若用事件 A ， Ā 分别表示甲、乙两厂的产品， B 表示产品为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率。

定理 1 ( 全概率公式 ) 若事件 A1,A2,… 构成一个完备事件组并且都具有正概率，则对任何一个事件 B, 有

i ii

P B P A P B A( ) ( ) ( | )

证： A1,A2,… 两两互斥，故 A1B,A2B,… 两两互斥

B B 且 ii

B A( ) ii

A B＝由加法法则

ii

P B P A B( ) ( )再由乘法法则

i i iP A B P A P B A( ) ( ) ( | )

i ii

P B P A P B A( ) ( ) ( | )故

例 2 设 5 支枪中有 2 支未经试射校正， 3 支已校正。一射手用校正过的枪射击，中靶率为 0.9 ，用未校正过的枪射击，中靶率为 0.4 。(1) 该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2) 若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设 A 表示枪已校正， B 表示射击中靶

3P A

5( ) ,则 2

P A5

( ) P B A 0 9( | ) .

P B A 0 1( | ) . P B A 0 4( | ) . P B A 0 6( | ) .1 P B P A P B A P A P B A( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

3 20 9 0 4

5 5. . 0 7.＝

P A P B A2 P A B

P A P B A P A P B A

( ) ( | )( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | )

20 6

52 3

0 6 0 15 5

.

. .

0 8.

例 3 有三个同样的箱子， A 箱中有 4 个黑球 1 个白球，B 箱中有 3 个黑球 3 个白球， C 箱中有 3 个黑球 5 个白球。现任取一箱，再从中任取一球，求(1) 此球是白球的概率(2) 若取出的是白球，求它取自 B 箱的概率。解：用 A 、 B 、 C 表示 A 、 B 、 C 三个箱子取球

用 D 表示取出的是白球。

则 A 、 B 、 C 是完备事件组。1

P A P B P C3

( ) ( ) ( ) 且

1 1 5P D A P D B P D C

5 2 8( | ) ( | ) ( | )

1 P D P A P D A P B P D B P C P D C( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 1 1 1 1 5

3 5 3 2 3 8

53

120 0 442.

P B P D B2 P B D

P A P D A P B P D B P C P D C

( ) ( | )( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

1 13 2

1 1 1 1 1 53 5 3 2 3 8

20

53 0 378.

4P A 0 4

10( ) .

例 4 ( 抽签的公正性 ) 设 10 支签中有 4 支难签。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。解：分别用 A 、 B 、 C 表示甲、乙、丙抽到难签。

P B P A P B A P A P B A( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 4 3 6 4

10 9 10 9

36

90

0 4.

P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P B A P C AB P A P B A P C AB

P A P B A P C AB P A P B A P C AB

( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )

( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )

4 3 2 4 6 3 6 4 3 6 4 3 6 5 4

10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8

288

720

0 4.

例 5 设验血诊断某种疾病的误诊率仅为 5 ％，即若用 A 表示验血阳性， B 表示受验者患病，则

P A B P A B 5( | ) ( | ) % 。若受检人群中仅有0. 5％患此病，

即P(B)=0. 005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。P B P A B

P B AP B P A B P B P A B

解：( ) ( | )

( | )( ) ( | ) ( ) ( | )

0 005 0 95

0 005 0 95 0 995 0 05

. .. . . .

0 087.

若有 10000 人受检，患病者仅 50 人，其中验血阳性约 47.5 人

而 9950 健康人中，验血阳性者为 9950×0.05 ＝ 497.5 人

§7 独立试验概型(一 )事件的独立性

故若 A 独立于 B ，则 B 也独立于 A, 称事件 A 与事件 B 相互独立。

P A P A B( ) ( | )若 P AB

P B

( )( )

P ABP B

P A

( )( )

( )则 P B A( | )

关于独立性有如下性质：

定义 1 若事件发生的可能性不受事件 B 发生与否的影响，即 P(A|B)=P(A), 则称事件 A 独立于事件 B 。

定义 2 若 n (n>2) 个事件 A1,…,An 中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，称 A1,A2,…,An 相互独立。

(1) 事件 A 与 B 独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)证：必要性

若 A 与 B 中有一个事件概率为零，结论成立。设 A 与 B 的概率都不为零，由独立性

P(B|A)=P(B)

而由乘法法则可得P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B)

充分性设 P(B)>0, 则

P ABP A B

P B

( )( | )

( ) P A P B

P B

( ) ( )( )

=P(A)

即 A 与 B 独立。

(2)若事件A与B独立，则A与B，A与B，A与B中的

每一对事件都相互独立。证：P AB P A AB( ) ( )

P A P AB( ) ( )

P A P B( ) ( )

类似可证其它两对事件独立。

=P(A)-P(A)P(B)

=P(A)(1-P(B))

由(1)可知，A与B独立。

(3) 若事件 A1,A2,…,An 相互独立，则有P(A1…An)=P(A1)…P(An)

证： P(A1…An) ＝ P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1)

1 2 n

1 n 1 n

4 A A A

P A A 1 P A P A

若事件相互独立，则有

＝－

( ) , ,...,

( ... ) ( )... ( )

而 P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An)

故 P(A1…An) ＝ P(A1)P(A2)…P(An)

n1 n 1由于A, . . .，A对立，A, . . .证 ,A：也对立

1 n nP A A 1( ... ) 1＝－P(A+. . . +A )

1 n1 P A A( ... )

1 n1 P A P A( )... ( )

例 1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9 和 0.8 。求一次射击中，目标被击中的概率。解：分别用 A,B 表示甲、乙击中目标。

目标被击中，即至少有一人击中，即 A+B

A 与 B 独立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.9+0.8-0.9×0.8 =0.98或由性质 (4)

=0.98

P A B 1 P A P B( ) ( ) ( )

=1-0.1×0.2

例 2 一名士兵用步枪射击飞机，命中率为 0.004 。求：(1) 若 250 名士兵同时射击，飞机被击中的概率。(2) 多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达到 99 ％？

解：用 Ai 表示第 i 名士兵击中飞机， P(Ai) ＝ 0.004

1 2501 2501 P A A 1 P A P A( ) ( ... ) ( )... ( ) 2501 0 996. 0 63.

2 n( )设要名士兵同时射击1 n1 nP A A 1 P A P A( ... ) ( )... ( ) ＝

n1 0 996. ＝ 0.99即 0.996n ＝ 0.01

0 01n

0 996

lg .lg .

故 1150

例 3 甲、乙、丙 3 部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9 ，0.8 及 0.85 。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。

解：用 A 、 B 、 C 分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙不需要照管。

则 A 、 B 、 C 相互独立，且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85P A B C( ) P ABC( ) 1 P ABC( ) 1 P A P B P C( ) ( ) ( )

1 0 9 0 8 0 85. . . 0 388.

P AB BC AC( )

P AB P BC P AC 2P ABC( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 2 0 15 0 1 0 15 2 0 1 0 2 0 15. . . . . . . . . 0 059.

例 4 图中开关 a 、 b 、 c 开或关的概率都是 0.5 ，且各开关是否关闭相互独立。求灯亮的概率以及若已见灯亮，开关 a与 b 同时关闭的概率。

解：令 A 、 B 、 C 分别表示开关 a 、 b 、 c 关闭， D 表示灯亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)

=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)

=0.5×0.5+0.5-0.5×0.5×0.5

=0.625

AB D,由于 ABD=AB

P ABDP AB D

P D

( )( | )

( )

P AB

P D

( )( )

0 5 0 5

0 625

. ..

=0.4

a b

c

例 5 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为0.4 ， 0.5 ， 0.7 ，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是0.2 ，若二人击中，则目标被摧毁的概率是 0.6 ，若三人都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人摧毁的概率。解：用 Ai 表示有 i 个人击中目标， i=0,1,2,3

用 B 表示目标被摧毁。P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1

P(A0)=0.6×0.5×0.3 =0.09

P(A1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7 =0.36

P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7 =0.41

P(A3)=0.4×0.5×0.7 =0.143

i ii 0

P B P A P B A( ) ( ) ( | )＝

＝ 0.458

(二 )独立试验序列概型

进行 n 次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这 n 次试验是相互独立的。

在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。

若在每次试验中只关心某事件 A 发生或不发生，且每次试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件 A 发生的概率都是 p(0<p<1) 。

这样的 n 次重复试验称为 n 重贝努里试验。

例 6 一批产品的废品率为 p,(0<p<1) 重复抽取 n 次，求有 k 次取到废品的概率。解：设所求事件的概率为 P(B), 事件 B 由下列 m 个互不相容的事件组成：

B1=( 废，…，废，正，…，正 )

B2=( 废，…，废，正，废，正，…，正 )

Bm=( 正，…，正，废，…，废 )

P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=pk(1-p)n-k

knm C ,而故

mk k n k

i 1 ni 1

P B P B mP B C P 1 P( ) ( ) ( ) ( )

一般地，有如下的定理：

解：设 B 表示至少有两件一级品10

10k 2

P B P k( ) ( )

＝ 1-P10(0)-P10(1)

10 1 9101 0 4 C 0 6 0 4. . . 0 998.

n

k k n kn n

1 A

p p n

k P (k)

P k C p q k 0 1 n

q 1 p

定理贝努里定理设一次试验中事件发生的概率

为，(0<<1),则重贝努里试验中，事件A恰好发生

次的概率为

其中

( )

( ) ,( , ,..., )

例 7 一条自动生产线上产品的一级品率为 0.6 ，现在检查了 10 件，求至少有两件一级品的概率。

例 8 某药物对某病的治愈率为 0.8 ，求 10 位服药的病人中至少有 6 人治愈的概率。解：设 A 表示至少有 6 人治愈。

10

10k 6

P A P k( ) ( )

＝ P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)

6 6 4 7 7 3 8 8 2 9 9 1010 10 10 10C 0 8 0 2 C 0 8 0 2 C 0 8 0 2 C 0 8 0 2 0 8. . . . . . . . .

0 97.而正好有 8 人治愈的概率为

8 8 210 10P 8 C 0 8 0 2( ) . . =0.302

例 9 在四次独立试验中， A 至少出现一次的概率为 0.59 ，求 A 至多出现一次的概率。解：设在一次试验中 A 出现的概率为 p

则 A 至少出现一次的概率为4

44 4

k 1

P k 1 P 0 1 1 p 0 59( ) ( ) ( ) .

故 (1-p)4=0.41

1-p=0.8p=0.2

A 至多出现一次的概率为：P4(0)+P4(1) 4 1 3

41 p C p 1 p( ) ( )

=0.824 1 3

40 8 C 0 2 0 8. . .

例 10 ( 分赌注问题 ) 甲、乙各下注 a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？

解法一： 1

2每局双方获胜的可能性均为。

应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。

即在余下的四局中甲赢得 2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)

2 2 3 42 34 4

1 1 1 1 1C C

2 2 2 2 2

11

16

5

16乙胜的概率为，赌注应按11：5的比例分配。

解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为

2

3

1P B

2( )

1

4

甲方在第四局结束赌博获胜的概率为1

4 2

1 1 1P B C

2 2 2( )

1

4

甲方在第五局结束赌博获胜的概率为2

15 3

1 1 1P B C

2 2 2( )

3

16

故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5)

11

16

赌注应按 11 ： 5 的比例分配。

例 11 (赛制的选择 ) 在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是 0.6 ，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利。

解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)

3 3 2 4 4 55 5C 0 6 0 4 C 0 6 0 4 0 6. . . . . =0.6826

在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为P3(2)+P3(3)

2 2 33C 0 6 0 4 0 6. . . =0.648

甲应选择五局三胜制。

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