2.3 多项式的最大公因式

多项式的最大公因式是多项式理论的一个重要组成部分 . 要掌握最大公因式的概念 , 会求两个或多个多项式的最大公因式 , 并能熟练运用互素多项式的性质以及判断两个多项式互素的充要条件 .

2.3.1 最大公因式 2 5 . ( ), ( ) [ ]. ( ) ( )

( ) ( ), ( ) ( ), ( )

f x g x F x h x f x

h x g x h x f x g x

定义 设 如果多项式

且 则称 是 的一个公因式.

（ i ）( ) ( ), ( ) ( ) ;d x f x d x g x

2.6 ( ) ( ) [ ].f x g x F x定义 设 ， ( ) [ ]d x F x 如果满足

（ ii ）对于 , 如果( ) [ ]h x F x ( ) ( )h x f x 且 ( ) ( ),h x g x

( ) ( ) .h x d x那么

( )d x ( ) ( )f x g x和以下两个条件，则称 是 的一个最大公因式：

1

1

2.4 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 .

( ), ( ) ( ) ( )

( ) ( ), 0 .

d x f x g x

cd x f x g x

c F

d x d x f x g x

d x cd x c F

定理 如果 是多项式 与 的一个最大公因式，那么 也是 和 的一个最大公因式，其中 反过来，如果

都是 与 的最大公因式，那么这里

( ), ( ) 1

( ( ), ( )).

f x g x

f x g x

① 的最高次项系数为的最大公因式记作

注记：

( ) [ ], ( ) ( ) 0 .f x F x f x f x② 是 和 的一个最大公因式

( ), ( ) ( ( ), ( )) 0.f x g x f x g x④ 如果 不全为零，则 (0,0) 0.③

2.3.2 最大公因式的存在性及其求法

2.5 ( ), ( ), ( ), ( ) [ ],

( ) 0.

( ) ( ) ( ) ( ),

( ( ) ( )) ( ( ), ( )).

f x g x q x r x F x

g x

f x g x q x r x

f x g x g x r x

引理 设并且 如果

那么 ，

2.5 [ ] ( ) ( )

.

F x f x g x 定理 中任意两个多项式 和都有最大公因式

例 2.4 设 4 3 2

3 2

( ) 4 2 16 5 9,

( ) 2 5 4.

( ), ( ) .

f x x x x x

g x x x x

f x g x

求（ ）

定理 2.5的证明中用来求最大公因式的方法，叫做 辗转除法．

因式，即 和 具有完全相同的( )f x ( )cf x

若仅求 ，为了避免辗转相除时出现( ( ) ( ))f x g x，注记 :

分数运算 ,可用一个数乘以除式或被除式，这是因为

1( ( ), ( )) ( ( ), ( ))f x g x c f x g x

2 1 2( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ,f x c g x c f x c g x

为非零常数．1 2,其中c c

在辗转相除的过程当中也可以这样做 !

2.6 ( ) ( ), ( ) [ ]

( ), ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

d x f x g x F x

u x v x F x

f x u x g x v x d x

定理 如果 是 的一个最大公因式，那么存在 ，使得

注记 : （ 1 ）定理 2.6 中的 不唯一 . 例如，设 ，则　

2( )= 1, ( )=1f x x g x ( ( ), ( ))=1.f x g x

取　 ，有 2( )= 1, ( )=u x v x x ( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f x v x g x

取　 ，也有 ( )=0, ( )=1u x v x ( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f x v x g x

取　 , 也有 2( )= 2, ( )=2 1u x v x x ( ) ( )+ ( ) ( )=1.u x f x v x g x

（ 2 ）定理 2.6 的逆命题不成立 .

)()( xvxu 和

例 2.5 设

4 3 2

3 2

( ) 4 - 2 - 16 5 9,

( ) 2 - - 5 4.

( ), ( ) ( ), ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) .

f x x x x x

g x x x x

f x g x u x v x

f x u x g x v x f x g x

求 以及 使得

( ) ( ), ( )

( ) ( ), ( )

.

d x F f x g x

F F

d x f x g x F

注意：如果 是数域 上多项式 的

一个最大公因式，那么对任意一个包含 的数域

来说， 也是多项式 在数域 上的一个最大公因式

2.7 ( ), ( ) [ ].

( ), ( ) 1,

( ) ( ) .

f x g x F x

f x g x

f x g x

定义 设 如果

则称 与

互素

2.3.3 多项式的互素

由定义，两个多项式互素当且仅当它们的公因式只有零次多项式 .

2.6 ( ), ( ) [ ]. ( ) ( )

( ), ( ) [ ],

( ) ( ) ( ) ( ) 1

.

f x g x F x f x g x

u x v x F x

f x u x g x v x

推论 设 与 互素当且仅当存在 使得

多项式的互素具有以下性质：

( ) ( ), ( ) 1, ( ), ( ) 1,

( ) ( ), ( ) 1.

a f x h x g x h x

f x g x h x

如果 那么

( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) 1

( ) ( )

.

b h x f x g x h x f x

h x g x

如果 并且 ，

那么

( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) 1

( ) (

) ( ).

c f x h x g x h x f x g x

f x g x h x

如果 并且 ，

那么

2.3.4 最大公因式概念的推广

i) ( ) ( )( 1,2, , );id x f x i n 进一步， F上的多项式 d(x) 如果满足条件

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) [ ]( 2).

( ) ( ) ( 1,2, , ), ( )

( ) ( ) ( ) .

n

i

n

f x f x f x F x n

h x f x i n h x

f x f x f x

定义 设 ， ， ，

如果多项式 则称 是

， ， ， 的一个公因式

ii) 若 ，( ) [ ]h x F x ( ) ( )( 1,2, , ),ih x f x i n 且( ) ( ),h x d x则

1 2( ) ( ) ( ) ( )

.nd x f x f x f x那么就称 是 ， ， ， 的一个最大

公因式

注记：注记：

1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x

表示最高次项系数为 1 的最大公因式．

1 2 1 2 1, , , , , ,n n nf f f f f f f 2.

1 1, , , , , , 1 1.k k nf f f f k n

1. 的最大公因式一定存在 .用1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x

2.3.5 多个多项式的互素 .

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) [ ].

( ) ( ) ( ) =1,

( ) ( ) ( ) .

n

n

n

f x f x f x F x

f x f x f x

f x f x f x

定义 设 ， ， ， 如果

， ， ，

则称 ， ， ， 互素

注意 : 当 n(n>2) 个多项式互素时，它们不一定两两互素，即未必有

(x),f(x),(x),ff n21

).(1))(),(( jixfxf ji