철/벽/수/학 적분과 통계

제6부

속도와 거리

위치와 거리01

직선 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 속도

일 때

q 점 의 위치

⑴ 부터 까지 점 의 위치의 변화량

⑵ 에서의 위치가 일 때,

시각 t에서의 점 의 위치

w 점 의 이동거리

부터 까지 점 가 움직인 거리

∣ ∣

Qa-1 출발점이 이고 축 위를 움직이는

점 의 시각 에서의 속도가 일 때,

다음을 구하여라.

⑴ 일 때까지의 위치의 변화량

⑵ 일 때의 위치

⑶ 출발 후 초 동안 움직인 거리

ST1 철벽CONCEPT

위치․속도․가속도

시각

위치

미분↓ ↑적분

속도

미분↓ ↑적분

가속도

풀이

94

평면위의운동02

Qa-2 출발점이 이고 수직선 위를

움직이는 점 의 시각 에서의 속도가

coscos일 때, 다음을 구하여라.

⑴ 일 때까지의 위치의 변화량

⑵ 일 때의 위치

⑶ 출발후 초 동안 움직인 거리

Qa-3 축 위를 움직이는 점 가 있다. 시각

초에서의 점 의 속도가 일 때,

가 에서 원점을 출발하여 원점에 다시 돌

아오게 된다. 이 때, 다음을 구하여라.

⑴ 원점에 돌아오는 시간

⑵ 원점에 돌아올 때까지 점 가 실제로 움직인

거리

q 곡선 , 의 길이

평면위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치가

,

일 때, ≤≤에서 점 가 움직인 거리

′ ′

w 곡선 의 길이

곡선 의 ≤≤인 부분의 길이

′

풀이

풀이

배상면쌤^◉◉^

95

Qs-1 다음 곡선의 길이를 구하여라.

⑴ , ≤≤

⑵ sin, cos≤ ≤

Qs-2 다음 직선 또는 곡선의 길이를 구하여라.

⑴ ≤≤

⑵ ≤≤

⑶

≤≤

풀이

풀이

철 /벽 / 수 / 학

96

ND2

최고높이, 제동거리01

⑴ 지상 높이에서 처음 속도 초로 똑바로 위로 던진 물체의 초 후의 속도

초이다. 이 물체가 최고점에 도달할 때, 지면으로부터의 높이는?

⑵ 직선 궤도를 매초 의 속도로 달리는 고속열차가 있다. 이 열차가 브레이크를 건 후 초

후의 속도 초인 관계가 있다고 할 때, 브레이크를 건 후 정지할 때까지

진행한 거리는?

위치02

지면에 정지해 있던 열기구가 수직 방향으로 출발한 후 분 후의 속도 분를

≤ ≤ ≤≤

라 할 때, 출발 후 지면으로부터 열기구의 높이는?

(단, 열기구는 수직 방향으로만 움직인다.)

필수COURSE

Idea 해설

Idea 해설

97

v(t)

t(초)O

1

1 2 3 4

-1

다시 만나는 시간03

두 개의 동점 가 직선 위의 점 를 동시에 출발하여 위를 움직이고 있다. 출발한 지

초 후의 속도가 각각 이라 할 때, 와 가 다시 만나는 것은 출발한지 몇

초 후인가?

그래프(1)04

직선운동을 하는 어떤 물체의 시각 에서의 속도 의

그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음을 구하여라.

⑴ 출발 후 초 동안의 위치변화

⑵ 출발 후 초 동안의 이동거리

Idea 해설

Idea 해설

철 /벽 / 수 / 학

98

그래프(2)05

수직선 위를 움직이는 동점 가 원점을 출발하여 t 초 후의 속도 가 sin 일 때,

다음 의 설명 중에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, ≤ ≤)

ㄱ. 점 는 번 왕복 운동을 한다.

ㄴ. 또는 일 때, 점 는 출발점에서 가장 먼 곳에 있다.

ㄷ. 초 동안 점 는 운동 방향을 번 바꾸었다.

ㄹ. 초 동안 점 가 운동한 거리는 이다.

곡선의 길이06

좌표평면 위의 점 가 원점 를 출발하여 매초

의

일정한 속력으로 곡선 를 따라 점

을 향하여 움직인다. 점 가 점 에 도달할

때까지 걸리는 시간은?

Idea 해설

Idea 해설

배상면쌤^◉◉^

99

RD3A LEVEL 실∙전∙유∙형

01 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥 모양의

수족관에 물을 채우기 시작하여 초 후에 물이

차오르는 속도 가

초)일 때, 초 동안 수족관에 채운 물의

부피는?

① ②

③ ④

⑤

02 처음 속도 sec로 원점을 출발하여 수직선

위를 움직이는 물체의 초 후의 가속도가

sec 일 때, 초 후의 위치는?

① ② ③

④ ⑤

03 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 의

시각 일 때의 속도가

이다. 이 때, 점 가

원점을 처음으로 다시 지나가는 시각은?

①

②

③

④

⑤

04 직선 모양의 철로 위를 움직이는 기차의 시각

에서의 위치가 이다. 이 때,

일 때의 운동 방향과 반대 방향으로 기차가

움직인 거리는?

①

②

③

④

⑤

05 다음은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점

P의 시각 ≤ ≤ 에서의 속도 를

나타내는 그래프이다.

일 때, 에서

옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, ＜＜＜＜이다.)

ㄱ. 점 P는 출발하고 나서 원점을

다시 지난다.

ㄴ.

ㄷ.

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

도전COURSE

100

06 엘리베이터를 타고 어느 건물의 층에서부터

층까지 중간에 멈추지 않고 올라가는데 처음

초 동안은 가속도 sec 으로 올라가고,

다음 4초 동안은 등속도로 올라가고, 그 다음

초 동안은 가속도 sec 으로 감속하여

정지하였다. 이 건물의 층에서부터 층까지

엘리베이터가 움직인 거리는 몇 인가?

① ② ③

④ ⑤

07 직선 위의 동점 의 속도

와 시각 사이의 관계가

오른쪽 그림과 같을 때, 점

가 운동을 시작한지 몇

초 후에 출발점으로 다시 돌아오는가?

① ② ③

④ ⑤

08 곡선 ln ≤ ≤ 의 길이가

일 때, 의 값은? (단, 는

자연수이다.)

B LEVEL 심∙화∙유∙형

09 단면이 반지름의 길이가 인 원 모양의 관에서

물이 흘러 나오고 있다. 시각 에서의 물의 속도

v가 일 때, 에서

까지 흘러 나온 물의 양은? (단, 물은 관을

가득 채우면서 흐른다.)

① ② ③

④ ⑤

10 일직선으로 곧게 뻗은 도로에서 자동차 가

일정한 속력으로 정지해있는 자동차 에

다가가고 있다. 두 자동차 사이의 거리가

가 되는 순간 자동차 가 자동차 를

향하여 의 일정한 속력으로 움직이기

시작하였다. 자동차 가 움직이기 시작하여 초

후에 두 자동차가 만났을 때, 자동차 의

속도는?

① /초 ② /초 ③ /초

④ /초 ⑤ /초

11 오른쪽 그림과 같이 두 점

는 각각 축, 축 위를

움직인다. 점 는 ,

점 는 를

출발점으로 하여 각각 축

축의 양의 방향으로 운동하고, 초 후의 속도는

각각 , 이라고 한다. 이 때, 출발한지 초

후의 두 점 사이의 거리를 구하면?

12 수직선 위의 원점을

동시에 출발하여

≤ ≤ 에서

움직이는 두 점

의 속도가 각각 ,

이고 그 그래프가 그림과 같다. 이 때,

다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. 두 점 의 도착 지점은 같다.

ㄴ. ＜＜에서 두 점 는 두

번 만난다.

ㄷ. ＜＜에서 두 점 는

만나지 않는다.

배상면쌤^◉◉^

101

서술형

서술형

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ

13 오른쪽 그림과 같이 중

심각이 라디안이고

반지름의 길이가 인

부채꼴이 있다. 점

를 출발한 동점 가 매초 의 속력으로 →

→ → → → … 의 방향으로 움직이고

있다. 초 후에 점 에서 동점 까지의 거리를

라 할 때,

의 값은?

①

② ③

④ ⑤

14 평면 위를 움직이는 점 의 시각 에서의

위치가 sin cos 로 주어질 때, 시각

에서 까지 점 가 움직인 거리를

이라 한다. 이 때, lim→∞

의 값은?

① ② ③

④ ⑤

철 /벽 / 수 / 학

102

q 위치․속도․가속도

시각

미분↓ ↑적분

미분↓ ↑적분

w 위치변화와 이동거리

동점 의 시각 에서 속도 일 때

⑴ 점 의 위치변화량

에서 까지 점 의 위치의 변화량

⑵ 점 의 위치

에서의 점 의 위치를 라고 할 때

시각 에서의 점 의 위치

⑶ 점 의 움직인 거리

에서 까지 점 의 움직인 거리

Dessert

103

e 그래프 해석

⑴ 가속도：

⑵ 초까지의 위치변화： =

⑶ 초까지의 이동거리： =

r 평면위의 운동

⑴ 곡선 , 의 구간

≤ ≤인 부분의 곡선의 길이(경과 거리)

⑵ 곡선 의 구간

≤ ≤인 부분의 곡선의 길이(경과 거리)

철 /벽 / 수 / 학

104