GERLME-EKL DETRME BAINTILARIGR Denge denklemleri kullanlarak gerilme bantlar, sonra geometrik esaslardan hareket ederek ekil deitirme bantlar incelendi. Burada ise gerilmeleri ekil deitirmelere balayan gerilme-ekil deitirme bantlar incelenecektir. Gerilme-ekil deitirme bantlarna bnye denklemleri ad da verilmektedir. Gerilme-ekil deitirme bantlar cisimden cisme farkldr. MALZEME SABTLER Elastik Hooke cisminde gerilme tansr ile ekil deitirme tansr arasndaki bant ij = 3 k =1

l =1 Cijkl kl3

(i,j=1,3)

eklinde yazlr. Toplama uylam kullanldnda yukarda verilen bant ij = Cijkl kl

eklindedir. Burada Cijkl bykl drdnc mertebeden tansrdr Bu tansrn 34 =81 eleman vardr. Bu bant ak olarak aada verildii gibi yazlr.

2 Elastisite

11 C1111 C 22 2211 33 C3311 23 C2311 32 = C3211 13 C1311 31 C3111 12 C1211 C 21 2111

C1122 C2222 C3322 C2322 C3222 C1322 C3122 C1222 C2122

C1133 C1123 C1132 C2233 C2223 C2232 C3333 C3323 C3332 C2333 C2323 C2332 C3233 C3223 C3232 C1333 C1323 C1332 C3133 C3123 C3132 C1233 C1223 C1232 C2133 C2123 C2132

C1113 C1131 C1112 C2213 C2231 C2212 C3313 C3331 C3312 C2313 C2331 C2312 C3213 C3231 C3212 C1313 C1331 C1312 C3113 C3131 C3112 C1213 C1231 C1212 C2113 C2131 C2112

C1121 11 C2221 22 C3321 33 C2321 23 C3221 32 C1321 13 C3121 31 C1221 12 C2121 21

a) ekil deitirme tansrnn k ve l indislerine gre simetrik olmasndan; yani ij=ji den dolay Cijkl=Cijlk dir. Yukarda verilen matris incelenirse drdnc kolondaki deerler beinci kolondaki deerlere, altnc kolondaki deerler yedinci kolondaki deerlere, sekizinci kolondaki deerler dokuzuncu kolondaki deerlere eittir. Bu nedenle Cijkl tansrnn bamsz katsaylar 3*9=27 azalarak 54e der. b) Gerilme tansrnn i ve j indislerine gre simetrik olmasndan; yani ij=ji den dolay Cijkl= Cjikl dir. Yukarda verilen matris incelenirse drdnc satrdaki deerler beinci satrdaki deerlere, altnc satrdaki deerler yedinci satrdaki deerler, sekizinci satrdaki deerler dokuzuncu satrdaki deerlere eittir. Daha nceden her satrda 6 bamsz deiken kaldndan 3*6=18 bamsz deiken daha azalarak Cijkl tansrnn bamsz katsaylar tekrar azalarak 36ya der. ki katl toplamay elimine etmek iin gerilme ve ekil deitirme tansrlerinin altar eleman

11 = 1 22 = 2 33 = 3 23 = 4 13 = 5 12 = 6 11 = 1 22 = 2 33 = 3 2 23 = 4 2 13 = 5 2 12 = 6olarak tanmlanrsa yukarda verilen bant 36 sabite bal olarak aada verildii gibi yazlr.

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 3

1 C1111 C 2 2211 3 C3311 = 4 C2311 5 C1311 6 C1211

C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222

C1133 C1123 / 2 C1113 / 2 C1112 / 2 C2233 C2223 / 2 C2213 / 2 C2212 / 2 C3333 C3323 / 2 C3313 / 2 C3312 / 2 C2333 C2323 / 2 C2313 / 2 C2312 / 2 4 C3133 C3123 / 2 C3113 / 2 C3112 / 2 5 C1233 C1223 / 2 C1213 / 2 C1212 / 2 6

= 2 23 = 213 = 212

1 2 3

Yukarda verilen denklemlerde 2 katsays baz kolonlardaki katsaylarn birbirlerine eit olup (rnein 4. kolon ile 5. kolon) elimine edilmesinden gelmektedir. Dier yazlabilecek denklem yukarda verilen denklemin 4.,5. ve6. satrlar ile ayn olduundan yazlmamtr. Yukarda verilen bantda Cijkl katsaylardaki indisler ksaltlarak ve cij olarak tanmlanarak 1 c11 c 2 21 3 c31 4 c41 5 c51 6 c61 c12 c22 c32 c42 c52 c62 c13 c23 c33 c43 c53 c63 c14 c24 c34 c44 c54 c64 c15 c25 c35 c45 c55 c65 c16 1 c26 2 c36 3 c46 4 c56 5 c66 6

i = cij j

eklinde yazlabilir. cij matrisine elastik sabitler matrisi veya elastik modl matrisi (stiffness matrix) ad verilir.

4 Elastisite

EKL DETRME ENERJS kuvvetlerin ekil deitirme esnasnda yapt ie i kuvvetlerin ii veya ekil deitirme enerjisi ad verilir. kuvvetler i yaparken ayn zamanda da d kuvvetler de i yapar. Enerji kayb olmayan sistemlerde d kuvvetlerin ii i kuvvetlerin iine eittir. Tam elastik sistemlerde d kuvvetler kaldrldnda cisim tarafndan ekil deitirme enerjisine dntrlerek yutulan enerji, aa kar. Bu ilemler olurken kuvvetlerin sfrdan balayp yava yava etkidii kabul edilecek dolaysyla dinamik etkiler gz nne alnmayacaktr. ekil deitirme enerjisi ayn zamanda i kuvvetlerin ii olduundan U ile gsterilecektir. U deerinin hesab iin nce birim hacim ekil deitirme enerjisi u hesaplanacak ( u deerine enerji younluu ad da verilmektedir.) sonra u aada grld gibi btn hacim zerinde integre edilerek U bulunacaktr.

U = udvv

Birim hacm enerjisinin hesab iin nce tek eksenli gerilme etkisinde bulunan ve kenarlar x, y ve z olan bir dikdrtgenler prizmasn dnelim;

Burada i kuvvet xz dir. Bu kuvvetin ekil deitirme esnasnda yapt ii hesap edelim. Birim hacim enerjisi iin ekil 5.56 (b) de grlen elemanter alan gz nne aldmzda

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 5

u=

1 1 0 Pd (y ) = xyz 0 (xz )d (y ) = 0 d x y z

bulunur. ekil 5.26 (c)de grld gibi kuvvet ile yol arasnda lineer bant olduundan i olarak kuvvet ile yer deitirmenin arpmnn yars alnr. Yer deitirme ise y dir. Bu durumda birim hacm enerjisi

u=

1 (xz )(y ) 1 = 2 x y z 2

eklinde hesaplanr. Basit kayma halinde, u, birim hacm enerjisi ekil 5.31 yardmyla aada verilen ekilde yazlabilir.

u=

1 (xy )(z ) 1 = 2 x y z 2

eksenli gerilme halinde i enerji younluu: eksenli gerilme halinde ise i enerji younluu, normal ve kayma gerilmelerinin etkilerinin birbirinden bamsz olmas nedeniyle sperpozisyon ilkesi kullanlarak hesaplanabilir. Yukarda elde edilen ifadelerden yararlanlarak

u=

1 2

(

x x

+ y y + z z + xy xy + yz yz + zx zx )

6 Elastisite

eklinde yazlabilir. enerji younluu: enerji younluu

u=

1 2

(

x x

+ y y + z z + xy xy + yz yz + zx zx ) = 1 i i 2

eklinde yazlr. Bu bantda ij=2ij olduuna dikkat ediniz. Yukarda verilen bant gerilmeler yerine ekil deitirmeler yazldnda

i = cij j

u = 1 cij i j 2

elde edilir. Bu bantnn nce i ye gre trevi alndnda (bantda iki tane deeri bulunduunda trev sonunda katsays kaybolur).

u = cij j = i ielde edilir. Bu ifade ikinci Castiliano teoremidir. Elde edilen ifadenin sonra j gre trevi alndnda elde edilen bant sra deitirme ile alnan bantya kark trev zelliinden dolay eit olduundan

2u = cij i j

2u = c ji j i

cij = c ji

bulunur. Sonu olarak 21 bamsz katsay kalr. Bu sabitler deneylerle bulunur. Bir malzemede dzleme ve/veya eksene gre malzeme simetri zellii var ise bamsz sabitlerin says azalr. Yukarda verilen bantsndan

i = sij jelde edilir. Burada verilen sij matrisi cij matrisinin tersidir. sij matrisine esneklik matrisi (compliance matrix) ad verilir. Bu bantya genel Hooke yasalar ad verilir. Hibir dorultuda simetri zellii olmayan malzemelerde yani anizotropik malzemelerde; gerilme-ekil deitirme bantlar 21 sabit ile belirlenir ve

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 7

anizotropik malzeme triklinik malzeme veya aelotropik malzeme olarak da isimlendirilir. Malzeme sabitleri eksen takmna baldr. Eksen takm deitike malzeme sabitleri deiir. Malzeme sabitleri drdnc dereceden bir tansr olduundan deiimleri de bu tansrn deiim kurallarna uygun olur. Malzemede, malzeme zellikleri bakmndan simetri var ise bu simetriye uygun koordinat dnmlerinde malzeme sabitleri koordinat dnmnde deimez (invaryant kalr) . Bu durum malzeme sabitleri saynn azalmasna yol aar. eitli simetri durumlar aada teker teker incelenecektir. Monoklinik malzeme: Bir malzemede bir dzleme gre malzeme simetrisi var ise byle malzemeye monoklinik malzeme ad verilir. Bir x1,x2, x3 eksen takm alalm. Bu takmn x1,x2 eksenleri simetri dzlemi iinde bulunsun. Bu eksen takmnda gerilme ve ekil deitirme bileenleri i ve i olsun. x1*=x1,x2*= x2 ve x3*= -x3 olan bir eksen takm seelim. Bu eksen takmna gre gerilme ve ekil deitirme bileenleri i*ve i*olsun. ki eksen takm arasnda dnm matrisi N1 0 0 N = 0 1 0 0 0 1

dir. Bu matris yardm ile iki eksen takm arasnda gerilme tansrnn bileenleri arasnda, daha nce verilen 11 = 1 22 = 2 33 = 3 23 = 4 13 = 5 12 = 6 11 = 1 22 = 2 33 = 3 2 23 = 4 2 13 = 5 2 12 = 6 bantlar hatrlanarak aadaki bant yazlr..* * 1* 6 5 1 0 0 1 6 5 1 0 0 1 * * * 6 2 4 = 0 1 0 6 2 4 0 1 0 = 6 * * * 5 4 3 0 0 1 5 4 3 0 0 1 5

6 2 4

5 4 3

ekil deitirme tansrnde yukardaki bantnn benzeri elde edilir. Yukarda verilen bantdan grld gibi gerilme ve ekil deitirme

8 Elastisite

tansrlerinin iki eksen takm bileenleri arasnda aada verilen bantlar vardr. * * * * * 1* = 1 2 = 2 3 = 3 6 = 6 5 = 5 4 = 4

1* = 1

* * * * * 2 = 2 3 = 3 6 = 6 5 = 5 4 = 4

x1*,x2*, x3* eksen takmnda yazlan bant *1 c11 * 2 c21 *3 c31 * = 4 c41 *5 c51 * 6 c61

c12 c22 c32 c42 c52 c62

c13 c23 c33 c43 c53 c63

c14 c24 c34 c44 c54 c64

c15 c25 c35 c45 c55 c65

c16 *1 c26 *2 c36 *3 c46 *4 c56 *5 c66 *6

eklindedir. Gerilme ve ekil deitirmeni eiti yerlerine konulduundac12 1 c11 c c22 2 21 3 c31 c32 = 4 c41 c42 5 c51 c52 c62 6 c61 c13 c23 c33 c43 c53 c14 c24 c34 c44 c15 c25 c35 c45

c54 c64

c55c65

c63

c16 1 c26 2 c36 3 c46 4 c56 5 c66 6

iki bantnn eit olmas iin, yani c11 c12 c c 21 22 c c cij = 31 32 0 0 0 0 c61 c62

c13 c23 c330 0 c63

0 0 0

0 0 0

c44 c54 0

c45 c55 0

c16 c26 c36 0 0 c66

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 9

olmas gerekir. Buradan grld gibi monoklinik malzemede 13 tane bamsz sabit bulunmaktadr. Ortotropik malzeme: Birbirine dik dzleme gre malzeme simetrisi olan malzemelere ortogonalli anizotropik kelimelerinin ksaltlm olan ortotropik malzeme ad verilir. Teknikte ok kullanlan; ahap, lifli kompozit malzeme, haddeden geirilmi malzemeler ortotropik malzemelerdir. Bir x1,x2, x3 eksen takm x1*,x2* x3* eksen takmlarn alalm. Bu takmn sra ile x1,x2; x1,x3 ve x2,x3 simetri dzlemi olmas hali incelenecek. x1,x2 eksenleri simetri dzlemi olmas hali incelendi. x1,x3 dzlemi simetri olmas hali incelenecek. nceleme monoklinik malzemede olduu gibi yaplacandan x1*=x1, x2*=-x2 ve x3*= x3 olan ikinci bir eksen takm seelim. Bu eksen takmna gre gerilme ve ekil deitirme bileenleri i*ve i*olsun. ki eksen takm arasnda dnm matrisi N1 0 0 N = 0 1 0 0 0 1

dir. Bu matris yardm ile iki eksen takm arasnda gerilme tansrnn bileenleri arasnda aadaki bant vardr.* * 1* 6 5 1 0 0 1 6 5 1 0 0 1 * * * 6 2 4 = 0 1 0 6 2 4 0 1 0 = 6 * * * 5 4 3 0 0 1 5 4 3 0 0 1 5

6

2 4

5 4 3

Yukardaki bantda grld gibi ve benzer tansr olan ekil deitirme tansrnn elemanlar arasnda aada verilen bant vardr.* * * * * 1* = 1 2 = 2 3 = 3 6 = 6 5 = 5 4 = 4 * * * * * 1* = 1 2 = 2 3 = 3 6 = 6 5 = 5 4 = 4

x1*,x2*, x3* eksen takmnda yazlan bant

10 Elastisite

*1 c11 * 2 c21 *3 c31 * = 4 c41 *5 c51 * 6 c61

c12 c22 c32 c42 c52 c62

c13 c23 c33 c43 c53 c63

c14 c24 c34 c44 c54 c64

c15 c25 c35 c45 c55 c65

c16 *1 c26 *2 c36 *3 c46 *4 c56 *5 c66 *6

eklindedir. Gerilme ve ekil deitirmeni eiti yerlerine konulduundac12 1 c11 c c22 2 21 3 c31 c32 = 4 c41 c42 5 c51 c52 6 c61 c62 c13 c23 c33 c43 c53 c63 c14 c24 c34 c44 c54

c15 c25 c35 c45 c55 c65

c64

c16 1 c26 2 c36 3 c46 4 c56 5 c66 6

iki bantnn eit olmas iin sfr olan katsaylar aada grlmektedir. c11 c12 c c 21 22 c c cij = 31 32 0 0 c51 c52 0 0

c13 c23 c33 0 c53 0

0 0 0 c44 0 c64

c15 c25 c35 0 c55 0

0 0 0 (x1,x3 simetri dzlemi olmas hali) c46 0 c66

Daha nce x1,x2 dzlemi simetri dzlemi olmas halinde

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 11

c11 c12 c c 21 22 c c cij = 31 32 0 0 0 0 c61 c62

c13 c23 c33 0 0 c63

0 0 0 c44 c54 0

0 0 0 c45 c55 0

c16 c26 c36 (x1,x2 simetri dzlemi olmas hali) 0 0 c66

idi. ki simetri dzlemi olmas halinde c11 c12 c c 21 22 c c cij = 31 32 0 0 0 0 0 0

c13 c23 c33 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c55 0

0 0 0 0 0 c66

imdi x2,x3 dzlemi simetri olmas hali incelenecek. nceleme daha nce olduu gibi yapldnda x1*=-x1, x2*=x2 ve x3*= x3 olan bir eksen takm seelim. Bu eksen takmna gre gerilme ve ekil deitirme bileenleri i*ve i*olsun. ki eksen takm arasnda dnm matrisi N 1 0 0 N = 0 1 0 0 0 1

dir. Bu matris yardm ile iki eksen takm arasnda gerilme tansrnn bileenleri arasnda aadaki bant vardr.* * 1* 6 5 1 0 0 1 6 5 1 0 0 1 * * * 6 2 4 = 0 1 0 6 2 4 0 1 0 = 6 * * * 5 4 3 0 0 1 5 4 3 0 0 1 5

6

2 4

5 4 3

12 Elastisite

Yukardaki bantda grld gibi ve benzer tansr olan ekil deitirme tansrnn elemanlar arasnda aada verilen bant vardr.* * * * * 1* = 1 2 = 2 3 = 3 6 = 6 5 = 5 4 = 4 * * * * * 1* = 1 2 = 2 3 = 3 6 = 6 5 = 5 4 = 4

x1*,x2*, x3* eksen takmnda yazlan bant *1 c11 * 2 c21 *3 c31 * 4 c41 *5 c51 * 6 c61

c12 c22 c32 c42 c52 c62

c13 c23 c33 c43 c53 c63

c14 c24 c34 c44 c54 c64

c15 c25 c35 c45 c55 c65

c16 *1 c26 *2 c36 *3 c46 *4 c56 *5 c66 *6

eklindedir. Gerilme ve ekil deitirmeni eiti yerlerine konulduundac12 1 c11 c c22 2 21 3 c31 c32 c42 4 c41 5 c51 c52 6 c61 c62 c13 c23 c33 c43c53 c63

c14 c24 c34 c44 c54 c64

c15 c25 c35 c45

c55 c65

c16 1 c26 2 c36 3 c46 4 c56 5 c66 6

iki bantnn eit olmas iin sfr olan katsaylar aada grlmektedir.

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 13

c11 c12 c c 21 22 c c cij = 31 32 c41 c42 0 0 0 0

c13 c23 c33 c430 0

c14 c24 c34 c440 0

0 0 0 0

c55 c65

0 0 0 (x2,x3 simetri dzlemi olmas hali) 0 c56 c66

Bu art daha nce bulunan artlar salar. Dolaysyla iki dik dzlemde simetri var ise bunlara dik nc dzlemde de simetri vardr. Ortotropik malzemde sabitlerinin says 9a der. Birbirine dik iki dzleme gre malzeme simetri olmas halinde bu iki dzlem dik nc dzlemde simetri kendiliinden salanr. Dolaysyla birbirine dik 3 dzleme gre simetrisi olan malzemelerde bamsz malzeme sabitlerinin says 9dur.

14 Elastisite

zotropik malzeme: Bu malzemede malzemenin her dorultuda elastik zellikler ayndr. Bu malzeme iki sabit ile belirlenir. zotropik malzemede c11= c22= c33 , c12= c23= c13 c44= c55= c66 c11= c12+2 c44 c11 c 12 c cij = 12 0 0 0

c12 c11 c12 00 0

c12 c12 c11 00 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0

c440

0 + 2 0 0 = 0 0 0 0 c44 0

+ 2 + 20 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

0

0 0 0 0 0

eklindedir. Burada grlen sabitlere Lam sabitleri ad verilir. Bu sabitlerin mhendislik sabitleri veya teknik sabitler ad verilen E, G ve deerlerine balants

=G

=

E(1 + )(1 2 )

eklindedir. Ayrca E ve G arasnda aada verilen bant vardr.

G=

E 2(1 + )

Lam sabitleri kullanarak gerilme ekil deitirme bantlar

11 = (11 + 22 + 33 ) + 2 11 22 = (11 + 22 + 33 ) + 2 22 33 = (11 + 22 + 33 ) + 2 33 ij = ij kk + 2 ij ij = E(1 + )(1 2 )

23 = 2 23 13 = 2 13 12 = 2 12

ij kk + 2G ij

Gerilme ekil Deitirme Bantlar 15

Ters dnmler

ij = ij =

1 ij kk ij 2 2 (3 + 2 )

1 + ij kk ij E E1 xy G 1 yz = yz G 1 zx = zx G

1 xx ( yy + zz ) E 1 yy = yy ( xx + zz ) E 1 zz = zz ( xx + yy ) E

xx =

xy =

Poisson oran iin snrlama: Tek eksenli gerilme hali iin birim hacim deitirme oran , aadaki ekilde yazlabilir.

= x + y + z =

xE

xE

xE

=

xE

(1 2 )

(5.15)

Yaplan deneyler gstermitir ki tek eksenli ekme halinde cismin hacmi hibir zaman azalmaz. Bu nedenle >0 olmaldr. Bu arttan 1/2 elde edilir. Ayrca 0 den 01/2 (5.16)

bulunur. Yanal ekil deitirmenin en az olduu malzeme, mantar olup 0 dr. Kauukta ise 1/2 olup kauuun hacim deimesi yaklak olarak sfrdr. Metallerde deeri 0,3 civarndadr. Baz malzemelerde Poisson oran eksi olabiliyor. Bu durumda E ve G ayn iaretli olacandan -1