mohr dairesi –düzlem gerilme - ki??isel...

� Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntemile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerininkullanılması daha kolay olacak.

Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme

� Ayrıca bu yöntem nün etkidikleri düzlemin oryantasyonu (açısı) değiştikçe nasıl değiştiklerini izlememiz açısından da kolaylık sağlayacaktır.

ve x x yσ τ′ ′ ′

cos2 sin 22 2

x y x y

x xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −− = +

sin 2 cos22

x y

x y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

� Denklem (1) ve (2) aşağıdaki gibi yazılabilir:

Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)

� Her iki denklemin karesini alıp birbirine eklersek θ değerinden kurtuluruz,sonuç aşağıdaki gibi olur:

2 2

2 2-

-2 2

x y x y

x x y xy

σ σ σ σσ τ τ′ ′ ′

+ + = +

(10)

(11)

(12)

� Spesifik bir problem için bilinen sabitler ise bu durumdayukarıdaki denklem daha kompakt formda yazılabilir:


burada:

( )2 2 2-x ave x y Rσ σ τ′ ′ ′+ =

, ve x y xyσ σ τ

2

2

2

-

2

x y

ave

x y

xyR

σ σσ

σ στ

+=

= +

(13)


ve σ τEğer için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düzenlenirsedenklem (13)’ün R yarıçaplı, merkezi C( , 0)’da olan bir daire denklemiolduğunu görürüz:

a veσ

( )2 2 2-x ave x y Rσ σ τ′ ′ ′+ =

2

2

2

-

2

x y

ave

x y

xyR

σ σσ

σ στ

+=

= +

Buna Mohr Dairesi denir ve Alman mühendis Otto Mohr tarafından geliştirilmiştir.


� Mohr dairesi üzerindeki her bir nokta farklı bir gerilme durumunu temsileder. Örnek olarak aşağıdaki elemanı ele alalım:

90o derecedöndür

AG

Negatif

Eleman üzerinde θkadar dönme, Mohr dairesi üzerinde 2θ

kadar dönmeye karşılık gelmektedir.


� Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asalgerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir:

A noktası, θ = 0, C ve A birleştirilerek R

hesaplanır ve daire çizilir.

Asal eksenler 2θp1

(CA’dan CB’ye) ve 2θp2 (CA’dan

CD’ye) açıları ile gösterilmektedir. B

ve D noktaları.

A

B


� Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asalgerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir:

Asal kesme gerilmesi 2θs1

(CA’dan CE’ye) ve 2θs2 (CA’dan CF’ye)

açıları ile gösterilmektedir. E

ve F noktaları.

Herhangi bir θaçısındaki gerilme değeri (P noktası).

CA çizgisinden saat akrebinin tersi

yönünde 2θ kadar dönerek bulunur.

E

P

Mohr Dairesi – Örnek 1

� Üzerine etkiyen yüklemeden dolayı şaft üzerindeki A noktası şekildegösterilen düzlem gerilme durumuna maruz kalmıştır. Bu noktada oluşanasal gerilmeleri bulunuz.

MPa

MPa

Mohr Dairesi – Örnek 1 (devam)

� Pozitif yön kabullerini dikkate alarak, aşağıdaki ifadeler yazılabilir:

MPa MPa

�Ortalama gerilme:

� Bu durumda, referans noktası A(-12,-6) ve dairenin merkezi ise C(-6,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

MPa

MPa MPa

MPa

(+)

(+)


� Asal eksenler daireye referansla, B ve D noktalarıdır:

MPa

MPa

(+)

(+)

MPa

MPa

1 2σ σ> için:


� Asal eksenin olduğu düzlem referans noktası A’dan saat akrebinin tersiyönünde 2θP2 kadar dönülerek bulunur:

MPa

MPa

(+)

(+)

MPa

MPa

A: referans nok.Basınç gerilmesi var


� Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu için maksimum düzlemsel kesmegerilmesini ve bulunduğu düzlemi hesaplayınız.


� Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:

�Ortalama gerilme:

� Bu durumda, referans noktası A(-20, 60) ve dairenin merkezi ise C(35,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

A


� Maksimum kesme gerilmeleri Mohr dairesi üzerinde E ve F noktaları ile gösterilmektedir. Dikkat edilirse, bu noktalarda normal gerilme ortalama değerdedir:

� Maksimum kesme gerilmesi düzlemi:

Dikkat edilirse, E noktasında hem kesme hem de normal gerilmeler pozitiftir!

EF


� Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumundaki eleman saat akrebinin tersiyönünde 30 derece döndürüldüğünde oluşan gerilme durumunuhesaplayınız.

MPa

MPa

MPa


� Problem verisinden aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:

� Ortalama gerilme:

� θ = 0 noktası referans noktası olup koordinatları A(-8, -6) ve dairenin

merkezi C ise (2, 0) noktasındadır. Yarıçap ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

MPa MPa MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

A


� Elemanın referans noktası olan A noktasından 30 derece dönmesi, Mohrdairesinde 2(30o) = 60o dönmeye karşılık gelmektedir (P noktası):

( , )x x yP σ τ′ ′ ′Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur:

MPa

MPa

MPa

MPa

P


� Elemanın DE yüzüne etkiyen gerilmeler ise Mohr dairesinde Q noktasına

denk gelmektedir. Q noktasının koordinatları ise aşağıdaki gibi bulunabilir:

( , )x x yQ σ τ′ ′ ′Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur:

MPa

MPa

MPa

MPa

Dikkat: Q noktasına, A noktasında ve/veya P noktasından ulaşılabilir

A noktasından Q noktasına ulaşmak

için saat akrebi yönünde 60o

döndürülebilir.

mohr dairesi –düzlem gerilme - ki??isel...

Documents