1

YAPISAL ANAL İZ

DOÇ.DR. KAM İLE TOSUN FELEKOĞLU

2

Basit Kafes Sistemler• Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan

oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları ve metal çubuklardan oluşmaktadır.

• Düzlem kafes sistemler, tek bir düzlem içinde yer alırlar ve sıklıkla çatı ve köprülerde taşıyıcı sistem olarak kullanılır.

• Şekilde gösterilen kafes sistem, tipik bir çatı taşıyıcı kafes sistem örneğidir.

• Çatı makasında, çatı yükü bir dizi aşık aracılığıyla düğüm noktalarında kafes sisteme aktarılır. Uygulanan yük, kafes sistemin düzleminde etkidiğinden, çubuklarda oluşan kuvvetlerin analizi iki boyutludur.

3

• Şekildeki gibi bir köprüde ise, yüklerin kafes sisteme aktarılması şu şekilde olur: yükler, önce boyuna kirişler (stringer) üzerinden taban kirişlerine (floor beam), oradan da kafesin iki yanında bulunan düğüm noktalarına aktarılmaktadır. Köprü kafes sistemi de çatı kafes sisteminde olduğu gibi düzlemseldir.

• Köprü veya çatı kafes sistemlerinin, uzun mesafeleri geçmelerini gerektiren durumlarda, bir taraftaki mesnet için, sallanan (rocker) veya kayar-hareketli (roller) mesnet kullanılır. Bu tür bir mesnetleme, sıcaklığa ve yüke bağlı olarak kafes sistemin genleşmesi ve büzülmesine karşı serbestlik sağlar.

4

Tasarımda Kullanılan Varsayımlar• Bir yüklemeye maruz bir kafes sistemin hem çubuklarını hem de

bağlarını dizayn etmek için, önce her bir çubukta oluşan kuvveti belirlemek gerekir. Bu noktada iki önemli varsayım vardır: – Tüm yüklemeler dü ğüm noktalarına uygulanır . Köprü veya çatı kafes

sistemlerinde olduğu gibi genellikle bu varsayım doğrudur. Çoğu zaman kuvvet analizinde çubukların ağırlıkları ihmal edilir, çünkü taşınan kuvvetler, çubuk ağırlıklarına göre çok büyüktür. Çubuğun ağırlığıdikkate alınacaksa, elemanın iki ucuna eşit olarak paylaştırılır.

– Elamanlar birbirine pürüzsüz mafsallar (pinler) ile bağlanmı ştır . Düğüm noktaları genellikle perçinlerle veya kaynaklı olarak oluşturulurlar. Elemanlar ortak bir plaka olan Gusset plakası üzerinde birleştirilirler veya uzun bir cıvata kullanılarak bu düğüm noktasından geçen tüm elemanlar birleştirilir. Böylece aynı noktadan geçen kuvvetler sistemi oluşur.

5

• Bu iki varsayım nedeniyle, kafes sistemdeki her bir eleman iki kuvvetli eleman gibi davranır ve bu yüzden elemanın uçlarındaki kuvvetler, ekseni doğrultusunda olmalıdır.

• Kuvvet, elemanı uzatma eğiliminde ise çekme kuvveti (T-tension), kısaltma eğilimde ise basınç kuvvetidir (C-compression).

• Bir kafes sistemin tasarımını yaparken, kuvvetlerin çekme mi yoksa basınç mı olduğunu belirtmek önemlidir. Bir çubuk basınçaltındayken oluşan burkulma veya kolon etkisi nedeniyle, basınççubukları genellikle çekme çubuklarından daha kalın olmalıdır.

çekme basınç

6

Basit Kafes Sistem• Çökmeyi önlemek için, kafes sistemlerin formu rijit olmalıdır. Rijit

veya kararlı en basit form bir üçgendir. Üç kafes elemanı üçgen oluşturacak şekilde uçlarından birleştirilerek biraraya getirilirse rijit bir form oluştururlar.

• Basit kafes sistem oluşturulurken, ABC gibi bir temel üçgen eleman ile başlanır ve ek bir eleman oluşturmak için AD ve CD elemanlarıbağlanır. Buna göre, bir basit kafes sisteme yerleştirilen, iki çubukla oluşturulan her yeni eleman için düğüm noktası sayısı bir artar.

• A rigid truss will not collapse under the application of a load.

• In a simple truss, m = 2n - 3 where m is the total number of members and n is the number of joints.

Basit Kafes Sistem

7

8

9

Düğüm Noktaları Yöntemi• Bir kafes sistem dengedeyse, her bir düğüm noktası da dengede

olmalıdır. Düğüm noktaları yöntemi bu esasa dayanır, çünkü bu yöntem, kafes sistemin her bir dü ğüm noktasına etkiyen kuvvetler için denge ko şullarının sa ğlanmasından ibarettir.

• Kafes sistemin çubuklarının hepsi, aynı düzlem içinde yer alan iki kuvvetli elemanlar olduğundan, her bir mafsala etkiyen kuvvetler düzlemsel dir ve aynı noktadan geçer .

• Bunun sonucunda, düğüm noktasında, dönme veya moment dengesi kendiliğinden sağlanır ve yalnızca, öteleme veya kuvvet dengesi için ΣΣΣΣFx=0 ve ΣΣΣΣFy=0 denklemlerini sağlamak gereklidir.

• Düğüm noktaları yöntemini kullanırken, denge denklemlerini uygulamadan önce, ilk olarak düğüm noktasının serbest cisim diyagramını çizmek gerekir. Düğüm noktasına etkiyen her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi, kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü bir çubuktaki kuvvet, o çubuğun ekseni doğrultusundadır.

10

B noktasına etkiyen 500 N’luk kuvveti düşünerek, B noktasının serbest cisim diyagramını çizelim:

BA çubuk elemanı çekme kuvveti, BC çubuk elemanı basınç kuvveti etkisindedir.

Basit kafes analizinde, en az bir bilinen kuvvet ve en fazla iki bilinmeyen kuvvete sahip bir

düğüm noktasından başlanmalıdır. Bu şekilde, ΣFx=0 ve ΣFy=0

denklemlerinin uygulanması, iki bilinmeyenin çözülebildiği iki

cebirsel denklem verir.

Aynı düzlemdeki kuvvet sistemi :

11

• Kafes elemanlarda, oluşan bilinmeyen kuvvetlerin doğru yönleri iki farklı yöntemle kullanılabilir: – Serbest cisim diyagramındaki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin

çekme olduğu varsayılır. Denge denklemlerinde, çekme etkisindeki çubuklar için pozitif skaler ve basınç etkisindeki çubuklar için negatif skaler verir. Denklemlerin sonucunda, çözüm pozitif çıkarsa elaman çekme, negatif çıkarsa basınçkuvveti etkisi altındadır. Bilinmeyen kafes elemanı kuvvetlerinin şiddetleri ve doğru yönleri, sonraki düğüm noktası serbest cisim diyagramlarında kullanılır.

– Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü, “tetkik” yoluyla belirlenebilir. Örneğin, B noktasındaki denge düşünüldüğünde, FBC’nin yatay bileşeni 500 N’luk kuvveti dengelemelidir (ΣFx=0). Aynı şekilde, FBC’nin düşey bileşenini FBA dengelemektedir (ΣFy=0).

12

13

Örnek 63Şekildeki kafes sistemde her elemanda oluşan kuvvetleri (çekme? veya basınç ?) belirleyiniz.

B düğüm noktası

Basınç

Çekme

14

C düğüm noktası

A düğüm noktası

15

16

Örnek 64

Çubuk kuvvetlerini bulunuz, basınç veya çekme olduğunu belirtiniz.

Önce mesnet tepkileri bulunmalıdır. Bunun için kafes sistemin serbest cisim diyagramını çizelim:

17

a-d-c

18

A düğüm noktasıbasınç

çekme

D düğüm noktası

çekme

basınç

19

C düğüm noktası basınç

20

Sıfır kuvvet elemanları• Kafes sistemlerin düğüm noktaları yöntemi kullanılarak yapılan

analizi, hiç yük almayan çubuklar belirlendiği takdirde oldukça basitleşir.

• Sıfır kuvvet elemanları, yapım sırasında kararlılığı arttırmak veya uygulanan yükleme değiştiğinde destek sağlamak amacıyla kullanılır.

• Kafes sistemde, sıfır kuvvet elemanları, genellikle düğüm noktalarının tetkiki ile belirlenebilir.

21

A düğüm noktası

D düğüm noktası Kafesin taşıyıcı kısmı :

22

• Sıfır kuvvet elemanlarında genel kural: – Sadece iki çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası oluşturuyorsa

ve bu düğüm noktasına hiçbir dış yük ve mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bu çubuklar sıfır kuvvet çubukları olmak zorundadır.

D ve C noktalarına bakalım ?

23

D Noktası:

C Noktası:

24

Genel olarak;

İki tanesi aynı doğru üzerinde olan üç çubuk bir kafes sistemi düğüm noktasıoluşturduğunda, üçüncü çubuk, düğüm noktasına hiçbir dış kuvvet veya mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bir sıfır kuvvet çubuğudur. Bunun geçerli olması için bu düğüm noktasına dış kuvvet etkimemesi ve mesnet reaksiyonları bulunmamasıgerekir.

P yükünü taşımak için AEB kafes sistemi de uygundur.

25

Örnek 65

Tüm düğüm noktalarının mafsallı birleşim olduğu kabulü ile, şekilde gösterilen Fink çatı kafessisteminin sıfır kuvvet elemanlarını bulunuz.

İdealize edilmiş model:

26

Slayt 22’deki D noktasına benzer olan G noktasından başlayalım:

Not: C noktasından başlasaydık bu sonuca direkt ulaşamazdık. FGC’nin sıfır kuvvet çubuğu olması, 5 kN’luk yükün CB, CH, CF ve CD çubuklarıtarafından taşındığı anlamına gelir.

D noktasında da aynı prensip geçerli :

27

F düğüm noktası:

B noktasını analiz etseydik :

(basınç)

Buradan, FHC’nin sayısal değeri ΣFy=0’ı sağlamalıdır. Dolayısıyla HC bir sıfır kuvvet çubuğu değildir.

28

Kesit (Kesim) Yöntemi• Kesit yöntemi, cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır. Bu

yöntem dengedeki bir cismin bütün parçalarının da dengede olmasıilkesine dayanır.

• Bir kafes sistemini analiz ederken, bazen sadece belirli elemanların kuvvetlerini bulmamız gerekebilir. Bu durumda kesit yöntemi kullanılır.

• Yöntemi uygulamak için, cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır. Parçalardan birinin serbest cisim diyagramı çizildiği takdirde, diyagram kesite etkiyen yükleri içermelidir. Kesitteki yükü belirlemek için parçaya denge denklemleri uygulanır.

29

Çekme çubuğu

Basınççubuğu

Örneğin, şekilde gösterilen iki kafes sistem elemanını göz önüne alalım:

Mavi çizgiyle gösterilen kesitteki iç yükler, sağdaki serbest cisim diyagramlarından biri kullanılarak bulunabilir. Dengenin, çekme etkisindeki çubuğun kesitte T “çekme”sine, basınç etkisindeki çubuğunsa C “itme”sine maruz kalmasını gerektirdiği açıktır.

30

• Kesit yöntemi, bir kafes sistemin elemanlarını kesmek için de kullanılabilir. Kafes sistemin iki parçasından biri serbest cisim diyagramı olarak soyutlanırsa, kesilen elemanların iç kuvvetleri ortaya çıkar ve “kesit”teki çubuk kuvvetlerini belirlemek için bu parçaya denge denklemleri uygulanır. Kafes sistemin soyutlanmışparçasına sadece üç bağımsız denge denklemi (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMO=0) uygulanabildiği için, kafesi kestiğimiz yerde eleman kuvvetlerini bilmediğimiz maksimum üç eleman olmak zorundadır.

• Örnek olarak, aşağıdaki kafes sistemini ele alalım: – GC çubuğundaki kuvvet belirlenecekse “a-a” kesiti uygun olacaktır.

31

İki parçanın serbest cisim diyagramları aşağıda görülmektedir:

32

Her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünküçubuktaki kuvvet çubuk ekseni doğrultusundadır.

Ayrıca, kafes sistemin bir parçası üzerine etkiyen çubuk kuvvetleri diğer parçaya etkiyenlere eşit, fakat zıt yönlüdür (Newtonun 3. kanunu).

BC ve GC elemanları “çekme”ye, GF ise basınca çalışmaktadır.

BC, GC ve GF elemanlarındaki bilinmeyen kuvvetler, serbest cisim diyagramlarından herhangi biri kullanılarak bulunabilir.

Ancak, sağdaki serbest cisim diyagramıkullanılırsa, önce Dx, Dy ve Ex mesnet tepkileri bulunmalıdır. Çünkü sadece üçdenge denklemi bulunmaktadır.

33

• Denge denklemleri uygulanırken, bütün denklemlerin ortak çözümünü bulmak yerine, denklemleri, bilinmeyenlerin her birini doğrudan elde edecek şekilde yazmanın yolları aranmalıdır. Örneğin,

• Sol kesitte, C noktasına göre momentler toplamından FGF doğrudan elde edilir, çünkü FBC ve FGC C’ye göre sıfır moment üretir.

• Aynı şekilde FBC G’ye göre momentler toplamından elde edilir. FGCise düşey yöndeki kuvvetler dengesinden bulunur.

NOT: GC çubuğundaki kuvveti belirlemek için düğüm noktaları yöntemi kullanılsaydı, A, B ve G düğüm noktalarında denge denklemlerinin yazılmasıgerekirdi.

34

• Düğüm noktaları yönteminde olduğu gibi, kesme yönteminde de bilinmeyen çubuk kuvvet yönünün belirlenmesinde iki yol vardır: – Daima kesitteki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme etkisinde

olduğu, yani çubuğu çektiği varsayılır. Böylece, sayısal çözüm, çekme elemanları için pozitif, basınç elemanları için negatif sonuç verir.

– Bilinmeyen çubuk kuvvetinin yönü, tetkik yöntemiyle de bulunabilir. Örneğin, şekilde BC elemanında oluşan kuvvet çekme olarak gösterilmiştir. Çünkü G noktasına göre moment dengesi, 1000 N’luk kuvvetin oluşturduğu moment etkisini dengeleyecek şekilde olması gerekir.

35

Örnek 66Şekildeki kafes sistemin, GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri belirleyiniz. Çubukların çekme mi, yoksa basınç etkisinde mi olduklarınıbelirtiniz. (kesim yöntemi ile)

Kesim yöntemini kullanmak için önce, A veya D mesnedindeki tepkilerin belirlenmesi gerekir. Bunun için tüm sistemin serbest cisim diyagramınıçizelim:

36

Daha az sayıda bilinmeyen içerdiği için sol kesitin serbest cisim diyagramıkullanılacaktır:

G noktasına göre moment alırsak, FGEve FGC hesaba girmez, ve FBC için doğrudan çözüm elde edilir.

C noktasına göre moment alırsak, FBCve FGC hesaba girmez, ve FGE için doğrudan çözüm elde edilir.

(çekme)

(çekme)

(basınç)

37

Örnek 67

EB elemanında oluşan kuvveti, ve türünü (çekme veya basınç) bulunuz.

38

basınç

basınç

çekme

39

Örnek 68

Şekildeki köprü kafes sisteminin CF çubuğundaki kuvveti belirleyiniz. Çekme veya basınç kuvveti olduğunu belirtiniz.

40

kNEE

mEmkNmkN

M

yy

y

A

75.47616

01612385

0

=⇒=

=×+×−×−=Σ

41

mxxx

48

6

4

4 =+

=+

)(589.0

0)4)(75.4()8)(3()12(45sin

0

BASINÇkNF

mkNmkNmF

Mo

CF

oCF

==−+−

=Σ+

42

Örnek 69

6 m 6 m 6 m

300 N 300 N

EF, BC ve CF elemanlarında oluşan kuvvetleri ve türünübulunuz.

43

6 m 6 m 6 m

300 N 300 N

o

m

m60732.1

3

30tan9tan =⇒=×= φφ

6 m 6 m 6 m

300 N 300 N

44

Ax

AyDy

300 N 300 N

45

6 m 6 m 6 m

300 N 300 N

FEFsin30

FCFsin60

49

Örnek 70

300 N

2 m 2 m

3 m

Şekildeki sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınçkuvveti olduğunu belirtiniz. (Düğüm Noktası)

50

51

Örnek 71

Şekildeki sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınçkuvveti olduğunu belirtiniz.

450 N

4 m 4 m

4 m

52

450 N

4 m 4 m

4 m

53

Örnek 72

Şekildeki kafes sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınçkuvveti olduğunu belirtiniz. (düğüm metodu ile)

54

( )( ) ( )( ) ( )ft 6ft 12lb 1000ft 24lb 2000

0

E

M C

−+==∑

↑= lb 000,10E

∑ == xx CF 0 0=xC

∑ ++−== yy CF lb 10,000 lb 1000 - lb 20000

↓= lb 7000yC

Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım:

55

lb 7000−=yC

534lb 2000 ADAB FF == BF

ÇF

AD

AB

lb 2500

lb 1500

==

( ) DADE

DADB

FF

FF

532=

= BF

ÇF

DE

DB

lb 3000

lb 2500

==

↑= lb 000,10E

0=xC

↓= lb 7000yC

A Noktası

D Noktası

56

( )lb 3750

25001000054

54

−=

−−−==∑

BE

BEy

F

FF

BFBE lb 3750=

( ) ( )lb 5250

3750250015000 53

53

+=

−−−==∑

BC

BCx

F

FF

ÇFBC lb 5250=

( )lb 8750

37503000053

53

−=

++==∑

EC

ECx

F

FF

BFEC lb 8750=

B Noktası

E Noktası

57

( ) ( )( ) ( )kontrol 087507000

kontrol 087505250

54

53

=+−=

=+−=

∑

∑

y

x

F

F

C Noktası

58

59

Örnek 73

DE, EH ve HG çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. (kesim yöntemi ile)

60

Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım:

61

FH, GH, ve GI çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. (kesim yöntemi ile)

Örnek 74

62

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

↑=

++−==↑=

+−−−−−==

∑

∑

kN 5.12

kN 200

kN 5.7

m 25kN 1m 25kN 1m 20

kN 6m 15kN 6m 10kN 6m 50

A

ALF

L

L

M

y

A

Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım:

63

AL

Ax=0

• FH, GH ve GI elemanlarını kesen bir kesit alıp, sağ parçayı ele alalım.

( )( ) ( )( ) ( )kN 13.13

0m 33.5m 5kN 1m 10kN 7.50

0

+==−−

=∑

GI

GI

H

F

F

M

kN 13.13=GIF

64

kN

kN

çekme

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

kN 82.13

0m 8cos

m 5kN 1m 10kN 1m 15kN 7.5

0

07.285333.0m 15m 8

tan

−==+

−−=

°====

∑

FH

FH

G

F

F

MGL

FG

α

αα

CFFH kN 82.13=

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )kN 371.1

0m 15cosm 5kN 1m 10kN 1

0

15.439375.0m 8

m 5tan

32

−==++

=

°====

∑

GH

GH

L

F

F

M

HI

GI

β

ββ

CFGH kN 371.1=

basınç

basınç