Probabilidades e Combinatria

Combinatria1) Calcule:a) 54! b) 86!+3! c) A26 d) A35 e) A410 f) C030 g) C100100

h) C46 i) C1033P23A834C1025P15 j) C715+C815 k) C118+C218C1319+C1419 l) A'23 m) A'32

1)

Simplifique:a) 12!10! b) 18!15! c) n!(n+1)n-1! d) 1n!-1n-1! e) n!+n+1!n!-n-1!

1)

Decomponha em factores:a) 8!+10! b) 10!-9! c) n+1!-n!

1)

Resolva cada uma das seguintes equaes:a) x!=72x-2! b) 12x!=x+2!-5x+1! c) x!=110x-2!, (x2) d) A2n=420 a) 42A3n=A5n

1)

Num restaurante, a ementa constituda por 5 entradas, 12 pratos e 8 sobremesas. De quantos modos diferentes se pode escolher uma refeio constituda por uma entrada, um prato e uma sobremesa? Fizeram-se cdigos usando 2 smbolos: uma letra seguida de um algarismo. Considerando que o alfabeto tem 26Pgina 2

2)

letras, determine o nmero de cdigos diferentes que possvel fazer com: a) Todas as letras e algarismos; b) Todas as consoantes e todos os algarismos; c) Todas as vogais e todos os algarismos que representam nmeros pares. 1) Extraem-se 2 cartas de um baralho de 40 cartas. De quantas maneiras diferentes se podem extrair as duas cartas, considerando que uma um s e a outra uma carta de paus? Em Portugal, as matrculas dos automveis so constitudas por dois grupos de dois algarismos, seguidos de um grupo de duas letras, escolhidas de entre as 26 letras do alfabeto.a) b)

2)

Quantos carros so possveis de registar com matrculas diferentes? Supondo que as matrculas so constitudas por um grupo de dois algarismos, seguidos por dois grupos de duas letras, quantos carros seria possvel registar com matrculas diferentes?

1)

Com os 10 algarismos, 0, 1, 2, , 9, quantos nmeros de 4 algarismos podem ser escritos, de modo que: a) Os nmeros sejam pares? b) Os nmeros sejam mpares e formados por algarismos diferentes? c) Os nmeros sejam mltiplos de 5? d) Os nmeros sejam mltiplos de 10 e formados por algarismos diferentes?

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1)

No campeonato Nacional de Futebol da Liga Sagres, participam 16 equipas de futebol. Considerando que cada uma das equipas joga com cada uma das outras equipas duas vezes em casa e fora quantos jogos se realizam no campeonato? Uma urna contm uma bola branca, uma bola encarnada, uma bola verde, uma bola azul e uma bola preta. De quantas maneiras diferentes podemos extrair trs bolas, considerando a ordem e supondo que: a) Depois de extrada uma bola ela colocada de novo na urna? b) Depois de extrada uma bola ela no colocada de novo na urna? c) A primeira bola extrada encarnada, e que cada bola extrada no colocada de novo na urna?

2)

1)

Quantos nmeros de algarismos diferentes se podem escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8, de modo que: a) Os nmeros tenham 4 algarismos? b) Os nmeros tenham 4 algarismos e sejam maiores do que 4000? c) Os nmeros tenham 4 algarismos e sejam maiores do que 2500 e menores do que 6500? d) Os nmeros tenham 3 algarismos e sejam maiores do que 468?

1)

O Filipe tem 6 livros de Matemtica, 3 de Fsica e 4 de Ingls. De quantas maneiras diferentes pode o Filipe arrumar os livros numa prateleira, considerando que: a) Qualquer um dos livros pode ocupar uma posio qualquer?

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b) Os livros de cada uma das disciplinas devem ficar juntos? c) Apenas os livros de Matemtica e os livros de Fsica devem ficar juntos? d) Apenas os livros de Ingls devem ficar juntos? 1) De entre 8 pessoas, vo-se escolher algumas delas para formar uma comisso. Determine quantas comisses podemos formar, se: a) Cada comisso tem 2 elementos; b) Cada comisso tem 5 elementos; c) Cada comisso tem 6 elementos;1)

Escolheram-se 4 consoantes e as 5 vogais do alfabeto. No considerando o significado das palavras, quantas palavras diferentes se podem escrever com: a) Todas as letras? b) Duas consoantes e trs vogais? c) Trs consoantes e uma vogal?

1)

Para se fazer uma aposta simples do Euro Milhes, tm de se escolher 5 de entre os 50 nmeros e 2 entre as 9 estrelas numeradas. Quantas apostas simples diferentes se podem formar no Euro Milhes? De 10 operrios vo ser escolhidos 5 para irem trabalhar para uma obra. Quantos grupos diferentes se podem formar? Num parque de campismo h vrias tendas. Cada tenda est ligada a cada uma das outras por um caminho. Sabendo que h 120 caminhos diferentes, quantas tendas h no parque?

2)

3)

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4)

Considere um hexgono regular. a) Quantas rectas definem os pontos correspondentes aos vrtices? b) Quantas diagonais tem um hexgono? c) Quantas diagonais tem um polgono de n lados?

1)

Cinco amigos vo dar um passeio num automvel de 5 lugares. Sabendo que s trs deles podem conduzir, qual o nmero de formas diferentes de ocuparem os lugares durante o passeio? Uma lista formada por 10 elementos e dentro desta vai ser um eleito para presidente e outro para secretrio. Quantas eleies diferentes possvel fazer? Com os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5 quantos nmeros pares, de quatro algarismos diferentes ou no, possvel fazer? Suponha que cada um dos seis mil milhes de habitantes da Terra recebe um carto de identificao com uma sequncia de letras. Qual tem de ser o nmero mnimo de letras a usar em cada carto, para garantir que as sequncias sejam todas diferentes? (Considere que o alfabeto tem 26 letras e que todos os cartes tm o mesmo nmero de letras.) Os 30 alunos de uma turma, sendo 17 raparigas e 13 rapazes, decidiram constituir uma comisso formada por um presidente (rapaz), uma secretria (rapariga) e trs vogais, de qualquer dos sexos. Qual o nmero de comisses que possvel formar, atendendo a que uma mudana de funes altera a comisso?

2)

3)

4)

5)

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6)

Dez pessoas, 6 homens e 4 mulheres, sentam-se lado a lado em fila. De quantas maneiras se podem sentar de forma a que as mulheres fiquem juntas? Um empregado ao arranjar a montra de uma loja tem de colocar 9 garrafas, 3 da marca A, 2 da marca B e 4 da marca C. de quantas maneiras diferentes pode colocar as garrafas de modo que fiquem: a) Em fila? b) Em fila ficando juntas as da mesma marca? c) Em fila ficando as da marca B nos extremos?

7)

1)

Quantos anagramas distintos so possveis fazer com as letras da palavra: a) LISBOA; b) TELEMOVEL;

1)

Seis amigos vo jantar a um restaurante chins. De quantas formas diferentes se podem sentar se escolherem: a) Uma mesa rectangular? b) Uma mesa redonda?

1)

Foi autorizada a abertura de uma nova empresa de telemveis, satisfazendo as seguintes caractersticas: O nmero de telemvel constitudo por 9 algarismos; Os dois primeiros algarismos do nmero de telemvel so 94 por esta ordem; O nmero de telemvel no pode utilizar algarismos repetidos, nem o algarismo zero. Quantos nmeros de telefone pode a empresa fornecer?

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1)

O Jos Diogo ficou encarregue de criar um novo logtipo para a sua equipa de futebol. O logtipo tem a forma de um quadrado com trs barras horizontais ou trs barras verticais e tem de ter as cores branca, azul e preto. Quantos logtipos diferentes pode o Jos Diogo criar? Dez amigos, 4 rapazes e 6 raparigas, vo ao cinema e ocupam dez lugares consecutivos. De quantas formas distintas se podem sentar: a) Se qualquer um dos amigos se puder sentar em qualquer lugar? b) Se a Rita e o Pedro, que so namorados, ficarem juntos? c) Se a Rita e o Pedro, ficarem juntos num dos extremos? d) Se os rapazes ficarem todos juntos? e) Se os rapazes ficarem juntos e as raparigas tambm ficarem juntas?

2)

1)

Para o primeiro intervalo da manh, o responsvel da rdio escolar de uma escola, dispe de 7 temas musicais, mas a durao do intervalo s permite tocar 5 desses temas. De quantas maneiras diferentes pode o responsvel passar os 5 temas, sem repetir nenhum dos temas? Com os elementos do conjunto 1,2,3,4, quantos nmeros diferentes, com trs algarismos distintos, se podem escrever? Quantos nmeros diferentes de 4 algarismos se podem escrever se: a) Os algarismos so todos mpares? b) Os algarismos so todos diferentes e mpares? c) Usarmos todos os algarismos? d) O nmero inferior a 7000?

2)

3)

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1)

Dez amigos, 3 benfiquistas, 4 portistas e 3 sportinguistas, foram jantar num restaurante. No final do jantar, resolveram posar para uma fotografia, de modo que os portistas ficassem, todos juntos, no meio. De quantas maneiras o podem fazer? Numa turma, constituda por 30 alunos dos quais 20% so raparigas, escolhem-se, ao acaso, 5 alunos para organizarem um torneio de futebol. De quantas maneiras distintas se pode fazer a escolha sabendo que: a) Qualquer aluno pode ser escolhido? b) A comisso s formada por rapazes? c) A comisso constituda por 2 raparigas e 3 rapazes?

2)

1)

Considere 5 pontos sobre uma circunferncia de raio r. Recorrendo aos pontos dados, quantos: a) Segmentos de recta distintos possvel definir? b) Segmentos de recta orientados distintos possvel definir? c) Tringulos distintos possvel definir?

1)

Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro quadrado dezasseis peas, das quais dez so encarnadas e seis so brancas. De quantas maneiras diferentes podem ser colocadas as peas no tabuleiro? Um estudante do ensino secundrio tem oito disciplinas escolha, das quais trs so lnguas estrangeiras. O estudante pretende escolher cinco disciplinas. a) Quantas escolhas pode ele fazer? b) Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em:

2)

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i) Apenas uma lngua? ii) Pelo menos duas lnguas? 1) A Joana pretende criar uma blusa com trs riscas horizontais. Ela gosta de seis cores. Quantas blusas diferentes pode ela criar com estas cores, de modo que duas riscas contguas no sejam da mesma cor? O Joo tem 4 marcadores, 5 lpis, 6 esferogrficas e 2 borrachas. De quantas maneiras pode ele colocar este material, em fila, na sua secretria, sabendo que tm cores diferentes? O cdigo de um carto Multibanco uma sequncia de 4 algarismos. a) Quantos cdigos diferentes se podem formar? b) Quantos cdigos com algarismos diferentes se podem formar? c) Quantos cdigos diferentes, com um e s um algarismo 9 se podem formar?1)

2)

3)

Nove amigos, cinco rapazes e quatro raparigas foram ao cinema e compraram cinco bilhetes na fila M e quatro na fila N. De quantas maneiras diferentes os nove amigos se podem sentar: a) Se b) Se c) Se d) Se cada amigo puder ocupar qualquer lugar? os rapazes ficarem todos juntos? as raparigas ficarem todas juntas? as raparigas ficarem juntas com o Rui no meio delas?

1)

Numa pizzaria preparam-se pizzas com pelo menos 5 variedades. Dispondo-se de 8 ingredientes, qual o nmero de pizzas que se podem preparar?

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2)

De quantas formas pode ser constituda uma comisso de 4 mulheres, seleccionadas entre 9, de modo a incluir sempre a Catarina? Uma bolsa contm 5 moedas diferentes (0,05; 0,10; 0,20; 0,50; e 1,00). Quantas quantias diferentes possvel formar com uma ou mais moedas? Uma turma de 25 alunos ganhou 12 bilhetes para um concerto. Qual o nmero de formas de distribuir os bilhetes pelos alunos da turma? Numa estante esto colocados 3 livros de Ingls, 4 de Histria e 2 de Filosofia. De quantas maneiras distintas possvel dispor os livros na estante de modo que os da mesma disciplina estejam juntos? Dez jogadores de tnis competem num torneio. Existindo apenas um campo de jogos, qual o nmero de maneiras distintas de organizar o primeiro jogo do torneio? Quantas capicuas de seis algarismos possvel fazer? Um cantor preparou 9 temas para um espectculo. Quatro dos temas so cantados em ingls e os restantes em portugus. a) De quantas ordens diferentes o cantor pode apresentar os 9 temas? b) De quantas ordens diferentes pode o cantor apresentar o espectculo, iniciando e terminando com uma msica portuguesa? c) Se o cantor apresentar o espectculo alternando temas cantados em portugus e em ingls, qual o nmero de ordens diferentes do espectculo?

3)

4)

5)

6)

7)8)

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1)

Depois de bem baralhadas, das 40 cartas de um baralho, extraram-se cinco cartas. Determinar de quantas maneiras diferentes se podem extrair as 5 cartas, de modo a obter: a) Trs ases e duas damas; b) Duas cartas de um mesmo naipe e as outras trs de outro naipe; c) Pelo menos um valete; d) No mximo trs cartas de ouros.

1)

O Carlos tem 4 moedas, sendo os seus valores de 5, 10, 20 e 50 cntimos. Com as moedas do Carlos, quantas quantias diferentes se podem formar? Considere um prisma regular em que cada base tem n lados. Numa pequena composio, justifique que o nmero total de diagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases) dado por 2C2n-n+2n. Uma urna contm 7 bolas brancas, 4 bolas encarnadas e 8 bolas verdes. De quantas maneiras diferentes se podem extrair trs bolas, sendo: a) Todas brancas? b) Duas verdes e uma encarnada? c) Uma de cada cor? d) Pelo menos duas encarnadas? e) No mximo duas brancas?

2)

3)

1)

Determinar quantas rectas se podem definir com 9 pontos complanares, considerando que: a) Os pontos situam-se sobre uma circunferncia; b) Quatro dos 9 pontos so colineares;

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c) Os pontos esto sobre 2 rectas paralelas, 4 sobre uma e 5 sobre a outra.

Tringulo de Pascal e Binmio de Newton1) A soma dos dois ltimos nmeros de uma certa linha do tringulo de Pascal 11. Qual o quarto nmero dessa linha? Uma certa linha do tringulo de Pascal tem quinze elementos. Qual o sexto elemento dessa linha? O penltimo nmero de uma certa linha do tringulo de Pascal 17. Qual o terceiro elemento dessa linha? No tringulo de Pascal, existe uma linha com onze elementos. Seja a o maior nmero dessa linha. Qual o valor de a? A soma os dois ltimos elementos de uma certa linha do tringulo de Pascal 22. Qual a soma dos trs primeiros elementos dessa linha?

2)

3)

4)

5)

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6)

O quarto nmero de uma certa linha do tringulo de Pascal 19600. A soma dos quatro primeiros nmeros dessa linha 20876. Qual o terceiro nmero da linha seguinte? a b c d e f g representa uma linha completa do tringulo de Pascal, onde todos os elementos esto substitudos por letras. Qual o valor de c? Qual a soma de todos os elementos de uma linha do tringulo de Pascal que tem 15 elementos? A soma dos trs primeiros elementos de uma certa linha do tringulo de Pascal 211. Qual o terceiro elemento da linha seguinte?

7)

8)

9)

10) A soma dos elementos de uma linha do tringulo de Pascal 32768. Qual a soma de todos os elementos da linha anterior?11)

No tringulo de Pascal, considere a linha que contm os elementos da forma Ck2006. Quantos elementos desta linha so menores que C42006? Calcule, utilizando a frmula do binmio de Newton:a) 2x-1x7, x0 b) a-14 c) x+1x5, x0 d) xy-2y7, y0

12)

1)

Sem efectuar determine:

o

desenvolvimento

de

y2-2y14,

y0,

a) O termo mdio do desenvolvimento; b) O termo independente, caso exista;

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c) 1)

O coeficiente, caso exista, do termo o desenvolvimento

y10.

Sem efectuar determine:

de

3y-1y29,

y0,

a) O terceiro termo; b) O termo em y-6; c) O termo independente, caso exista.1)

Calcule o valor de desenvolvimento de

sabendo que um dos termos do +en 1207e3.

n,

2)

A soma de todos os termos de uma determinada linha do tringulo de Pascal 524288. Qual o maior nmero da linha seguinte? Calcule o termo mdio de1x-x10, x0 xx+1x39, x>0

3) 4)

Considere a seguinte potncia:

a) Indique o nmero de termos do desenvolvimento da potncia; b) Determine o termo de ordem 7 e o termo independente de x1)

Determine o valor de n, sabendo que o desenvolvimento de x3-2yn tem um termo cuja parte literal x8y6. Determine o 4 termo do desenvolvimento de sabendo que o coeficiente do 5 termo 15.3a+1n,

2)

3)

Determine o coeficiente do termo de expoente 12 relativamente varivel x, no desenvolvimento de x3+3y10.

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4)

Calcule o valor de n na expresso 1+xn, sabendo que a soma dos coeficientes dos termos de desenvolvimento do binmio 512. Determine o termo mdio do desenvolvimento de Determine o 3 termo do desenvolvimento de Determine, no desenvolvimento de x-10.3x+y6

5) 6) 7)

3x+113, x0

2x2-x15, x0,

o termo em

Teoria de ProbabilidadesSeja o espao de resultados associado a uma experincia aleatria. Seja A e B dois acontecimentos (A e B), com p(A)>0. Sejam A e B os acontecimentos contrrios de A e de B, respectivamente. Mostre que:PAB-PA=PB-PAB

8)

(P designa probabilidade e A e acontecimentos contrrios de A e B).9)

B

designam

os

Seja S o conjunto de resultados associados a uma experincia aleatria. Seja A e B dois acontecimentos (AS e BS).

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Prove que:

PA+PB+PAB=1+P(AB). B

(P designa probabilidade e A e acontecimentos contrrios de A e B).10)

designam

os

Seja S o conjunto de resultados associados a uma experincia aleatria. Seja A e B dois acontecimentos (AS e BS). sabendo que A e B so independentes, prove que:PAB=PA+PBPA.

(P designa probabilidade e contrrio de A).11)

A

designam o acontecimento

Seja S o conjunto de resultados associados a uma experincia aleatria. Seja A e B dois acontecimentos (AS e BS). prove que:a) PAB=PA-P(AB); b) c)

d) PA|B+PA|B=1

Se Se Se

ento PAB=PA-P(B) BA ento P(B)PA B um acontecimento possvel, entoBA

e) Se A e B so PA|B+PB|A=0 f) g)

incompatveis e possveis, ento entoA

Se

A e B so independentes PAB=1-PAPB

Se A e B so independentes ento independentes.

e

B

tambm so

1)

Se A e B so dois acontecimentos independentes associados a uma experincia aleatria e que PA=0,3 ePAB=0,58

Calcule 2)

PB.

Num saco existem quinze bolas, indistinguveis ao tacto. Cinco bolas so amarelas, cinco bolas so verdes e cinco

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so brancas. Para cada uma das cores, as bolas esto numeradas de 1 a 5. Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso, numa fila, qual a probabilidade de as bolas da mesma cor ficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma de dzima, com sete casas decimais. b) Suponha agora que, esto apenas algumas das quinze bolas. Nestas condies, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:a)

A probabilidade de essa bola ser amarela 50%; A probabilidade de essa bola ter o nmero 1 25%; A probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o nmero 1 62,5%. Prove que a bola amarela nmero 1 est no saco.1)

Sejam A e B so dois acontecimentos independentes associados a uma experincia aleatria em que PA=0,4 e PB=0,6. Calcule o valor de PA|B. Considere 2 caixas de bombons: a caixa A contm 7 bombons de chocolate preto e 5 de chocolate branco; a caixa B contm 6 bombons de chocolate preto e 8 de chocolate branco. Considere ainda um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Sabe-se que: Se sair um nmero primo no par no lanamento do dado come-se um bombom da caixa A; se sair um nmero par come-se um bombom da caixa B. A Marta comeu um bombom de chocolate branco, qual a probabilidade de ter sido da caixa A? b) Considere os acontecimentos:a) X:

2)

sair o nmero 2

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Y:

comer um bombom de chocolate preto

Sem aplicar a frmula da probabilidade condicionada, indique o valor de PY|X, justificando a sua resposta.1)

Numa fbrica de montagem de peas para automveis, uma pea construda por ao e ferro. A falta de um destes elementos impede a montagem da pea. A probabilidade de faltar o ao 0,2 e a probabilidade de faltar o ferro de 0,3. Determine a probabilidade de: a) Faltarem, simultaneamente, o ao e o ferro; b) A pea no poder ser montada; c) A pea ser montada.

1)

Uma caixa, que designamos por caixa 1, contm trs bolas verdes. Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contm uma bola amarela e duas bolas verdes. Tira-se uma bola, ao acaso, de uma das caixas. Calcule a probabilidade de tirar uma bola verde. Trinta soldados participam num exerccio. A Marina Santos um dos trinta soldados. necessrio escolher trs dos trinta soldados para ficarem de sentinela durante a noite. Admitindo que a escolha feita ao acaso, qual a probabilidade de a Marina Santos ficar de sentinela? Apresente o resultado na forma de percentagem. Considere todos os nmeros de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. De todos estes nmeros, alguns deles cumprem as trs condies seguintes: Comeam por 9; Tm os algarismos todos diferentes; A soma dos quatro algarismos par.

2)

3)

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Quantos so esses nmeros? Uma resposta correcta a este problema 34A24+A34.

Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas, explique porqu.1)

Lanam-se simultaneamente dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os dois nmeros sados. Qual a probabilidade do acontecimento o produto dos nmeros sados 21? Seja S o conjunto de resultados associado a uma experincia aleatria. Sejam A e B dois acontecimentos (AS e BS). Sabe-se que PA=0,3; PAB=0,1 e PAB=0,8. Qual o valor de PB? Abre-se, ao acaso, um livro, ficando vista duas pginas numeradas. Qual a probabilidade de a soma dos nmeros dessas duas pginas ser par? Seja A um acontecimento possvel, cuja probabilidade diferente de 1. Qual o valor da probabilidade condicionada PA|A? Os acontecimentos A e B so independentes. A probabilidade de ocorrerem simultaneamente 16 e a de no ocorrer nenhum 13. Determine PA e PB. De um baralho de 40 cartas no viciadas extraem-se 4 cartas. Calcule a probabilidade de: a) Trs e s trs serem reis; b) Pelo menos trs sejam reis; c) As quatro sejam reis.

2)

3)

4)

5)

6)

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1)

De um grupo de alpinistas, composto por 8 homens e 4 mulheres, escolhem-se, ao acaso, trs para iniciar uma escalada. calcule: A probabilidade dos escolhidos serem todos do mesmo sexo; b) A probabilidade de exactamente dois dos escolhidos serem mulheres.a)

1)

Numa turma com 12 raparigas e 8 rapazes vo ser escolhidos quatro elementos para formar uma comisso. Admitindo que os 4 elementos so escolhidos por sorteio, qual a probabilidade de que da comisso faam parte pelo menos duas raparigas e que seja constituda por alunos dos dois sexos? Apresente o resultado na forma de percentagem arredondado s dcimas. Considere o seguinte problema: Um saco contm doze bolas, indistinguveis ao tacto: trs bolas com o nmero 1, cinco bolas com o nmero 2 e quatro bolas com o nmero 3. Retiram-se, do saco, trs bolas, ao acaso. Qual a probabilidade de a soma dos nmeros sados ser igual a cinco? Uma resposta C234+C253C312. correcta para este problema

2)

Numa pequena composio, com cerca de 10 linhas, explique esta resposta. Nota: deve organizar a sua composio de acordo com os seguintes tpicos: Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis;

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Explicao do nmero de casos favorveis. 1) Numa caixa esto 15 lmpadas com igual aspecto exterior. Sabe-se que cinco (e s cinco) dessas lmpadas so defeituosas. a) Se tirarmos ao acaso 4 lmpadas da caixa, qual a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa? b) Dispondo as 15 lmpadas em fila, por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as lmpadas defeituosas fiquem juntas?1)

Lanam-se simultaneamente dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os dois nmeros obtidos. Qual a probabilidade do acontecimento O produto dos nmeros sados maior que 20? A Ana recebeu um novo carto Multibanco. Quando foi efectuar o primeiro pagamento no se lembrava do respectivo cdigo. Sabia apenas que era formado por quatro algarismos dos quais faziam parte o zero e o nove, que apareciam uma s vez cada um, no necessariamente por aquela ordem. Se a Ana tentar escrever o cdigo do seu carto, qual a probabilidade de acertar primeira tentativa? Uma caixa tem nove bolas, numeradas de 1 a 9, sendo quatro brancas e cinco pretas. Retiram-se ao acaso trs bolas, de uma s vez. Qual a probabilidade de: a) Uma e s uma bola ser preta? b) Pelo menos duas bolas serem pretas? c) As trs bolas terem a mesma cor? d) A soma dos nmeros inscritos nas trs bolas ser um nmero par?

2)

3)

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1)

Um jri composto por quatro membros escolhidos ao acaso numa lista de quatro homens e seis mulheres. Qual a probabilidade de o jri: a) Ter pelo menos um homem? b) Ter representantes dos dois sexos?

1)

Sabe-se que, num grupo de 12 professores, oito leccionam Fsica e sete leccionam Qumica. Nesse grupo so escolhidos, ao acaso, dois professores. Qual a probabilidade de os dois professores escolhidos leccionarem a mesma disciplina? Com os algarismos 1,2,3,4,5 formaram-se todos os nmeros possveis maiores que 1000 e menores que 3000. Escolhido um desses nmeros ao acaso, qual a probabilidade de ser par e ter os algarismos todos diferentes? Num saco havia seis bolas sendo quatro brancas e duas amarelas. Depois de se terem introduzido algumas bolas pretas no referido saco verificou-se que, na extraco sucessiva de duas bolas, o probabilidade de pelo menos uma ser branca era de 23. Quantas bolas pretas foram introduzidas no saco? Uma caixa tem cinco bombons, dos quais apenas dois tm licor. Tira-se da caixa, ao acaso, uma amostra de trs bombons. considere que X designa a varivel nmero de bombons com licor existentes nessa amostra. Construa a tabela de distribuio de probabilidades da varivel X Lana-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o nmero de vezes que sai a face 6 nos dois lanamentos. Calcule a distribuio da varivel X, atravs de uma tabela de distribuio.

2)

3)

4)

5)

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6)

Admita que, numa certa escola, a varivel Altura dos alunos do 12 ano de escolaridade segue uma distribuio aproximadamente Normal de valor mdio 175 cm e desvio-padro 10 cm.a)

Escolhe-se, ao acaso, uma aluno do 12 ano dessa escola. Qual a probabilidade de a altura desse aluno: (apresente as respostas em percentagens, com 1 casa decimal). i) Ser superior a 195 cm? ii) Estar compreendida entre 155 cm e 185 cm?

a) Se a escola tiver 400 alunos do 12 ano, quantos alunos de esperar que tenham uma altura inferior a 165 cm?1)

Uma moeda equilibrada lanada 10 vezes. Qual a probabilidade do acontecimento A face Euro sai exactamente quatro vezes? Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de vezes que determinado indivduo vai ao cinema (por semana). A distribuio de probabilidades de X a seguinte:xi PX=xi

2)

0 0,10

1 0,45

2 0,20

3a

4b

a)

b)

Determine a e b sabendo que to provvel o referido indivduo no ir ao cinema durante a semana como ir 4 vezes; Determine o valor mdio e o desvio-padro (com aproximao s centsimas) desta distribuio;

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c)

Qual a probabilidade de o nmero de idas ao cinema pertencer ao intervalo -,+ ?

1)

Uma caixa contm 6 bolas brancas e 4 bolas pretas, indistinguveis ao tacto. Tiram-se, ao acaso e de uma s vez, 4 bolas da caixa. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de bolas pretas tiradas na extraco das 4 bolas.a) b)

Defina a distribuio de probabilidades de X; Calcule o valor mdio e o desvio-padro de X.

1)

Acabou o tempo de um jogo de basquetebol e uma das equipas est a perder por um ponto, mas tem ainda direito a dois lances livres. O Manuel vai tentar encestar. Sabendo que este jogador concretiza, em mdia, 70% dos lances livres que efectua e que cada lance livre concretizado corresponde a um ponto, qual a probabilidade de o jogo terminar empatado? Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de raparigas nas famlias de dois filhos. Defina a distribuio de probabilidades de X; b) Calcule o valor mdio e o desvio-padro.a)

2)

1)

Quando o Pedro chegou a casa verificou que no havia luz nas escadas. Pegou, ento, no seu porta-chaves, com 3 chaves indistinguveis ao tacto e verificou que, para abrir a porta, teria de experimentar sucessivamente e ao acaso cada uma das chaves, sem as repetir, at obter xito. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de tentativas que o Pedro ter de fazer at abrir a porta.a)

Defina a distribuio de probabilidades de X;

Pgina 25

b) Qual o nmero esperado de tentativas que o Pedro ter de fazer at encontrar a chave certa?1)

Uma caixa contm bolas brancas e bolas pretas, num total de 12 bolas. Considere a experincia aleatria que consiste na extraco sucessiva, com reposio, de duas bolas. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de bolas brancas extradas. Na tabela a baixo encontra-se representada a distribuio de probabilidades da varivel X.

xi PX=xi

0916

138

2116

Represente, atravs de uma tabela, a distribuio de probabilidades da varivel Y: Nmero de bolas pretas extradas. b) Quantas bolas brancas e quantas bolas pretas tem a caixa? Justifique a sua resposta.a) 1)

A tabela de distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria X :xi PX=xi a

12a

2a

3

Qual o valor de a?2)

Numa caixa h bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se ao acaso, e em simultneo, trs bolas da caixa. Seja X o nmero de bolas brancas extradas. Sabe-se que a distribuio de probabilidades da varivel aleatria X :

Pgina 26

xi PX=xi

1115

2a

3a

Qual a probabilidade de se extrarem menos de trs bolas brancas?3)

Uma certa varivel aleatria de probabilidades:xi PX=xi a

X

tem a seguinte distribuio

1b

2

Qual a mdia desta varivel aleatria?4)

Numa caixa esto trs cartes, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultneo, dois cartes da caixa. Seja X o maior dos nmeros sados. Construa a tabela da distribuio de probabilidades da varivel aleatria X. O sangue humano est classificado em quatro grupos distintos: A, B, AB e O. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou no, o factor Rhsus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhsus positivo (Rh+); se no possui este factor, diz-se Rhsus negativo (Rh-). Na populao portuguesa, os grupos sanguneos e os respectivos Rhsus esto repartidos da seguinte forma:A Rh+ RhB AB O

5)

40% 6,5%

6,9% 1,2%

2,9% 0,4%

35,4% 6,7%

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a)

b)

Escolhido um portugus ao acaso, qual a probabilidade de o seu grupo sanguneo no ser o O? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado s unidades. Escolhido um portugus ao acaso, e sabendo que Rhsus negativo, qual a probabilidade de o seu grupo sanguneo ser o A? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado s unidades.

1)

Uma caixa contm 3 bolas brancas e 9 bolas pretas. Considere a experincia aleatria que consiste na extraco sucessiva, com reposio de duas bolas. Seja Y a varivel que representa o nmero de bolas brancas extradas. Represente, atravs de uma tabela, a distribuio de probabilidade da varivel Y. O Joo tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50 cntimos. O Joo retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.a)

2)

b)

Seja X a quantia, em euros, correspondente s moedas retiradas pelo Joo. Construa a tabela de distribuio de probabilidades da varivel X, apresentando as probabilidades na forma de fraco irredutvel. Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o Joo informou a sua irm Ins de que elas eram iguais. Ela apostou, ento, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual a probabilidades de a Ins ganhar a aposta? Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel.

1)

Admita que a varivel peso, em quilogramas, das raparigas de 15 anos, de uma certa escola, bem modelada por uma distribuio normal, de valor mdio 40. Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 kg. Escolhida, ao acaso, uma

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rapariga de 15 anos dessa escola, qual a probabilidade de o seu peso estar compreendido entre 35 kg e 40 kg? 2) Num dado viciado com as faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de sair 1 dupla da de sair qualquer uma das restantes faces.a)

Verifique que

P1=27 P2=P3=P4=P5=P6=17

e que

(Pa designa a probabilidade de sair a face com o n a.) b) Considere os acontecimentos:A:

Sair um nmero mltiplo de 3; B: Sair um nmero par; Determine PA|B e diga, justificando, se independentes.A

e

B

so

Composies1) Considere o seguinte problema. Utilizando os cinco algarismos do nmero 41 123, quantos nmeros podem ser formados?C253!

e

A35

so duas respostas correctas.

Numa pequena composio, com cerca de dez linhas, explique o raciocnio que conduziu a cada uma dessas respostas.

Pgina 29

2)

De todos os nmeros de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as trs condies seguintes: Comeam por 9; Tm os algarismos todos diferentes; A soma dos quatro algarismos par. Quantos so esses nmeros? Uma resposta correcta a este problema 34A24+A34.

Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas, explique porqu. 1) Considere o seguinte problema: Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados l, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como evidente, cinco jovens iro ficar sem bilhete. Qual a probabilidade de uma das filas ficar ocupada s com rapazes e a outra s com raparigas? Uma resposta correcta para este problema :

C1012C1013210!10!C202520!

Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: deve organizar a sua composio de acordo com os seguintes tpicos: Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis;Pgina 30

Explicao do nmero de casos favorveis.1)

Uma turma do 12 ano de uma Escola Secundria constituda por doze raparigas e dez rapazes pretende formar uma comisso organizadora de uma viagem de finalistas. Sabe-se que a comisso ter obrigatoriamente trs raparigas e dois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, no querem fazer parte da comisso em simultneo. Explique, numa composio, que o nmero de comisses diferentes que se pode formar dado porC312C210-C2119

2)

Trs casais, os Pinto, os Coelho e os Reis, vo ao cinema. Considere o seguinte problema: Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos, as seis pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual a probabilidade de os membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Reis no meio? Numa pequena composio, com cerca de quinze linhas, explique por que razo 246! uma resposta correcta a este problema. Nota: deve organizar a sua composio de acordo com os seguintes tpicos: Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis; Explicao do nmero de casos favorveis.

Pgina 31

1)

Um saco contm doze bolas, indistinguveis ao tacto: bolas com o nmero 1, cinco bolas com o nmero quatro bolas com o nmero 3. Retiram-se, do saco, bolas, ao acaso. Qual a probabilidade de a soma nmeros sados ser igual a cinco? Uma resposta correcta para este problema

trs 2 e trs dos

:

C234+C253C312

Numa pequena composio, com cerca de dez linhas, explique esta resposta. Nota: deve organizar a sua composio de acordo com os seguintes tpicos: Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis; Explicao do nmero de casos favorveis. 1) Considere o seguinte problema: Lana-se trs vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. E multiplicam-se os nmeros sados. Qual a probabilidade de o produto obtido ser igual a 6? Uma resposta correcta a este problema 3!+363

Numa pequena composio, explique porqu. A sua composio deve incluir: Uma referncia Regra de Laplace; Uma explicao do nmero de casos possveis; Uma explicao do nmero de casos favorveis. 1) Considere duas caixas: caixa A e caixa B. A caixa A contm duas bolas verdes e cinco bolas amarelas.Pgina 32

A caixa B contm seis bolas verdes e uma amarela. Lana-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair face 1, tira-se ao acaso, uma bola da caixa A. Caso contrrio, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa B. Considere os acontecimentos:X:

Sair face par no lanamento do dado Y: Sair bola verde Sem aplicar a frmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P(Y|X) e, numa composio com cerca de dez linhas, justifique a sua resposta. Nota: comece por indicar o significado de contexto da situao descrita. 2)P(Y|X),

no

Uma turma do 12 ano constituda por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comisso para organizar uma viagem de finalistas. A comisso ser formada por trs pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsvel pelas relaes pblicas. Suponha que a escolha dos trs elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma: Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas so dobradas e introduzidas num saco. O primeiro nome a sair corresponde ao presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsvel pelas relaes pblicas. SejaA: B: A, B

e

C

os acontecimentos:

o presidente uma rapariga; o tesoureiro uma rapariga;

Pgina 33

C:

a comisso formada s por raparigas.

Indique o valor da probabilidade condicionada P(C|AB) e, numa pequena composio, com cerca de dez linhas, justifique a sua resposta. Nota: No aplique a frmula de probabilidade condicionada. O valor pedido dever resultar exclusivamente da interpretao de P(C|AB, no contexto do problema.3)

Um baralho de cartas completo constitudo por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. Cada naipe tem trs figuras: Reis, Dama e Valete. De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposio, duas cartas. SejamE1: E1, C2

e

F2

os acontecimentos:

sair espadas na primeira extraco; C2: sair copas na segunda extraco; F2: sair uma figura na segunda extraco. Sem utilizar a frmula de probabilidade condicionada, indique o valor de P(F2C2|E1). Numa pequena composio, explicite o raciocnio que efectuou. O valor pedido dever resultar apenas da interpretao do significado de P(F2C2|E1), no contexto da situao descrita. 4) De uma caixa com dez bolas brancas e algumas bolas pretas, extraem-se sucessivamente, e ao acaso, duas bolas, no repondo a primeira bola extrada, antes de retirar a segunda.

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Considere os seguintes acontecimentos: A: a primeira bola extrada preta; B: a segunda bola extrada branca. Sabe-se quePBA=12

Quantas bolas pretas esto inicialmente na caixa? Numa pequena composio, justifique a sua resposta, comeando por explicar o significado de PBA, no contexto da situao descrita. 5) Numa sala de tempos livres, a distribuio dos alunos por idades e sexo a seguinte: 5 anos Rapaz Rapari ga 1 3 6 anos 5 5 7 anos 2 7

Escolhe-se um aluno ao acaso. SejamA: A

e

B

os acontecimentos:

o aluno tem 7 anos B: o aluno rapaz Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada PBA. Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel. No caso de utilizar a frmula da probabilidade condicionada, explicite os valores das duas probabilidades envolvidas nessa frmula. 6) De entre todos os nmeros de trs algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,Pgina 35

8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos um nmero par? Uma resposta correcta a este problema : A39-A35. Numa pequena composio explique porqu. 7) Um saco contm onze bolas, numeradas de 1 a 11. Ao acaso, tiram-se sucessivamente e sem reposio, duas bolas do saco. SejamA: B: A

e

B

os acontecimentos:

o nmero da primeira bola retirada par o nmero da segunda bola par

Indique o valor de PBA, na forma de fraco irredutvel, sem utilizar a frmula de probabilidade condicionada. Justifique a resposta, comeando por explicar o significado de PBA no contexto da situao descrita. 8) Uma caixa contm bolas, indistinguveis ao tacto, numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 tm cor verde, e as bolas numeradas de 11 a 20 tm cor amarela. Considere a experincia aleatria que consiste em retirar, sucessivamente, duas bolas da caixa, no repondo a primeira bola retirada, e em registar a cor das bolas retiradas. Considere os acontecimentos:A: B: C:

A 1 bola retirada verde; A 2 bola retirada amarela; O nmero da 2 bola retirada par.PBCA?

Qual o valor da probabilidade condicionada

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A resposta correcta a esta questo

PBCA=519

Numa pequena composio, sem utilizar a frmula de probabilidade condicionada, explique o valor dado, comeando por interpretar o significado de PBCA, no contexto da situao descrita e fazendo referncia: Regra de Laplace; Ao nmero de casos possveis; Ao nmero de casos favorveis.

Pgina 37

Funes Reais de Varivel RealExpresses, Equaes e Inequaes com Exponenciais e Logaritmos1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 2x2-5x=164 4125=15x-2 0,2x=1625 152x=255 0,001x-10 11) 3x2>3 12) 13x-1135 13) ex+2+e3x+2-2e2x+2=0 14) e6x+4+2e3x+2=3 15) 53-x21 17) 7e-x+ex8 18) 5x+1.x-5xx-30 19) 22x-12x 20)

Considerea) b) c) d)

fx=2x.

Determine o conjunto dos valores de x:

f2x+5=1024 fx-218 fx.(x2-1)>0 fx=-1 log3181 log142 log2132+log1322 Pgina 38

1) 2) 3)

Calcule Calcule Calcule

4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule Calcule

log216+log2132+log232 log2log416+10log5 lne2+lne-10+ln1 log3427818 log21512 log23128 log226 log55+3log40,25 log0,0001 log42log24 lne3 log2325632

16) log2x-3=4 17) ln1+x-e=1 18) log32+x-log3x2-4=0 19) log22x-1-3=log2x 20) log2x+1=8 21) logx3=12 22) 3x=5 23) 3-lne3x=0 24) ln3x2=lnx3 25) 2ex+e-x=3 26) lnx-3+lnx2=ln2x 27) ln2x+5lnx=6 Pgina 39

28) e2xe2x-5log2x 33) lnx+1lnx+10 34) 102x+11 39) 3+2x-1=4x

Pgina 40

Derivadas40) y=x+12x+1 41) y=ln2x+1 42) y=x2.3x 43) y=x4.lnx 44) y=3x.lnx 45) y=x3+x+12x2-x+4 46) y=x-1.lnxx 47) y=e3x2+x 48) y=32x3-1 49) y=1x+3 50) y=3x+1x2-8x 51) y=3x2+4x2+9 52) y=x-1x+22 53) y=x2-12x3 54) y=x3-1x2+13 55) y=x-13.x+24 56) y=x2+15 57) y=x+1.x2+1.x3-x 58) y=3x+12.x2+1-3 59) y=2x+1x2-1 60) y=2x+53x-2 61) y=2+xx-3

Pgina 41

62) y=x21-x 63) y=2x-22-1x-2 64) y=x2-8x2+x+1 65) y=x31+x 66) y=x+1x-12 67) y=x2-x+1x2+x+1 68) y=1+xx+2 69) y=x2+16x 70) y=x2.lnx 71) y=14.ln2+x2-x 72) y=x.ex 73) y=ln2x 74) y=x5ex 75) y=exx 76) y=x7.ex 77) y=exx2 78) y=e1+x2 79) y=lnx+1+x2 80) y=x-1.ex 81) y=ex-1x 82) y=x2.e-2x 83) y=ln1+x1-x 84) y=lnx2ex 85) y=lnx2x-133x+25 86) y=lnx22 87) y=lnlnx 88) y=logx3

Pgina 42

89) y=xex 90) y=ax2+bx+c 91) y=ax6+ba2+b2 92) y=x+ln2 93) y=atm+btm+n 94) y=ax+bcx+d 95) y=a3x2-bx.3x 96) y=1+z1-z 97) y=3x-ex 98) y=ex+2 99) y=3ex+5 100) y=ex-23 101) y=ex+x-4x3 102) y=3x2+x2+1 103) y=16t-12t12 104) y=2ses-12ss2 105) y=t3+1t2 106) y=2x5-13x 107) y=t2+13t2 108) y=2t+12-t+2 109) y=2r5r+2 110) y=e2xx2-1 111) y=lne2t+5 112) y=1+x 113) y=1e2t+t2 114) y=x2+1x2+3 115) y=-2t3+13t

Pgina 43

116) y=x2e-3x 117) y=x+x 118) y=t+2+et 119) y=e1+2s2 120) y=lnln2t2 121) y=lne3t+2t2+1e-3t 122) y=ex-e-xex+e-x 123) y=lnx1-lnx

124)Considera a funo real de varivel real h, definida por:fx=3x-1 se x22xx-1 se x>2

Utilizando a definio de derivada de uma funo num ponto, averigua se f derivvel no ponto de abcissa 2. Caracteriza f. 125)Caracterize a funo derivada da seguinte funo:fx=ex-1 se x0x3 se x0

por

fx=x2+1 se x0x2-4 se

Indique o conjunto dos zeros de f. (A)22) -2, 2

(B)

-2, -1, 2

(C)

2

(D)

-1, 2

Seja a funo f, de domnio R, definida por4 se x>0

fx=x2+1 se x0x2-

Seja un a sucesso definida por un=f(1+1n) Indique qual das expresses seguintes define o termo geral de un (A)23) 1+1n

(B)

2+2n

(C)

3+3n

(D)

5+1n

De uma funo g, de domnio R, sabe-se que: g0=1 g g

estritamente crescente em par

0, +

Pgina 108

Indique qual das seguintes afirmaes verdadeira. (A) Dg'=0, + crescente em R (C) g injectiva1)

(B) (D)g

g

estritamente

no tem zeros

De uma funo h, de domnio R, sabe-se que: h0=0 h h

estritamente crescente em uma funo par

0, 2

Qual das seguintes afirmaes verdadeira? (A) h tem um mximo relativo para x=0 (B) h-10),

Pgina 117

(A)12)

a=e+b

(B)

a=b

(C)sx=lnx-1x-2,

ab=e

(D)

ab=1

A funo s, definida por (A) D=R\2 (C) D=R\1, 2

tem domnio D. Ento:

(B) D=2, + (D) D=-, 12, +

13)

A equao

lnx=-20

(A) Tem por soluo x=-e20 (B) No tem soluo (C) Tem por soluo x=1e20 (D) Tem por soluo x=e2014)

A expresso (A)e10

2lne5,

igual a:25

(B)

(C)

10

(D)

ln2e5

15)

De uma funo f, de domnio -, , sabe-se que a sua derivada f' est definida igualmente no intervalo -, e dada por:f'x=x+2cosx a)

Utilizando mtodos exclusivamente analticos, resolva as duas alneas seguintes:i. ii.

Determine o valor de limx0fx-f(0)x; Estude a funo f quanto s concavidades do seu grfico e determine as abcissas dos pontos de inflexo.

a)

O grfico de f contm um nico ponto onde a recta tangente paralela ao eixo Ox. Recorrendo sua calculadora, determine um valor arredondado s centsimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu.R+,

1)

Considere a funo, de domnio

definida porPgina 118

fx=x+sinx

Recorrendo s capacidades grficas da sua calculadora, determine o nmero de zeros da funo f, no intervalo 14, +. Explique como procedeu, apresentando o grfico, ou grficos, em que se baseou para dar a sua resposta.2)

Seja

f:RR

a funo definida por

fx=e-xxxx-4 pertencentes ao intervalo -6, 6. Explique como procedeu.3)

Para um nmero real k, pertencente ao intervalo expressofx=1,2+tanx0xk2x-lnxx>k

0, 2,

a

Existe um nmero real k para o qual f contnua em 0, +. recorrendo s capacidades grficas da sua calculadora, determine um valor aproximado desse nmero k (arredondado s dcimas).4)

Considere a funo f definida no intervalofx=cosx-1+lnx

1, 2

por:

Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a funo g, definida no intervalo 1, 2 por gx=a.fx+b, tem por contradomnio 4, 5. Utilizando as capacidades grficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b, arredondados s centsimas. Explique como procedeu. Na sua explicao, deve incluir o grfico, ou grficos, que tenha visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos. Sempre que, em valores intermdios, proceder aPgina 119

arredondamentos, conserve um mnimo de trs casas decimais.5)

Considere a funo g, definida no intervalogx=sinx+lnxx

1, 7

por:

Recorrendo s capacidades grficas da calculadora, visualize o grfico da funo g e reproduza-o na sua folha. Com base nesse grfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinte problema: Seja g' a funo derivada de g. O conjunto soluo da inequao g'x3 (B) Im z=34 (D) 0