6_uvod v stabilnost_2010-05-13

UL FGGChair of Metal Structures

Univerzav Ljubljani

Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

Katedra za metalne konstrukcije

JEKLENE KONSTRUKCIJE

6. UVOD V STABILNOST JEKLENIH KONSTRUKCIJ

UL FGGKatedra za metalne konstrukcije

6.1 Osnovni pojmi

RAVNOTEŽJE – vrsta ravnotežja, izmikanje iz ravnotežne lege

Za ugotavljanje ravnotežja konstrukcijo izmaknemo iz ravnotežne lege, ravnotežne enačbe zapišemo v deformirani legi konstrukcije.


PRIMER

δv ... virtualni pomikpoljubenmožen

:∑ AM

( )0

0δ δ

δ− =

− =

F v k v LF k L v

0 0δ ≠ → − =v F k L

Zanima nas netrivialna rešitev:

=crF k L

Ravnotežje:

< crF F stabilno

≥ crF F nestabilno

ZAČETNA LEGA DEFORMIRANA LEGA

=F R


4/49

[ ] ( ) ... togost sistema⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K N

[ ]{ } { }=K u F

( ) { } { }0⎡ ⎤ =⎣ ⎦K N u

nehomogen sistem enačb:

netrivialna rešitev: ( )det 0⎡ ⎤ = →⎣ ⎦ crK N N

homogen sistem:

Analiza konstrukcij

NAPETOSTNI PROBLEM:

RAČUN Ncr:

{ }u pri = crN N lastna vrednostlastni vektor – uklonska oblika


Nestabilnost v konstrukcijah povzroča tlačna napetost.

a) UKLON TLAČENIH PALIC

6.2 Značilni primeri nestabilnosti

Mejna nosilnost je povezana z uklonom oz. izgubo stabilnosti palic.


Primer uklona tlačenega stebra

Preizkušanec v laboratoriju Računalniška simulacija uklona


Trije načini uklona tlačenih palic

UPOGIBNI UKLON UPOGIBNO – TORZIJSKI UKLON

TORZIJSKI UKLON

Cevni in škatlasti prerezi, navadni odprti profili

Nesimetrični odprti prerezi z majhno torzijsko togostjo

Dvojnosimetričniodprti prerezi z majhno torzijsko togostjo


b) BOČNA ZVRNITEV UPOGIBNIH NOSILCEV

Uklon tlačne pasnice izven ravnine nosilca zaradi upogibnih momentov okoli močne osi → tlačna sila v zgornji pasnici.


b) BOČNA ZVRNITEV UPOGIBNIH NOSILCEV


c) LOKALNO IZBOČENJE PLOČEVIN

Vitka stojina: izbočenje v tlačeni coni

ČISTI TLAK UPOGIB

Primer simulacije izbočenja pločevine brez ojačitev obremenjene s konstantnim potekom tlačnih napetosti vzdolž krajših robov (EBPLATE)



Nosilec I-profil




Skupno pri vseh treh pojavih nestabilnosti:

vitek element, pločevinatlačna napetost (N – uklon, M – bočna zvrnitev, σ - lokalno izbočenje)

Možne so kombinacije zgoraj naštetih nestabilnosti


Kombinacija globalnega uklona stebra in lokalnega izbočenja pločevin

L = 4 m, b/h/t = 220/180/4 mm

L = 4 m, b/h/t = 200/160/4 mm

L = 5.2 m, b/h/t = 220/180/4 mm

L = 5.2 m, b/h/t = 200/160/4 mm


2 0ω′′ + =w w0′′ + =EI w N w

6.3 Upogibni uklon tlačenih palic

( ) =M x N wRavnotežje momentov:

1 ′′≈ = −Mw

R EI′′= −M w EI

2ω =NEI

Deformirana lega:, , ,A I E l

Konstitucijska zveza:

Nastavek za pomike, ki reši zgornjo homogeno dif. enačbo:

sin( ) cos( )ω ω= +w A x B x

Linearna elastična teorija uklona - elastična in idealno ravna palica .


Robni pogoji:

0 0 : sin( 0) cos( 0) 0 00 : sin( ) 0

ω ωω

= = ⋅ + ⋅ = → == = ⋅ =

x w A B Bx l w A l

netrivialna rešitev:

0 sin( ) 0ω≠ → = → crA l N

{ }0, , 2 ,...ω π π= ± ±l ,ω π= ∈Zl n n

Euler-jeva kritična sila

oz.

ω π=l n

2 22

2πω = = crNn

l EI

22

2π

=crEIN n

l


Uklonska dolžina lu – razdalja med refleksijskimi točkami

=ulln

1=n2=n3=n

2

2

π=cr

u

EINl


22

2

π=cr

u

EIN nl

, 1,⇒ = =cr MIN uN n l l

2

, 2

π=cr MIN

u

EINl


2

2πσλ

=crE2 2

2 2

π πσλ

= = =crcr

u

N EI EA Al

2=I iA

λ = uli

212 2

1σ λλ λ

= = =cr cr

y y

NA f f

1λ π=y

Ef

1

λλλ

=

brezdimenzionalni zapis:

2

1λ

= =crcr

pl

NNN

λ = pl

cr

NN

2

2

σ πλ

=cr

y y

Ef f

=pl yN A fRelativna vitkost: - mera za stabilnost


Uklonske dolžine

=ul l 0.7=ul l 0.5=ul l

2=ul l=ul l


Uklonske dolžine

skrajna primera

2 2

2 2

2 4π π≤ ≤cr

EI EINl l

2

2

4π=cr

EINl

2

2

2π=cr

EINl

0.5ul l= ⋅ 0.7ul l= ⋅


!

Dimenzioniranje pomičnih okvirjev:

teorija drugega reda +

nepopolnosti


Upoštevanje začetne geometrijske nepopolnosti

( ) ( ) ( )= +f x w x u x

V začetni legi neravne palice - brez napetosti

NERAVNA PALICA

odmik od osi x

/ 2 :=x l 0 0 0= +f w u

Znano:

0

( ) :

( ) sin

:

π=

w xxw x w

lP

začetna neravna geometrija palice

tlačna osna sila

Iščemo:

P( )u x ( )f x

( )w xoziroma

pri znani in

( )w x

( ) ( ) ( )= +f x w x u x

(idealen elastičen material)


Ravnotežna enačba za neravno palico

, ( ) 0+ ⋅ + =xxE I u P u w

Notranji moment (w ne sodeluje pri ukrivljenosti, ker v začetni legi palica ni obremenjena).

Zunanja obtežba

momentni pogoj

( ),2 0ω+ + =xxu u w 2;ω =

PEI

Za u(x) predpostavimo rešitev(za nehomogeno dif. enačbo, ki avtomatično izpolni tudi robne pogoje):

( ) sin π=xu x A

l,

2

2 sinπ π= −xx

xu Al l

22 2

02 sin sin sinπ π π πω ω− + = −x x xA A w

l l l l2

2 202sin 0π πω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

x A wl l

,2 2

0 sin πω ω+ = −xxxu u w

l


20 0 0 0

2 2 22

2 2 2 2 211 1

ωπ π πω

ω ω

= − = − = =−− − − cr

w w w wA PPl l l

20

2,1

π= =

−cr

cr

w EIA PP lP

0( / 2) sin sin 12 2

π π= = = = ⋅ =

lu l u A A A Al 0 =u A

00 0 0 0

1 111

⎛ ⎞⎜ ⎟

= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎝ ⎠

cr

cr

wf u w w P PPP

1

1δ =

−cr

k PP

Amplifikacijski koeficient TDR 0 0 δ= ⋅f w k


δ

δ

≈

≈

II I

II I

w w k

M M kPribližni račun količin po TDR

0

0

1

1δ = =

−cr

fk PwP

0

0

11= −cr

PfPw

02 2

01 1

>f Pf P

Pomiki naraščajo hitreje kot sile.

1

2


Vpliv nepopolnosti na nosilnost

0 0 δ=f w k

0 0 δ= ⋅ =IIM N f N w k

/ :σ = + ≤II

TLMAX y y

el

N M f fA W

0 1.0δ+ ≤pl el

N w kNN M

=pl yN A f

el el yM W f=

N


0 1.0δ+ ≤pl el y

N w k ANN W f A

η = ow AW

1.01

η+ ≤

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠pl

plcr

N NN NN

N

=pl

NNN

( )2

1 1.01

ηλ

+ ≤−

N NN

2λ = pl

cr

NN

( )2

1 1 11

ηλ

⎛ ⎞≤ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠NN

( )21 1 1η λ⎛ ⎞≤ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

NN

( )0 =w f N ( )0=N f wali

pri “=” začetek plastifikacijepri “<” začetna nepopolnost η ne

povzroči začetka plastifikacije


6.4 Bočna zvrnitevElastičen in idealno raven nosilec.

... torzijski zasukϑ

Robni pogoji (VILIČASTA PODPORA):

( )ϑ

ϑ

( ) ( )( ) ( ), ,

0 0 0

0 0 0

ϑ ϑ

ϑ ϑ

= =

= =xx xx

L

L

( ) ( )( ) ( ), ,

0 0 0

0 0 0

= =

= =xx xx

v v L

v v L


Ravnotežna enačba za bočno zvrnitev nosilca s konstantnim potekom momentov

delež oviranetorzije delež enakomerne torzije

(čista, Saint-Venantova) - samo strigi.

, ,

2

0ω ϑ ϑ ϑ− − =xxxx xxtz

ME I GIEI

obtežba

ω= +x sM T T

Torzijski moment


= vzbočitveni vztrajnostni moment (tabele cM)“vztrajnostni moment ovirane torzije”

ωI

2

4ω =T

zhI I

=z MINI I (šibka os)

tI = Saint–Venantov torzijski vztrajnostni moment

( )3

1/ 3

=

=∑n

t i ii

I b t Približna formula za odprte prereze, ki ne upošteva globalnega sodelovanja elementov (10 – 30%).

( )2 1 ν=

+EG ( )28100 / , 0.3ν =JEKLOG kN cm... strižni modul

za dvojnosimetrične I - profile

Škatlasti prerezi It zelo velik → ni nevarnosti bočne zvrnitve

POZOR!

3.0,/8100 2 =≈ νcmkNGJEKLO


Rešitev ravnotežne enačbe

2

21 ωππ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠cr z t

t

E IM E I G Il l G I

Elastični kritični moment bočne zvrnitve

2

2; ωπχ =t

E Il G I

Vitkost:

( ) 1λ = =el plLT

cr cr

M MM M

,=el el y yM W f

,=pl pl y yM W f→ 3. R. K.

→ 1., 2. R. K.

2

1λ

=crLT

M


2

2t

E Il G I

ωπχ =

Možna primera v praksi

π=cr tM E I G I

l... upoštevamo samo enakomerno torzijo

prevladuje neovirana torzija

Primerno za:polni profiliveliki razponi

χ << 1


2

2t

E Il G I

ωπχ =prevladuje ovirana torzija

2 2 2 2 2

2 2 2 22pz z T

cr z f T cr TE I I E I hM E I I E I h N h

l l l l lω

ωππ π π π

= = = ≈ =

Za I – profile velja:

2z fI I≈ - zanemarimo vztrajnostni moment stojine okoli šibke osi

fI - vztrajnostni moment ene pasnice okoli vertikalne osi

χ >> 1


Metoda tlačene pasnice

Obnašanje tlačenega pasu pasnice, kot da le ta ne sodeluje z ostalim delom profila.

zanemarjen delež enakomerne torzije;uporabna za hitro kontrolo;vsebovana v predpisih.

= pcr T crM h N


• Nekonstanten potek upogibnega momenta

1 1.0≥C ... koeficient oblike momentne linije

OBTEŽBA IN ROBNI POGOJI POTEK MOMENTOV C1

1,00

1,31

1,77

2,33

Vplivi na Mcr:

≈

.)(.)( 1 konstMMCkonstMM crcr =⋅≅≠


OBTEŽBA IN ROBNI POGOJI POTEK MOMENTOV C1

1,13

2,58

1,35

1,68

• Prijemališče sile

• Robni pogoji (za ukon okoli šibke osi in vzbočenje prereza)

• Bočne podpore


6.5 Lokalno izbočenje vitkih pločevinElastična in idealno ravna pločevina;konstantna debelina pločevine t;vrtljivo podprta pločevina na vseh robovih;obremenitev v lastni ravnini.


Ravnotežna enačba po teoriji drugega reda (linearna teorija izbočenja)

( )3

212 1 ν=

−E tD ... upogibna togost na enoto širine plošče

Robni pogoj:0=w

,0 0= → =xxM w

Ravnotežje v deformirani legi (TDR):

, , , ,2 0+ + + =xxxx xxyy yyyy xxNw w w wD

Analogija z nosilcem

, 0xxNw wEI

+ =


Predpostavimo rešitev za w, ki avtomatično zadošča robnim pogojem:

( ), sin sinπ π= ⋅

m x n yw x y Aa b

... število polvalov v vzdolžni smerim... število polvalov v prečni smerin

π=

mma

π=

nnb

,4=xxxxw m w

,4=yyyyw n w

,2 2=xxyyw m n w

,2= −xxw m w

( )4 2 2 4 22+ + =Nw m m n n m wD

4 2 2 4 22 0⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Nw m m n n mD

Netrivialna rešitev: ( )22 2 20 0≠ → + − =Nw m n mD


V primeru, da prečne obremenitve ni, nastane v prečni smeri le en polval:

( )22 2

2cr

m nN D

m+

= ;α =ab

222

2

π αα

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

crmN D n

b m 22

σα

α⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

mk nm

Koeficient lokalnega izbočenja

( ) ( )2

, ,? 1 1σ σα

α⎛ ⎞= → = → = = +⎜ ⎟⎝ ⎠

MIN MINmk n n k n

m

( )2 2 2

22 212 1

α πσα ν

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ −⎝ ⎠cr

crN m E tnt m b

σ Eσk ( )2 2

2 212 1πσ

ν=

−EE t

bKritična membranska napetost


2

1 0α αα⎛ ⎞− = → =⎜ ⎟⎝ ⎠

mm

( )2

, 1, 4MINk n mσα ααα α⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Tvorijo se približno kvadratni paneli:

2

12 0σ α αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

dk mdm m m

0≠ 0=

α

αm

αm

Diagram kσ (α) pri m = 1.

σk


11

α αα α

++ = +

+m m

m m

( )( )

111

αα

− −− =

+m m

m m

( )2 1α = +m m

( ) ( )1σ σ= +k m k m

21 21, 2 4,5

12σα⎛ ⎞

= = → = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

m k

22 62, 6 4,17

26σα⎛ ⎞

= = → = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

m k

23 123, 12 4,08

312σα⎛ ⎞

= = → = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

m k

( )1α→ = +m m


pločevin za različne obremenitve pločevin:kσ

4σ =k

23,9σ =k

7,64σ =k

0,45σ =k

Normalne napetosti:


Strig:

245,34 ; 1,0τ αα

= + >k

25,344 ; 1,0τ αα

= + <k

α =ab

,σ τσ σ τ σ= =cr E cr Ek k


Deformacije panela polnostenskega nosilca (levo: z vzdolžno ojačitvijo v sredini, desno: z vzdolžno ojačitvijo v zgornji tretini) pod strižno obremenitvijo


Vitkost:

λσ

= yp

cr

f2

1σ σλ

= =crcr

y pf

/ 3τλ

τ= y

pcr

fStrig:


Toge ojačitve

Prečne ojačitve vplivajo na povečanje kτ in τcr, kσ in σcr pa se bistveno ne povečata.

Pločevina brez ojačitev obremenjena s konstantnim potekom tlačnih napetosti vzdolž krajših robov.


Pločevina brez ojačitev

6α = =ab

6α= =m

2 26 6 46 6σ

αα

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mkm

1=n

Pločevina s prečnimi ojačitvami

kσ se bistveno ne poveča!

1=n2 26 6 4

6 6mk

mσα

α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 ojačitev¸6 polj → m = 6 9 ojačitev¸10 polj → m = 10

11

610

ab

α = =

1=n2 210 6 5,14

6 10mk

mσα

α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


k σ in σcr povečamo z vzdolžnimi ojačitvami, saj pločevino prisilimo, da se prečno izboči v več kot enem polvalu.

Pločevina s togo vzdolžno ojačitvijo obremenjena s konstantnim potekom tlačnih napetosti vzdolž krajših robov.


Pločevina z vzdolžno ojačitvijo

6α = =ab

2 22 212 62 16

6 12σα

α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mk nm

2=n

kσ se bistveno poveča (×4)!

16 2 12 12

/ 2a b m

b bα ⋅

= = = ⇒ =


Vzdolžne ojačitve pri strižni obremenitvi – v sredini panela


Vzdolžne ojačitve pri strižni obremenitvi – v zgornji tretjini panela


Upogibni uklon:

, ,pl crcr cr

cr pl

N NN NN N

λ = =

Bočna zvrnitev: ( )( ), ,el pl cr

cr LT crcr el pl

M M MM MM M M

λ = =

Lokalno izbočenje pločevin: , ,y crcr p cr

cr y

ffσσ λ σ

σ= =

Povzetek – kritične sile (napetosti) in vitkosti za vse tri probleme stabilnosti

crMcrσ

6_uvod v stabilnost_2010-05-13

Documents