7. 차원과 구조

7.1 기저와 차원

부분공간의 기저

V =span{v1,v2,···vs} 이 Rn 의 부분공간

집합 S ={v1,v2,···vs} 의 벡터들이 1 차 종속이면 , 적어도 S 의 벡터들 중

하나는 소거해도 여전히 V 를 생성

V =span{v1,v2,···vs} 에서 S ={v1,v2,···vs} 가 일차 종속 집합

v3=k1v1+k2v2 (1)

w=c1v1+c2v2+c3v3

w=c1v1+c2v2+c3 (k1v1+k2v2)=(c1+c3k1)v1+(c2+c3k2)v2

< 정의 7.1.1> Rn 의 부분공간 V 의 벡터들의 집합이 일차독립이고 V 를

생성한다면 V 에 대한 기저 (basis).

[ 예제 1] 단순한 기저들

‧ V 가 Rn 의 원점을 지나는 직선

‧ V 가 Rn 원점을 지나는 평면

‧ V={0} 이 Rn 의 부분공간 V

[ 예제 2] Rn 의 표준기저

표준단위벡터 e1,e2,···en 는 일차독립

Rn 의 임의의 벡터 X =x1,x2,···xs

X=x1(1,0,···,0)+x2(0,1,···,0)+xn(0,0,···,1)=x1e1+x2e2++xnen

e1,e2,···en 를 Rn 의 표준기저 (standard basis).

< 정리 7.1.2> 0 벡터를 포함하지 않는 S ={v1,v2,···vk} 에서 어떤 벡터가 그

앞의 벡터들의 일차결합이면 S 는 일차종속

[ 예제 3] 정리 7.1.2 를 이용한 일차독립

집합 {v1,v2,···vk} 가 다른 원소들의 일차결합이 아닌 것을 보여서 다음 벡터들이

일차독립인 것을 보여라 .

V1={0,2,0}, V2={3,0,3},   V3={-4,0,4},   

[ 예제 4] 행 사다리꼴 형태의 영이 아닌 행벡터의 독립

행 사다리꼴 형태에서의 영이 아닌 행벡터들의 행렬은 일차독립

< 정리 7.1.3> ( 기저의 존재 ) V 가 Rn 의 부부공간이면 , 최대 n 개의

벡터들을 가지는 V 의 기저가 존재한다

< 정리 7.1.4> Rn 의 영이 아닌 부분공간의 모든 기저들은 같은 수의 벡터를

가진다 .

[ 예제 5] 하나의 기저에 있는 벡터의 수

‧ Rn 의 원점을 통과하는 직선의 모든 기저는 하나의 벡터

‧ Rn 의 원점을 통과하는 평면의 모든 기저는 두 개의 벡터

‧ Rn 의 모든 기저는 n 개의 벡터

< 정의 7.1.5> V 가 Rn 의 영이 아닌 부분공간일 때 , V 의 차원 (dimension) 은

V 의 기저에 포함된 벡터의 수로 정의 하며 , dim(V). 영 부분공간은 차원이 0.

[ 예제 6] Rn 의 부분공간의 차원

다음은 정의 7.1.5 와 예제 5 로부터 유도된다 .

‧ Rn 의 원점을 통과하는 직선의 차원은 1.

‧ Rn 의 원점을 지나는 평면의 차원은 2.

‧ Rn 의 차원은 n.

해공간의 차원 Gauss Jordan − 소거에 의한 동차선형계 Ax=0 의 일반해

x=t1v1+t2v2+···+tsvs (8)

벡터 v1,v2,···vs 는 일차독립

Ax=0 의 표준해 (canonical solutions)

표준해 벡터는 해공간을 생성하고 일차독립

해공간의 기저를 형성

이 기저를 해공간의 표준기저 (canonical basis)

[ 예제 7] 기저와 Ax=0 의 해공간의 차원

동차계의 해공간에 대한 표준기저를 찾아라 .

X1+3x2-2x3+2x5=0

2x1+6x2-5x3-2x4+4x5-3x6=0

5x3+10x4+15x6=0

2x1+6x2+8x4+4x3+18x6=0

해공간의 차원을 구하라 .

(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=r(-3,1,0,0,0,0)+s(-4,0,-2,1,0,0)+t(-2,0,0,01,0)

표준기저벡터는

V1=(-3,1,0,0,0,0) , V2= (-4,0,-2,1,0,0) , V3= (-2,0,0,01,0)    

해공간은 R6  의 3 차원 부분공간 .

a=a1,a2,···an 이 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 Rn 의 원점을 통과하는 초평면 a⊥

a1x1+a2x2+···+anxn=0

이 선형계는 하나의 선행변수와 n-1 개의 자유변수

해공간은 n-1 차원을 가지고 이것은 dim(a⊥)=n-1

R2 의 원점을 통과하는 ( 초 ) 평면 ( 직선 ) 은 차원 1 을 가지고

R3 의 원점을 통과하는 ( 초 ) 평면을 차원 2

풀이

초평면의 차원

< 정리 7.1.6> a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 , dim( a⊥)=n-1.

7.2 기저의 성질

기저의 성질

span{v1,v2,···vk} 의 한 벡터를 다른 벡터들의 일차결합으로 나타내는 방법은 여러 가지 V=(3,4,5) 을 다음의 벡터들로 어떻게 나타낼 것인지

V1=(1,0,0) , v2=(0,1,0) , v3=(0,0,1) , v4=(1,1,1)    

V=c1v1+c2v2+c3v3+c4v4                  (1)

< 정리 7.2.1> S ={v1,v2,···vk} 가 Rn 의 부분공간 V 의 기저라면 , V 의 모든

벡터 v 는 정확히 한가지 방법으로 S 의 벡터들에 의해 일차결합으로

표현된다 .

< 정리 7.2.2> S 는 Rn 의 영이 아닌 부분공간 V 의 유한한 벡터집합이라

하자 .

(a) S 가 V 를 생성하고 , V 의 기저가 아니라면 , V 의 기저는 S 에서 적당한

벡터들을 제거함으로써 얻음 .

(b) S 가 일차독립집합이고 V 의 기저가 아니라면 , V 의 기저는 V 로부터 S

에 적당한 벡터를 추가함으로써 얻음 .

< 정리 7.2.3> V 가 Rn 의 영이 아닌 부분공간이라면 , dim(V) 는 V 의

일차독립벡터의 최대수 .

공학자들은 차원의 동의어로 자유도 (degrees of freedom)

부분공간의 부분공간

V 와 W 가 Rn 의 부분공간이고 , V 가 W 의 부분집합이면 , V 는 또한 W 의

부분공간 (subspace).

그림 7.2.1

< 정리 7.2.4> V 와 W 가 Rn 의 부분공간이고 , V 가 W 의 부분공간이면

(a) 0 ≤ dim(V) ≤ dim(W) ≤ n

(b) dim(V) = dim(W) 이면 V = W.

< 정리 7.2.5> S 를 Rn 의 공집합이 아닌 벡터들의 집합이고 , S' 은 집합 S 에

Rn 의 벡터들을 추가하여 얻은 집합

(a) 추가하는 벡터들이 span(S) 에 있다면 , span(S')=span(S)

(b) span(S')=span(S) 이면 , 추가하는 벡터들은 span(S) 에 있다 .

(c) span(S') 와 span(S) 가 같은 차원이라면 , 추가하는 벡터들은 span(S) 에

있고 span(S')=span(S).

때때로 생성은 일차독립을 의미한다

< 정리 7.2.6>

(a) Rn 의 영이 아닌 k 차원 부분공간에서 k 개의 일차독립벡터들의 집합은 그

부분공간의 기저 .

(b) Rn 의 영이 아닌 k 차원 부분공간을 생성하는 k 개의 일차독립벡터들의

집합은 그 부분공간의 기저 .

(c) Rn 의 영이 아닌 k 차원 부분공간에서 k 개보다 적은 일차독립벡터들의

집합은 그 부분공간을 생성할 수 없다 .

(d) Rn 의 영이 아닌 k 차원 부분공간에서 k 개보다 많은 일차독립벡터들의

집합은 일차종속 .

[ 예제 1] 검사에 의한 기저

(a) 검사에 의해 벡터 v1=(-3,7)  과 v2=(5,5) 이 R2 의 기저를 형성하는 것을

보여라 .

(b) 검 사 에 의 해 벡 터 v1=(2,0,-1), v2=(4,0,7) 과 v3=(6,1,-5) 이 R3 의

기저를 형성하는 것을 보여라 .

예제 2 일차독립에 대한 행렬식

(a) 벡터 v1=(1,2,1), v2=(1,-1,3) 과 v3=(1,1,4) 가 R3 의 기저를 생성함을

보여라 .

(b) 벡터 v1,v2 과 v3  을 이용하여 w=(4,9,8), 을 나타내어라 .

풀이 (a) 세 벡터들이 일차독립인 것을 보이면 된다 .

풀이 (b) (a) 의 결과는 벡터 w 는 v1,v2  과 v3 의 유일한 일차결합으로 표현되는 것

(4,9,8)=c1(1,2,1)+c2(1,-1,3)+c3(1,1,4)            (3)

 

       

유일한 해 c1=3, c2=-1, c3=2

(4,9,8) = 3(1,2,1) - 1(1,-1,3) + 2(1,1,4)

W = 3v1 - v2 + 2v3   

     

통합정리

< 정 리 7.2.7> A 가 nxn 행 렬 이 고 TA 가 표 준 행 렬 A 를 가 지 는 Rn 의

일차연산자라 하면 , 다음 명제들은 동치이다 .

(a) A 의 기약 행사다리꼴은 In 이다 .

(b) A 는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다 .

(c) A 는 가역이다 .

(d) Ax=0 는 단지 자명해를 가진다 .

(e) Ax=b 는 Rn 의 모든 벡터 b 에 대해 해를 가진다 .

(f) Ax=b 는 Rn 이 모든 벡터 b 에 대해 정확히 하나의 해를 가진다 .

(g) dat(A) ≠ 0 이다 .

(h) λ=0 은 A 의 고유값이 아니다 .

(i) TA 은 단사이다 .

(j) TA 은 전사이다 .

(k) A 의 열벡터들은 일차독립이다 .

(l) A 의 행벡터들은 일차독립이다 .

(m) A 의 열벡터들은 Rn 을 생성한다 .

(n) A 의 행벡터들은 Rn 을 생성한다 .

(o) A 의 열벡터들은 Rn 의 기저를 이룬다 .

(p) A 의 행벡터들은 Rn 의 기저를 이룬다 .

7.3 행렬의 기본공간들

행렬의 기본공간

A 가 nxn 행렬이라면 , A 와 관련된 세 개의 중요한 공간

1. row(A) 로 표 현 되 는 Rn 의 행 공 간 (rowspace) 은 A 의

행벡터들에 의해 생성되는 Rn 의 부분공간 .

2. col(A) 로 표 현 되 는 A 의 열 공 간 (column space) 은 A 의

열벡터들에 의해 생성되는 Rn 의 부분공간 .

3. null(A) 로 표현되는 A 의 영공간 (null space) 은 Ax=0 의 해공간

. 이것은 Rn 의 부분공간 .

A 와 AT 를 함께 고려

row(A), row(AT), col(A), col(AT), null(A), null(AT)

row(AT)=col(A) col(AT)=row(A)

6 개의 부분공간들은 단지 4 개로 구별

A 의 기본공간 (fundamental space)

< 정의 7.3.1> 행렬 A 의 행공간의 차원은 A 의 계수 (rank) 라 하고 rank(A) 로

표시하고 행렬 A 의 영공간 (null space) 의 차원은 영공간의 차원 (nullity) 라

하고 nullity(A) 로 표시 .

< 정의 7.3.2> S 가 Rn 의 영이 아닌 집합일 때 , S⊥ 로 표현되는 S 의

직교여공간 (orthogonal complement) 은 S 의 모든 벡터들에 수직한 Rn 의

모든 벡터들의 집합 .

[ 예제 1] R3 의 부분공간의 직교여공간

L 이 R3 의 원점을 지나는 직선이라면 , L⊥ 은 L 에 수직한 원점을 지나는

평면이고 , W 가 R3 의 원점을 지나는 평면이라면 , W⊥ 는 W 에 수직한 원점을

지나는 직선이다 .

그림 7.3.1

[ 예제 2] 행벡터들의 직교여공간

S 가 mxn 인 행렬 A 의 행벡터들의 집합이라면 , 이 집합의 S⊥ 은 정리 3.5.6

에 의해 Ax=0 의 해공간 .

< 정리 7.3.3> S 가 Rn 의 공집합이 아닌 집합이라면 , S⊥ 은 Rn 의

부분공간 .

[ 예제 3] 두 벡터의 직교여공간

집합 S={v1,v2} 의 xyz- 좌표계의 직교성분을 찾아라 . ,

v1=(1,-2,1), v2=(3,-7,5)

( 풀이 ) S⊥ 은 v1 과 v2 에 의한 평면에 수직이며 원점을 지나는 직선

행벡터 v1 과 v2 를 가지는 행렬을 A 라 하고 Ax=0

x = 3t, y =2 t, z = t

S⊥ 는 벡터 w={3,2,1} 과 평행한 원점을 지나는 직선

( 다른 풀이 ) v1 과 v2 에 수직한 벡터

벡터 w = -(v1 x v2) = (3,2,1) 또한 v1 과 v2 에 직교

직교여공간의 특성

< 정리 7.3.4>

(a) W 가 Rn 의 부분공간이면 , W⊥∩W={0} 이다 .

(b) S 가 Rn 의 공집합이 아니면 , S⊥=span (S)⊥ 이다 .

(c) W 가 Rn 의 부분공간이면 (W⊥)⊥=W 이다 .

< 정 리 7.3.5> A 가 mxn 행 렬 이 면 , A 의 행 공 간 과 A 의 영 공 간 은

직교여공간이다 .

< 정리 7.3.6> A 가 mxn 행렬이라면 , A 의 열공간과 AT 의 영공간은 서로

직교여공간이다 .

두 정리들의 결과

< 정리 7.3.7>

(a) 기본행연산은 행렬의 행공간을 바꾸지 못한다 .

(b) 기본행연산은 행렬의 영공간을 바꾸지 못한다 .

(c) 행렬의 행사다리꼴의 영이 아닌 행벡터는 그 행렬의 행공간의 기저를

이룬다 .

< 정리 7.3.8> 같은 수의 열을 가진 행렬 A 와 B 가 있다면 , 다음 명제들은

동치이다 .

(a) A 와 B 는 같은 행공간을 가진다 .

(b) A 와 B 는 같은 영공간을 가진다 .

(c) A 의 행벡터들은 B 의 행벡터들의 일차결합이고 , 역도 성립한다 .

행 소거에 의한 기저 찾기

S ={v1,v2,···vs} 로 생성된 Rn 의 부분공간 W 에 대한 기저를 찾는 문제

1. W 의 어떤 기저라도 상관없다면 , v1,v2,···vs 를 행벡터로 하는 행렬 A 를

만드는 것으로부터 시작 . A 의 행공간 W 가 된다 . 기저는 A 를 행사다리꼴로

변형시킨 뒤 , 영이 아닌 행을 추출함 .

2. 기저가 꼭 S 의 벡터들로 구성되어야 한다면 , 기본행연산은 보통

행벡터들을 바꾸므로 이전 방법은 적당하지 않다 . 이런 종류의 기저 문제를

푸는 방법은 후에 논의 .

[ 예제 4] 행 소거에 의한 기저 찾기

(a) 다음 벡터들에 의해 생성된 R5 의 부분공간 W 에 대한 기저를 구하여라

. v1=(1,0,0,0,2), v2=(-2,1,-3,-2,-4)

V3=(0,5,-14,9,0), v4=(2,10,-28,-18,4)

(b) W⊥ 의 기저를 구하여라 .

풀이 (a) 주어진 벡터들에 의해 생성된 부분공간은 그 행렬의 행공간

영이 아닌 행을 추출하면 기저 벡터들을 생성

w1=(1,0,0,0,2), w2=(0,1,-3,-2,0), w3=(0,0,1,1,0)

3 개의 기저벡터들이 있고 , dim(W)=3

( 다른 방법 ) A 로부터 기약 행다리꼴

(5)

기저 벡터

w1'=(1,0,0,0,2), w2

'=(0,1,0,1,0), w3'=(0,0,1,1,0)

풀이 (b) W⊥ 은 A 의 영 공간이라는 사실

동차계 Ax=0 의 해 공간에 대한 기저

식 (5) 의 R 은 A 의 기약 행사다리꼴이기 때문

u1=(-2,0,0,0,1), u2=(0,-1,-1,1,0)

는 W⊥ 의 기저

주어진 부분공간의 벡터인지 결정하기

문제 1. Rm 의 벡터들의 집합 S ={v1,v2,···vn} 이 주어졌다 .

b =(b1,b2,···bm) 이 span(S) 안에 있기 위한 b1,b2,···bm 의 조건들을 구하라 .

문제 2. mxn 행렬 A 가 주어졌다 . b =(b1,b2,···bm) 가 col(A) 안에 있기 위한 b1

,b2,···bm 의 조건들을 구하라 .

문제 3. 선형변환 T : Rn → Rm 이 주어졌다 . b =(b1,b2,···bm) 가 ran(T) 안에

있기 위한 b1,b2,···bm 의 조건들을 구하라

같은 문제를 달리 표현한 것이다 .

[ 예제 6] 주어진 부분공간에 있기 위한 벡터의 조건들

예제 4 에서 벡터 v1,v2,v3 과 v4 에 의해 생성된 R5 의 부분공간에 벡터

b =(b1,b2, b3,b4,b5) 가 반드시 있을 조건은 무엇인가 ?

( 풀이 1)

x1v1+x2v2+x3v3+x4v4 = b 

해가 존재하는지에 대한 문제 (consistency problem)

( 풀이 2) b 가 span{v1,v2,v3,v4} 에 포함되기 위한 필요충분조건은 이 공간이 s

pan{v1,v2, v3,v4,b} 와 같은 차원을 갖는것

식 (11) 이 계수 3 을 가지기 위해 b3-b2-b1=0 와 b5-2b1=0

( 풀이 3) b =(b1,b2, b3,b4,b5) 가 벡터 v1,v2,v3,v4  에 의해 생성된 부분공간 W

에 있다는 것은 b 가 W⊥  의 모든 벡터에 수직 .

u1=(-2,0,0,0,1) 와 u2= (0,1,-1,-1,0) 가 W⊥ 의 기 저 b 가 u1 과 u2 에

수직하면 b 는 W⊥ 의 모든 벡터에 수직

수직 조건 u1 ·b = 0   와 u2 ·b = 0     

-2b1+b5=0  과 – b2-b3+b4=0    

[ 예제 7] 유용한 알고리즘

b1=(7,-2,5,3,14) , b2=(7,-2,5,3,6) , b1=(0,-1,3,-2,0) 3 벡 터 중 어 떤

벡터가 예제 4 의 벡터 v1,v2,v3,v4 에 의해 생성된 R5  의 부분공간에 있는지를

결정하라 .

Cx=b1 은 해를 가지지만 , Cx=b2 와 Cx=b3 는 그렇지 않으리라는 것

7.4 행렬의 차원정리와 결과

행렬의 차원 정리

정리 2.2.2 로부터 AX=0 가 n 개의 미지수를 가진 동차 선형계 붙인 행렬의

기약행사다리꼴이 r 개의 영이 아닌 행 .

선형계는 n-r 개의 자유 변수

동차 선형계에 대한 차원 정리

자유변수의 수 = n-rank(A)

자유 변수는 계 AX=0 의 일반해 안에 매개변수를 구성

rank(A) + nullity(A) = A 의 열의 수

< 정리 7.4.1> ( 행렬의 차원 정리 ) A 가 m x n 행렬이라면 ,

rank(A) + nullity(A) = n

[ 예제 1] 행렬의 차원 정리

7.3절의 식 (5)

7.3절의 식 (7)

rank(A) + nullity(A) = 3 + 2 = 5

기저로 일차 독립인 집합의 확장

정 리 7.2.2 의 (b) 에 의 해 Rn 의 모 든 일 차 독 립 집 합 {v1,v2,···vk} 은

독립벡터들을 추가함으로써 Rn 의 기저로 확장 .

한 가지 방법은 v1,v2,···vk 를 행벡터로 가지는 행렬 A 를 만드는 것 .

벡터들에 의해 생성된 부분공간은 A 의 행공간 .

동차선형계 AX=0 을 풀면 , A 의 영 공간에 대한 기저 .

이 기저는 차원정리에 의해 n-k 벡터 .

가령 wk+1···,wn 이라하면 , 이들은 모든 v 에 직교 .

null(A) 와 row(A) 는 직교 .

이러한 직교성은 집합 {v1,v2,···vk , wk+1···,wn} 이 일차독립이란 것을 의미하고 Rn

의 기저를 이룬다 .

[ 예제 2] 기저에 대한 일차독립집합의 확장

벡터 u1=(1,3,-1,1) 과 u2=(0,1,1,6)

R5 의 기저로 집합 {v1,v2} 을 확장

풀이

선형계 AX=0 을 풀어서 행렬의 영 공간에 대한 기저

v1=(1,3,-1,1), v2=(0,1,1,6),V3=(4,-1,1,0), v4=(17,-6,0,1) 는 R4 의 기저

행렬의 차원 정리에 따른 몇가지 결과

< 정리 7.4.2> m x n 행렬 A 가 계수 k 를 가지면 ,

(a) A 의 영공간의 차원은 n-k.

(b) A 의 모든 행사다리꼴은 k 개의 영이 아닌 행을 가진다 .

(c) A 의 모든 행사다리꼴은 m-k 개의 영 행을 가진다 .

(d) 동차계 AX=0 는 k 개의 추축 변수 ( 선행 변수 ) 와 n-k 개의 자유 변수를

가진다 .

[ 예제 3] 행렬의 차원정리의 결과

영공간의 차원 3 을 가지는 5 x 7 행렬에 관한 몇 가지 사실들을 언급하라 .

풀이

‧ rank(A) = 7 - 3 = 4.

‧ A 의 모든 행사다리꼴은 5-4=1 개의 영 행을 가진다 .

‧ 동차계 AX=0 는 4 개의 추축 변수와 7 - 4 = 3 개의 자유 변수를 가진다 .

[ 예제 4] 행렬의 차원 정리에 의해 부가된 제한 사항들

5 x 7 행렬 A 는 1 차원 영공간을 가질 수 있는가 ?

풀이

rank(A) = 7 - nullity(A) = 7 - 1 = 6

A 의 5 개의 행벡터들은 6 차원 공간을 생성할 수 없으므로 불가능하다 .

부분공간에 대한 차원 정리

< 정리 7.4.3> ( 부분공간에 대한 차원정리 ) W 가 Rn 의 부분공간이면

dim(W) + dim(W⊥) = n

통합정리

< 정리 7.4.4> A 는 n x n 행렬이고 TA 가 기본 행렬 A 를 가지는 Rn 의

선형연산자라면 . 다음 명제들은 동치이다 .

(a) A 의 기약 행사다리꼴은 In 이다 .

(b) A 는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다 .

(c) A 는 가역이다 .

(d) AX=0 는 자명한 해만 가진다 .

(e) AX=b 는 Rn 의 모든 벡터 b 에 대해 해를 가진다 .

(f) AX=b 는 Rn 의 모든 벡터 b 에 대해 정확히 한 개의 해를 가진다 .

(g) det(A)≠0 이다 .

(h) λ=0 은 A 의 고유값이 아니다 .

(i) TA 는 단사이다 .

(j) TA 는 전사이다 .

(k) A 의 열벡터들은 일차독립이다 .

(l) A 의 행벡터들은 일차독립이다 .

(m) A 의 열벡터는 Rn 을 생성한다 .

(n) A 의 행벡터는 Rn 을 생성한다 .

(o) A 의 열벡터는 Rn 의 기저를 이룬다 .

(p) A 의 행벡터는 Rn 의 기저를 이룬다 .

(q) rank(A) = n 이다 .

(r) nullity(A) = 0 이다 .

초평면

< 정리 7.4.5> W 가 차원 n-1 을 가지는 Rn 의 부분공간이면 W=a⊥ 인 영이

아닌 벡터 a 가 있다 . 즉 , W 는 Rn 의 원점을 지나는 초평면이다 .

< 정리 7.4.6> Rn 의 원점을 지나는 초평면의 직교여공간은 Rn 의 원점을

지나는 직선이고 , Rn 의 원점을 지나는 직선의 직교여공간은 Rn 의 원점을

지나는 초평면이다 . 특히 , a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 , 직선 span{a} 와

초평면 a⊥ 은 서로 직교여공간이다 .

계수 1 행렬

m x n 행렬 A 에 관한 몇 가지 사실

‧ rank(A)=1 이면 , nullity(A)=n-1 이고 , A 의 행 공간은 Rn 의 원점을 지나는

직선이고 영공간은 Rn 의 원점을 지나는 초평면이다 . 반대로 , A 의 행공간이

Rn 의 원 점 을 지 나 는 직 선 이 고 , A 의 영 공 간 이 Rn 의 원 점 을 지 나 는

초평면이라면 , A 의 계수는 1 이다 .

‧ rank(A)=1 이면 , A 의 행공간은 영이 아닌 적당한 벡터 a 에 의해 생성되고

, A 의 모든 행 벡터들은 a 의 스칼라배수이고 A 의 영공간은 a⊥ 이다 .

반대로 , A 의 행벡터들이 영이 아닌 벡터 a 의 스칼라배수라면 , A 의 계수는 1

이고 A 의 영공간은 초평면 a⊥ 이다 .

[ 예제 6] 계수가 1 인 행렬

다음 행렬들은 계수가 1

계수 1 행렬은 영이 아닌 열벡터들의 외적을 계산할 때 발생

u 와 v 의 외적 (outer product)

행렬의 모든 행벡터들은 영이 아닌 벡터 VT 의 스칼라배수

예제 7 uvT 곱으로부터 계수 1 행렬 만들기

이 행렬은 계수가 1 이다 .

< 정리 7.4.7> u 가 영이 아닌 uvT 행렬이고 v 가 영이 아닌 n x 1 행렬이면 ,

외적 uvT 는 계수 1 을 가진다 . 반대로 A 가 계수 1 을 가지는 m x n

행렬이면 , A 는 위의 형태의 곱으로 분해될 수 있다 .

[ 예제 8] 계수 1 인 행렬을 uvT 의 형태로 분해하기

예제 6 의 첫 번째 행렬을 분해

첫 번째 행으로 vT 를 취한다 .

u 가 영이 아닌 열 벡터

계수가 1 인 것에 추가로 대칭

< 정리 7.4.8> u 가 영이 아닌 n x 1 열벡터이면 , 외적 uvT 는 계수가 1 인

대칭 행렬이다 . 역으로 A 가 계수가 1 인 대칭 n x n 행렬이라면 , 적당한

영이 아닌 n x 1 열벡터 u 에 대하여 , A= uvT 또는 A = - uvT 로 분해될 수

있다 .

대칭인 계수 1 인 행렬

[ 예제 9] uvT 로부터 발생하는 계수 1 인 대칭행렬

대칭이고 계수가 1 임

[ 예제 1] 행공간과 열공간은 같은 차원을 가짐

A 의 열공간에 대한 열벡터의 기저

7.5 계수정리와 결과

계수정리

< 정리 7.5.1> ( 계수정리 ) 행렬의 행공간과 열공간은 같은 차원을

가진다 .

< 정리 7.5.2> A 가 m x n 행렬이면 ,

rank(A) = rank(AT)

A 가 m x n 행렬이면

rank(AT) + nullity(AT) = m

rank(A) + nullity(AT) = m

A 가 계수 k 를 가지는 행렬

dim(row(A)) = k, dim(null(A)) = n-k

dim(col(A)) = k, dim(null(AT)) = m-k

[ 예제 2] 계수로부터 기본공간의 차원 구하기

의 계수를 찾고 , A 의 기본공간의 차원을 계산

( 풀이 )

A 는 계수 2 를 가지고

dim(row(A)) = rank = 2

dim(null(A)) = number of columns - rank = 5-2 = 3

dim(col(A)) = rank = 2

dim(null(AT))= number of rows - rank = 3-2 = 1

해를 가짐과 계수 사이의 관계 < 정리 7.5.3> ( 해를 가짐 정리 ) AX=b 가 n 개의 미지수의 m 개의 방정식을

가지는 선형계이면 , 다음 명제들은 동치

(a) AX=b 는 해를 가진다 .

(b) b 는 A 의 열공간 안에 있다 .

(c) 행렬 A 의 계수와 붙인 행렬 [A|b] 은 같은 차원

[ 예제 3] 해를 가짐 정리의 시각화

< 정의 7.5.4> 행렬의 열벡터들이 일차독립이면 , m x n 행렬 A 는 전열계수

(full column rank) 를 가진다고 하고 , 행렬의 행벡터들이 일차독립이면 ,

전행계수 (full row rank).

< 정리 7.5.5> A 가 m x n 행렬이면 ,

(a) A 가 전열계수를 갖기위한 필요충분조건은 A 의 열벡터들이 열공간의

기저를 이루는 것이다 . 즉 rank(A)=n 과 필요충분조건이다 .

(b) A 의 전형계수를 갖기위한 필요충분조건은 A 의 행벡터들이 행공간의

기저를 이루는 것이다 . 즉 rank(A)=m 과 필요충분조건이다 .

[ 예제 4] 전열계수와 전행계수

열벡터들이 서로의 스칼라배가 아니므로 전열계수

R2 의 3 벡터들이 일차 종속이므로 전행계수는 갖지 못함 .

정리 7.5.6 은 AX=0 가 오직 자명해만 가지고 AX=0 는 R3 의 모든 b 에 대해

기껏해야 하나의 해

좌변이 기약행사다리꼴이 될 때까지 붙인행렬 [A|b] 을 줄이면

두가지가능성 b3-b2+5b1≠0 , b3-b2+5b1=0 .

첫 번째 경우 계는 해를 가지지 않고 , 두 번째 경우 계는 유일한 해 x1=b1, x2=

b2-2b1 를 가진다 . 어떤 경우든 기껏해야 하나의 해를 가진다는 말

< 정리 7.5.6> A 가 m x n 행렬이면 , 다음 명제는 동치이다 .

(a) AX=0 는 자명한 해만 가진다 .

(b) AX=b 는 Rm 의 모든 b 에 대해 기껏해야 하나의 해를 가진다 .

(c) A 는 전열계수를 가진다 .

[ 예제 5] 전열계수로부터 파생되는 결과

는 전열계수를 가지는 것

과다결정와 과소결정 선형계

< 정리 7.5.7> A 가 m x n 행렬이면 ,

(a) ( 과대결정의 경우 ) m>n 이면 , 계 AX=b 는 Rm 의 어떤 벡터 b 에 대해

해를 갖지 못한다 .

(b) ( 과소결정의 경우 ) m<n 이면 , 계 AX=b 는 Rm 의 어떤 벡터 b 에 대해

해를 갖지 못하거나 무수히 많은 해를 가진다 .

ATA 와 AAT 형태의 행렬

ATA 와 AAT 의 형태의 행렬은 많은 응용분야에서 중요한 역할

A 가 열벡터 a1,a2,···,an 를 가지는 m x n 행렬이면 ,

r1, r2, ···, rm 가 A 의 행벡터들이면 ,

< 정리 7.5.8> A 가 m x n 행렬이면 ,

(a) A 와 ATA 는 같은 영공간을 가진다 .

(b) A 와 ATA 는 같은 행공간을 가진다 .

(c) A 와 ATA 는 같은 열공간을 가진다 .

(d) A 와 ATA 는 같은 계수를 가진다 .

< 정리 7.5.9> A 가 m x n 행렬이면 ,

(a) AT 와 AAT 는 같은 영공간을 가진다 .

(b) AT 와 AAT 는 같은 행공간을 가진다 .

(c) A 와 AAT 는 같은 열공간을 가진다 .

(d) A 와 AAT 는 같은 계수를 가진다 .

통합정리

< 정리 7.5.10> A 가 m x n 행열이면 , 다음 명제들은 동치이다 .

(a) AX=0 는 오직 자명한 해만 가진다 .

(b) AX=b 는 Rm 의 모든 b 에 대해 기껐해야 하나의 해를 가진다 .

(c) A 는 전열계수를 가진다 .

(d) ATA 는 가역이다 .

< 정리 7.5.11> A 가 m x n 행렬이면 , 다음 명제들은 동치이다 .

(a) ATX =0 는 오직 자명한 해만 가진다 .

(b) ATX=b 는 Rn 의 모든 벡터 b 에 대해 기껏해야 하나의 해를 가진다 .

(c) A 는 전행계수를 가진다 .

(d) AAT 는 가역이다 .

[ 예제 7] 전열계수와 전행계수의 행렬식 판별법

예제 4 에서 행렬 는 전열계수를 가지지만 , 전행계수는 가지지

못한다

는것을 적당한 행렬식을 이용하여 이 결과들을 확인

( 풀이 ) 전열계수를 검사하기

전형계수를 검사하기

det(ATA)=27≠0 이므로 , 행렬 A 는 전열계수를 가지고 , det(AAT)=0 이므로 ,

행렬 A 는 전행계수를 가지지 못한다 .

계수의 응용

제한된 대역폭을 가진 통신선로에 많은 양의 디지털 정보를 전송하기 위한

효율적인 방법

계수는 ‘중복성 (redundancy)' 을 측정하는 중요한 역할

A 가 계수 k 인 m x n 행렬 , n-k 개의 열벡터와 m-k 개의 행벡터는 k 의

일차 독립 열 혹은 일차독립 행으로 표현

7.6 추축정리와 이에 의한 결과

기본문제 확인

벡터집합 S =v1,v2,···vs 에 의해 생성된 부분공간 W 에 대한 기저를 찾는 문제

두 가지 변형된 형태

1. W 의 임의의 기저를 찾아라 .

2. S 의 벡터들로 구성되는 W 의 기저를 찾아라 .

기본행연산들은 행렬의 열공간은 바꾼다 .

A 의 열공간은 벡터 v=(1,1) 의 생성이고 , B 의 열공간은 벡터 w=(1,0) 의

생성

c1 과 c2 로 표시되는 A 의 열벡터들은

c´1 와 c´2 로 표시되는 B 의 열벡터

비록 A 로부터 B 를 만드는 행연산이 열공간을 유지하지 않지만 , 열벡터들

사이의 종속 관계 (dependency relation) 는 유지

A 와 B 를 행동치행렬로서

동차선형계 Ax=0 과 Bx=0 은 같은 해집합

다음 두 선형계도 이들 동차선형계의 벡터형식이므로 같은 해집합

[ 예제 1] A 의 열벡터를 구성하는 col(A) 에 대한 기저

A 의 열공간에 대한 기저를 이루는 열벡터들의 부분집합

풀이 A 를 기약 행사다리꼴

A 가 계수 3 을 가진다는 것을 의미

A 의 3 개의 일차독립 열벡터들을 찾는다면 , 이 벡터들은 정리 7.2.6 에 의해

A 의 열공간의 기저

선행 1( 열 1,3,5) 을 가지는 U의 열벡터들에 초점

행사다리꼴 U 에서 선행 1 을 가지는 열 위치의 A 의 열벡터들이 A 의

열공간의 기저가 됨

행사다리꼴 U에서 선행 1 을 가지는 열 위치의 A 의 열벡터들이 A 의

열공간의 기저가 됨

< 정의 7.6.2> 행렬 A 의 행 사다리꼴에서 선행 1 을 이끄는 열의 위치에 있는

열벡터들을 A 의 추축열 (pivot column).

< 정리 7.6.3>( 추축정리 ) 영이 아닌 행렬 A 의 추축열들은 A 의 열공간에

대한 기저를 이룬다 .

(알고리즘 1) W 가 S =v1,v2,···vs 에 의해 생성된 Rn 의 부분공간이면 , 다음

과정은 S 로부터 W 에 대한 기저를 추출하고 기저에 있지 않는 S 의 벡터들을

기저 벡터의 일차결합으로 표현한다 .

단계 1. 연속적인 열벡터 v1,v2,···vs 들로 행렬 A 를 구성하여라 .

단계 2. A 를 행사다리꼴 U로 줄이고 , A 의 추축열들을 결정하기 위해 선행 1

을 가지는 열들을 찾아라 .

단 계 3. W 에 대 한 기 저 를 얻 기 위 해 A 의 추축열 들 을 추 출 하 여 라 .

적당하다면 , 이 기저 벡터들을 괄호표기형식으로 고쳐라 .

단계 4. 기저벡터들의 일차결합으로 기저에 있지 않은 S 의 벡터들을

표현하고자 하면 , A 의 기약행 사다리꼴 R 을 얻기 위해 계속해서 U를

줄여라 .

단계 5. 검사에 의해 , 선행 1 을 갖지 않는 R 의 열벡터들을 선행 1 을 갖는

그 앞의 열벡터들의 일차결합으로 표현하라 . 이 일차결합의 열벡터를 A 의

대응되는 열벡터로 대치함으로써 기저에 있지 않은 A 의 열벡터를

기저벡터들의 일차결합으로 나타내게 된다 .

[ 예제 2] 생성벡터들의 집합으로부터 기저 추출하기 W 는 다음 벡터들에 의해서 생성된 R4  의 부분공간

v1=(1,-2,0,3), v2=(2,-5,-3,6), v3=(0,1,3,0)

v4(2,-1,4,-7), v5=(5,-8,1,2)

(a) W 의 기저를 이루는 이 벡터들의 부분공간을 찾아라 .

(b) 기저에 있지 않은 S ={v1,v2,v3,v4,v5} 의 벡터들을 기저에 있는 벡터들의

일차 결합으로 표현하라 .

풀이 (a) 

선행 1 은 열 1,2,4 에서 일어나고 , 따라서 W 의 기저 벡터들은

v1=(1,-2,0,3), v2=(2,-5,-3,6), v4=(2,-1,4,-7)

풀이 (b) 기약행사다리꼴

행렬의 기본 공간들에 대한 기저

행렬 A 를 행사다리꼴 U 혹은 기약 행사다리꼴 R 로 줄임으로써

1. U의 영이 아닌 행들은 row(A) 에 대한 기저를 이룬다 .

2. 선행 1 을 가지는 U의 열들은 A 의 추축을 알려 주고 , 이들은 col(A) 의

기저를 이룬다 .

3. Ax=0 의 정규해는 null(A) 에 대한 기저를 이루고 , 이들은 계 Rx=0

으로부터 쉽게 얻어진다 .

(알고리즘 2) A 가 계수 k 인 m x n 행렬이고 , k<m 이면 , 다음 과정은 A

에 대한 기본행연산으로 null(AT ) 에 대한 기저를 생산한다 .

1 단계 . 분할된 행렬 [A|Im] 을 만들기 위해 A 의 오른쪽에 m x m 의

항등행렬을 인접시켜라 .

2 단계 . A 가 기약 행사다리꼴 U 가 될 때까지 [A|Im] 에 기본행연산들을

적용하고 , 그 결과 얻어지는 분할된 행렬을 [U|E] 라 하자 .

3 단계 . U의 영 행들을 떼어 내기 위해 수평규칙을 추가함으로써 [U|E] 를

재분할하여 다음 형태의 행렬을 만든다 .

4 단계 . E2 의 행벡터들은 null(AT ) 의 기저를 형성한다 .

예제 3 A 의 행축소에 의한 null(AT) 의 기저

예제 1 에서 행렬 A 의 열공간에 대한 기저

행축소에 의해 null(AT) 의 기저를 찾기 위해 알고리즘 2 를 적용

( 풀이 )

행렬 E2 가 하나의 행벡터

w = [1 0 0 1] 는 null(AT) 에 대한 기저

null(AT) 와 col(A) 는 직교여공간

벡터 w 는 예제 1 에서 얻은 col(A) 에 대한 기저 벡터들에 수직

열 - 행 인수 분해

< 정리 7.6.4> ( 열 - 행 인수분해 ) A 가 계수 k 를 가지는 m x n 행렬이면 , A

는

A = CR 로 분해될 수 있다 .

이때 C 는 A 의 추축열들이 열벡터인 m x k 행렬이고 R 은 A 의 기약

행사다리꼴의 영이 아닌 k x n 인 행렬이다 .

[ 예제 4] 열 - 행 인수분해 행렬

열 - 행 확장

< 정리 7.6.5> ( 열 - 행 확장 ) A 가 계수 k 를 가지는 영이 아닌 행렬이면 , A 는

A=c1r1+c2r2+···+ckrk 로 표현될 수 있다 .

c1,c2,···,ck 는 A 의 연속적인 추축열들이고 , r1,r2,···,rk 는 A 의 기약행사다리꼴의

연속적인 영이 아닌 행벡터들이다

[ 예제 5] 열 - 행 확장 예제 4 에서 행렬 A 에 대해 얻어진 열 - 행 인수분해로부터 , A 의 대응하는 열 - 행 확장

7.7 사영정리와 결과

R2 의 직선위로 정사영

6.1 절의 식 (21) 에서 xy- 좌표계의 양의 x- 축과 각 θ 를 이루는 원점을

지나는 직선위로 R2 의 정사영에 대한 표준행렬 pθ

R2 의 영이 아닌 벡터 a 가 주어졌다고 가정하고 직선 W=span{a} 위로의

벡터 x 의 정사영 그림 7.7.1

그림 7.7.1 로 부터 벡터 x

x=x1+x2 (2)

x1 은 W 위로의 x 의 정사영

x2= x-x1 는 W 에 수직

벡터 x1 은 a 의 스칼라배수

x1=ka (3)

벡터 x2= x-x1=x-ka 는 a 에 직교

(4)

x 의 span{a} 로의 정사영을 a 와 x 에 대해 나타낸 공식 x1 을 projax 로

표시

[ 예제 1]

식 (5) 를 사용하여 xy- 좌표계의 양의 x-축과 각 θ 를 이루고 원점을 지나는

직선위로의 R2 의 정사영에 대한 표준행렬 pθ

그림 7.7.2

( 풀 이 ) 벡 터 u=(cosθ,sinθ) 는 W 위 에 있 는 단 위 벡 터 를 식 (5) 의 a

로사용하고 , =1 인 사실을 이용하면 ,

직선 위의 표준단위벡터 e1=(1,0) 과 e2=(0,1) 의 정사영들은

이 벡터들은 열형태로 표현

Rn 의 원점을 지나는 직선들 위로의 정사영

그림 7.7.3

< 정리 7.7.1> a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 , Rn 의 모든 벡터 x 는 정확히 한

가지로 표현될 수 있다 .

x=x1+x2 (6)

x1 은 a 의 스칼라배이고 , x2 는 a 에 수직이다 (따라서 x1 에도 수직이다 ).

x1 과 x2 은 다음과 같다 .

< 정의 7.7.2> a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 , x 가 Rn 의 벡터라면 , x 의 spa

n{a} 위로의 정사영 (orthogonal projection) 은 projax 로 표현되고 , 다음과

같이 정의된다 .

[ 예제 2] 벡터성분 계산 X=(2,-1,3) 과 a=(4,-1,2) 일 때 , x 의 a 상의 벡터성분과 x 의 a 에 수직인 벡터성분을 구하라 .

( 풀이 )

x·a=(2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2)=15 (12)

=a·a=42+ (-1)2+ +22=21 (13)

식 (7) 과 (11) 에 의해 a 를 따르는 x 의 벡터성분은

과 a 에 수직한 x 의 벡터성분은

projax 의 길이를 찾는데 관심

(14)

(14)

Rn 의 사영 연산들

연산자 T : Rn →Rn 를 정의

span{a} 위로의 Rn 의 정사영 (orthogonal projection of Rn onto span{a})

< 정리 7.7.3> a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터이고 , a 가 열형태로 표현된다면 ,

선형연산자 T(x)=projax 에 대한 표준행렬은

이다 . 이 행렬은 대칭이고 계수는 1 이다 .

직선상의 기본벡터 u 를 사용할 수 있다 .

이고 , P에 대한 식은

P=uuT (17)

원점을 지나는 직선위로의 Rn 의 정사영에 대한 표준행렬은 직선 상의

단위벡터를 찾고 그것을 가지고 자신과 벡터의 외적을 해 줌으로써 얻을 수

있다 .

[ 예제 4] 예제 1 의 다른 관점

식 (17) 을 이용하여 xy- 직교좌표계의 양의 x 축과 각 θ 를 가지는 원점을

지나는 직선 W 위로의 R2 의 정사영에 대한 표준행렬 pθ

( 풀이 ) u=(cosθ,sinθ)가 직선을 따르는 단위벡터

[ 예제 5] 정사영에 대한 표준행렬

(a) 벡터 a=(1,-4,2) 에 의해 생성되는 직선 위로의 R3 의 정사영에 대한

표준행렬 P를 구하여라 .

(b) a 에 의해 생성된 직선 위로의 벡터 a=(2,-1,3) 의 정사영을 찾기 위해

행렬을 사용하여라 .

(c) P가 계수 1 을 가지는 것을 보이고 , 기하학적 해석 .

풀이 (a)

풀이 (b)

풀이 (c) 식 (19) 의 행렬 P는 두 번째와 세 번째 열들은 첫 번째 의 스칼라배수

이므로 계수 1

일반 부분공간의 정사영

< 정리 7.7.4> ( 부분공간에 대한 사영 정리 ) W 가 Rn 의 부분공간이면 , Rn 의

모든 벡터는 정확히 한가지 방법으로 다음과 같이표현될 수 있다 .

x=x1+x2 (20)

이때 x1 은 W , x2 는 W⊥ 에 있다 .

< 정리 7.7.5> W 가 Rn 의 영이 아닌 부분공간이고 , M이 W 에 대한 기저를

이루는 열벡터들을 가지는 행렬이면 , Rn 의 모든 열벡터 x 에 대하여

projwx = M(MTM)-1MTx (25)

식 (25) 를 사용하여 표준행렬이 아래 (27) 의 P와 같은 Rn 의 선형연산자를

정의

T(x) = projw(x) = M(MTM)-1MTx (26)

P = M(MTM)-1MT (27)

이 연산자를 W 위로의 Rn 의 정사영

[ 예제 6] 원점을 지나는 평면 위로의 R3 의 정사영

(a) 평면 x-4y+2z=0 위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬 P를 구하라 .

(b) 평면 위로의 벡터 x=(1,0,4) 의 정사영을 찾기 위해 행렬 P를 사용하라 .

풀이 (a)

해공간에 대한 기저행렬 M을 다음과 같이

풀이 (b) 평면 x=4y+2z=0 위로의 x 의 정사영은 열형태 x 를 가지는 Px

언제 행렬은 정사영을 표현하는가 ?

n x n 행렬 P가 Rn 의 k 차원 부분공간 W 위로의 정사영을 표현하기 위해서

어떤 성질

식 (27) 로부터 행렬 M이 W 에 대한 기저를 이루는 열벡터들을 가지는 n x n

행렬

이것은 P2 = P 를 의미한다 .

행렬이 자신을 제곱한 행렬과 같다는 멱등원 (idempotent)

[ 예제 7] 정사영의 성질들

정리 7.7.6 에 의해 , 행렬 P는 대칭이고 멱등원이다 .

예제 8 정사영 찾아내기

가 원점을 지나는 직선위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬이란 것을

보이고 그 직선을 찾아라 .

( 풀이 ) A 가 대칭이고 , 멱등원이고 , 계수 1 을 가지는 것에 대한 증명은

생략

직선은 벡터 a=(1,2,2) 이 생성을 이루고 , xyz- 좌표계의 매개변수로 다음과

같이

x=t , y=2t , z=2t

Strang 도표

식 (24) 는 선형방정식의 계를 공부하는 데 유용

그림 7.7.5

직교항의 합으로 x

x = xrow(A) + xnull(A) (29)

xrow(A) 는 A 의 행공간 위로의 x 의 정사영

xnull(A) 는 A 의 영공간 위로의 x 의 정사영

W = col(A) 와 W⊥ = null(A⊥) 를 가지는 식 (24) 를 b 에 적용

는 A 의 열공간 위로의 b 의 정사영

는 AT 의 영공간 위로의 b 의 정사영

그림 7.7.5 에서 보여주는데 , 직각인 두 직선으로 A 의 기본 공간들을

나타냈다 .

Strang 도표 (Strang diagram)

dim(row(A)) + dim(null(A)) = n (31)

dim(col(A)) + dim(null(AT)) = m (32)

정리 3.5.5 로부터 계 Ax=b 가 해를 갖기 위한 필요충분조건이 b 가 A 의

열공간에 포함되는 것

=0 인 것과 필요충분조건이 됨

그림 7.7.6 의 Strang 도표에 의해 설명

그림 7.7.6

전열계수와 선형계의 해 존재

< 정리 7.7.7> A 가 m x n 행렬이고 b 는 A 의 열공간에 있다고 하자 .

(a) A 가 전열계수를 가진다면 , Ax=b 는 유일한 해를 가지고 , 그 해는 A 의

행공간에 있다 .

(b) A 가 전열계수를 가지지 않는다면 , Ax=b 는 무한히 많은 해를 가진다 .

그러나 A 의 행공간에서는 유일한 해가 존재한다 . 더욱이 , 그 계의 모든

해들 중에서 , A 의 행공간에 있는 해는 가장 작은 놈 (norm) 을 가진다 .

이 정리는 그림 7.7.7 의 Strang 도표에 의해 표현

그림의 (a) 는 A 가 전열계수를 가지는 m x n 행렬이고 Ax=b 가 해를 가지는

경우를 표현

그림의 (b) 는 계가 해를 가지지만 A 는 전열계수를 갖지 않는 경우 그림 7.7.7

이중직교정리

< 정리 7.7.8> ( 이중 직교 정리 ) W 가 Rn 의 부분공간이면 , (W⊥) ⊥= W 이다 .

W⊥ 위의 정사영

Rn 의 부분공간 W 에 대해 , 정사영 에 대한 기본행렬은 두 가지

방법

( 한가지 방법 ) W⊥ 의 기저 벡터들로 이루어진 M의 열벡터들을 가지고 식 (2

6) 을 적용하는 것

( 다른 방법 ) 를 를 이용하여 다음과 같이 표현하기 위해 식

를 이용하는 것

이때 M의 열벡터들은 W 의 기저

[ 예제 9] 직교여공간 위로의 정사영

예제 6 에서 평면 x-4y+2z=0 위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬이

아래와 같다는 것을 보였다 .

평면에 수직이고 원점을 지나는 , 즉 벡터 a=(1,-4,2) 로 생성된 직선 위로의

R3 의 정사영은 식 (36) 에 의해

예제 5 에서 정리 7.7.3 을 이용하여 얻은 결과와 일치 .

7.8 최적근사와 최소제곱

최소거리문제

Rn 에서의 최소거리문제

Rn 에 부분공간 W 와 벡터 b 가 주어졌을 때 , W내의 벡터 로 W내의 다른

모든 벡터 w 에 대해 를 만족시키는 b 에 가장 가까운 를

찾아라 . 벡터 가 존재한다면 , W 로부터 b 의 최적근사 (best approximatio

n) 그림 7.8.1

b 가 R3  의 한 점이고 W 가 원점을 지나는 평면이면 , b 에 가장 가까운 W 내의 점 은 b 에서 W 로 수직선 .

b 에서 W 의 거리는 W⊥  은 W 에 수직한 원점을 지나는 직선

그림 7.8.2

[ 예제 1] R3 의 한 점과 평면사이의 거리

정사영을 사용하여 한 점 (x0,y0,z0) 에서 평면 ax+by+cz=0 사이의 거리 d 에

대한 식

( 풀이 ) b=(x0,y0,z0) 라 하고 , W 가 주어진 평면 , 그리고 l 이 W 에 수직한

원점을 지나는 직선

직선 l 은 평면의 법선벡터 n=(a,b,c) 에 의해 생성

예로 , 한 점 (-1,5,4) 에서 평면 x-2y+3z=0까지의 거리는

< 정리 7.8.1> ( 최적 근사 정리 ) W 가 Rn 의 부분공간이고 , b 가 Rn 의 한

점이면 , W 로부터 b 의 유일한 최적근사가 있다 . 즉 , 이다 .

[ 예제 2] 한 점에서 초평면까지의 거리

Rn 의 한 점 b = (b1,b2,···bm) 에서 초평면 a1x1+a2x2++anxn=0 까지의 거리 d 에

대한 식 .

풀이

선형계의 최소제곱해

< 정의 7.8.2> A 는 m x n 행렬이고 b 는 Rm 의 벡터라면 , Rn 의 모든 x 에

대하여

이면 Rn 의 벡터 는 Ax=b 의 최적근사해 (best approximate solution)혹은

최소제곱해 (least squares solution). 벡터 는 최소제곱오차벡터 (least s

quares error vector), 스칼라 는 최소제곱오차 (least squares

error).

오차의 제곱의 합인 를 최소화 . 최소제곱해

선형계의 최소제곱해 찾기

n 개의 미지수를 가진 m 개의 방정식의 선형계 Ax=b 의 최소제곱해를 찾기

위한 방법

그림 7.8.3

일 때 는 최소 ( 그림 7.8.3). 는 A 의 열공간의 벡터 ,

계 (7) 은 해를 가지고 해는 Ax=b 의 최소제곱해 식 (7) 을 다시 쓰면

col(A) 의 직교성분은 null(AT) 이므로

가 AT 의 영공간이라는 것을 의미

식 (9) 는 AT(b-Ax)=0

AtAx = ATb (10)

Ax=b 의 정규방정식 (normal equation)/정규계 (normal system)

< 정리 7.8.3>

(a) 선형계 Ax=b 의 최소제곱해들은 정규방정식의 엄밀한 (exact) 해 .

ATAx = ATb (11)

(b) A 가 전열계수를 가지면 , 정규방정식은 유일한 해 .

(c) A 가 전열계수를 가지지 않는다면 , 정규방정식은 무한히 많은 해를

가지지만 , A 의 행공간에는 유일한 해가 있다 . 더욱이 정규방정식의 모든 해

중에서 A 의 행공간의 해는 가장 작은 놈 (norm) 을 갖는다 .

[ 예제 3] 최소제곱해

다음 선형계의 최소제곱해

x1-x2=4

3x1+2x2=1

-2x1+4x2=3

풀이

최소제곱오차벡터들의 직교특성

7.7절의 식 (30) 으로부터 b

식 (7) 로부터 x 가 Ax=b 의 최소제곱해가 되기 위한 필요충분조건이

이것과 식 (13) 에 의해서 는 Ax=b 의 최소제곱해가 될 필요충분조건은

Ax=b 의 모든 최소제곱해 는 같은 오차 벡터를 가짐

최소제곱오차벡터 =

최소제곱오차 =

최소제곱오차 벡터는 null(AT) 에 있고

[ 예제 4] 최소제곱해와 최소제곱오차벡터

다음 선형계에 대한 최소제곱해와 최소제곱오차를 구하라 .

3x1+2x2-x3=2

X1-4x2+3x3=-2

X1+10x2-7x3=1

풀이

b-Ax 가 t 에 의존하지 않으므로 , 모든 최소제곱해는 같은 오차벡터를

생성한다 .

최초제곱오차는

최소제곱문제의 Strang 도표

그림 7.8.4

그림 7.8.4 의 Strang 도표는 선형계 Ax=b 의 최소제곱해에 관해

그림 7.8.4a 의 Strang 도표는 A 가 전열계수를 가지지 않는 경우

그림 7.8.4b 의 Strang 도표는 A 가 전열계수를 가지는 경우

실험 데이터에 곡선 맞추기

실험에서 구한 x 와 y 의 값에 대응되는 평면 상의 점

(x1, y2), (x2, y2), ···, (xn, yn)

곡선 y=f(x) 를 ‘맞추어서’ 두 변수 x 와 y 사이의 수학적 관계를 찾아내는 것

그림 7.8.5

다음과 같은 선형방정식

데이터 점들의 x 좌표가 모두 같지 않다면 , M은 계수 2( 전열계수 ) 를 가질

것

정규계는 유일한 최소제곱해

직선 y=a+bx 는 데이터에 가장 잘 맞는 최소제곱직선 (least squares line of b

est fit)/ 회귀직선 (regression line)

이 직선은 다음 값을 최소화하는 것

식 (24) 에서 대괄호 안에 있는 두 값의 차이를 잔차 (residual)

[ 예제 5] 네 점 (0,1), (1,3), (2,4) 와 (3,4) 에 가장 잘 맞는 최소제곱직선 풀이

데이터에 가장 잘 맞는 최소제곱직선은 y=1.5+x

그림 7.8.7

[ 예제 6] Hooke 법칙의 최소제곱 응용

그림 7.8.8

스프링은 x 에 대하여 선형방정식 y=a+bx 로 주어지는 길이 y 만큼 늘어날 것

상수 k=1/b 는 스프링의 강성 (stiffness)

풀이

식 (25) 의 합들을 대입하면 정규계

스프링의 원래 길이가 a=6.2cm, 강성의 최소제곱 근사값이 k=1/b=1.5N/c

m

고차 다항식에 의한 최소제곱해

데이터 점들의 집합에 지정된 차수의 다항식을 맞추는 것

m=n-1 이고 x 좌표가 모두 다른 경우 , 정리 2.3.1 은 정확히 점들을 지나는

유일한 m 차 다항식의 그래프가 존재

m<n-1 이면 , 모든 점들은 지나는 식 (27) 형태의 곡선을 찾기는 불가능

최소제곱해

정규계를 풀어서 최소제곱해

예제 7 뉴턴 제 2 법칙에 대한 최소제곱 응용 뉴턴 제 2 법칙에 의해

그림 7.8.9

여기에서 , 

y= 아래 방향을 가리키는 수직인 y- 축의 원점에 대한 물체의 좌표 ( 그림 7.8.9)

y0= 초기 시점 t=0 에서의 물체의 좌표

v0= 초기 시점 t=0 에서의 물체의 속도

g= 중력가속도 (acceleration due to gravity) 로서 상수

다음 표의 데이터로부터 y0, v0, g 의 최소제곱추정

풀이

이 계를 풀어서 y0, v0, g  의 최소제곱근사 y0=-0.40, v0=0.35, g=32.14

그림 7.8.10

7.9 정규직교기저와 Gram-Schmidt 과정

직교기저와 정규직교기저

[ 예제 1] 직교기저에서 정규직교기저로 바꾸기 벡터

v1=(0,2,0), v2=(3,0,3), v3=(-4,0,4)  는 R3  의 직교기저

이 직교기저를 각각의 벡터를 정규화하여 정규직교기저로 변환 ( 풀이 ) 7.1 절의 예제 3 에서 이 벡터들은 일차독립 다음을 보임으로써 이것이 직교기저임을 보여라 .

v1·v2=0, v1·v3=0, v2·v3=0     

직교기저 {v1,v2,v3} 를 정규직교기저 {q1,q2,q3} 로 바꾸기 위해

[ 예제 2] Rn 에 대한 표준기저는 정규직교기저이다

7.1절의 예제 2 를 상기하면 벡터들

e1=(1,0,···,0), e2=(0,1,···,0), en=(0,0,···,1) 은 Rn 에 대한 표준기저

정규직교기저이다 .

< 정리 7.9.1> R3  의 영이 아닌 벡터들의 직교 집합은 일차독립이다 .

[ 예제 3] Rn 의 정규직교기저

다음 벡터

가 R3 의 정규직교기저를 이루는 것

풀이

정리 7.9.1 에 의해 이 벡터들은 일차 독립

정규직교기저를 이용한 정사영 x 가 열 형태로 표현되는 Rn 의 벡터이면 , W 에 대한 기저를 이루는 행렬 M

의 열벡터들에 대하여

M의 열벡터들이 정규직교라면 ,

정사영의 표준행렬에 대한 7.7절의 식 (27) 은 다음과 같이 간단히

예제 4 정규직교기저를 이용한 사영에 대한 표준행렬

정규직교벡터 v1=(0,1,0) 과 에 의해 생성된 원점을 지나는

평면 위로의 정사영에 대한 표준행렬 P

풀이

< 정리 7.9.2>

(a) {v1,v2,···vk} 가 Rn 의 부분공간 W 에 대한 정규직교기저이면 , W 위로의 R

n 의 벡터 x 의 정사영 .

(b) {v1,v2,···vk} 가 Rn 의 부분공간 W 에 대한 직교기저이면 , W 위로 Rn 의

벡터 x 의 정사영 .

[ 예제 5} 정규직교기저를 이용한 정사영

정규직교벡터 v1=(0,1,0) 와 에 의해 생성된 R3 의 평면 W

위로의 x=(1,1,1) 의 정사영을 찾아라 .

( 풀이 )

( 한 가지 방법 ) 예제 4 에서 계산된 사영에 대한 행렬 P를 이용

[ 예제 6] 직교기저를 이용한 정사영

직교벡터 v1=(0,1,1) 과 v2=(1,2,2) 에 의해 생성된 R3 의 평면 W 위로 x=

(-5,3,1) 의 정사영을 찾아라 .

풀이

대각합과 정사영

< 정 리 7.9.3> P 가 Rn 의 부 분 공 간 위 로 R3 의 정 사 영 에 대 한

표준행렬이라면 , tr(P) = rank(P).

[ 예제 7] 정사영의 계수를 찾기 위해 대각합 이용

예제 4 에서 벡터 v1=(0,1,0) 과 에 의해 생성된 평면위로의

정사영에 대한 표준행렬 P가 다음과

정규직교기저 벡터들의 일차결합 < 정리 7.9.4>

(a) {v1,v2,···,vk} 가 Rn 의 부분공간 W 에 대한 정규직교기저이고 , w 가 W 의

벡터라면

(b) {v1,v2,···,vk} 가 Rn 의 부분공간 W 에 대한 직교기저이고 , w 가 W 의

벡터라면

[ 예제 8] 정규직교기저벡터들의 일차결합 벡터 w=(1,1,1) 를 정규직교벡터       

의 일차결합

풀이

직교기저와 정규직교기저 찾기

< 정리 7.9.5> Rn 의 모든 영이 아닌 부분공간은 정규직교 기저를 가진다 .

W 가 Rn 의 영이 아닌 부분공간이고 {w1,w2,···,wk} 가 W 에 대한 기저

W 에 대한 직교기저 {v1,v2,···,vk} 를 만든다 .

단계 1. v1=w1 이라 하자 .

단계 2. v1 에 의해 생성된 부분공간 W1 에 수직인 w2 의 성분을 계산함으로써

v1 에 수직인 벡터 v2

그림 7.9.2

단계 3. v1 와 v2 에 수직인 벡터 v3  을 얻기 위해 , v1  과 v2  에 의해 생성된

부분공간 W2 에 수직인 w3 의 성분을 계산

그림 7.9.3

단계 4.

5~k 단계 . 이 과정을 계속하면 k 단계 후에

직교집합 {v1,v2,···,vk} 을 생성

Gram-Schmidt 직교화과정 (Gram-Schmidt orthogonalization)

Gram-Schmidt 과정 (Gram-Schmidt process)

[ 예제 9] 벡터 w1=(1,1,1), w2=(0,1,1), w3=(0,0,1) 은 R3 에 대한 기저를 형성

Gram-Schmidt 직교과정을 이용하여 이 기저를 직교기저로 변환

( 풀이 ) {v1,v2,v3} 는 Gram-schmidt 직교과정에 의해 생성된 직교 기저

{q1,q2,q3} 은 v1,v2,v3 을 정규화하여 얻은 정규직교기저

1 단계 . v1=w1= (1,1,1) 이라 하자 .

R3  에 대한 정규직교기저

[ 예제 10] Gram-Schmidt 과정을 사용하여 R3 의 평면 x+y+z=0 에 대한

정규직교기저를 찾으라 .

( 풀이 ) 평면에 대한 기저를 찾을 것

매개변수 값 t1=1, t2=0 와 t1=0 , t2=1 는 주어진 평면에 다음 벡터들은 생성

Gram-Schmidt 과정    

   

정규직교기저 벡터들을 얻기 위해 이 벡터들을 정규화

Gram-Schmidt 과정의 특성

< 정리 7.9.6> S={w1,w2,···,wk} 가 R3 의 영이 아닌 부분공간에 대한 기저이고

S'={v1,v2,···,vk} 가 Gram-Schmidt 과정을 적용하여 만들어진 직교기저라 하자

.

(a) j 단계의 {v1,v2,···,vj} 는 span{w1,w2,···,wj} 에 대한 직교기저이다 .

(b) j 단계 (j ≥ 2) 의 vj 는 span{w1,w2,···,wj} 에 직교한다 .

정규직교집합을 정규직교기저로 확장

< 정리 7.9.7> W 가 Rn 의 영이 아닌 부분공간이면 ,

(a) 모든 W 의 영이 아닌 벡터들의 직교 집합은 W 의 직교기저로 확대될 수

있다 .

(b) W 의 모든 정규직교집합은 W 의 정규직교기저로 확대될 수 있다 .

7.10절 QR- 분해 ; Householder 변환

QR- 분해

A 가 w1,w2,···,wk 를 차례대로 열벡터로 갖고 전열계수를 갖는 m x k

행렬이라하자 .

만 약 Gram-Schmidt 과 정 이 A 를 이 들 벡 터 에 적용하 여 열 공 간 의

정규직교기저 {q1,q2,···,qk} 를 생성하였다고 하고 , q1,q2,···,qk 를 차례대로

열벡터로 가지는 행렬 Q를 만들었다면 , 행렬 A 와 Q 사이에 무슨 관계가

존재하는가 ?

정리 7.9.4 에 의해 A 의 열벡터들은 Q의 열벡터들의 형태로 표현

정리 7.9.6 의 (b) 로부터 qj 는 i 가 j 보다 작으면 언제나 wi 에 직교

< 정리 7.10.1> (QR- 분해 ) A 가 전열계수를 가지는 m x k 행렬이면 , A 는

다음과 같이 인수분해 된다 .

A=QR (4)

여기서 , Q는 A 의 열공간에 대한 정규직교기저를 이루는 열벡터들의

m x k 행렬 . R 은 가역인 k x k 상부삼각행렬 .

Q의 열벡터들이 정규직교이고 R 이 가역인 상부삼각일때 A=QR 형태로 행렬

A 를 인수분해하는 것을 A 의 QR- 분해 (QR-decomposition) 또는 QR-

인수분해 (QR-factorization)

(4) 에서 양변의 좌측에 QT 에 곱하면

R=QTA (5)

전열계수를 가진 행렬 A 의 QR- 분해를 찾는 방법은 A 의 열벡터들에 Gram-S

chmidt 과정을 적용 , 결과 정규직교기저 벡터들로부터 행렬 Q를 형성 , (5)

로부터 R.

[ 예제 1] QR- 분해 찾기

다음 행렬의 QR- 분해 찾기

풀이 Gram-Schmidt 과정을 벡터들

정규직교기저 벡터들을 열벡터로 하는 행렬 Q를 형성

QR- 분해를 구하면

최소제곱문제에서의 QR- 분해의 역할

선형계 Ax=b 가 정규방정식 ATAx=ATb 의 엄밀한 해들

유일한 최소제곱해는

최소제곱해를 계산하는 두 가지 방법

1. 정규계 ATAx=ATb 를 직접풀라 . 즉 , ATA 의 LU- 분해를 하라 .

2. ATA 의 역행렬을 구하고 식 (6) 을 적용하라 .

정규계 ATAx=ATb 를 다시 쓰면 ,

< 정리 7.10.2> A 가 전열계수를 가지는 m x k 행렬이고 , A=QR 이 A 의 QR

- 분해이면 , Ax=b 에 대한 정규계는 다음과 같이 표현될 수 있다 .

Rx=QTb (9)

그리고 최소제곱해는 다음과 같이 표현할 수 있다 .

[ 예제 2] QR- 분해를 이용한 최소제곱해

주어진 방정식들에 의한 선형계 Ax=b 의 최소제곱해를 찾기 위해 QR- 분해를

이용하여라 .

( 풀이 )

계수행렬이 전열계수를 가지는 것을 확인

정규계 Rx=QTb 는

다른 수치적 문제들

QR- 분해가 최소제곱문제에서 골치 아픈 ATA 계산을 피하지만 , QR- 분해를 구성하기 위해 Gram-Schmidt 과정을 사용할 때 또한 수치적 어려운 문제 .반올림 오차의 영향을 줄이는 방법은 Gram-Schmidt 과정에서 계산들의 순서를 재정리 ( 수정된 Gram-Schmidt 과정 ). 더 일반적인 접근은 Gram-Schmidt 과정을 전혀 사용하지 않고 QR- 분해두 가지 기본적인 방법 - 하나는 반사에 기초 , 다른 하나는 회전에 기초

Householder 반사

a 가 R2 혹은 R3 의 영이 아닌 벡터라면 , 직선 span{a} 위로의 정사영과 R3 의 그림 7.10.1 에 나타낸 초평면 에 대한 반사 사이

혹은 , xprojxreflx aa2 xprojxxrefl aa

2

a

정의 7.10.3 a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터 , x 가 Rn 의 어떤 벡터라면 , 초평면 에 대한 x 의 반사는 로 표시

(11)

로 표시되는 연산자 T:RnRn 은 초평면 에 대한 Rn 의 반사

xrefla

xprojxxrefl aa2

xreflxTa)(

a

a

7.7절의 식 (11) 로부터

(12)

정리 7.7.3 로부터 에 대한 표준행렬 는

(13)

초평면은 단위벡터 u 로 표시된 특별한 경우 , 를 갖는다 .

(14)

(15)

예제 3. R3 의 좌표평면에 대한 반사 표 6.2.5 로부터 xyz- 좌표계의 yz- 평면에 대한 R3 의 반사에 대한 표준행렬

aa

axxxrefl

a 22

xrefla a

H

Ttaaaaa

IH2

12 uuuT

uuxxxreflu

)(2

T

uuuIH 2

100

010

001

001

0

0

1

2

100

010

001

2

T

uuuIH

100

010

001

000

000

002

100

010

001

예제 4. R3 의 원점을 지나는 평면에 대한 반사 (a) 평면 x-4y+2z=0 에 대한 R3 의 반사에 대하여 표준행렬 H 를 구하여라 . (b) 평면에 대한 벡터 b=(1,0,4) 의 반사를 찾기 위해 행렬 H 를 사용하여라 .

풀이 (a) 벡터 a=(1,-4,2) 가 평면에 수직 a 를 정규화                    

)21

2,

21

4,

21

1( u

21

4

21

8

21

221

8

21

16

21

421

2

21

4

21

1

21

2

21

4

21

1

21

221

421

1

Tuu

21

13

21

16

21

421

16

21

11

21

821

4

21

8

21

19

21

4

21

8

21

221

8

21

16

21

421

2

21

4

21

1

2

100

010

001

2 TuuIH

풀이 (b) 평면 x-4y+2z=0 에 대한 b 의 반사는 열형태로 표현된 b 를 가진 Hb 곱

7

167

247

1

21

4821

7221

3

4

0

1

21

13

21

16

21

421

16

21

11

21

821

4

21

8

21

19

Hb

)7

16,

7

24,7

1(Hb

정의 7.10.4 nⅹn 행렬 (16)

에서 a 가 Rn 의 영이 아닌 벡터이면 위의 행렬을 Householder 행렬 . 기하학적으로 , H는 초평면 에 관한 Householder 반사에 대한 표준행렬 .

다음 정리는 Rn 에서 Householder 반사들이 R2 와 R3 에서의 반사들과 비슷한 특성을 가지는 것 .

정리 7.10.5 Householder 행렬들은 대칭이고 직교이다 . 정리 7.10.6 v 와 w 가 같은 길이를 가지는 Rn 의 다른 벡터라면 , 초평면에 대한 Householder 반사는 v 를 w 로 사상 (map) 한다 . 역도 성립한다 .

정리 7.10.6 은 주어진 벡터를 지정된 성분들이 영인 벡터로 변환하기 위해 Householder 반사를 이용하는 방법을 제공하기 때문에 중요하다 . 예를 들면 ,다음 벡터들은

,

같은 길이 . 그래서 정리 7.10.6 은 v 를 w 로 사상시키는 Householder 반사가 존재한다는 것을 보장 .

TTaaaa

IH2

nv

v

v

v2

1

0

0

v

w

a

예제 5. Householder 반사를 이용하여 영성분 만들기벡터 v=(1,2,2) 를 2, 3번째 성분이 영인 벡터 w 로 사상시키는 Householder 반사를 구하여라 . 풀이 임으로 , 벡터 w=(3,0,0) 는 v 와 같은 길이 . 정리 7.10.6으로부터 초평면 에 대한 Householder 반사는 v 를 w 로 사상시킨다 . 이 반사에 대한 Householder 행렬 H는 열형태로 표시된 벡터 a=v-w=(-2,2,2) 인 (16) 으로부터 임으로 ,

3v )( wv

122 aaaT

222

2

2

2

6

1

100

010

0012

T

Taaaa

IH

3

1

3

2

3

23

2

3

1

3

23

2

3

2

3

1

444

444

444

6

1

100

010

001

예제 6. Householder 반사 v=(v1,v2,…,vn) 라면 , v 를 w=(v1,v2,…,vk-1,s,0,….0) 형태의 벡터로 사상시키는 Householder 반사가 존재한다 . 반사는 v 의 처음 k-1 성분은 유지한다 . 나머지 성분들은 영으로 바꾼다 . 풀이 에 대해 s 의 값을 찾을 수 있다면 , 정리 7.10.6 은 v를 w 로 사상시키는 Householder 반사가 존재하는 것을 보장한다. s 의 값이 다음과 같은 지 확인하여라 .

(17)

wv

221

2nkk vvvs

Householder 반사를 이용한 QR- 분해 Householder 반사가 QR- 분해를 구성하게 하는 방법가역한 4ⅹ4 행렬의 QR- 분해

(18)

직교행렬 Q1,Q2 와 Q3

Q3Q2Q1A=R (19) 를 가지는 A 의 QR- 분해

첫 번째 단계 – Q1 이 A 의 첫 번째 열의 2, 3 과 4번째 성분을 0 으로하는 Householder 반사에 대한 Householder 행렬Q1A 곱

(20) x 로 표현되는 성분들은 (18) 의 성분들과 같을 필요는 없다 .

A

QRRQQQRQQQA TTT 321

13

12

11

0

0

01AQ

                

Q2 는 직교일 것이다 ( 확인하여라 ). Q2Q1A 는 다음과 같을 것이다 .

                                  (21)

Q3 은 직교일 것이다 ( 확인하여라 ). Q3Q2Q1A 는 다음과 같을 것이다 .                 

0

0

0

0001

2

2

H

Q

000

00

012 AQQ

00

00

0010

0001

3

3

H

Q

000

00

0123 AQQQ

예제 7. Householder 반사를 이용한 QR 다 음 행 렬 의 QR- 분 해 를 구 성 하 기 위 해 Householder 반 사 를 이용하여라 .

풀 이 예 제 5 에 서 A 의 첫 번 째 열 의 2, 3 번 째 성 분 들 은 Householder 행렬에 의해 0 이 될 수 있다 .                 

Q1A 을 계산하면 ,

                               (22)

(22) 의 우측 아래의 2ⅹ2 부분행렬 B 를 고려                

B 의 첫 번째 열의 두 번째 성분이 Householder 행렬에 의해 0 이 되는 것은 연습문제 .

3

1

3

2

3

23

2

3

1

3

23

2

3

2

3

1

1Q

140

230

353

342

252

131

3

1

3

2

3

23

2

3

1

3

23

2

3

2

3

1

1AQ

14

23B

행렬을 구성

                 (22) 의 좌측에 Q2 을 곱하면

 

A 의 QR- 분해

5

3

5

45

4

5

3

2H

53

54

5

4

5

3

0

0

001

2Q

100

250

353

342

252

131

3

1

3

2

3

23

2

3

1

3

23

2

3

2

3

1

0

0

001

53

54

5

4

5

312 AQQ

100

250

353

0

0

001

3

1

3

2

3

23

2

3

1

3

23

2

3

2

3

1

342

252

131

53

54

5

4

5

3A

100

250

353

15

11

15

2

3

23

2

3

1

3

215

2

15

14

3

1

응용에서의 Householder 반사

초평면에 대한 벡터의 Householder 반사를 계산할 필요가 있는 응용에서 Householder 행렬은 명확히 계산될 필요는 없다 . H가 초평면 에 대한 Householder 반사의 표준행렬이면 , (16) 을 사용하여 Hx 를 계산하는 것이 일반적

(23)

a 가 단위벡터인 특별한 경우 , 식 (23) 은 간단히 표현

(24)

axxaaaa

IHx TT

)2

(

axaxaxaxaxHx T )(2)(2

a

7.11 기저에 대응하는 좌표

R2 와 R3 에서의 직교좌표계가 아닌 좌표계

그림 7.11.1

B={v1,v2} 가 R2 의 순서기저라면 , 평면의 각 점 P에 대하여 벡터 을

일차결합으로 표현하는 정확히 한가지 방법

기저 B={v1,v2} 를 ‘일반화된 좌표계’로 정의

Rn 의 순서기저 B={v1,v2,···,vn}

Rn 의 각 점들은 ‘좌표들’의 순서 n-짝 (a1,a2,···,an)

< 정의 7.11.1> B={v1,v2,···,vk} 가 Rn 의 부분공간 W 의 순서기저이고

W=a1v1+a2v2+···+akvk 가 W 의 벡 터 w 를 B 의 벡 터 들 의 일 차 결 합 으 로

표현된다면

a1,a2,···,an

를 B 에 대응하는 w 의 좌표 (coordinate of w with respect to B). a j 를 w 의

vj 좌표 . 좌표들의 순서 k-짝을 다음과 같이 나타낸다 .

(w)B= (a1,a2,···,ak)

이를 B 에 대응하는 w 에 대한 좌표벡터 (coordinate vector).

열벡터의 좌표계는

이를 B 에 대응하는 w 의 좌표행렬 (coordinate vector).

[ 예제 1] 좌표 찾기

7.2절의 예제 2(a) 에서 벡터들이

v1=(1,2,1), v2=(1,-1,3), v3=(1,1,4) R3 의 기저

(a) 순 서 기 저 B={v1, v2 ,v3} 에 대응하 는 벡 터 w=(4,9,8) 의 좌 표 벡 터 와

좌표행렬을 구하라 .

(b) B 에 대응하는 좌표벡터가 (w)B= (1,2,-3) 인 R3 의 벡터 w 를 찾아라 .

예제 2 표준기저에 대응하는 좌표들

S={e1,e2,···,en} 이 Rn 의 표준기저 w=(w1,w2,···,wn) 이면 , w 는 다음과 같이

표준기저벡터들의 일차결합

w 의 성분들은 표준기저에 대응하는 그것들의 좌표

w 가 열형태로 쓰인다면

표준 좌표들 (standard coordinate)

정규직교기저에 대응하는 좌표들

B={v1,v2,···,vk} 는 Rn 의 부분공간 W 에 대한 정규직교기저이고 w 가 W 의

벡터라면

[ 예제 3] 정규직교기저에 대응하는 좌표구하기

7.9절의 예제 3 에서 벡터들이

R3  의 정규직교기저

기저 B={v1, v2 ,v3} 에 대응하는 w=(1,-1,1) 에 대한 좌표 벡터

풀이

정규직교기저에 대응하는 좌표계들의 계산

< 정리 7.11.2> B 가 Rn 의 k 차원 부분공간 W 에 대한 정규직교기저이고 ,

u, v, w 는 다음과 같은 좌표벡터들을 가지는 W 의 벡터들이라 하자 .

[ 예제 4] 좌표를 사용한 계산

B={v1, v2 ,v3} 를 R3  의 정규직교기저 w=(1,-1,1)

Rn 의 기저 변화

( 기저변화문제 ) w 가 Rn 의 벡터이고 , Rn 에 대한 기저를 기저 B 에서 기저 B'

로 바꾼다면 , 좌표행렬 [w]B 와 [w]B´ 는 어떤 관계를 가지는가 ?

B 를 ‘이전 기저’로 B' 를 ‘새 기저’

(8) 을 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

< 정리 7.11.3> ( 기저변화 문제의 답 ) w 가 Rn 의 벡터이고 , B={v1,v2,···,vn} 과

B'={v1´,v2

´,···,vn´} 이 Rn 의 기저들이면 , 두 기저들에 대응하는 w 의

좌표행렬은 다음 식을 만족시킨다 .

이때

이 행렬은 B 에서 B' 로의 추이행렬 (transition matrix) 또는 좌표변환행렬 (ch

ange of coordinate matrix) 이라 부른다 .

[ 예제 5] 추이행렬

R2 에 대한 기저 B1={e1´,e2} 와 B2={v1

´,v2}

e1=(1,0), e2=(0,1), v1=(1,1), v2=(2,1)

(a) B1 에서 B2 로 추이행렬을 구하라 .

(b) 이 주어졌을 때 , B1 에서 B2 로의 추이행렬을 이용하여

을 찾으라 .

(c) B2 에서 B1 로 추이행렬을 구하라 .

(d) B2 에서 B1 로 추이행렬을 이용하여 벡터 로부터 벡터 을 회복하라

.

풀이 (c) B1 좌표를 변환하기 때문에 , 요구되는 추이행렬의 형태는                

풀이 (d) (15) 와 (16) 을 이용하여

천이행렬의 가역성

B1, B2, B3 가 Rn 의 기저들

를 곱합으로써 B1 좌표들을 B2 좌표들로 보내고 을

곱합으로써 B2 좌표들을 B3 좌표들로 보내기

B 와 B' 가 W 에 대한 두 기저

(18) 은 는 가역이고 서로 역이라는 것

< 정리 7.11.4> B 와 B' 이 Rn 의 기저들이라면 추이행렬

는

가역이고 서로 역이다 . 즉 ,

[ 예제 6] 추이행렬의 역 예제 5 에서 다음을 보았다 .

추이행렬을 찾는 멋진 방법

추이행렬을 찾는 효과적인 방법

B={v1,v2,···,vn} 와 B'={v1´,v2

´,···,vn´} 가 Rn 의 기저

의 성분들은 v1´,v2

´,···,vn´ 의 일차결합으로표현할 때의 계수

B={v1,v2,···,vn} 을 이전 기저라 하고 B'={v1´,v2

´,···,vn´} 를 새 기저라 하면

를 계산하기 위한 과정

1 단계 . 행렬 [B'|B] 를 구성하라 .

2 단계 . 1 단계의 행렬을 기약 행사다리꼴로 줄이기 위해 기본행연산들을

사용하라 .

3 단계 . 결과 행렬은 [I | ] 가 될 것이다 .

4 단계 . 3 단계의 행렬의 우변에서 행렬 을 추출하라 .

[ 예제 7] 행소거에 의한 추이행렬

예제 5 에서 R2 의 기저 B1={e1´,e2} 와 B2={v1

´,v2} 사이의 추이행렬

e1=(1,0), e2=(0,1), v1=(1,1), v2=(2,1)

(24) 를 사용하여 추이행렬

풀이 추이행렬 을 찾기 위해

추이행렬 을 찾기 위해

좌표사상

B 가 Rn 의 기저 변환

, 또는 열 표현 는 B 에 대한 좌표사상 (coordinate map)

(27)

B 에 대한 좌표사상은 Rn 의 선형연산자

< 정리 7.11.5> B 가 Rn 의 기저이면 , 좌표사상 (혹은 )

은 Rn 의 일대일 ( 단사 ) 선형연산자이다 . 더욱이 , B 가 Rn 의 직교기저이

면 , 직교연산자이다 .

< 정리 7.11.6> A 와 C 가 m x n 행렬이고 , B 가 Rn 의 기저일 때 , Rn 의

x 에 대하여 이면 , A=C 이다 .

정규직교기저들 사이의 변화 < 정리 7.11.7> B 와 B' 가 Rn 의 정규직교기저라면 , 추이행렬

는 직교행렬이다 .

그림 7.11.3

[ 예제 8] R2 의 표준기저의 회전

S={e1´,e2} 가 R2 의 표준 기저 . B={v1

´,v2} 가 S 의 벡터들이 원점에 대해 θ

만큼 회전한 결과 기저 . 식 (25) 와 그림 7.11.3 으로부터 B 에서 S 로의

추이행렬은

좌표축의 회전에 대한 응용

[ 예제 9] R2 의 좌표축 회전

직교 xy- 좌표계가 주어졌고 x'y' 좌표계는 xy 좌표계를 원점에 대해 θ 만큼

회전

두 좌표쌍 사이의 관계를 찾기 위해서 , 표준기저 S={e1´,e2} 에서 기저 B={v1

´,v

2} 로의 기저변환으로 축회전 고려

e1 와 e2 는 양의 x 축과 y 축을 v1 과 v2 는 양의 x' 축과 y' 축을 지나는

단위벡터

두 좌표쌍 사이의 관계

회전방정식 (rotation equation).

그림 7.11.4

행렬을 고려하기 위한 다른 방법들

좌표들은 행렬에 대한 새로운 사고를 제공

벡터 x 를 좌표벡터로 고려

B={v1 ,v2} 는 R2 의 기저

(35) 선형계에 대하여 계수 행렬로 보일지라도 기저 B 에서 표준기저 S={e1,e2} 로의 추이행렬로 볼 수도 있다 .

정리 7.11.8 P가 열벡터들 p1,p2,…,pn 을 가지는 가역 nⅹn 행렬이면 , P는 Rn

의 기저 B={p1,p2,…,pn} 에서 Rn 의 표준기저 S={e1,e2,…,en} 로의 추이행렬이다 .

3

2x

Bwx

21 42 vvw

52

31A

5

3,

2

1B

P 가 2ⅹ2 또는 3ⅹ3 직교 행렬이고 det(P)=1 인 경우 , 행렬 P 는 회전을 나타낸다 . 이것을 벡터들의 회전으로 혹은 좌표축의 회전으로 인해 좌표의 변화로 볼 수 있 다 . P=[p1,p2] 가 2ⅹ2 이 고 P 를 일 차 연 산 자 에 대 한 표준행렬로 보면 , P에 의한 곱은 e1 와 e2 를 p1 와 p2 로 회전한 R2 의 회전을 나타낸다 . 같은 행렬 P를 추이행렬로 본다면 정리 7.11.3 에 의해 P에 의한 곱은 양의 방향 축이 p1 과 p2 인 직각좌표계에 대응하는 좌표들이 양의 축의 방향이 e1 과 e2 인 회전된 좌표계에 대응하는 좌표들로 바꾼다 . P-1=PT 의 곱은 e1 과 e2 의 방향을 양의 축으로 하는 계에 대응하는 좌표들을 p1 과 p2

의 방향을 양의 축으로 하는 좌표계에 대응하는 좌표들로 바꾼다 .

,

2

1

2

12

1

2

1

TP

2

1

2

12

1

2

1

P