7 slide limitketerdiferensialan

7/22/2019 7 Slide Limitketerdiferensialan

1/4

Limit

lim limPada ruang dimensi satu: f(x,y ) f(x,y)

x a x a

Pada ruang dimensi dua: nilai limit sama untuk semua arah. (Bagaimana

mencari untuk semua arah??)

Definisi:

limf(x ,y) L berarti untuk setiap e > 0 terdapat bilangan d > 0

(x,y) (a,b )

f(x

,y) L 0 (x,y) (a ,b)sedemikian sehingga dengan syarat .

Catatan:

1. Nilai untuk satu arah saja tidak berguna, misal hanya arah y !, karena bisaberbeda untuk arah yang lain.

lim xy

2 2

C"nt"h: #itunglah . $kan dilihat pada arah sumbu ! saja( , ) (0,0)

xy xy 2 2

dan pada arah sumbu y saja.

Nilai limit saat %!,y& menuju %0,0& sepanjang sumbu ! adalah:

lim 0 1 x22

( ,0) (0,0) 0

x x 22

Nilai limit saat %!,y& menuju %0,0& sepanjang sumbu y adalah:

lim 0 1 y2 2

(0, ) (0,0) 0y y

2 2

'adi nilai limit untuk arah sepanjang sumbu ! tidak sama dengan arah

sepanjang sumbu y.

(. Nilai fungsi di titik %a,b& tidak perlu ada.

)e"rema: %khusus untuk fungsi p"lin"m&

lim ( , ) ( , )

f x y f a b1. 'ika f%!,y& fungsi p"lin"m maka .( , ) ( , )

x y a b

( )( ) ( )(. 'ika ( ) dan dan adalah fungsi*fungsi p"lin"m

( )

( )dengan , maka

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )+. 'ika dan maka( ) ( ) ( ) ( )

lim ( , )f x y tidak ada.

( , ) ( , )

x y a b

C"nt"h:Cari limitnya atau tunjukkan limitnya tidak ada.

lim xy y 31. %dimasukkan langsung nilainya, bila ada maka limitnya ada&

( , ) (1,2) ( 1)

xy xy 2

lim xy y 3(. %masalah pembagian dengan n"l&

( , ) ( 1,2) ( 1)

xy xy 2

lim x y

4 4

+. %fungsi dapat disederhanakan terlebih dahulu dengan eliminasi&(x,y) (0,0)x y

2 2

lim xy

. %fungsi disederhanakan dengan mengubah ke k""rdinat p"lar&( , ) (0,0)

xy xy 22

lim sin( ) xy

2 2

-.( , ) (0,0) 33

xy xy 22


2/4

ek"ntinuan

"ntinu di suatu titik %a,b& : Nilai f%!,y& di %a,b& ada, limit di %a,b& ada, dan keduanya

bernilai sama.

"ntinu pada himpunan: k"tinu pada setiap titik pada himpunan.

x 2xy2 4f(x,y )C"nt"h: )entukan himpunan di mana fungsi k"ntinu.

y x2

eterdiferensialan

eterdiferensialan f di ! berarti eksistensi turunan f /%!&.

Pada fungsi satu peubah:

lim limf(x) f(x ) f(x h) f(x )f' (x ) 0 0 0

x x x x h 0 h00 0

p (x,y) p (x ,y )$nal"ginya: jika dan0 0 0

lim limf(p ) f(p ) f(p h) f(p )f' (p ) 0 0 0p p h 00 p p h

0 0

pembagian oleh suatu vektor)etapi apa arti

Definisi:

pungsi f dapat dideferensialkan di jika terdapat suatu 2ekt"r sedemikianmsehingga

f(p h) f(p ) m h h (h)

(h) 0 h 0dengan pada .

pm m f(p)'ika 2ekt"r ada maka tunggal dan (=delta f) gradien f di .

C"nt"h:


3/4

)e"rema $:

p'ika f fungsi dua*peubah yang dapat dideferensialkan di maka turunan parsial

ppertama dari f di ada dan

f(p) f(p )i f(p)j

x y

)e"rema 3:

p'ika f punya turunan parsial pertama di suatu lingkungan dari dan turunan

p pparsialnya k"ntinu di maka f dapat dideferensialkan di .

)e"rema C:

(i) f(p) g(p) f(p) g(p)

(ii) f(p) f(p)

(iii) f(p)g(p) f(p)g(p) f(p) g(p)

)e"rema D:

p p'ika f dapat dideferensialkan di maka f k"ntinu di .

f(x,y) x y xy

2 2C"nt"h:

a. )unjukkan f dapat dideferensialkan dan 4ari gradiennya di titik

%*(,+&.

b. Cari persamaan garis singgung di %*(,+&.


4/4

7 slide limitketerdiferensialan

Documents