7 trains d'engrenages

7/23/2019 7 Trains d'Engrenages

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es ra ns engrenages

1Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenages



1. Fonction

Un train d’engrenages est une combinaison de roues dentées dont les unes entraînent les autres par

l’action des dents successivement en contact.

Le rôle d’une transmission par un train d’engrenages est de:

• modifier les caractéristiques cinématiques du mouvement entre le moteur M et le récepteur R

• lier la partie motrice à la partie réceptrice et y transmettre la puissance.

2. Classification Trains d’engrenages

Rapport de vitesses

constant

Rapport de vitesses

variable

Réduction Multiplication Boites de vitesse

O di i

3. Disposition des axes

On distingue:

• Les trains d’engrenages à axes fixes(ordinaires) : les axes géométriques de toutes les roues dentées des

transmissions par engrenages sont immobiles par rapport au bâti.

• Les trains d’engrenages à axes mobiles: connues sous le nom de trains épicycloïdaux possèdent dans leurs schémas

i é i i d é d l’ é é i bil bâ i


cinématiques au moins une roue dentée dont l’axe géométrique est mobile par rapport au bâti.



4. Train d’engrenages à axes fixes

Les axes des différentes roues dentées peuvent être parallèles, concourants ou quelconques ( engrenages gauches)

Le rapport de transmission (i) d’un train d’engrenage exprime le rapport entre la fréquence de rotation de

l’arbre de sortie et celle de l’arbre d’entrée.





Application




4. Train d’engrenages à axes mobiles

4.1 Définition

Sous le nom de train é ic cloïdal ou en rena e lanétaire on dési ne un s stème de transmission de uissance

entre deux ou plusieurs arbres dont certains tournent non seulement autour de leur propre axe, mais aussi avec leur axe autour d’un autre axe.

Les engrenages peuvent être cylindriques ou coniques.

Ceux dont l’axe coïncide avec un axe fixe dans l’es ace s’a ellent “ lanètes” et ceux ui tournent avec leur axe

autour d’un autre s’appellent “satellites”. Ces derniers sont généralement maintenus par un châssis mobile

nommé “porte satellites”.

• Possibilité d’arrangement coaxial des arbres.

• Réduction du poids et de l’encombrement pour une puissance

.

• Rapport de vitesse très élevé possible avec un minimum d’éléments pour des transmissions à faible puissance.

• Excellent rendement quand le système est judicieusement

.

Inconvénients:

• Rendement lié au mode de fonctionnement

• Difficulté à aligner les éléments et à éviter les déformations qui

modifient l’alignement





4.2 Train épicycloïdal simple

Le train é ic cloïdal est donc com osé de:

•un planétaire d’entrée (1)•un planétaire de sortie (3)

•un ou plusieurs satellites (2)

•un orte satellite 4 ou PS

On distingue deux cas:• L’axe fixe et l’axe mobile sont arallèles. Le train est dit train é ic cloïdal lan

• L’axe fixe et l’axe mobile sont concourants. Le train est dit train épicycloïdal sphérique

Notre étude sera limitée au train épicycloïdal à axes parallèles (plan)

.

•Mécanisme à 4 pièces mobiles (p = 4)

•Les liaisons en rotation sont de type pivot (degrés de liaison=5).

•Les contacts au niveau des dentures sont supposés ponctuels (degrés de liaison=1).

•Pour le cas de la figure ci‐dessus, on a 4 liaisons pivots et 2 liaisons ponctuelles.

Pour un système isostatique (h=0) on a:

06 =−+=

∑ pl mh

i

i 222241254466 =−=−−=−=⇒

∑ x x xl pm

i

i

Les trains épicycloïdaux ont deux degrés de mobilité (mouvements indépendants).





4.2 Train épicycloïdal simple

Etude de la mobilité.

Les trains épicycloïdaux ont deux degrés de mobilité (mouvements indépendants). Il faut donc imposer deux

mouvements au mécanisme pour connaître le mouvement de sortie. Généralement un des éléments est

bloqué.





4.3 Différents types de trains plans simples





4.4 Etude cinématique

Soit le train é ic cloïdal suivant. Prenons un satellite double our l’étude énérale.

⎪⎧ =∈ 02/1V

La condition de roulement sans glissement écrit aux point M et N donne:

⎧ =+ 0ω r r

⎪⎩ =∈ 0)3/'2( N V ⎩ =+ 04/334/223 ω ω r r

Remarque:

On remarque que les arbres des planétaires, du porte

satellites et du satellite sont mobiles dans le repère lié⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=

−=

4/3

23

34/2

4/2

1

214/1

ω ω

ω ω

r

r

r

231

321

4/3

4/1

.

.

r r

r r =

ω

ω

au bâti (l’axe du satellite tourne autour des autres axes).

Si on se place dans un repère lié au porte satellites, tous

les axes sont fixes dans ce repère (le repère tourne).

Remarque : Les 4 axes de rotations étant fixes dans le repère du porte

satellites ceci nous ramène à des équations de trains ordinaires. On

peut donc écrire directement (sans passer par le RSG):

satellites.

menées

menantesk

e

s

r

r

ΠΠ

−= )1(4/

4/

ω 231

321

231

3212

4/3

4/1

.

.

.

.)1(

r r

r r

r r

r r =−=

ω





4.5 Formule de Willis

Définition: On appelle raison de base (ou basique) le rapport des vitesses de rotation des deux planétaires

par rapport

au

porte

satellites.

On

le note

λ et vaut

:

0/40/3

0/40/1

4/3

4/1

ω ω

ω ω

ω

ω λ

−−

==

ω − 3213210/40/1 .. Z Z r r

On a alors la formule de Willis:

ω ω ===

− 2312310/40/3 .. Z Z r r





4.6 Les valeurs de pour les différents types de trains

1

3

Z

Z −=λ

'.

.

21

32

Z Z

Z Z −=λ

. 32 Z Z =λ '

. 32 Z Z =λ


'. 21 Z Z . 21




On eut aussi écrire cette relation sous la forme suivante a elée é uation du fonctionnement du train ou formule

4.7 Formule de Ravigneaux

de Ravignaux:

0)1( 0/40/30/1 =−−− ω λ λω ω

Remarque : Vous pouvez remarquer que la somme des coefficients est nulle.

4.8

rapports

planétaires

( ) λ ω ω ω

==00/30/1 /

On appelle “rapport planétaire” le rapport des vitesses angulaires de deux éléments du train lorsque le troisième

est immobilisé par rapport au bâti. On constate 3 rapports planétaires:

: Premier rapport planétaire ; ( ) υ ω ω ω

==00/10/40/3

/ : Deuxième rapport planétaire;

( ) μ ω ω ω ==00/40/30/1

/ : Troisième rapport planétaire

D’a rès la formule de Ravi naux:

⇒=−⇒= 00 0/30/10/4 λω ω ω ( ) λ ω ω ω

==00/30/10/4

/231

321

.

.)1(

Z Z

Z Z k −=λ avec

où k est le nombre de contacts extérieurs

⇒=−−⇒= 0)1(0 0/40/10/3 ω λ ω ω ( ) )1/(1/00/10/4

0/3λ ω ω υ

ω −== =


=−−−= 0/40/30/1 ω 00/40/30/1

−=




4.8 rapports planétaires

λ ω ω ω ==00/30/1 0/4/ )1/(1/ 00/10/4 0/3 λ ω ω υ ω −== = λ λ ω ω ω /)1(/ 00/40/3 0/1 −== =

321

.

.)1(

Z Z

Z Z k −=λ avecRapports planétaires

où k est le nombre de

contacts extérieursλ 0>υ

a t e u r s

s i o n

d u

t a t i o n

1>μ 1

M u l t i p l i

S a n s i n v e

s e n s d e r

λ

1<μ 1Raison de base

R é d u c t e u r s

u −

a t e u r s

e c i n v e r s i o n d

s d e r o t a t i o n

0<υ M u l t i p l i

A v

s e

14Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenagesLa figure représente la variation des rapports planétaires en fonctions de λ.




4.9 Utilisation

• our une ra son e ase onn e , e ra n peu onc onner en r uc eur ou mu p ca eur avec ou sans nvers on

du sens de rotation.

• Pour réaliser un rapport planétaire donné, on a le choix entre 3 trains de raisons basiques différentes.

’ ’, .

• Pratiquement les solutions technologiques réalisant les immobilisations sont simples, (Frein à disques, à tambour,

électromagnétiques). Ce qui conduit à utiliser les trains épicycloïdaux dans un grand nombre de mécanismes de.





4.10 Vitesses lorsqu’un planétaire est fixe

Su osons le lanétaire 3 est fixe : ω = 0

0/4

0/40/1

0/40/3

0/40/1

ω

ω

ω ω λ

−−

=−−

= i Z Z

Z Z k k .)1(1.

.)1(11

231

321

0/4

0/1 −−=−−=−=⇒ λ ω

0.

.

231

321 >= Z Z

Z Z iavec

Pour les trains de type I et II

k=1

Pour

les

trains

de

type

III

et

IV

i+= 10/4

0/1

ω

ω

i+=

1

1

0/1

0/4

ω

ω

i−= 10/1ω = 10/4

Pour les trains de type I et II

k=1

k=2 0/4 i−10/1

k=2

0/4

0/1

ω

ω

0/1

0/4

ω

1

1

231

321

.

.

Z Z

Z Z i =

1

I

et

II

231

321

.

.

Z Z

Z Z i =





4.11 Limitation du train I

Du point de vue purement constructif, les rapports possibles sont

très limités par les dimensions des satellites ou du planétaire central.

Une valeur courante se situe aux environs de: et

C’est‐à‐dire :

21

3 = Z

51

3 = Z

entre ‐5 et ‐2 et entre –1/2 et ‐1/5

entre 1/6 et 1/3 et entre 3 et 6( ) )1/(1/00/10/4

0/3λ ω ω υ

ω −== =

( )1

3

00/30/10/4

/ Z

−== =ω ω ω λ ( )

00/10/30/4

//1 == ω ω ω λ

( )00/40/1

0/3//1 == ω ω ω υ

et entre ‐3/2 et ‐6/5 et entre ‐5/6 et ‐2/3

( ) λ ω ω μ ω /)1(/ 00/40/3 0/1

−== = ( ) 00/30/4 0/1

//1=

= ω

ω ω μ

‐

5 ‐

4 ‐

3 ‐

2 ‐

1

0

1

2

3

4

5

λ et 1/λυ et 1/υ

μ et 1/μ


On peut remarquer, par exemple, que les rapports entre 1/3 et 3 ne peuvent jamais être atteint par ce train




4.12 Vitesses lorsque les trois membres tournent

• Deux éléments moteurs dans le cas de la fi ure les 2 lanétaires 1 et 3 et un élément

récepteur ( dans le cas de la figure le porte satellite 4)

Exemple: variateur de vitesse à base fuyante

• D’après la formule de Ravigneaux ou de Willis on peut écrire ω4/0 en fonction de ω3/0 et ω1/0 :

0/30/10/411

1ω

λ

λ ω

λ ω

−−

−=

0/1

0/3

0/1

0/4

11

1

ω

ω

λ

λ

λ ω

ω

−−

−=





4.13 Vitesses des satellites

Remarque : Les 4 axes de rotations étant fixes dans le repère du porte satellites ceci nous ramène à des équations de trains

ordinaires.

On

peut

donc

écrire

directement

(sans

passer

par

le

RSG):

k r Πω 14/2 Z ω 34/2 Z ω

menéese r Π−=

4/ω 214/1 Z ω 234/3 Z ω

(+) pour le contact extérieur‐

On peut alors déduire la vitesse relative des satellites par rapport au porte satellite:

( )0/40/121

1

4/121

1

4/2 ω ω ω ω −±=±= Z Z ou

( )0/40/323

3

4/323

3

4/2 ω ω ω ω −±=±= Z Z

=

( ) 0/40/40/1

21

10/2 ω ω ω ω +−±=

Z

Z ou ( ) 0/40/40/3

23

30/2 ω ω ω ω +−±=

Z

Z





4.14 Condition de montage

Pour que le montage soit possible, il faut respecter certaines conditions d’assemblage:

• Condition sur les entraxes.

• Condition sur le nombre de dents.

Condition sur les entraxes

•

213 2 R R R += 213 2 Z Z Z +=

• si on désire assembler n satellites sur le même porte satellite, pour éviter un

Condition sur le nombre de dents

déséquilibre des masses, on prévoit généralement n satellites formant le même angle

(

/n) entre eux.

• Un engrenage planétaire à n éléments, même s’il satisfait aux conditions

d’entraxe, doit encore satisfaire à une certaine relation entre les nombres de dents.

Cette condition s’écrit:

Z Z +

Démonstration (cas de 3 satellites):

en er nom ren

=

abc + cde + efg + gha = k.p avec k est un nombre entier

kp pZ pZ pZ pZ =+++ 32123

1

2

1

3

1

2

1

Z Z +


( ) k Z Z Z =++ 312

3

un nombre entier ent er nom re=3

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